模型下具有比例交易成本的效用最大化

（23）然后πγ（ξn）→ πγ（ξ），对于任何γ>0。（ii）对于ξn≥ 0，我们有πγ（lim infnξn）≤ lim infnπγ（ξn）。（24）（iii）If（ξn）n∈Nis一系列选项，使得ξnξ，P-a.s.，然后πγ（ξn）πγ（ξ）。证据（i） 回想一下πγ（ξ）=sup（Q，Z）∈S*enEQ公司ξ·ZT-γE（Q，P）o- sup（Q，Z）∈S*恩-γE（Q，P）oin（20），我们可以得到|πγ（ξn）- πγ(ξ)| =sup（Q，Z）∈S*e均衡器ξn·ZT-γE（Q，P）- sup（Q，Z）∈S*e均衡器ξ·ZT-γE（Q，P）≤ sup（Q，Z）∈S*e | EQ[（ξn- ξ） ·ZT]|。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通知13连续性πγ（ξn）→ πγ（ξ）直接跟在（23）后面。（ii）通过观察πγ（lim infnξn）=sup（Q，Z），可以得出Fatou性质∈S*e均衡器lim infnξn·ZT-γE（Q，P）- sup（Q，Z）∈S*e-γE（Q，P）≤ sup（Q，Z）∈S*elim infnEQ公司ξn·ZT-γE（Q，P）- sup（Q，Z）∈S*e-γE（Q，P）≤ lim infnsup（Q，Z）∈S*e均衡器ξn·ZT-γE（Q，P）- sup（Q，Z）∈S*e-γE（Q，P）!= lim infnπγ（ξn）。（iii）根据引理1第（ii）部分和第（vi）项的Fatou性质，我们得到πγ（ξ）≥ lim infnπγ（ξn）≥ πγ（ξ），这完成了证明。4、主要结果证明本节提供了建立凸二元性（17）的技术论据，我们将首先在扩大的空间上的无摩擦市场中开展工作。这三个结果，即凸对偶定理、动态规划原理和最优投资组合的存在性都将得到证实。在原问题和对偶问题中，将交易成本转化为扩大空间上的额外随机性对于发展一些关键等价物起着至关重要的作用。4.1. 作为降低预防复杂性的第一步，基于交易成本模型中CPS的标准对偶问题将在扩大的对偶空间上重新表述。定义*:=Q∈ Q： 均衡器（ξ·XT）-+ E（Q，品脱）<∞,其中，E（Q，Pint）的定义与（14）中的E（Q，P）完全相同。

对于任何普遍可测量的随机变量Д：Ohm → R+，我们进一步定义*φ:=Q∈ Q*: 均衡器φ< ∞andQ公司*φ(0, θ) :=Q∈ Q*Д：Q[Θ=θ]=1. （25）函数Д将根据上下文选择，当考虑q的子集时，它允许控制一些额外随机变量的可积性*在一些迭代语言中也是如此。引理2。对于任何普遍可测的随机向量ξ：Ohm → Rd，一个hassup（Q，Z）∈S*均衡器ξ·ZT- E（Q，P）= supQ公司∈Q*均衡器ξ·XT]- E（Q，品脱）.证据首先，对于给定的（Q，Z）∈ S*, 我们关联了概率核：qZ：ω∈ Ohm 7.→ qZ（·|ω）：=δ（Z/S）（ω）∈ B（λ），定义：=Q qZ。该结构意味着EQξ·ZT= 均衡器ξ·XT]和thatQ∈ Q*.此外，对于每个P∈ P、 可以类似地定义P：=P qZ公司∈ 品脱如果Q<< P、 一个有Q<< PDeng、Tan和Yu：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》14运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息和dQ/dP=dQ/dP，P-a.s.如果Q<< P不是真的，那么E（Q，P）=∞ 根据定义。这意味着e（Q，P）≥ E（Q，品脱）。因此，sup（Q，Z）∈S*均衡器ξ·ZT- E（Q，P）≤ supQ公司∈Q*均衡器ξ·XT]- E（Q，品脱）.相反，让我们∈ Q*, 定义Q：=Q|Ohm和Zt：=等式Xt公司英尺对于t≤ TAsQ公司<< P对于某些∈ 品脱，然后Q<< P：=P|Ohm∈ P、 此外，X是（F，Q）-鞅的事实意味着Z是（F，Q）-鞅。然后，（Q，Z）∈ S*和EQξ·ZT= 均衡器ξ·XT]。现在为dQ/dP=EP[dQ/dP | FT]和x 7→ x log（x）在R+上是凸的，我们有E（Q，P）≤ 由Jensen不等式导出的E（Q，P）。下面是SUP（Q，Z）∈S*均衡器ξ·ZT- E（Q，P）≥ supQ公司∈Q*均衡器ξ·XT]- E（Q，品脱）,因此，我们得出结论。4.2. 定理1的证明（e=0）根据引理2和命题1，可以在扩大的空间上验证效用最大化问题的对偶结果Ohm, 为了证明定理1。提案6。设g：=ξ·x和NA（品脱）为真。

