模型下具有比例交易成本的效用最大化

特别是，这使我们能够使用现有文献中一些众所周知的结果和技术。假设2中的常数c>1，在扩大空间上的无摩擦市场，我们定义∧：=[c-1，c]d-1和∧：=（∧）T+1，然后引入正则过程ΘT（θ）：=θT，θ=（θt）t≤T∈ ∧，以及σ-字段F∧t：=σ（Θs，s≤ t） ，t≤ T接下来，我们将介绍一个放大的空间Ohm := Ohm ×λ，放大σ-场F：=F F∧T，加上三个过滤SF=（Ft）0≤t型≤T、 ~F=（~Ft）0≤t型≤TandF=（英尺）0≤t型≤Tin哪个英尺：=英尺 F∧t，~Ft：=Ft {, ∧}和Ft：=Ft F∧t端口≤ T接下来，让我们介绍我们的随机市场模型，实际基础股票X=（Xt）0≤t型≤Tde定义为xt（(R)ω）：=πK*,0t（ω）[St（ω）θt]，对于所有的ω=（ω，θ）∈Ohm, t型≤ T、 （6）式中，St（ω）θT：=（St（ω）θT，··，Sd-1t（ω）θd-1t，Sdt（ω）），和∏K*,0t（ω）[y]表示y的投影∈ 关于凸闭集K*,0t（ω）。值得注意的是∈ K*,0对于t≤ T和X isF由[16]的引理2.6改编。然后，我们定义了两组策略过程，即H：={AllF-可预测过程}和H：={All F-可预测过程}。请注意▄Ft:=Ft {, ∧}，因此▄F-可预测过程可以被识别为F可预测过程。给定策略H∈H、 由此产生的财富过程由（H）给出o 十） t：=Pts=1Hs·（Xs- Xs型-1） ，t≤ T邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》6运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息最后，让我们介绍一些关于扩大空间的概率测度集(Ohm, F） 。LetP：=P∈ B类(Ohm, F） 这样P|Ohm∈ P.接下来我们介绍一个子集Pint P如下所示。回想一下Ohm 产品结构如下Ohm. 更准确地说，对于固定的t≤ T，letOhm:= Ohm× Λ, Ohmt： =Ohm× (Ohm×λ）tandOhm := Ohm × Λ = OhmT

对于（ω=（ω，···，ωT），θ=（θ，···，θT））∈Ohm 和t≤ 我们表示ωT：=（ω，···，ωT），θT：=（θ，··，θT）和ωT：=（ωT，θT）。o对于t=0，1，···，t-1和ω=（ω，θ）∈Ohmt、 我们定义P（t，’ω）：=P∈ B类(Ohm×∧）：P|Ohm∈ Pt（ω）,andPint（t，’ω）：=P∈ P（t，’ω）：δ′ω P[文本+1∈ intK公司*t+1]=1, （7） 其中δ′ωP是上的概率度量Ohmt+1=Ohmt×(Ohm×λ）和Xt+1（定义于（6））被视为定义于Ohmt+1.o莱品特，是所有概率测度P的集合Ohm这样P[X]∈ intK公司*] = 1、我们定义：=P P · · ·  PT公司-1： P∈ 品脱和Pt（·）∈ 对于t，品脱（t，·）≤ T- 1.,其中，pt（·）是品脱（t，·）的通用可测量选择器。备注2。假设[[Pt]]的分析性条件（2）成立，[16]中的引理2.13断言品脱（t）:=（\'ω，P）：\'ω∈ Ohmt、 P∈ 品脱（t，’ω）也是分析性的，这尤其确保了品提斯的非空性。在扩大的空间上重新表述我们现在在扩大的空间上重新表述效用最大化（5）Ohm 使用基础股票X。让我们设置g（\'ω）：=ξ（ω）·XT（\'ω），对于所有的\'ω=（ω，θ）∈Ohm,作为未定权益。提案1。假设假设1和2成立，则v（ξ）=supH∈HinfP公司∈佩普胡g+（Ho 十） T型i=supH∈HinfP公司∈平特布g+（Ho 十） T型i、 证明。为了简化符号，让我们写Xt：=Xt-Xt公司-1、我们将密切关注【16】中命题3.3中的论证。步骤1：固定η∈ A并通过Ht定义▄F-可预测过程H：=Pts=1Hswith公司Ht：=ηt-1对于t=1，···，t。通过重新排列所有项，我们得到ξ+TXt=0ηt！d=ξ+TXt=0ηt！·XT=TXt=1Ht·Xt+TXt=0ηt·Xt+g≤TXt=1Ht·Xt+g，其中最后一个不等式后面是ηt∈ -k因此ηt·Xt≤ 0.因为U是非减量的，所以它遵循∈佩普胡ξ+TXt=0ηtd我≤ infP公司∈佩普胡g+（Ho 十） T型i、 邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），pp。

