超越随机连续性的仿射过程

为了在（i）中显示正确的连续性，wewritelim'O0ψs'pt `, uq“lim'O0ψs'pt，ψtpt `, uqq“ψs''t，lim'O0ψtpt `, uq‘“ψs'pt，ψtpt，uqq”ψs'pt，uq。这里，我们使用了流动性质，ψs'pt，uq in u的连续性，以及ψspt，uq in t的右连续性。至于左极限，等式lim'O0ψs'pt', uq“lim'O0ψs'ps，ψspt', uqq“ψs''s，lim'O0ψtpt', 此外，ψs′、ψspt′、uqq表明存在左极限。此外，ψs′、ψspt′、uqq“limΔ'O0ψs′δps、ψspt′、uqq“limΔ'O0ψs'δpt'，uqq表明了（ii）中极限的可交换性。权利要求（iii）源自半流方程（4），取s中的左极限、t中的左极限或两者。类似地，权利要求（iv）源自（6通过在s中取左极限，或从（7）中取左极限通过取t中的左极限，对于（v），我们将半流动特性（4）应用于r“s，并获得φspt，uq“φspt，uq'φs'pt，uq”φsps，ψspt，uqq'φs'ps，ψspt，uqq和（9）的第一部分如下。第二部分类似。3、仿射半鞅的特征在本节中，我们通过半鞅的特征以及系数φ和ψ的广义测度Riccati方程导出了一个半鞅的表示。事实证明，一类半鞅实质上概括了一类随机连续的一类过程：首先，允许在固定的时间点跳跃，其次，跳跃高度可能取决于过程的状态。自始至终，我们将使用简写符号α“pα，’αq表示一般的d `一维向量α“pα，…，αdq。此外，我们用Sd `表示对称正半有限d^d矩阵的凸锥。给定半鞅X的特征pB，C，νq，回想一下[21，等式II.1.23，属性II.2.6]，C总是连续的，Bc可以分解为B“Bc `''B

此外，也可以用j定义“连续部分”νcofν：“tpω，tq:νpω，ttu，Dqa0uνcpω，dt，dxq:”νpω，dt，dxqIJ{pω，tq.（10）最后，如果一个人选择了特性的“好版本”（就像我们一直做的那样），那么Bt“zDhpxqνpttu，dxq，（11），其中h是跳跃的截断函数；参见[21，Prop.II.2.9]。我们介绍了以下定义，这将需要用于表述我们的主要结果。8 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT和R.WARDENGADe定义3.1。设A是具有连续部分A和跳跃点JA的非递减c\'adl\'ag函数：“ttě0|在a0u。设pγ，β，α，uq“pγi，βi，αi，uiquipt0，…，dube函数说明γ：Rě0^U尼C，(R)γ：Rě0^U尼Cd，βi：Rě0尼Rd，αi：Rě0尼sdpuipt，¨qtě0是Dzt0u上的Borel测度族（可能有符号）。如果对于所有i p t0，…，du，（i）αi和βi是局部可积的w.R..Ac，（ii）对于所有紧集KADzt0u，up¨，Kq是局部Ac可积的。（iii）γpt，uq“0对于所有pt，uq P pRě0zJAq^U.定理3.2.设X是一个满足支持条件2.3的拟正则半鞅。然后存在一个好的参数集pA，γ，β，α，uq，使得X w.r.t的半鞅特征pB，C，νq。截断函数h满足，P-a.s.对于任何ta0，Bctpωq“zt`βpsq\'d"yi”1Xisωqβipsq；dAcs（12a）Ctpωq“zt`αpsq` d"yi”1Xis'pωqαipsq'dAcs（12b）νcpω，ds，dxq'ups，dxq'd"yi”1Xis'pωquips，dxq'dAcs（12c）d'exu，ξy'1'νpω，ttu，dξq'expγpt，uq'd"yi”1xXit'pωq，'γipt，uqy'''1'。