然后，对于任何普遍可测量的随机变量Д：Ohm → R+，一个hasV：=infH∈HsupP公司∈Pintlog EP经验值g+（Ho 十） T型= supQ公司∈Q*均衡器g- E（Q，品脱）（26）=supQ∈Q*φ均衡器g- E（Q，品脱）.此外，问题V的极限是通过一些最优交易策略bh实现的∈ H、 备注10。上述对偶结果与[3]中的结果相似，但在以下两点上与他们的结果有很大不同：（i）在我们目前的工作中，我们放宽了所有ωt的强单期无套利条件∈ Ohm塔苏梅德（tassumed）[3]。实际上，在[3]中需要强无套利条件，因为二元规划和动态规划是相互混合的。更准确地说，使用[3，第4节]中的符号，它们需要“Et（ω，x）=Dt（ω）+x”的关系来保持所有t和ω∈ Ohm确保Etthrough Dt的可测性（尤其参见其方程式（21）和引理4.6的证明）。在附录C中，我们将详细介绍这一点。（ii）值得注意的是，关于扩大空间的命题1中的重新表述并不完全对应于标准的准确定效用最大化问题。事实上，我们仍然将策略类别限制为▄F-可预测过程，而不是F-可预测过程。这两种不同过滤的公式是等效的，这一事实将通过使用Minimax参数来证明。定理1的证明（e=0）首先，利用引理2和命题1，可以从命题6的（26）立即推导出对偶性（17）。此外，给定最优交易策略bh∈ 在命题6中，我们可以通过（8）构造^η，并通过几乎与命题1（ii）步骤2中相同的等式来显示其最优性。在第4.2节的其余部分中，我们将分几个步骤提供命题6的证明。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），pp。

000–000，c0000通知15弱对偶性正如在经典结果中一样，可以很容易地得到弱对偶结果。引理3。对于任何通用可测函数g：Ohm → R∪ {∞}, 一个hasinfH∈HsupP公司∈Pintlog EP经验值g+（Ho 十） T型≥ supQ公司∈Q*等式【g】- E（Q，品脱）.证据利用[3，定理4.1的证明-动态规划原理]中的结果，我们知道对于任何H∈ H、 P∈ 销和Q∈ Q*, 一个haslog EP经验值g+（Ho 十） T型≥ 等式【g】- E（Q，P）。（注意E（Q，P）=∞ 如果Q不受P.支配，则取Q（和P）的上确界，然后取H的上确界就足够了∈ H来获得索赔中的两个弱对偶结果。我们接下来可以证明（对于二元性，它必须证明）∈HsupP公司∈Pintlog EP经验值g+（Ho 十） T型≤ supQ公司∈Q*φ均衡器g]- E（Q，品脱）, （27）对于任何普遍可测量的随机变量Д：Ohm → [0, ∞).单周期情况T=1让我们首先考虑单周期情况T=1。定义∧int（0，ω）：={θ∈ ∧：S（ω）θ∈ intK公司*},对于每个θ∈ ∧int（0，ω），Pδint（0，θ）：=P∈ 品脱：P[Θ=θ]=1.在定义3中将NA（Pδint（0，θ））定义为NA（Pint），用Pδint（0，θ）代替Pint。那么，NA（Pint）意味着NA（Pδint（0，θ））对于每个θ都成立∈ ∧int（0，ω）。引理4。设T=1，g：Ohm → R∪ {∞} 是上半解析的，也是（ω，θ，θ）∈ Ohm ×Λ× Λ→ g（ω，θ，θ）仅依赖于（ω，θ）。假设NA（品脱）成立。然后，对于g=g，对于任何普遍可测量的随机变量，其内质量（27）保持不变：Ohm → [0, ∞) 这两个术语都不等于-∞. 此外，存在一个最优解bh∈ H用于左侧的内部问题。因此，命题6在T=1的情况下成立。证据

