模型下具有比例交易成本的效用最大化

像intK公司*t型是Borel，因此∧int（t，·）也是Borel，从[12，命题7.47]可以看出，（ωt，ht）7→ g′t（ωt，ht）是上半解析的，因此属于U(Ohmt×Rd）。接下来，我们声明函数φ（ωt，ht，h）：=supθt∈∧int（t，ωt）supP∈Pδint（t，’ω）log EPhexpgt+1+h（Xt+1- Xt）+htXti、 是U(Ohmt×Rd） B（Rd）-可测量。要了解这一点，我们首先确定h和ht。然后，从与上述相同的论证中，ashhPδint（t）IIs是解析的，根据[12，命题7.26，7.47，7.48]，我们得到了（ωt，θt）7→ 支持∈Pδint（t，ω）log EP[expgt+1+h（Xt+1- Xt）+htXt）]为上半解析。再一次intK公司*t型Borel是否暗示∧int（t，·）也是Borel，根据[12，命题7.47]，我们有ωt7→ φ（ωt，ht，h）是上半解析的。另一方面，对于固定ωt，应用Fatou引理（如[3，引理4.6]），得出（h，ht）7→ φ（ωt，ht，h）是下半连续的。此外，as（h，ht）7→ φ（ωt，ht，h）是凸的，根据[15，引理4.5]，我们得到φ确实是Ft B（Rd） B（Rd）-可测量，因此属于U(Ohmt×Rd） B（Rd）。让我们考虑随机集Φ（ωt，ht）：=h类∈ Rd：φ（ωt，ht，h）=g′t（ωt，ht）.通过前面的论证，我们得到[[Φ]]在U中(Ohmt×Rd） B（Rd）。因此Φ允许U(Ohmt×Rd）-通用可测集Φ（ωt，ht）6=; 参见[29，定理5.5]的推论和理论。此外，引理4和备注11暗示Φ（ωt，ht）6= 保持在P极集合N之外，则得出ht+1解决了最大P-q.s。多阶段案例：最终证明我们提供了最后一个技术引理，然后完成命题6的证明。回想一下gt+1：=Ohmt+1→ R∪ {∞} 是一个给定的上半解析泛函，因此gt+1（ωt+1，θ，··，θt+1）仅取决于（ωt+1，θt+1），gt定义于（33）。给定一个普遍可测的随机变量Yt：Ohmt型→ R+，我们定义*Yt，t：={Q∈ Q|Ohmt： 均衡器g-t型+ EQ、 品脱|Ohmt型< +∞, 等式【Yt】<+∞}.引理7。

让t+1≤ T，则对于任何普遍可测的随机变量Yt+1：Ohmt+1→ R+和ε>0，存在唯一可测量的随机变量Yεt：Ohmt型→ R+这样的SUPQ∈Q*Yεt，tnEQ【gt】- EQ、 品脱|Ohmt型o≤ supQ公司∈Q*Yt+1，t+1 NEQ[燃气轮机+1]- EQ、 品脱|Ohmt+1o+ε。（35）证明。（i） 鉴于推论1，我们可以假设w.l.o.g.Yt+1≡ 然后引理5和可测选择参数（参见[12]中的命题7.50）保证存在一个可测的核Qεt（·）：Ohmt型→ B类(Ohm) 使得δ′ω Qεt（(R)ω）∈Q*（t，’ω）对于所有的‘ω’∈ Ohmt、 andgt（°ω）≤ Eδ′ωQεt（(R)ω）[gt+1]- EQεt（℃），品脱（t，℃）+ ε.（ii）让我们定义YεtbyYεt（·）：=Eδ·Qεt（·）g-t+1+| Xt+1- Xt公司|+ EQεt（·），品脱（t，·）.邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通过定义Q通知21*（t，·）和[3，引理4.2]，Yεtis R+-值且普遍可测。