（12d）此外，对于所有pT，uq P p0，8q^U，函数φ和ψ是绝对连续的w.r.t a，并求解以下广义测度Riccati方程：它们的连续部分满足φctpT，uqdAct“'F pt，ψtpT，uqq，（13）dψctpT，uqdAct”'Rpt，ψtpT，uqq，（14）dAc-a.e.，其中F ps，uq“xβpsq，uy'xu，αpsqy'd'exx，uy'1'xhpxq，uy'ups，dxqRips，uq“xβipsq，uy'xu，αipsquy'd'exx，uy'ips，dxq，（15）而他们的跳跃由φtpT，uq“'γpt，ψtpT，uqqψtpT，uq“'”γpt，ψtpT，uqq，（16）及其终端条件为φtpT，uq“0和ψtpT，uq”u。（17）备注3.3。请注意，参数集pA，γ，β，α，uq不是唯一确定的：实际上，考虑一些递增函数，例如A！A和写入g“关于A相对于A的RadonNikodym密度的dAdAfor。很容易看出，对于替代参数集pA，γ，gβ，gα，guq，定理的所有陈述都是正确的。超越随机连续性的仿射过程9备注3.4。我们期望定理3.2可以通过添加“第四特征”（参见[37]和[3]）扩展到一个具有爆炸或杀死的半鞅，具有类似于（12）的分解。这里将不讨论相应结果的严格公式，而是留给未来的研究。在固定时间发生的a ffine半鞅跳跃的分布可以直接描述如下。引理3.5。设X是满足支持条件2.3的拟正则半鞅，对于任意pt，uq P p0，8q^U，zD′exu，ξy′1′νPω，其特征为pB，C，νq.（i）；ttu，dξq“exp''”φtpt，uq'xψtpt，uq，Xt'y'1。（18） （ii）设置jν：“tta0:Ppνpω，ttu，Dqa0qa0uJφ，ψ：”tta0:D u p uφtpt，uq‰0或ψtpt，uq‰0u。（19） 然后Jν“Jφ，ψ。（iii）设置γpt，uq”φtpt，uq和‘γpt，uq’’ψtpt，uq。

然后（12d）和（16）保持正确，并且γ“pγ，’γq是定义3.1意义上的一个好参数，无论何时JνAJA.Proof。通过定义，νpttu，dξq是δ的双重可预测投影Xtpdξq使得（根据命题II 1.17 in【21】）zD'exu，ξy'1'νpω；ttu，dξq“E”'exu，Xty 1英尺。结合（8），权利要求（i）如下。对于（ii），设t P Jν。然后，存在一个u P u，使得（18）的左侧非零。因此，右侧也是非零的，我们得出结论φtpt，uq‰0或ψtpt，uq‰0。因此，t P Jφ，ψ，JνDJφ，ψ。对于另一个方向，让t P Jφ，ψ并选择一个u P u，使得φtpt，uq‰0或ψtpt，uq‰0。结合X上的条件2.3，我们得出结论，（18）的右侧是非零的，具有严格的正概率。左手侧也必须如此，我们得出结论，t P Jν，因此Jν“Jφ，ψ。对于（iii）而言，γ的定义方式是（18）变成（12d）。跳跃方程（16）是（9）的直接结果。如果JνJA，则γpt，uq“0，无论何时t R JA，γ都是一个好参数。现在，我们关注半鞅特征的连续部分，并作出以下定义：对于特征为pB、C、νq的任何一个半鞅X，对于pT，uq P R>0^U，我们定义了r0，T s byGpdt，ω，T，uq：“xψt，dBctpωqy\'xψt，dCtpωqψty`（20）`D'exψt，ξy'1'xψt，hpξqy'νcpω，dt，Dξq，其中我们写ψt：”ψtpT，简称uq。引理3.6。设x是一个准正则半鞅，具有其特征pB，C，νq，Let pT，uq P p0，8q^U和Let Gpdt，ω，t，uq是（20）中定义的复杂值和度量. 它认为GPDT；ω、 T，uq\'dφctpT，uq\'xXtpωq，dψctpT，uqy“0，P'a.s，（21）10 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT和R.WARDENGAas在r0上的度量之间的恒等式，T s.证明。

