高斯随机波动率模型：标度制度，大型

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英文标题：
《Gaussian stochastic volatility models: Scaling regimes, large
  deviations, and moment explosions》
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作者：
Archil Gulisashvili
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we establish sample path large and moderate deviation principles for log-price processes in Gaussian stochastic volatility models, and study the asymptotic behavior of exit probabilities, call pricing functions, and the implied volatility. In addition, we prove that if the volatility function in an uncorrelated Gaussian model grows faster than linearly, then, for the asset price process, all the moments of order greater than one are infinite. Similar moment explosion results are obtained for correlated models.
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中文摘要：
在本文中，我们建立了高斯随机波动率模型中对数价格过程的样本路径大偏差和中偏差原则，并研究了退出概率、调用定价函数和隐含波动率的渐近行为。此外，我们还证明了，如果不相关高斯模型中的波动率函数增长快于线性增长，那么对于资产价格过程，所有大于1的阶矩都是无限的。相关模型也得到了类似的力矩爆炸结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：波动率模型 波动率 Mathematical Quantitative mathematica

高斯随机波动率模型：标度规则、大偏差和NSARCHIL GULISASHVILIABSTRACT的瞬间爆炸。本文建立了高斯随机波动率模型中对数价格过程的样本路径大偏差和中偏差原则，并研究了退出概率、所有定价函数和隐含波动率的渐近行为。此外，我们还证明，如果不相关高斯模型中的波动率函数增长快于线性增长，那么对于资产价格过程，所有大于1的阶矩都是有限的。对于相关模型，得到了相似的力矩爆炸结果。AMS 2010分类：60F10、60G15、60G18、60G22、41A60、91G20。关键词：高斯随机波动率模型，Volterra型模型，样本路径大偏差和中偏差，中心极限状态，矩爆炸，隐含波动率渐近。本文研究高斯随机波动率模型。在这样的模型中，波动过程是高斯过程b的正函数σ。本文获得的主要结果如下（有关更详细的概述，请参见导言末尾）：oVolterra型高斯随机波动率模型中对数价格过程的样本路径大偏差原理（见定理2.9），并应用于出口概率函数渐近（见定理2.16）。o高斯随机波动率模型中对数价格过程的中等偏差原则示例（见定理3.1）第6节中关于美国随机波动率模型中资产价格过程的矩爆炸的结果，特别是定理6.11。在本文中，我们还提出了一种与高斯随机波动率模型相关的各种标度制度的统一方法。

更准确地说，考虑了大偏差、中等偏差和中心极限标度。本文在对波动函数和波动过程非常温和的限制下，建立了样本路径大偏差和中偏差原则。我们还发现了看涨期权定价函数和混合标度制度中隐含波动率的解释。为了在这种扩展中找到更多的项，必须对波动率函数σ施加额外的平滑度限制（参见，例如，[4]）。本文没有讨论调用价格函数的高阶展开式和隐含波动率。我们让感兴趣的读者阅读一篇重要的论文【19】，其中研究了这种扩展。俄亥俄大学数学系，俄亥俄州雅典4 5701；电子邮件：gulisash@ohio.eduThe高斯随机波动率模型中的资产价格过程满足以下随机微分方程：dSt=Stσ（bBt）dZt，S=S>0，0≤ t型≤ T、 （1.1）其中sis为初始价格，T>0为时间范围。（1.1）中的过程Z是标准布朗运动。（1.1）中的方程是在过滤概率空间中考虑的(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P），其中{Ft}0≤t型≤这是过程Z产生的过滤的增强（参见【34】，定义7.2）。过滤{Ft}是右连续的（[34]，推论7.8）。（1.1）中假设σ是R上的非负连续函数，而bb是适应过滤{Ft}0的非退化连续高斯过程≤t型≤T、 在致力于大偏差原则的第2节中，过程bB是一个连续的高斯过程，对于过程B具有Volterra型表示。从（1.1）可以看出，高斯随机波动率模型中的波动率演化由随机过程σ（bB）描述。

函数σ和过程bb分别称为波动函数和波动过程。我们通常需要考虑资产价格和波动性之间的相关结构。在这种情况下，假设（1.1）中出现的标准布朗运动Z具有以下形式：Zt=(R)ρWt+ρBt，其中W和B是独立的标准布朗运动，ρ∈ [-1，1]是相关系数，ρ=p1-ρ.然后，资产价格模型采用以下形式：dSt=Stσ（bBt）（(R)ρdWt+ρdBt），S=S>0，0≤ t型≤ T、 （1.2）在特殊情况下，如果相关系数ρeq ua为零，则（1.2）中的模型称为不相关。该模型中的资产价格过程满足随机微分方程dst=Stσ（bBt）dWt，S=S，0≤ t型≤ T、 让我们用{eFt}0表示≤t型≤t流程B产生的过滤增强。如果波动过程BB是Volterra型连续高斯过程（参见第2节中的定义2.1和2.2），则它适用于过滤{eFt}0≤t型≤T、 模型（1.2）看起来像一个经典的相关随机波动率模型。我们称这种模型为aVolterra型高斯随机波动率模型。请注意，具有H¨older内核的Volterratype p过程的定义2.2在LF中包含了波动过程内核的r-H¨older类型条件。（1.1）中方程的唯一解是Dol'eans Dade指数ST=sexp-Ztσ（bBs）ds+Ztσ（bBs）dZs, 0≤ t型≤ T、 因此，原木价格过程Xt=原木标准Xt=x-Ztσ（bBs）ds+Ztσ（bBs）dZs，（1.3），其中x=对数s。假设H>0，β∈ [0，H]，设ε∈ （0，1）是一个小噪声参数。我们将使用（1.1）中模型的以下缩放版本：dSε，β，Ht=εH-βSε，β，HtσεHbBtdZt，其中0≤ t型≤ T、 为简单起见，我们通常假设资产价格满足的初始条件s=1。