000–000，c0000通知7哪个产生v（ξ）≤ supH公司∈HinfP公司∈佩普胡g+（Ho 十） T型i、 通过使用pintto替换P的相同参数，我们同样可以得到不等式v（ξ）≤ supH公司∈HinfP公司∈平特布g+（Ho 十） T型i、 步骤2：为了证明逆不等式，我们将H∈ H、 定义η=（ηt）0≤t型≤Tbyηit：=命中+1，t≤ T-1和ηiT：=-ξi-PT公司-对于i，1s=0ηIs≤ d- 1和ηdt（ω）：=infθ∈∧mdt（ω，θ）与mdt（(R)ω）：=-d-1Xi=1ηit（ω）Xit（(R)ω），t≤ T、 （8）对于所有‘ω=（ω，θ）∈Ohm. 由于mdt（ω，θ）在θ中是有界的和连续的，ηdt是可测量的最大值定理（参见[2]的定理18.19]）可测量的Ft。从构造上我们知道η∈ A、 所以我们有infθ∈Λ（H）o 十） T+g（·，θ）=infθ∈∧nTXt=0ηt+ξ· XT公司-T-1Xt=0ηt·Xto（·，θ）=infθ∈∧nTXt=0ηt+ξ· XTo（·，θ）-T-1Xt=0supθ∈∧nηt·Xto（·，θ）。=infθ∈∧nTXt=0ηt+ξ· XTo（·，θ）=ξ+TXt=0ηtd、 （9）在第二个等式中，我们交换最小值和总和，因为对于t=0，···，t，每个x仅通过θt依赖于θ。如果ε>0，我们可以使用一个可测量的选择参数（参见[12]的命题7.50）来选择一个普遍可测量的映射ω∈ Ohm 7.→ θε(ω) ∈ ∧因此，对于所有ω∈ Ohm, 一个哈苏Ho 十、Tω, θε(ω)+ g（ω，θε（ω））≤ infθ∈∧UHo 十、T（ω，θ）+g（ω，θ）+ ε、 其中，r.h.s.项是定义在Ohm. 然后给定P∈ P、 一个定义Pε：=Po (ω, θε(ω))-1.∈ P并获得sepεhU（H）o 十） T+g我≤ EPhinfθ∈∧UHo 十、T（·，θ）+g（·，θ）i+ε。通过ε>0的任意性和pε∈ P、 接下来就是INFP∈佩普胡（H）o 十） T+g我≤ infP公司∈PEPhinfθ∈∧U（H）o 十） T（·，θ）+g（·，θ）i（10）=infP∈佩普胡infθ∈Λ（H）o 十） T（·，θ）+g（·，θ）i=infP∈佩普胡ξ+TXt=0ηtdi、 这导致了苏普∈HinfP公司∈佩普胡g+（Ho 十） T型我≤ V（ξ），因此我们得到了期望的等式。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》8运筹学数学00（0），pp。