对于pT，uq P p0，8q^U考虑过程mu，Tt：“E”exu，XTyˇFti“exp pφtpT，uq\'xψtpT，uq，Xtyq t p r0，t q，这是一个c\'adl\'ag鞅，终值为Mu，TT”exppxu，Xtyq。为了缓解这种情况，我们考虑pT，uq固定并写入pT“Mu，TT”exp pφt\'xψt，Xtyq，φt：“φtpT，uq和ψptq：”ψtpT，uq。将It^o公式应用于半鞅（参见[21，Prop对于M，我们得到一个分解mt“Lt` Ft，其中L是局部鞅，F是可预测的有限变分过程Ft：”“ztMs'”dφcs'xXs'，dψcsy'xψs'，dBsy'xψs'，dCsψs'y（22）'d'eφs′xψs，Xs'′ξy′xψs'，Xs'y′1′xψs'，hpξqy′νpω，ds，dξq*。跳跃部分F因引理3.5和（11）而消失，剩下的是连续部分ft“Fct”ztMs'“dφcs\'xXs'，dψcsy\'xψs'，dBcsy\'xψs'，dCsψs'y\'d'exψs'，ξy'1'xψs'，hpξqy'νcpω，ds，dξq*。回想一下，M是鞅，因此，在r0，T s，P-a.s上的M“L和F”0可以重写。asFt公司“ztMs'tdφcs'xXs'，dψcsy'Gpds；ω，T，uqu。由于没有出现在电荷点上方的度量值，左极限Xs'，ψs'可以被右极限Xs，ψs替代。此外，Ms'在任何地方都是非零的，（21）紧随其后。为了有效地利用支持条件2.3，我们引入了以下约定：给定一个半鞅X，一个元组X“pX，…，Xdq表示X的d`1个随机独立副本。形式上，元组X可以在乘积空间p上实现Ohmpd\'1q、Fbpd\'1q、pFbpd\'1qtqtě0q配备相关产品测量。此外，对于任何点ξ，ξdin Rd，我们定义了pd\'1q^pd\'1q矩阵XHPξ，ξnq：“1ξJ……1ξJn……23）矩阵值过程是通过在H中插入X”pX，…，Xdq形成的，即我们设置了Θtpωq“HpX，…，Xdq”1 XtpωqJ……1 XdtpωqJ……24）超越随机连续性的仿射过程11引理3.7。

设sa0和X是满足支持条件2.3的aane半鞅。那么就有了 a0和集E P Fswith P pEqa0，使得矩阵Θtpωq和Θt'Pωq；对于所有pt，ωq P ps，s都是正则的`q^E.证明。定义第一次命中时间τ：“infttas：Θtsingular，或Θt'singularu。由于奇异矩阵集是Rpd'1q^pd'1q矩阵向量空间的闭子集，τ是一个停止时间，参见[34，Thm.1.4]。此外，通过单调收敛，对于所有t P P，wehavelimn~n8P'和Θt'正则，s'1{nq'limn 8Ppτ283s'1{nq公司“Ppτasq.如果我们可以证明Ppτasqa0，那么通过选择足够大的N并设置 “1{N和E”tτs\'1{N u.但通过X的右连续性，集合tω：τpωqasui等于tω：Θspωq是正则的，它仍然表明Θ是正则的，具有严格的正概率。通过条件2.3，它认为convpsuppxsqq“D，我们可以找到1个凸独立点ξ，…，ξdin suppxsq。回顾（23）中H的定义，可以得出Hpξ，ξdq是正则的。由于正则矩阵集是开放的，我们发现δa0，因此即使Hpy，ydq对于所有yiP Uδpξiq，i p t0，…，都是正则的，du，其中uδpξiq是半径δ以ξi为中心的开放球。现在，通过独立于X，Xd，它遵循p pΘsis regularqěp'XisP Uδpξiq@i p t0，du“d'zi”0PpXsP Uδpξiqq。由于对于每个i p t0，…，du Uδpξiq在Xsis支持下的交集非空，所有概率都是严格正的，证明是完整的。与（24）中定义的Rpd\'1q^pd\'1q值过程pΘtqtě0类似，我们从方程（20）中定义了复数随机测度Gpdt，ω，T，uq的独立副本，并用G，分别为Gd。

