模型下具有比例交易成本的效用最大化

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英文标题：
《Utility maximization with proportional transaction costs under model
  uncertainty》
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作者：
Shuoqing Deng, Xiaolu Tan, Xiang Yu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a discrete time financial market with proportional transaction costs under model uncertainty, and study a num\\\'eraire-based semi-static utility maximization problem with an exponential utility preference. The randomization techniques recently developed in \\cite{BDT17} allow us to transform the original problem into a frictionless counterpart on an enlarged space. By suggesting a different dynamic programming argument than in \\cite{bartl2016exponential}, we are able to prove the existence of the optimal strategy and the convex duality theorem in our context with transaction costs. In the frictionless framework, this alternative dynamic programming argument also allows us to generalize the main results in \\cite{bartl2016exponential} to a weaker market condition. Moreover, as an application of the duality representation, some basic features of utility indifference prices are investigated in our robust setting with transaction costs.
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中文摘要：
我们考虑了模型不确定性条件下具有比例交易成本的离散时间金融市场，并研究了一个基于num的具有指数效用偏好的半静态效用最大化问题。最近在{BDT17}中开发的随机化技术允许我们将原始问题转化为扩大空间上的无摩擦对应问题。通过提出与{Bartl2016Indonential}不同的动态规划论证，我们能够证明最优策略和凸对偶定理的存在性。在无摩擦框架中，这种替代性动态规划论证也允许我们将{Bartl2016Index}中的主要结果推广到较弱的市场条件。此外，作为对偶表示的一个应用，本文在具有交易成本的鲁棒环境下研究了效用无差异价格的一些基本特征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Utility_maximization_with_proportional_transaction_costs_under_model_uncertainty.pdf (459.62 KB)

2022-6-10 03:16:20 上传

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关键词：效用最大化 交易成本 最大化 Mathematical proportional

运筹学研究卷。00，编号0，Xxxxx 0000，第000–000页ISSN 0364-765X | EISN 1526-5471 | 00 | 0000 | 0001信息MSDOI 10.1287/xxxx。0000.0000c鼓励0000名信息作者通过一个风格模板（包括期刊标题）向期刊提交新论文。然而，使用模板并不证明论文已被接受在指定期刊上发表。通知期刊模板仅供提交给信息期刊使用，不得用于以印刷或在线方式分发论文，也不得将论文提交给其他出版物。模型不确定性下具有比例交易成本的效用最大化朔庆邓克雷梅德，巴黎多芬大学，巴黎理工大学，塔西尼广场，75016，巴黎，法国朔庆。deng@gmail.comXiaolu香港中文大学数学系，香港新界沙田，小鹿。tan@gmail.comXiangYu香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡。yu@polyu.edu.hkWe考虑模型不确定性下具有比例交易成本的离散时间金融市场，研究具有指数效用偏好的基于数量的半静态效用最大化问题。最近在【16】中开发的随机化技术允许我们将原始问题转化为扩大空间上的无摩擦对应问题。通过提出一个与文献[3]不同的动态规划论证，我们能够证明最优策略和凸对偶定理在我们的交易成本背景下的存在性。在无摩擦框架下，这种替代的动态规划论证也允许我们将[3]中的主要结果推广到较弱的市场条件。

此外，作为对偶表示的一种应用，我们在具有交易成本的稳健环境下研究了效用差异价格的一些基本特征。关键词：效用最大化、交易成本、模型不确定性、随机化方法、凸性、效用差异定价。MSC2000学科分类：初级：60G42，49M29；次级：49L20、91B16。OR/MS科目分类：主要：概率：随机模型应用；第二：财务：资产定价。历史：2018年7月21日收到；2019年2月16日收到第二版；2019年7月21日接受。通过效用最大化进行最优投资一直是定量金融的基本问题之一。特别是，风险资产和流动期权之间的最优半静态组合以及不可对冲非流动或有权益的相关效用差异定价最近吸引了大量研究兴趣。在经典主导市场模型中，对所谓的随机禀赋效用最大化进行了广泛的研究，参见[35]、[24]、[27]、[25]、[9]、[33]、[10]和[13]。特别是，dualityapproach已被提出并发展为处理一般不完全市场模型的强大工具。在不知道具体的底层模型结构的情况下，凸对偶关系使我们能够通过首先解决相应的对偶优化问题来获得原始优化器的存在性。通常，对偶问题是在一组等价（局部）鞅测度（EMM）上形成的，其存在性由一些适当的无套利的Deng、Tan和Yu保证：具有交易成本和不确定性的效用最大化2运筹学数学00（0），第000–000页，c0000个信息假设。