那么对于anyQ∈ Q*Yεt，t，一个hasEQQεt（·）g-t+1+| Xt+1- Xt公司|+ E（Q Qεt（·），品脱|Ohmt+1）=等式εt（·）[g-t+1+| Xt+1- Xt |]i+E（Q，品脱|Ohmt） +等式（Qεt（·），品脱（t，·））i≤ E（Q，品脱|Ohmt） +等式[Yεt]<+∞,其中，第一个等式来自于[3]的引理4.4。此外，Q Qεt（·）是鞅测度Ohmt+1由Q和Qεt（·）的鞅性质决定。最后，因为Q<< 品脱|OhmtandQεt（·）<<品脱（t，·），则Q Qεt（·）<< 品脱|Ohmt+1。这意味着Q Qεt（·）∈ Q*0，t+1。因此对于anyQ∈ Q*Yεt，t，一个hasEQ[gt]- E（Q，品脱|Ohmt）≤ 方程εt（·）[gt+1]- EQεt（·），品脱（t，·）+ εi- E（Q，品脱|Ohmt） =相等Qεt（·）[gt+1]- E（Q Qεt（·），品脱|Ohmt+1）+ε≤ supQ公司∈Q*0，t+1 NEQ[燃气轮机+1]- E（Q，品脱|Ohmt+1）o+ε。因此，我们总结了asQ的证明∈ Q*Yεt，是任意的。命题证明6。我们将使用归纳论点。首先，T=1的命题6已经在引理4中得到证明。

接下来，假设命题6对T=T的情况成立，然后考虑T=T+1的情况。在T=T+1的情况下，让我们表示gt+1：=g：=ξ·Xt+1。很明显，gt+1是一个Borel随机变量，gt+1（ωt+1，θ，··，θt+1）仅取决于（ωt+1，θt+1）。将GT定义为（33）。由于假设假设在T=T的情况下，Proposition6为真，因此存在^H=（^H，····，^Ht）∈Ht，对于任何普遍可测的随机变量Yt：Ohmt型→ R+，一个hassupP∈Pintlog EPexp（gt+（^Ho 十） t型= supQ公司∈Q*Yt，tnEQ[燃气轮机]- EQ、 品脱|Ohmt型o、 （36）然后利用引理6中定义的函数ht+1，我们定义了^ht+1（ωt）：=ht+1（ωt，^ht（ωt-1)). （37）此外，对于anyP∈ 品脱，表示为P=P · · ·  Pt，其中Ps（·）是可测量的核inPδint（s，·）。通过直接计算得出gt+1+（^Ho 十） t+1i=EP···Pt公司-1hexp日志EPthexpgt+1+（^Ho 十） t+1我我≤EPhexp补充\'∈Pδint（t，·）log EP′hexpgt+1+（^Ho 十） t+1我我≤ 支持∈PintEP公司经验值g′t（·，^Ht）+（^Ho 十） t型-1.-^HtXt-1.,其中，最后一个不等式后面是^Ht+1in（37）和引理6的定义。使用Supremum overP∈ 品脱，它来源于g′tin（34）的定义以及支持∈PintEPhexpgt+1+（^Ho 十） t+1我≤ 支持∈PintEP公司经验值gt+^HtXt+（^Ho 十） t型-1.-^HtXt-1.= 支持∈PintEP公司经验值gt+（^Ho 十） t型. （38）Deng，Tan和Yu：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》22运筹学数学00（0），pp。