使用此符号，对于任何pT，uq PR>0^U，d′1对应的方程（21）可以用矩阵向量形式写成Θtpωq¨dφctpT，uqdψc，1tpT，uq。。。dψc，dtpT，Gpdt；ω，T，uq…Gdpdt；ω，T，uq（25）它将P-a.s.作为r0，T s上复值测度之间的恒等式。nextLemma给出了定理3.2连续部分的“局部”版本。引理3.8。设X是满足支持条件2.3的拟正则a ffne半鞅，设τP p0，8q是确定性时间点。然后存在一个区间τ：“pτ，τ`q、 在哪里 “ pτqa0，以及Iτ上的良好参数pAc、β、α、uq。对于这些参数，以及（15）中的F和R，度量Riccati方程（13）和（14）适用于每个pT，uq P R>0^U和t P IτX r0，t s。如果没有一个点可以表示为剩余点的凸组合，则称为凸独立点集。12 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGARemark 3.9。我们强调，在这个引理中，参数pAc、β、α、uq以及函数F和R可能依赖于τ。对于半鞅X，存在一个c\'adl\'ag，递增的，可预测的，R>0值的过程a，从0开始，具有连续部分Ac，这样X的半鞅特征可以相对于a“分解”。对于特征的连续部分pBc，c，νcq，这意味着表示bct“ztbsdAcsCt”ztcsdAcs（26）νcpω，dt，dxq“Kω，tpdxqdActpωq，其中b和c是可预测的过程，Kω，tpdxq是从Ohm ^R>0，具有可预测的σ-代数，to（Rd，B pRdqq；参见[21，Prop.II.2.9]了解更多详细信息。证明。设X，…，Xdbe d\'1 X的随机独立副本。表示Xiby pBi，Ci，νiq和define Gipω；t，t，uq的半鞅特征，如（20），i“0，…，d所示。

半鞅特征pBi，Ci，νiq可以分解为（26）。由于我们只考虑半鞅的有限集合，我们可以假设每个Xi的过程Acspωq是相同的。根据引理3.7，存在区间Iτ“pτ，τ`q 和一个集E P F，其ppeq为，并且使得所有pt，ωq P IτE的Θtpωq都是可逆的。将左侧的（25）与该矩阵的逆相乘，得到dφctpT，uqdψc，1tpT，uq。。。dψc，dtpT，uq媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫Gpdt；ω，T，uq…Gdpdt；ω，T，uq媫媫媫媫媫，（27）作为所有ωP E的Iτ上复值度量之间的恒等式。由于ppea0，我们可以选择（27）适用的某些特定ωP du得出结论，也就是（27）的左手侧对于Acon Iτ是绝对连续的。用pbi、ci、Kiqt表示Xi的分解半鞅特征，如（26）所示。注意，随机测量Gipdt；ω、 T，uq线性依赖于pbi，ci，Kiq，根据（27）建议将线性变换Θtpωq'1直接应用于分解半鞅特性。在ω处进行评估，因此我们确定了确定性函数pβi、αi、uiquipt0，。。。，duon Iτ通过设置`β，β，βdJt：“t'pωq'1'b，b，…，bd'Jtpωq'αkl，αkl，…，αdkl'Jt：“t'pωq'1'ckl，ckl，…，cdkl'Jtpωq，k，l p t1，…，du，ud'Jt：“t'pωq'1'k，k，…，Kd 728; Jtpωq。超越随机连续性的仿射过程13使用这些参数，可以在Iτ上定义函数F，R，如（15）所示。结合（27）因此dφctpT，uqdψc，1tpT，uq。。。dψc，dtpT，uq媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫23iτ上的（13）和（14）。Thm证明。