步骤1：虽然上下文略有不同，但我们仍然可以按照定理3.1的证明步骤（b）和引理3.2中的相同论点逐行进行，以获得最优策略bh的存在性（另请参见定理2.2的证明，其中关键论点是证明h 7→ 支持∈Pintlog EPexp（g+h（X- 十） （）是下半连续的。第二步：我们接着证明对偶结果。首先，请注意，当T=1时，H=Rd，（g，X）（ω，θ，θ）与θ无关。那么，对于所有θ∈ ∧int（0，ω），Po （g，X）-1： P∈ 品脱（0，θ）=Po （g，X）-1： P∈ 品脱（0，1）, （28）其中1表示所有条目均等于1的RDV向量。由于采用了标准的级联协议，很明显v=infh∈Rdsupθ∈∧int（0，ω）supP<<Pδint（0，θ）log EPexp（g+h·X- h·Sθ）.Deng、Tan和Yu：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》16运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息要继续，让我们首先假设g从上方有界，而一般情况将在稍后处理。我们定义了函数α（h，θ）：=supP<<Pδint（0，θ）log EPexp（g+h·X- h·Sθ）.很明显，α（h，θ）>-∞. 然后，我们确定其有效域（与θx（28）无关）D：=nh∈ Rd：α（h，θ）<∞o、 观察0∈ D、 这意味着D 6=. 接下来，通过H¨older不等式，对于所有λ∈ （0，1）和（普遍可测）随机变量Yand Y，EP经验值λY+（1- λ） Y型≤EP公司exp（Y）λEP公司exp（Y）1.-λ、 和hencelog EP经验值λY+（1- λ） Y型≤ λlog EPexp（Y）+ (1 - λ） 记录EPexp（Y）.

（29）那么对于任何h，h∈ D和h：=λh+（1- λ） h，不管怎样都有一个<< Pδint（0，θ），对数EPexp（g+h·X- h·Sθ）≤ λlog EPexp（g+h·X- h·Sθ）+ (1 - λ） 记录EPexp（g+h·X- h·Sθ）≤ λα（h，θ）+（1- λ） α（h，θ）<∞.这意味着h∈ 因此，D是Rd中的凸集。我们进一步注意到，对于所有h∈ D、 θ7→ α（h，θ）=supP<<Pδint（0,1）log EP[经验（g+h·X- h·Sθ）]是一个函数。和h∈ D 7→ α（h，θ）∈ 从不等式（29）来看，R是凸的。然后，我们可以使用极大极小定理来推导出v=infh∈Rdsupθ∈∧int（0，ω）α（h，θ）=infh∈Rdsupθ∈∧（0，ω）α（h，θ）=infh∈Dsupθ∈∧（0，ω）α（h，θ）=supθ∈∧（0，ω）infh∈Dα（h，θ）=supθ∈∧（0，ω）infh∈Rdα（h，θ）=supθ∈∧int（0，ω）infh∈RdsupP公司<<Pδint（0，θ）log EPexp（g+h·X- h·Sθ）.在上述参数中，∧（0，ω）表示∧int（0，ω）的闭包，我们可以用∧（0，ω）代替∧int（0，ω），因为θ7→ α（h，θ）是a ffne，θ7→ infh公司∈Rdα（h，θ）是凹的，因此是下半连续的（如infh∈Rdα（h，θ）不能取该值-∞ 通过弱对偶和定义fq*Д（0，θ）in（25））。利用[3，定理3.1]中的单周期对偶结果，我们得到v=supθ∈∧int（0，ω）supQ∈Q*ν（0，θ）nEQ【g】- EQ、 Pδint（0，θ）o、 对于g不一定从上面有界的情况，我们注意到→ infh公司∈Rdsupθ∈∧int（0，ω）supP<<Pδint（0，θ）log EPexp（g+h·X- h·Sθ）邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通知17和7→ infh公司∈RdsupP公司<<Pδint（0，θ）log EPexp（g+h·X- h·Sθ）由引理3.2的步骤（b）从下面连续。共【3】。

