模型下具有比例交易成本的效用最大化

尤其是Pt：Ohmt型→ B类(Ohmt+1）是p已知Ft的正则条件概率分布（r.c.p.d.）。我们可以在不损失一般性的情况下假设Pt（ωt）={Pt（ωt）}。此外，让FPt表示σ-场Ft的P-完成，则任何FPt可测量的随机变量都可以修改为P-a.s意义上的Borel可测量的随机变量。以下引理是引理7的类似物，在这种主导背景下，可测量性问题更容易处理。引理12。假设定理2中的条件相同，并且P={P}。那么对于所有t≤T- 1和所有FPt+1-可测随机变量Yt+1：Ohmt+1→ R+，有一个Borel随机变量t：Ohmt型→ R+这样的SUPQ∈Q*Yt，tnEQ[燃气轮机]- E（Q，P|Ohmt） o≤ supQ公司∈Q*Yt+1，t+1 NEQ[燃气轮机+1]- E（Q，P|Ohmt+1）o.（48）证明。在参考概率P下，对于任意FPt+1-可测随机变量Yt+1，存在一个Borel可测随机变量Y*t+1，使得Yt+1=Y*t+1，P-a.s.，因此等式[Y+1]=等式[Y*t+1]，对于所有Q∈ Q*Yt+1，t+1。所以我们可以假设w.l.o.g.Yt+1是可测量的。通过引理10和一个可测量的选择参数（参见[12]的命题7.50），对于任何ε>0，都存在一个普遍可测量的核Qεt（·）：Ohmt型→ B类(Ohm) 使得Δω Qεt（ω）∈ Q*所有ω的Yt+1（t，ω）∈ Ohmt、 andgt（ω）≤ EδωQεt（ω）[gt+1]- EQεt（ω），Pt（ω）+ ε.其余的参数几乎与引理7的证明步骤（ii）中的相同，我们将省略细节。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》28运筹学数学00（0），第000–000页，c0000当P={P}时定理2的信息证明。我们可以通过归纳法进行论证，就像在命题证明中一样。注意NA（{P}）成立，情况T=1由[3]的定理3.1证明。

假设情况T=验证了最优策略^H：=（^H，···Ht）：log EPexp（gt+（^Ho S） t型= supQ公司∈Q*Yt，tnEQ[燃气轮机]- EQ、 P|Ohmt型o、 （49）我们将转到T=T+1的情况。表示gt+1：=g，定义^Ht+1（ωt）：=在引理11中的Ht+1as，为任何通用可测量的随机变量设置Yt+1：=Д：Ohm → R+，让Y开始，就像在Lemma12中一样，下面是SUPQ∈Q*^1nEQ[燃气轮机+1]- E（Q，P|Ohmt+1）o≥ supQ公司∈Q*Yt，tnEQ[燃气轮机]- EQ、 P|Ohmt型o=对数EPexp（gt+（^Ho S） t型= 记录EP···Pt公司-1hexp日志EPthexpgt+1+（^Ho S） t+1我i=对数EPhexpgt+1+（^Ho S） t+1我≥ infH公司∈Hlog EP[试验（gt+1+（Ho S） t+1）]，其中第一个不等式后跟引理12，第三行后跟引理11。由于逆不等式是用引理9证明的弱对偶，我们证明了情形T=T+1。特别是，（^H，···，^Ht，^Ht+1）是T=T+1情况下的最佳交易策略。下面的推论是证明引理7的一个重要技术步骤。推论1。假设定理2中的条件相同，并设P∈ P固定。然后对于任何普遍可测的随机变量g：Ohm → R和Д：Ohm → R+，和任意Q*∈ Q*, 一个hasEQ*[克]- EQ*, P≤ supQ公司∈Q*^1nEQ[克]- EQ、 Po、 （50）证明。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设E（Q*, P） <∞. 在这种情况下，有Q*<< Pand经典无套利条件NA（{Q*}) 持有。让我们表示q**Д：={Q∈ Q*^1：E（Q，Q*) < +∞},使用引理9的弱对偶性并应用定理2（在固定概率空间的背景下(Ohm, F、 Q*)), 我们有EQ*[克]- EQ*, P= 均衡器*g级- logdQ*数据处理- E（Q*, Q*)≤ infH公司∈Hlog均衡器*经验值g级- logdQ*dP+（Ho 十） T型= supQ公司∈Q**φ均衡器g级- logdQ*数据处理- E（Q，Q*)≤ supQ公司∈Q*φ均衡器g级- logdQ*数据处理- E（Q，Q*)= supQ公司∈Q*φ等式【g】- E（Q，P）.邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），pp。