000–000，c0000 Informs然后对于任何普遍可测量的随机变量Д：Ohm → R+，我们设置Yt+1：=Д并依次使用引理7，（36），（38），以获得SUPQ∈Q*^1nEQ[燃气轮机+1]- E（Q，品脱|Ohmt+1）o≥ supQ公司∈Q*Yt，tnEQ[燃气轮机]- EQ、 品脱|Ohmt型o=支持∈Pintlog EPexp（gt+（^Ho 十） t型≥ 支持∈Pintlog EPhexpgt+1+（^Ho 十） t+1我≥ infH公司∈HsupP公司∈Pintlog EP[试验（gt+1+（Ho 十） t+1）]。因为反向不等式是引理3中的弱对偶，所以我们在上述公式中处处都得到了等式，这是T=T+1情况下的对偶结果（26）。特别是，（^H，···，^Ht，^Ht+1）是T=T+1情况下的最佳交易策略。4.3. 定理证明1（案例e≥ 1） 在本节中，我们感兴趣的是半静态策略下的效用最大化问题。为了考虑交易静态期权（ζi，i=1，···，e）所产生的交易成本，我们在[16]的框架下工作，并引入了进一步扩大的空间b∧：=eYi=1[-ci，ci]，bOhm :=Ohm ×b∧，bFt：=英尺 Bb∧,bPint：=nbP∈ B（BOhm) :英国石油公司|Ohm∈Pinto和defi^fi:bOhm -→ R、 ^fi（^ω）=ζi（ω）·XT（(R)ω）-^θifor all^ω=（^ω，^θ）=（ω，θ，^θ）∈bOhm.进程（Xt）0≤t型≤Tand随机变量g：=ξ·x定义于Ohm 可以自然扩展到bOhm.然后我们可以考虑B上的指数效用最大化问题Ohm:inf（H，l)∈H×ResupbP∈bPintlog EbP“expg+eXi=1li^fi+（Ho 十） T！#。让我们也来介绍一下BQ*e： =（bQ∈ B（BOhm) :bQ公司<<bPint，X是（bF，bQ）-鞅，EbQ[^fi]=0，i=1，···，e，EbQ（ξ·XT）-+ E（bQ，bPint）<+∞),andbQ*e、 Д：={bQ∈bQ公司*e： EbQ[Д]<+∞}, 对所有人都是一样的Ohm → R+。对于引理2和命题1，很容易使用类似的参数来获得INF(l,η)∈埃苏普∈Plog EP经验值ξ -eXi=1(liζi- |li | cid）-TXt=0ηt！d= inf（H，l)∈H×ResupbP∈bPintlog EbP“expg+eXi=1li^fi+（Ho 十） T型#,邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），pp。

000–000，c0000通知23andsup（Q，Z）∈S*e均衡器ξ·ZT- E（Q，P）= supbQ公司∈bQ公司*eEbQ公司g- E（bQ，bPint）,g：=ξ·XT。因此，总结定理1的证明（案例e≥ 1） ，有必要证明，对于任何普遍可测量的Д：bOhm → R+，一个hasinf（H，l)∈H×ResupbP∈bPintlog EbP“expg+eXi=1li^fi+（Ho 十） T！#=supbQ公司∈bQ公司*e、 ^1nEbQg- E（bQ，bPint）o.（39）首先让我们提供一个有用的引理。引理8。让g：Ohm → R是上半解析的，假设NA2（P）成立。假设e=0，或e≥ 1和所有l ∈ 雷纳德η∈ A、 （15）保持。那么，对于所有Д：bOhm → R+，一个有INFNY∈ R：y+eXi=1li^fi+（Ho 十） T型≥ g、 bPint-q.s.，l∈ Re，H∈ Ho=supQ∈bQ公司*e、 ДEQg. （40）证明。根据命题2，NA2（P）意味着NA（品脱）。对于e=0的情况，正如[3，引理3.5]所观察到的，[17]的引理3.3确实证明了T=1:0的基本引理的以下更强版本∈ ri{等式[十] ，Q∈ Q*φ}. （41）使用（41），我们可以按照[17，引理3.5，3.6，定理4.1]来证明（40），在没有选项的情况下（e=0）。