根据效用函数的域，需要使用不同的技术来获得一些凸对偶结果。对于确定在正实线上的公用事业，为了处理随机支付并建立两极关系，EMM的双重集合的适当闭合起着关键作用，例如参见[24]和[27]。另一方面，对于整个实数线路上定义的公用设施，通常选择具有有限总熵的EMM子集来定义对偶问题，而工作组合的适当定义对于保证和关联原始和对偶优化器至关重要，请参见[25]、[9]、[33]、[10]和[13]及其参考文献。由于真实金融市场的日益复杂，上述优化问题主要在两个方向上积极扩展。第一个富有成效的扩展将实际的交易摩擦，即交易成本，纳入决策和财富过程。由于交易成本通常会打破EMM下自我融资财富过程的（局部）鞅性质，因此预计双重定价核心不会与无摩擦定价核心相同。相反，无套利条件与一对称为一致价格体系（CPS）的双重要素的存在密切相关。简而言之，CPS的第一个组成部分是在买卖价差内演变的过程，而第二个组成部分是一个等效的概率度量，在该概率度量下，第一个组成部分成为鞅。然而，与无摩擦模型中的情况类似，对于具有随机禀赋的效用最大化，CP集只能作为表述朴素对偶问题的第一步。

需要更多的工作来处理期权的随机支付，请参见【11】、【36】、【30】和【6】中的一些相关工作。文献中第二个引人注目的扩展是考虑模型不确定性，例如波动性不确定性，从一组可能相互奇异的概率度量开始。也就是说，不同的概率度量描述了不同投资者对市场的信念。在离散时间框架下，【1、17、21、20】等对无摩擦市场和【26、7、18、19、22】对有交易成本市场的无套利条件和稳健金融的基本原理进行了基本研究。与支配情形类似，定价套期对偶通常可以通过研究一些适当的无套利条件下的超边缘问题来获得。[32]首先研究了离散时间无摩擦市场中的非支配鲁棒效用最大化，其中动态规划原理在推导最优原始策略的存在性时起着主要作用，而不考虑对偶问题，请参见[31、15、14]中的一些进一步扩展。在模型不确定性由一组随机过程表示的情况下，[34]证明了效用函数的最优策略的存在性，无论是在正线上还是在整条线上。然而，在这些效用最大化的先驱工作中，凸对偶是否成立仍然是个未知数。最近，[3]在一些限制性无套利条件下，在无摩擦模型中建立了指数效用偏好的对偶表示，这促使我们使用一些独特的论点，在较弱的市场条件下，考虑比例交易成本，重新考虑本文中对偶定理的有效性。

我们还注意到最近的一篇论文【4】，其中作者使用中间极限和Choquet容量定理的函数版本证明了一个鲁棒效用最大化对偶。因此，本文的主要目的是研究离散时间框架下具有交易费用的半静态效用最大化问题的最优策略、凸对偶定理和辅助动态规划原理的存在性。准确地说，我们设想一个投资者，在指数效用偏好的情况下，选择股票和流动期权中的最优半静态投资组合，并具有额外的随机捐赠，同时每次交易都会产生成比例的交易费用。我们分析的核心思想是通过采用随机方法显著降低交易成本的复杂性，如【16】所示。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c因此，交易费用造成的令人不快的数学障碍可以隐藏在一个具有额外随机性的大空间中，并且可以修改和采用文献中关于无摩擦模型中的稳健混合和效用最大化的一些技术。值得注意的是，通过应用[16]中的随机化方法，但在扩大的空间上对概率测度族进行了不同和更深入的定义，最近[5]在较弱的无套利条件下建立了交易成本的超级复制性。我们的主要贡献如下。首先，我们开发了一个独特的动态编程论证，与无摩擦市场中的[3]相比。这使我们能够克服[3]中的可测量性困难，从而在较弱的市场条件下推广其主要结果（二元性和存在性）。附录中给出了这一概括。