000–000，c0000 INFORMSStep 3：对于Pintin位置为P的情况，如步骤2所示，注意infθ就足够了∈∧int（·）（H）o 十） T（·，θ）+g（·，θ）=ξ+TXt=0ηtd、 其中∧int（ω）定义为θ的集合∈ ∧使得St（ω）θt∈ intK公司*t（ω）。接下来，对于每个θ∈ ∧，我们定义Aθt（ω）：= 对于s 6=t和Aθt（ω）：={St（ω）θt∈ intK公司*t（ω）}。注意ω7→ intK公司*t（ω）是Ft可测的。然后（ω，y）∈ Ohmt×R:St（ω）θt=y和y∈ intK公司*t（ω）是aBorel集合，因此ω7→ 1Aθt（ω）是一个普遍可测的映射。然后，我们用qθt：ω定义了普遍可测量的概率核∈ Ohm 7.→ qθt（·|ω）：=δθtAθt（ω）+δ（Aθt（ω））c∈ B（λ），t≤ T、 （11）式中，1是所有条目均等于1的RDV向量，B（λ）表示∧上所有钻孔概率测度的集合。因此P （qθ qθ · · ·  qθT）∈每P品脱∈ P、 然后，必须按照上述步骤2进行论证，以获得该信息∈平特布g+（Ho 十） T型我≤ infP公司∈政治公众人物Uinfθ∈∧int（·）（H）o 十） T（·，θ）+g（·，θ）= infP公司∈佩普胡ξ+TXt=0ηtdi、 因此，我们在步骤2中得出结论。2.3. Bouchard和Nutz的鲁棒无套利条件最后，我们将讨论Ohm 以及它与放大空间上的链接Ohm.定义2。（i） 第二类NA2（P）的鲁棒无套利条件Ohm 如果所有t≤ T- 1和所有ξ∈ L（Ft），ξ∈ Kt+1P-q.s.表示ξ∈ KtP-q.s.（ii）设（q，Z）为一对，其中q∈ B类(Ohm) Z=（Zt）t=0，···，Tan适应过程（Q，Z）称为严格一致价格体系（SCPS），如果Q<< P、 Zt公司∈ intK公司*tQ-a.s.对于所有t=0，···，t和Z是aQ鞅。我们用S表示所有SCP的集合，也表示子集：=（Q，Z）∈ 因此Zd≡ 1.. （12） 备注3。

如文献[18]中证明的资产定价基本定理所述（另见文献[7，8]），无套利条件NA2（P）等价于：对于所有≤ T- 1，P∈ P和Ft随机变量Y取intK中的值*t、 存在一个SCPS（Q，Z），使得P<< Q、 FtandY上的P=Q=ZtP-a.s。。关于扩大的空间Ohm, 我们还按照[17]引入了鲁棒无套利条件的概念。定义3。我们说，在Ohm 如果为，则为真∈ H、 （H）o 十） T型≥ 0品脱q.s==> （H）o 十） T=0，Pint-q.s.Deng，Tan和Yu：《运筹学的交易成本和不确定性数学效用最大化》00（0），第000–000页，c0000通知9备注4。文献[17]中的资产定价基本定理证明，条件NA（Pint）（resp.NA（P））等价于：对于所有P∈ 品脱（分别为P），存在Q∈ B类(Ohm) 如此之多<< Q<< 品脱（分别为P）和X是（F，Q）-鞅。此后，我们用Q表示度量值Q的集合∈ B类(Ohm) 这样Q<< Pintand X是（F，Q）-鞅。上述两个无套利条件Ohm 和上Ohm 与【16】中的命题2.16相关，我们回顾如下。提案2。条件NA2（P）开启Ohm 相当于开启条件NA（品脱）Ohm.3、指数效用最大化从本节开始，我们将把自己限制在指数效用函数的情况下，即U（x）：=-经验值(-γx），并详细研究了相应的效用最大化问题。我们将考虑一般情况，即允许在初始时间静态交易一些流动期权，其收益也将有助于终端财富。即，对于e∈ N∪ {0}，有一类有限的FT可测随机向量ζi：Ohm → Rd，i=1，···，e，其中每个ζi表示以d风险资产为单位标记的某些期权的收益。

设ξ：Ohm → Rdrepresentthe payoff of the random endowment，那么我们的最大化问题由给出。V（ξ，γ）：=sup(l,η)∈AeinfP公司∈PEP“Uξ+eXi=1liζi- |li | cid+TXt=0ηtd#. （13） 其中1d是所有分量均等于0但最后一个分量均等于1的向量，且Aedenotes是所有分量的集合（l，η）∈ Re×A，ξ+Pei=1liζi- |li | cid+PTt=0ηti=0，i=1，···，d- 1、在上面，我们将γ写在V（ξ，γ）中，以强调效用函数U中参数γ的值的依赖性。此外，每个静态期权ζih的价格为0，但静态交易会导致比例交易成本，且利率ci>0.3.1。凸对偶导致了鲁棒无摩擦设置，Bartl[3]研究了相同的指数效用最大化问题，其中建立了凸对偶定理。在这里，我们将其结果应用于较弱市场条件下的交易成本。让我们介绍与概率度量QasE（Q，P）相关的相对熵的稳健版本：=infP∈PE（Q，P），其中E（Q，P）：=EP公司dQdPlogdQdP, 如果Q<< P+∞, 否则（14） 请注意，Sis是（12）中定义的SCP集合（Q，Z）的子集，然后我们定义*e： =n（Q，Z）∈ S： 均衡器（ξ·ZT）-+E（Q，P）<+∞ 和EQζi·ZT∈ [-ci，ci]，i=1，···，eo。定理1。设ξ和（ζi）i≤e:Ohm → Rdbe Borel可测量，并假设NA2（P）成立。假设e=0，或e≥ 1和所有l ∈ 雷纳德η∈ A、 eXi=1liζi- |li | cid+TXt=0ηt∈ KTP-q.s==> l = 0。（15）那么，我们h aveV（ξ，γ）=- 经验值- inf（Q，Z）∈S*e均衡器γξ·ZT+ E（Q，P）, （16） 此外，在(l, η) ∈ Aeis通过最优策略实现（^l, ^η).邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》10运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息备注5。