对于案例e≥ 我们可以通过归纳法进行论证。设e为超复制定理- 1 g=^fe：^πe的选项保持不变-1（g）：=输入：y+e-1Xi=1li^fi+（Ho 十） T型≥ g、 bPint-q.s。，l ∈ 重新-1，H∈ Ho=supbQ∈bQ公司*e-1，ДEbQ[g]，（42），我们将传递给e。根据无套利条件（15），不存在H∈ Hl, · · · , le-1和le∈ {-1，1}这样-1i=1li^fi+（Ho十） T型≥ -le^fe，bPint-q.s.由此得出^πe-1（^fe），^πe-1(-^fe）>0，通过[17，引理3.12]和（42），这意味着存在Bq-,bQ公司+∈bQ公司*e-1，^1这样-^πe-1(-^fe）<EbQ-[^fe]<0<EbQ+[^fe]<^πe-1（^fe）。（43）特别是，我们有0∈ ri{EbQ[^fe]，bQ∈bQ公司*e-1,φ}. （44）然后我们可以逐行论证，如[16，定理3.1的证明（案例e≥ 1） ]以证明存在序列bQn公司n≥1.bQ公司*e、 ^1s.t。

EbQn[克]→ ^πe（g），表示SUPBQ∈bQ公司*e、 ^1EbQ[克]≥ ^πe（g）。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化》24运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息总之，我们可以注意到，反向不等式是经典的弱对偶，可以很容易地从[17，引理A.1和A.2]中获得。定理证明1（案例e≥ 1). 注意，第4.2节中已证明（39）适用于e=0的情况，尽管公式略有不同。这个证明仍然是基于归纳法的，就像[3，定理2.2]的证明一样。让我们假设（39）适用于e- 1.≥ 0，然后在e.definej的情况下证明它：bQ*e-1，Д×R→ R、 （bQ，β）7→ EbQ【g】+βEbQ【^fe】- H（bQ，bPint）。显然，J在第一个参数中是凹的，在第二个参数中是凸的。通过（44），J满足[3]中的紧性类型条件（14），因此我们可以应用极大极小定理。使用诱导假设和与[3]中相同的参数，我们得到了inf（H，l)∈H×ResupbP∈bPintlog EbP“expg+eXi=1li^fi+（Ho 十） T！#=infβ∈Rmin（H，l)∈H×Re-1SUBP∈bPintEbP“expg+e-1Xi=1li^fi+β^fe+（Ho 十） T！#=infβ∈RsupbQ公司∈bQ公司*e-1，ДJ（bQ，β）（45）=supbQ∈bQ公司*e-1，Дinfβ∈RJ（bQ，β）=supbQ∈bQ公司*e、 ^1EbQ[克]- H（bQ，bPint）.因此，二元性成立。此外，从[3]的（15）中，c<infβ∈RsupbQ公司∈bQ公司*e-1，ДJ（bQ，β），n、 对于满足|β|>n的所有β，s.t.，supbQ∈bQ公司*e-1，ДJ（bQ，β）>c。因此，可以将（45）重写为inf |β|≤nsupbQ∈bQ公司*e-1，ДJ（bQ，β）。现在β7的下连续性→ supbQ公司∈bQ公司*e、 ДJ（bQ，β）表示存在一些^β，例如SUPBq∈bQ公司*e、 ДJ（bQ，^β）=infβ∈RsupbQ公司∈bQ公司*e、 ^1J（bQ，β）。将^β与e的最优策略相结合- 1个选项（^H、^l), 我们推导了e期权的非最优策略的存在性，即（^H，^l) := （^H，（^）l,^β)).