定义，对于任何n≥ 1，αn（h，θ）：=supP<<Pδint（0，θ）log EPexp（g∧ n+h·X- h·Sθ）.下面是v=supn≥1英寸∈Rdsupθ∈∧int（0，ω）αn（h，θ）=supn≥1上θ∈∧int（0，ω）infh∈Rdαn（h，θ）=supθ∈∧int（0，ω）supn≥1英寸∈Rdαn（h，θ）=supθ∈∧int（0，ω）infh∈Rdα（h，θ）=supθ∈∧int（0，ω）infh∈RdsupP公司<<Pδint（0，θ）log EPexp（g+h·X- h·Sθ）,这就完成了这一步骤的证明。第三步：总结证明，证明supθ就足够了∈∧int（0，ω）supQ∈Q*ν（0，θ）nEQ【g】- EQ、 Pδint（0，θ）o≥ supQ公司∈Q*φ均衡器g]- E（Q，品脱）, （30）由于Q*φ(0, θ)  Q*^1和EQ、 Pδint（0，θ）=所有Q的E（Q，品脱）∈ Q*φ(0, θ). 让Q∈ Q*Д并用（Qθ）θ表示∈∧int（0，ω）q的r.c.p.d.族知道θ，然后通过[3，引理4.4]，我们得到g]- E（Q，品脱）=EQhEQθg- EQθ，Pδint（0，θ）我- EQo θ-1品脱|Ohm≤ supθ∈∧int（0，ω）supQ∈Q*ν（0，θ）nEQ【g】- EQ、 Pδint（0，θ）o、 在Q中取Q的上确界*我们验证（30）。多周期情况：动态策略的可测量选择让我们扩展∧int（0，ω）、Pδint（0，θ）和Q的上述定义*ν（0，θ）到任意初始时间t和初始路径ωt。对于t≥ 1和‘ω=’ωt=（ωt，θt）∈Ohmt、 让我们首先回顾一下∧int（t，ωt）的定义：∧int（t，ωt）：={θt∈ ∧：St（ωt）θt∈ intK公司*t（ωt）} Λ.注意品脱（t，’ω） B类(Ohm（7）中定义了x∧）。我们引入δint（t，’ω）：=δ′ωtPt+1：Pt+1∈ 品脱（t，’ω）, （31）andePδint（t，ω）：=（Δωt×u（dθt））Pt+1：Pt+1∈ 品脱（t，’ω），u∈ B∧int（0，ω）×····×∧int（t，ωt）,其中后者包含Pδint（t，’ω）的一个版本，其中θ不再固定。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》18运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息备注11。（i） 对于固定ω∈ Ohmt、 让我们用h（Xt）·（Xt+1）定义NA（ePδint（t，ω））- Xt）≥ 0，ePδint（t，ω）-q.s==> h（Xt）·（Xt+1- Xt）=0，ePδint（t，ω）-q.s.，对于每个普遍可测函数h:Rd→ Rd。

通过应用命题2，用P（t，ω）代替P，可以得出（32）中定义的NA2（t，ω）等价于NA（ePδint（t，ω））。（ii）我们记得≤ T和ω∈ Ohmt、 如果ζ，则满足条件NA2（t，ω）∈ Kt+1（ω，·），Pt（ω）-q.s.表示ζ∈ Kt（ω），对于所有ζ∈ Rd.（32）然后通过[18，引理3.6]，集合Nt：={ω：NA2（t，ω）failes}是普遍可测的。此外，如果NA2（P）成立，则NTI是一个P极集。（iii）从（i）和（ii）可以看出，NA2（t，ω）或等效的Pδint（t，ω）适用于aP极集合N之外的所有ω，只要NA2（P）成立。根据命题2，后者相当于NA（品脱）。因此，如果NA（Pint）保持不变，则存在一个Pint极性N：=N×λ，因此对于所有的ω=（ω，θ）/∈ N、 NA（ePδint（t，ω））成立。（iv）最后，对于固定的ω∈Ohmt、 我们用h·（Xt+1）定义NA（Pδint（t，’ω））- Xt）≥ 0，Pδint（t，’ω）-q.s==> h·（Xt+1- Xt）=0，Pδint（t，’ω）-q.s.，对于每h∈ 那么，对于所有θ，NA（ePδint（t，ω））意味着NA（Pδint（t，ω，θ））∈ ∧（另见【16】中的备注3.9）。让我们确定一个功能gt+1：Ohmt+1→ R∪ {∞} 它是上半解析的，这样gt+1（ωt+1，θ，··，θt+1）只依赖于（ωt+1，θt+1）。对于任何普遍可测的随机变量Yt+1：Ohmt+1→ R+，我们介绍Q*Yt+1（t，’ω）：=（Q∈ B类(Ohmt+1）：Q<< Pδint（t，’ω），等式[Xt+1- Xt]=0，等式【Yt+1】<∞,均衡器g-t+1+| Xt+1- Xt公司|+ EQ、 Pδint（t，’ω）< ∞),通过设置Yt+1≡ 0，we定义（(R)ωt）：=supQ∈Q*（t，’ωt）nEQ【gt+1】- EQ、 Pδint（t，’ωt）o、 对于所有\'ωt∈Ohmt、 （33）备注12。设ω=（ω，θ）和ω′=（ω′，θ′）为ωt=（ω′）和θt=θ′t。