注意，直到在两侧取对数，并将γξ替换为-ξ、 质量（16）等同于(l,η)∈埃苏普∈Plog EP经验值ξ -eXi=1(liζi- |li | cid）-TXt=0ηt！d= sup（Q，Z）∈S*e均衡器ξ·ZT- E（Q，P）.（17） 备注6。当e≥ 1，ζiis被视为静态交易期权，ci>0是相应的比例交易成本，那么条件（15）应被理解为[17]中定义的一种绝对无套利条件。为了简单起见，让我们考虑e=1的情况。根据【16】第3.3条中的论点，lζ- |l|cd+PTt=0ηt∈ KTP-q.s.可显示为相当于lgω，bθ+TXt=1HtXt公司(ω) ≥ 0，P-q.s.，对于bothbθ=±1，其中Ht：=Pt-1s=0ηsand g（(R)ω，±1）：=ζ·XT±c。定义中的稳健无套利条件3将导致lgω，bθ+TXt=1HtXt公司（(R)ω）=0，P-q.s.，对于两者，θ=±1。当g（(R)ω，1）6=g（ω，-1） 当c>0时，获得l= 0、备注7。（i） 最优交易策略的存在性（^l, 定理1中的^η）是证明对偶性（16）的一个辅助结果，在我们的上下文中是指数效用函数U（x）：=- 经验值(-γx）。对偶性和最优策略的存在性都在很大程度上依赖于极小参数（Lemma6），它使用指数效用的一个显著特征。（ii）在稳健背景下，对于一般效用函数（有或无交易成本），文献中已获得关于最优策略存在性的不同结果。Nutz【32】似乎是第一个引入这种离散时间鲁棒效用最大化问题的人，并获得了一般效用函数的存在性结果，这些函数由上而下有界，定义在正实线上。Blanchard和Carassus[15]能够将有界条件放松为一些可积条件。

Neufeld和Sikic[31]研究了具有摩擦的鲁棒效用最大化问题，并在线性无套利条件下得到了一些存在性结果。Rasonyian和Meirelis Rodrigues[34]使用Koml'os型参数来证明最优策略的存在。Bartl等人[4]通过中间极限论证研究了类似的问题。（iii）在我们的论文完成后，Bayraktar和Burzoni【5】在【16】中对随机化方法进行了推广，并证明了在较弱的无套利条件下，定价对冲对偶性比NA2（P）条件弱。他们的广义随机化方法也应该允许WTO在弱无套利条件下研究上述效用最大化问题。3.2. 公用事业差别价格的性质众所周知，在实践中，超边际价格过高。另一种方法是，积极研究基于效用的差别价格，其中投资者的风险厌恶本质上是结合在一起的。本节介绍了凸对偶关系（17）在指数效用最大化中的应用，并提供了在存在比例交易成本和模型不确定性的情况下差异价格的一些有趣特征。一般而言，我们设定的差异定价可以通过风险资产和流动期权的半静态交易策略产生。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通知11在稳健的框架中，类似于无摩擦模型中[3]的定理2.4，二元论代表（17）可以帮助我们推导出渐近差异价格收敛于超级对冲价格，作为风险规避γ→ ∞ 无论交易成本如何。