使用构造（8），一个canobtain（^η，^）l) 从（^H，^）明确达到（17）中的最大值l) 它已经在前面的步骤中构建。4.4. 使用（20）中的表达式证明命题3，一个haslimγ→∞πγ（ξ）=limγ→∞sup（Q，Z）∈S*e均衡器ξ·ZT-γE（Q，P）,其中r.h.s.以γ为单位增加。用上确界代替极限，然后交换两个上确界的次序，我们得到了limγ→∞πγ（ξ）=sup（Q，Z）∈S*esupγ均衡器ξ·ZT-γE（Q，P）= sup（Q，Z）∈S*eEQ公司ξ·ZT.邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通知25通过【16】第3.2节中的类似论点，我们可以在r.h.s.的大空间B上重新表述问题Ohm 然后使用引理8得到thatsup（Q，Z）∈S*eEQ公司ξ·ZT= supbQ公司∈bQ公司*eEbQ公司ξ·XT= π(ξ).证据到此结束。附录endix：无交易费用的指数效用最大化对偶在本附录中，我们将采用与定理1证明中相同的程序，给出无交易费用的指数效用最大化问题的一个辅助结果。这允许在没有限制性ω-wise无套利条件的情况下扩展Bartl[3]中的主要结果。此外，占优情况下的一个辅助结果是定理1的主要结果与交易成本（特别是引理7）的证明中的一个关键因素。在本附录中，我们将继续参考第2.1节，其中Ohm := Ohm这是一个（产品）抛光空间，原始规范过滤F=（Ft）0≤t型≤t普遍完成的过滤F=（Ft）0≤t型≤Tand F：=英尺空间(Ohm, F） 配备了一系列（可能）由（1）定义的非支配概率测度，以及一系列给定的概率测度类Pt（ω）Ohm, 即P：=P：=P P · · ·  PT公司-1： Pt（·）∈ t的Pt（·）≤ T- 1.,满足可测量性条件（2）。

我们采用F适应过程（St）0≤t型≤Tin（4），并让其代表折扣后的股票价格，该价格可以在没有任何交易成本的情况下进行交易。最后，通过稍微滥用语言，我们表示g：Ohm → R表示衍生期权支付的上半解析随机变量，letH：={所有F-可预测过程}表示所有可接受的交易策略集，并表示（Ho S） T：=PTt=1Ht·（St+1- St）。继Bouchard和Nutz【17】之后，我们通过（H）定义准确定无套利条件NA（Po S） T型≥ 0，P-q.s==> （H）o S） T=0，所有H的P-q.S∈ H、 （46）此外，对于每个t=0，···，t- 1和ωt∈ Ohmt、 我们定义了无套利条件NA（Pt（ωt））byh·St+1（ωt，·）≥ 0，Pt（ωt）-q.s==> h·St+1（ωt，·）=0，Pt（ωt）-q.s.对于所有h∈ Rd.（47）还记得（根据[17]中的引理4.6），集合Nt={ωt∈ Ohmt： NA（Pt（ωt））失效}为P极ifNA（P）保持。让我们用qt表示度量Q的集合∈ B类(Ohm) 这样Q<< P和S是（F，Q）鞅。然后给出一个普遍可测的随机变量Д：Ohm → R+，我们定义*:=Q∈ Q： 均衡器g-+ E（Q，P）<∞和Q*Д：={Q∈ Q*: 等式[Д]<+∞}.定理2。让g：Ohm → (-∞, +∞] 是上半解析的，假设NA（P）成立。然后，对于任何普遍可测量的^1：Ohm → R+，一个hasV：=infH∈HsupP公司∈Plog EP经验值g+（Ho S） T型= supQ公司∈Q*φ等式【g】- E（Q，P）.此外，H上的最小值∈ H是通过一些最优交易策略获得的^H.Deng，Tan和Yu：具有交易成本和不确定性的效用最大化26运筹学数学00（0），第000–000页，c0000信息备注14。Bartl[3]在NA（Pt（ωt））对所有t=0，····，t均成立的条件下证明了上述结果- 1和所有ωt∈ Ohmt。