3.2. 我们首先考虑Riccati方程的连续部分，然后处理它们的跳跃。将引理3.8应用于每个τP p0，8q，我们得到了一系列区间Iτ，每个区间都有非空的内部Iτ，使得pIτqτPp0，8q是正半线p0，8q的开盖。由于R>0可以被紧集耗尽，这样的覆盖有一个可数子覆盖S。对于每个区间I P S，引理3.8关联了良好的参数SPAC，I，βI，αI，νIq。根据S的可数性，存在一个连续的公共支配函数Ac:R>0尼R>0，这样Ac，I！Ac对于所有I P S.如备注3.3所述，从Ac开始，Ito Ach仅为将所有参数乘以Radon NikodymderivativedAc，IdAc的影响。因此，我们可以在不丧失一般性的情况下假设Ac，I“Acfor eachI P S。现在，I和I是两个具有非空交点的区间，取自可数子覆盖S。用pAc、β、α、uq和pAc、~β、~α、~uq表示通过应用引理3.8和pF、Rq和PF为这些区间获得的相应参数集，~Rq表示由（15）定义的相应函数。如果它们是自由的，我们说这两个参数集是兼容的（达一个dAct nullset）在交点I XI上。一旦我们展示了轨道间隔I和I的兼容性，很明显，我们可以找到一个好的参数集pA、β、α、uq，定义在整个实数半直线R>0上，这样Riccati方程（13）和（14）就成立了。为了压缩符号，我们引入了向量ψctpT，uq：“dφctpT，uqdψc，1tpT，uq…dψc，dtpT，uq媫媫，Rpt，uq：”F pt，uqRpt，uq…Rdpt，uq媫，Rpt，uq：“F pt，uq媫Rpt，uq…媫Rdpt，uq媫媫媫。在区间I上应用方程式（28）一次，在区间I上应用一次关于▄I yieldsRpt，ψtpT，uqqdAct“dψctpT，uq”▄Rpt，ψtpT，uqdact，t P I X▄I X r0，t s.（29）设T^E是R＞0^U的可数稠密子集。

将并集置于可数集T^E上，我们从（29）thatRpt，ψtpT获得，uqq“~Rpt，ψtpT，uqq表示所有pT，uq P T^E和T P pI XI X r0，T sqzN，（30），其中N是dAct零集，与pT，uq无关。下一步是在T“T”处‘评估’（30），并通过在可数集T中取限制来使用该ψtpT，uq”u。观察其作为L’evy Khintchine形式的函数（参见（15）)在u中，Thf和R都是连续的。通过T在R>0中的密度，我们可以找到一个序列pTnqDTsuch，Tn'OT为n~n8。再加上ψtpT的右连续性，uq in T this yieldsRpt，uq“limn~n8Rpt，ψtpTn，uqq”limn~n8Rpt，ψtpTn，uqq“Rpt，uq，（31）14 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT和R.WARDENGAfor for all u P E。利用u中F和R的连续性，方程（31）可以从稠密子集E扩展到所有u。众所周知，L'evy Khintchine form的函数唯一地确定其参数三元组，参见[36，Thm.8.1]。因此，我们可以得出结论βIt It“~βit，αit”~αit，uit”~uit，对于每个i P t0，…，du和t P i X▄i，除了dAct nullset N。这是所需的兼容性属性，显示了良好参数pAc，β，α，νq的存在。我们现在转向半鞅特征pB，C，νq和show（12a），（12b）和（12c）的连续部分. 为此，fix pT，uq P R>0^U，设pb，c，Kq为x的连续半鞅特征，相对于递增的可预测过程Actpωq分解，如（26）所示。对于每个ωPOhm, 将Actpωq“ztaspωqdAct ` Stpωqf写入Actpωq关于Act的Lebesgue分解。此外，定义了ω，t，t，uq：“xψt，btpωqy ` xψt，ctpωqψty`（32）`D'exψt，ξy'1'xψt，hpξqy'Ktpω，Dξq，可以视为（20）的分解类似物。