要看到这一点，让我们首先回顾一下由π（ξ）：=inf（y+eXi=1ci定义的超边际价格|li |：y1d+eXi=1liζi+TXt=0ηt- ξ ∈ KT，P- q、 s(l, η) ∈ Ae）=sup（Q，Z）∈参见Q[ξ·ZT]，其中等式来自于[16]的定理3.1，其中：=n（Q，Z）∈ S： 均衡器（ζi·ZT）∈ [-ci，ci]，i=1，···，eo。差异价格πγ（ξ）∈ 另一方面，导数期权ξ的R由方程V（01d，γ）=V定义πγ（ξ）1d- ξ, γ, （18） 其中V（·）由（13）定义。将V（·）的表达式插入到（18）中，并回忆U（x）=-e-γx，我们得到exp(-γπγ（ξ））×sup(l,η)∈AeinfP公司∈佩普- 经验值- γ- ξ+eXi=1(liζi- |li | cid）+TXt=0ηtdi=辅助(l,η)∈AeinfP公司∈佩普- 经验值- γeXi=1(liζi- |li | cid）+TXt=0ηtdi、 （19）通过对偶表示（16），我们最终得到πγ（ξ）=sup（Q，Z）∈S*e均衡器ξ·ZT-γE（Q，P）- sup（Q，Z）∈S*e-γE（Q，P）. （20） 公式（20）直接得出效用差异价格的下几个属性。引理1。以下基本性质：（i）πγ（ξ）不依赖于初始财富x。（ii）πγ（ξ）在γ中递增（γ中的单调性）。（iii）πγ（βξ）=任何β的βπβγ（ξ）∈ （0，1）（体积缩放）。（iv）πγ（ξ+c）=c的c+πγ（ξ）∈ R（平移不变性）。（v） πγ（αξ+（1- α)ξ) ≤ απγ(ξ) + (1 - α） πγ（ξ）（凸性）。（vi）πγ（ξ）≤ πγ（ξ）ifξ≤ ξ（单调性）。下一个结果显示了效用差异价格上的风险规避渐近。类似的结果也可以在[23、14、3]中找到。提案3。在具有比例交易成本的Theorem1的robu st设置中，我们有π（ξ）=limγ→∞πγ(ξ). （21）我们将上述结果的证明推迟到第4.4节，因为它要求随后给出一些注释和结果。Deng、Tan和Yu：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》12运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息备注8。

观察引理1第（iii）项中的标度特性，极限（21）可写为limβ→∞βπγ（βξ）=π（ξ），其中βπγ（βξ）一词可以理解为未定权益ξ的给定数量体积β的单位价格。此外，随着风险厌恶程度的增加，凸对偶结果（17）还表明，指数效用偏好下的最优套期保值策略在以下意义上收敛到超边缘对应策略。提案4。我们有thatlimγ→∞支持∈政治公众人物π（ξ）1d+eXi=1(l,γiζi- |l,γi | cid）+TXt=0η,γt- ξ!-= 0，其中(l,γ, η,γ） 是风险规避水平γ下问题（17）的最优sem i静态策略。证据设Γγ：=π（ξ）1d+Pei=1(l,γiζi- |l,γi | cid）+PTt=0η,γt- ξ后接（17）thatsupP∈Plog EP[e-γΓγ]=sup（Q，Z）∈S*eγ当量ξ·ZT- γπ(ξ) - E（Q，P）. （22）如果π（ξ）=+∞, 很明显，supP∈Plog EP[e-γΓγ] = -∞. 否则，如果π（ξ）<+∞, 根据引理1的第（ii）项，πγ（ξ）在γ中增加，而且πγ（ξ）≤ π (ξ). 因此，它产生了支持∈Plog EP[e-γΓγ] ≤ 0，因此EP[e-γΓγ] ≤ 所有P均为1∈ P、 根据Jensen的品质，我们有Supp∈政治公众人物-γ] ≤γsupP∈Plog EP[电子γΓ-γ] ≤γsupP∈Plog（1+EP[e-γΓγ），这就完成了证明。备注9。在经典主导的无摩擦市场模型中，[25]的推论5.1和定理5.2也得到了类似的结果。由于凸对偶性（17），本文将风险规避水平上的渐近收敛性作了非中心推广，推广到具有比例交易成本和模型不确定性的情况下。同样，基于在扩大的空间中获得的凸对偶表示，差异价格的连续性和Fatou性质可以在以下意义上显示。提案5。（i） If（ξn）n∈这是一系列选项，例如sup（Q，Z）∈S*eEQ[（ξn- ξ） ·ZT]→ 0和inf（Q，Z）∈S*eEQ[（ξn- ξ） ·ZT]→ 0