如文献[3]的备注2.5所述，使用ω-明智无套利条件（而非准确定无套利条件NA（P））的主要原因是其动态规划过程中的可测性问题。我们的替代程序可以克服这种可测量性困难。附录endix A：一些技术引理在本节中，我们将给出一些技术引理，这些引理将在B节和C节中使用。首先，通过使用与清单3相同的参数，我们得到下一个弱对偶。引理9。在与定理2相同的条件下，一个∈HsupP公司∈Plog EP经验值g+（Ho S） T型≥ supQ公司∈Q*等式【g】- E（Q，P）.下一步，对于所有t∈ {0，···，T-1} ，我们考虑一个上半解析函数gt+1：Ohmt+1→ R∪{∞},和definegt（ωt）：=supQ∈Q*（t，ωt）nEQ[gt+1]- EQ、 Pt（ωt）o、 对于所有ωt∈ Ohmt、 其中Q*（t，ωt）：=nΔωt Q∈ B类(Ohmt+1）：Q<< Pt（ωt），等式St+1（ωt，·）- St（ωt）= 0，等式g-t+1（ωt，·）+St+1（ωt，·）- St（ωt）|+ EQ、 Pt（ωt）< ∞o、 此外，给定一个普遍可测的随机变量Yt+1：Ohmt+1→ R+，我们介绍Q*Yt+1（t，ωt）：=Q∈ Q*（t，ωt）：等式[Yt+1（ωt，·）]<∞.此外，对于任何普遍可测的随机变量Yt：Ohmt型→ R+，我们表示Q*Yt，t：={Q∈ Q|Ohmt： 等式[g-t] +E（Q，P）<+∞, 等式【Yt】<+∞}.引理10。对于任何普遍可测的随机变量Yt+1：Ohmt+1→ R+，一个hasgt（ωt）=supQ∈Q*Yt+1（t，ωt）nEQ【gt+1】- EQ、 Pt（ωt）o、 P-q.s.此外，假设i f Yt+1是Borel可测的，图集Q*Yt+1（t）:=（ω，Q）：ω∈ Ohmt、 Q∈ Q*Yt+1（t，ω）是分析型的。证据第一个结果是Bartl[3]定理3.1中的单周期对偶结果的结果（另请参见我们的备注13），第二个结果基本上遵循与引理5中相同的参数。引理11。假设NA（P）为真。

然后是上半解析的，存在一个普遍可测的映射ht+1：Ohmt型→ Rd，与P极集N一起 Ohmtsuch那，对于所有ω∈ Nc，一个hasgt（ωt）=支持∈Pt（ωt）log EPhexpgt+1（ωt，·）+ht+1（ωt）（St+1（ωt，·））- St（ωt））i>-∞.邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通知27Proof。这个论点类似于引理6，所以我们将在这里提供一个证明的草图。Asgt+1为上半解析，Q*（t）由引理10和（ωt，Q）解析∈ Ohmt×B(Ohm) 7.→-E（Q，Pt（ωt））是[3，引理4.2]和[12，命题7.47]的上半解析式，它从引理10和一个可测量的选择参数（参见[12，命题7.26，7.47，7.48]）得出ωt7→ gtis上半解析。按定义V*t（ωt）：=infht+1∈RdsupP公司∈Pt（ωt）log EPhexpgt+1（ωt，·）+ht+1（St+1（ωt，·））- St（ωt））i、 应用[3]中的定理3.1，我们得到gt（ωt）=V*t（ωt）>-∞, 如果NA（Pt（ωt））为真。当NA（P）成立时，这在P极集合N之外有效。通过定义φt（ωt，ht+1）：=支持∈Pt（ωt）log EPhexpgt+1（ωt，·）+ht+1（St+1（ωt，·））-St（ωt））i、 我们可以类似于引理6来讨论（ωt，ht+1）7→ φtis（英尺） B（Rd）。现在让我们考虑随机集Φ（ωt）：={h∈ Rd：φ（ωt，h）=gt（ωt）}。前面的参数得出[[Φ]]以Ft为单位 B（Rd）。因此，通过[17]中的引理4.11，Φ将Ft可测选择器ht+1添加到普适可测集Φ（ωt）6=. 此外，[3]的定理3.1暗示Φ（ωt）6= 在P极集合N外成立，因此ht+1解决了in fimp-q.s。附录endix B：支配情形下定理2的证明我们首先提供支配情形下定理2的证明，其中P是一个单态，即P={P}，对于P=P P · · ·  PT公司-1，其中Pt（ωt）∈ 所有ωt的Pt（ωt）∈ Ohm所有t≤ T- 1.