比例模型中的资产价格过程由ε，β，Ht=exp给出-ε2H-2βZtσ（εHbBs）ds+εH-βZtσ（εHbBs）dZs, 0≤ t型≤ T、 （1.4）对数价格过程如下：Xε，β，Ht=-ε2H-2βZtσ（εHbBs）ds+εH-βZtσ（εHbBs）dZs，0≤ t型≤ T、 （1.5）很容易理解，如果s6=1，本论文中获得的结果如何变化。可以简单地用过程Xε，β，H代替过程Xε，β，hb- x、 接下来，我们将简要概述在本文中获得的结果。第三节介绍了对数定价过程的样本路径大偏差和中等偏差原则。随机微分方程解的样本路径LDPs理论可以追溯到Freidlin和Wentzell的著名著作（见[18]；更多信息请参考[11，12，50]）。我们还请读者参考[3、9、42、46]，了解samplepath大偏差原则在金融数学中的应用。在β=0的情况下，模型处于大偏差标度区域。在第二节中，我们证明了对数价格过程ε7的样本路径大偏差原理（LDP）→ Xε，0，H（见定理2.9）。在Cellupica和Pacchiarotti最近的p再版中，在对挥发性函数σ更严格的假设下，获得了类似的样本路径LDP。在研究出口概率的渐近行为时，通常采用小噪声采样路径大偏差原理。这些结果可以追溯到Freidlin和Wentzell的工作（见[51，52，18]）。Fleming在[15]中使用随机控制理论对这些结果给出了不同的证明。在第2节中，我们使用定理2.9中获得的大偏差原理（见定理2.16），刻画了出口时间概率函数渐近展开中的引导项。在对波动率函数σ有更多限制的情况下，在[7]中获得了类似的结果。

请注意，流程的大偏差原则ε7→ Xε，0，HTwith state space R早在Forde和Zhang[17]中就建立了，其中函数σ满足globalH¨older条件，而过程bb是分数布朗运动。在[25]中，我们证明了Forde-Zhang LDP在σ和bb的非常温和的限制下。我们在第2节中阐述了latterresult。如果0<β<H，则模型处于中等偏差标度范围内（参见，例如，[4，13，20]，以及其中的参考文献，以获取有关中等偏差的更多信息）。在第3节中，我们证明了过程ε7的样本路径中等偏差原则（MDP）→ Xε，β，H（见定理3.1），并导出过程ε7的相应MDP→ Xε，β，HT（见推论3.5）。正如中等偏差理论中经常发生的那样，推论3.5中的比率函数是二次函数。在第3节的e n d中，我们解释了在波动过程自相似的条件下，如何将小噪声、大偏差和中等偏差原则转换为小时间原则。β=H的情况对应于中心极限（C L）标度制度。在第4节中，我们描述了过程ε7的分布函数在路径空间上的极限行为→ Xε，H，H（见定理4.1），以及过程ε7→ 空间R中的Xε，H，hT（见orem 4.3）。CL区域中的结果可被视为d egenerateMDPs，其速率函数等于常数（见第节中的Remark4.4）。CL标度的一个示例可在【22】中找到。

文献[22]中的非资产组的波动性由过程δ7建模→ σ（δeU），其中σ是一个光滑函数，而leeu是平稳分馏-乌伦贝克过程（我们的符号与[22]第3节中使用的符号不同）。[22]中的CL标度对应于以下参数值：H=1和β=1（我们的符号）。如上所述，高斯随机波动率模型（见公式（1.4））中对数价格过程的小噪声参数化可分为三个不相交的子类，分别对应于大偏差、中等偏差和中心极限标度制度。关于这些制度之间某些差异的有趣讨论可以在[13]中找到。[4、17、19、20、25、22、23、26、27]研究了高斯随机波动率模型及其标度版本。在过去几年中，分馏高斯随机波动率模型变得越来越流行。这种模型中的挥发过程是分数高斯过程，例如分数布朗运动、黎曼-刘维尔分数B罗文运动或分数奥恩斯坦·纽伦贝克过程（有关这些过程的定义，请参阅下一节）。我们参考了文献[25、23、22]中对高斯分数随机波动率模型的简短调查，以获取更多信息。[19]中提出了分数随机波动率模型中LDP和MDP制度的统一方法。在第5节中，我们找到了混合标度制度下看涨期权定价函数渐近展开的引导项。根据对数价格的大偏差原则的有效性得出买入价格估计的方法是众所周知的。