000–000，c0000通知29App endix C：定理2的证明我们现在在一般（可能）非支配情况下提供定理2的证明。引理13。让t+1≤ T，则对于任何普遍可测的随机变量Yt+1：Ohmt+1→R+和ε>0，存在唯一可测量的随机变量Yεt：Ohmt型→ R+这样的SUPQ∈Q*Yεt，tnEQ【gt】- EQ、 P|Ohmt型o≤ supQ公司∈Q*Yt+1，t+1 NEQ[燃气轮机+1]- EQ、 P|Ohmt+1o+ε。（51）证明。鉴于推论1，我们可以假设w.l.o.g.Yt+1≡ 通过引理10和可测选择参数（参见[12]中的命题7.50），对于任何ε>0，存在一个普遍可测核Qεt（·）：Ohmt型→ B类(Ohm) 使得Δω Qεt（ω）∈ Q*所有ω的Yt+1（t，ω）∈ Ohmt、 andgt（ω）≤ EδωQεt（ω）[gt+1]- EQεt（ω），Pt（ω）+ ε.rest参数类似于Lemma7证明的步骤（ii），我们在这里省略了它。理论证明2。注意，在NA（P）下，T=1的结果来自于[3]的定理3.1。假设当T=T时，对偶性保持最优策略（^H，···，^Ht）。表示gt+1：=g，定义^Ht+1（ωt）：=Ht+1as在引理11中，设置Yt+1：=Д，让Yt在引理13中给出，我们应用与B节中主导上下文中类似的参数来获得supq∈Q*^1nEQ[燃气轮机+1]- E（Q，P|Ohmt+1）o≥ supQ公司∈Q*Yt，tnEQ[燃气轮机]- EQ、 P|Ohmt型o=支持∈Plog EPexp（gt+（^Ho S） t型≥ 支持∈Plog EPhexpgt+1+（^Ho S） t+1我≥ infH公司∈HsupP公司∈Plog EP[试验（gt+1+（Ho S） t+1）]。这与引理9一起暗示了对偶结果。此外，（^H，···，^Ht+1）是T=T+1情况下的最佳交易策略。确认。十、 Tan非常感谢ERC 321111Ro公司、ANR Isotace以及金融风险和金融与可持续发展主席的财务支持。他的工作还得益于AXA研究基金会赞助的“非金融机构风险管理方法”倡议的财政支持。十、

Yu获得了香港早期职业计划（拨款编号25302116）和香港理工大学中央研究基金（拨款编号15304317）的部分资助。参考文献[1]Acciaio B、Beiglb¨ock M、Penkner F、Schachermayer W（2016）资产定价基础理论和超级复制定理的无模型版本。数学金融26（2）：233–251。[2] Aliprantis CD，Border KC（2006）《有限维分析：搭便车指南》（Springer），第3版。[3] Bartl D（2019）《无限捐赠的模型不确定性下的指数效用最大化》。应用概率年鉴29（1）：577–612。[4] Bartl D，Cheridito P，Kupper M（2019）稳健预期效用最大化（带中间限制）。数学分析与应用杂志471（1-2）：752–775。[5] Bayraktar E，Burzoni M（2018），关于摩擦的准确定超边缘对偶性。arXiv:1809.07516。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》30运筹学数学00（0），第000–000页，c0000通知[6]Bayraktar E，Yu X（2019）《随机捐赠和交易成本的最优投资：双重理论和影子价格》。数学与金融经济学13（2）：253–286。[7] Bayraktar E，Zhang Y（2016）《交易成本和模型不确定性下的资产定价基本定理》。运筹学数学41（3）：1039–1054。[8] Bayraktar E，Zhang Y，Zhou Z（2014）关于模型不确定性下资产定价基本定理的注记。风险2（4）：425–433。[9] Becherr D（2003）《恒定绝对风险规避下综合风险的理性对冲和估值》。《保险：数学与经济学》33:1-28。[10] Bellini F，Frittelli M（2002）关于极大极小鞅测度的存在性。

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