然后，根据pδint（t，’ω）和Q的定义*Yt+1（t，’ω）thatnQo （gt+1，Xt，Xt+1）-1： Q∈ Q*Yt+1（t，’ω）o=nQo （gt+1，Xt，Xt+1）-1： Q∈ Q*Yt+1（t，’ω′）o。既然假定gt+1（ωt+1，θ，··，θt+1）独立于（θ，··，θt），那么很明显，gt（’ωt）只依赖于（ωt，θt）’ωt=（ωt，θ，··，θt）。上述备注允许我们定义负\'t（ωt，h）：=supθt∈∧int（t，ωt）gt（ωt，θt）+h·St（ω）θt,  （ωt，h）∈ Ohmt×Rd.（34）备注13。从Remark11中，NA（Pint）意味着NA（Pδint（t，’ω））适用于P-a.e.’ω∈ Ohm在anyP下∈ 品脱事实上，我们可以应用[3]中的定理3.1来获得thatgt（(R)ω）=supQ∈Q*Yt+1（t，’ω）nEQ【gt+1】- EQ、 Pδint（t，’ω）o、 品脱q.s.，对于所有普遍可测量的随机变量Yt+1：Ohmt+1→ R+。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通知19引理5。对于每一个t，图形集hhq*（t） ii：=n（°ω，Q）：±ω∈ Ohmt、 Q∈ Q*（t，’ω）ois分析。证据我们遵循[3]的引理4.5和[17]的引理4.8中的论点。首先，作为gt+1∧ 0+| Xt+1- Xt |是上半解析的，应用[12]中的命题7.48可以看出（(R)ω，Q）7→均衡器燃气轮机+1∧ 0- |Xt+1- Xt公司|是上半解析的。此外，从（31）中pδint（t）的定义可以看出，图集Pδint（t）具有分析能力，如品脱（t）具有分析性（见备注2）。然后，利用相对熵的Borel可测性（引理4.2 of[3]），从可测的选择论证（例如，见命题7.47 of[12]）中得出（(R)ω，Q）7→ -EQ、 Pδint（t，’ω）是上半解析的。因此，a：=n（(R)ω，Q）：等式[gt+1∧ 0- |Xt+1- Xt |]- EQ、 Pδint（t，’ω）> -∞ois是一个分析集。通过[17]中的引理4.8，我们知道b（(R)ω）：={（Q，P）∈ B类(Ohmt+1）×B(Ohmt+1）：P∈ Pδint（t，’ω），等式[Xt+1- Xt]=0，Q<< P} 有一个分析图。

请注意，setC：=ω，Q: Q<< Pδint（t，’ω），等式[Xt+1- Xt]=0是图形集的图像B在正则投影下Ohmt×B(Ohmt+1）×B(Ohmt+1）7→ Ohmt×B(Ohmt+1），从而进行分析。最后，证明了hhq*（t） ii=A∩ Cis分析。引理6。假设NA（品脱）为真。那么GT和g′tar都是上半解析的，并且有一个普遍可测的映射ht+1：Ohmt×Rd→ Rd加上一个P-极集N，使得，对于每个（ω，ht）∈ Nc×Rd，一个hasg′t（ωt，ht）=supθt∈∧int（t，ωt）supP∈Pδint（t，’ω）log EPhexpgt+1+ht+1（ωt，ht）（Xt+1- Xt）+htXti>-∞.证据证明遵循[32]引理3.7中可测量选择参数的轨迹，并对我们的设置进行了一些修改。让我们表示，对于所有ωt∈ Ohm串联ht∈ Rd，V′t（ωt，ht）：=infh∈Rdsupθt∈∧int（t，ωt）supP∈Pδint（t，’ω）log EPhexpgt+1+h（Xt+1- Xt）+htXti、 通过Remark12，我们可以使用与上述引理4相同的极大极小定理参数，并得到v′t（ωt，ht）=g′t（ωt，ht）>- ∞, 如果NA（ePδint（t，ω））为真。鉴于备注11中的（iii），这在P极集合N外成立。进一步，让我们用U表示(Ohmt×Rd）通用σ字段Ohm注意，gt+1被假定为上半解析图集Q*（t）由引理5解析，（\'ωt，Q）∈ Ohmt×B(Ohmt+1）7→EQ、 Pδint（t，’ωt）是由[3，引理4.2]和[12，命题7.47]下半解析的。接着是Deng、Tan和Yu：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》20《运筹学数学》00（0），第000–000页，c0000从可测量的选择论证（参见[12，命题7.26，7.47，7.48]）中得到的信息，即映射ωt7→ gt（(R)ωt）是上半解析的。