这种衍生软件利用波动率函数的线性增长条件以及资产价格过程的矩或综合方差的指数矩的不确定性（见第5节的讨论）。然而，在第6节中，我们表明，如果波动率函数的增长速度略快于一次方，那么综合方差的所有非平凡分量矩都是有限的（见定理6.7）。此外，我们还发现，在波动函数增长快于线性增长的不相关高斯随机波动率模型中，所有大于一个资产价格过程的阶矩都是有限的（见定理6.11第（i）部分）。之前的断言首次包含在本论文的arXiv:1808.00421v4（2018年9月22日）版本中。在一个特例中，同样的结果是由Gassiat独立获得的，但稍晚获得的，其中波动过程是Hereimann-Liouville分数布朗运动，Hurst指数为H>，而波动函数满足一个附加条件（在定理6.11之前制定的条件（G））（见arXiv中的定理2:1811.10935 v1（2018年11月27日）版本的[24]）。我们还表明，在相关Volterra型高斯模型（ρ6=0）中，所有γ阶矩都大于1-ρ爆炸（见定理6.11第（ii）部分）。Jourdain首次为Scott模型建立了这样一个结果（见[31]）。在Scott模型中，波动性p过程是OrnsteinUhlenbeck过程，而波动性函数是σ（x）=ex。Gassiat对ρ<0的模型、满足条件（G）的波动性函数和H>的theRiemann-Liouville分数布朗运动作为波动性过程获得了类似的结果（见[24]中的定理2]）。我们在定理6的第（ii）部分中没有假设。

11模型呈负相关，波动率函数满足条件（G）。此外，定理6中的volatilityprocess。1 1可以是n y Volterra型连续高斯过程。在本文中，我们还得到了关于阶矩γ=1爆炸的部分结果-相关高斯随机波动率模型中的ρ（见定理6.13）。更多信息请参见下面的备注5.3和5.7。我们还想让读者注意到这篇文章【41】，作者在文中解释了连续局部鞅的最大函数的指数可积性如何取决于其二次变差动量的增长。本文的最后一节（第7节）致力于研究高斯随机波动率模型中隐含波动率在不同标度制度下的小噪声符号行为。2、大偏差：β=0我们在引言中已经提到，在[17]中，Forde和Zhang获得了分数高斯随机波动率模型中对数价格过程的大偏差原理，前提是波动率函数满足全局H¨older条件，而波动率过程是分数布朗运动。这一结果在[25]中得到了推广，其中引入了额外的标度，并且LDP是在比[17]中的条件更温和的条件下建立的。[25]中假设波动率函数满足非常温和的正则条件，而波动率过程是Volterra型连续高斯过程。我们的下一个目标是引入Volterra型过程。

我们还将制定在【25】中获得的大偏差原则，并在与【25】相同的限制条件下建立样本路径大偏差原则。假设（1.2）中的模型是固定的，并且让K是[0，T]上的平方可积核，这样支持∈[0，T]RT | K（T，s）| ds<∞. 设K:L[0，T]7→ L[0，T]是由Kh（T）=RTK（T，s）h（s）ds定义的线性算子，且设bb是一个中心高斯过程，具有以下定律表示：bBt=ZTK（T，s）dBs，0≤ t型≤ T、 （2.1）其中B是（1.2）中出现的布朗运动。这种高斯过程的表示被称为Fredholm表示。实际上，对于每个中心连续高斯过程，都存在一个依赖于过程的布朗运动的Fredholm表示（见[48]，定理3.1）。在本文中，我们假设过程B在（2.1）中有表示，过程B在（1.2）中有表示。核K在空间L[0，T]中的连续模定义如下：M（h）=sup{T，T∈ [0,1]：| t-t型|≤h} ZT | K（t，s）- K（t，s）| ds，0≤ h类≤ T、 接下来我们将定义Volterra型过程和带有H¨olderkernels的Volterra型过程。定义2.1。如果核K满足以下条件：（a）K（t，s）=0，则（2.1）中的过程称为Volterra型高斯过程≤ t<s≤ T、 定义2.2。如果条件（a）满足，并且下列附加条件成立，则（2.1）中的过程称为具有H¨old erkernel的Volterra型高斯过程：（b）存在常数c>0和r>0，使得M（H）≤ CHR适用于所有h∈ [0，T]。备注2.3。条件（a）是内核的典型Volterra类型条件。平滑条件（b）包含在[28，29]中Volterra型高斯过程的定义中。[25]中也使用了它。接下来我们将介绍经典的分数p过程。