其次，我们在这个效用最大化问题中推广了[16]中的随机化技术，它本质上依赖于一个minimaxargument来解决过滤放大问题。虽然[16]中的超级复制问题对应的凸/凹属性很自然，但效用最大化问题则不太明显，我们在这个指数效用最大化问题中使用了对数变换技术。最后，为了体现二元表示的价值，我们还研究了效用差异定价的应用。独立价格的几个基本性质，包括独立价格对超边际价格的渐近收敛性和随机禀赋的一些连续性结果，在交易成本的稳健设置中得到了证实。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了具有交易成本的市场模型，并说明了如何使用随机化方法在扩大空间上的无摩擦市场上重新构造鲁棒效用最大化问题。在第3节中，我们仅限于指数效用偏好的情况。在存在模型不确定性和交易成本的情况下，首先得到了凸对偶定理和最优交易策略的存在性。作为应用，总结了效用差异价格的几个性质。第4节主要使用动态编程参数证明对偶结果。符号给定一个可测量的空间(Ohm, F） ，我们用B表示(Ohm, F） 上的所有概率度量集(Ohm, F） 。对于拓扑空间Ohm, B类(Ohm) 用缩写符号B表示其Borelσ场(Ohm) := B类(Ohm, B类(Ohm)). 用于抛光空间Ohm, a子集a Ohm 如果它是另一个波兰空间的Borel子集在Borel可测映射下的图像，则称为解析。

A功能F：Ohm →R：=[-∞, ∞] 是上半解析的，如果{ω∈ Ohm : f（ω）>a}对所有a都是解析的∈ R、 给定概率测度P∈ B类(Ohm) 和可测函数f：Ohm →R、 我们定义了预期EP【f】：=EP【f+】- EP【f】-], 遵守公约∞ - ∞ = -∞.对于家庭P B类(Ohm) 概率测度的子集a Ohm 如果A A′对于某些普适可测集A′对于所有P满足P[A′）=0∈ P、 如果一个性质在P-极集合外成立，则称其为P-准肯定或P-q.s。对于Q∈ B类(Ohm), 我们写Q<< 如果存在P′∈ P使得Q<< P′。给定一个西格玛代数G，我们用L（G）表示可测量的Rd值随机变量的集合，d由上下文给出。2、市场模型和问题公式我们首先在模型不确定性的多变量背景下引入了具有比例交易成本的金融市场。随后，我们提出了一个效用最大化问题，然后在一个扩大的空间上，在无摩擦的市场环境中进一步重新构造了该问题。虽然可以将重新格式化技术用于更一般的框架，但我们将基本上停留在Bouchard和Nutz的上下文中【17，18】。2.1. 市场模型和初步研究Deng、Tan和Yu：具有交易成本和不确定性的效用最大化4运筹学数学00（0），第000–000页，c0000具有一组概率测度的INFORMSA乘积空间Ohm:= {ω} 成为单身汉Ohm成为一个抛光空间。对于每个t=1，···，t，我们表示为Ohmt： =Ohmt的t倍笛卡尔积Ohm设Ft：=B(Ohmt） 和Ftits通用完成。特别是，金融机构微不足道。我们定义了过滤后的可测量空间(Ohm, F） 根据Ohm := OhmT、 F：=英尺，F：=（英尺）0≤t型≤支架F：=（英尺）0≤t型≤T、 然后让我们介绍一组概率测度(Ohm, F） byP公司：=P：=P P · · ·  PT公司-1： Pt（·）∈ t的Pt（·）≤ T- 1..

（1） 在上述定义中，Pt：Ohmt7型→ B类(Ohm) 是概率核，使得概率度量由Fubini定理定义，在p（A）：=Z的意义上Ohm· · ·ZOhmA（ω，ω··，ωT）PT-1（ω，···，ωT-1.dωT）···P（dω），Pt（ω）是B中的非空凸集(Ohm), 表示第（t+1）阶段的所有可能模型集，给定状态ω∈ Ohmtat时间t=0，1···，t- 1、正如文献中所述，我们假设，对于每个t，[[Pt]]：=（ω，P）：ω∈ Ohmt、 P∈ Pt（ω） Ohmt×P(Ohm) 是分析型的。（2） 这特别确保了（1）中的P是非空的。具有比例交易成本的金融市场具有比例交易成本的金融市场用随机锥表示。让d≥ 2，每t∈{0，1，···，T}，Kt：Ohm → 2Rdis{ω}意义上的Ft可测随机集∈ Ohm : Kt（ω）∩ O 6=} ∈ FTO对于每个闭合（打开）组 Rd.这里，对于每个ω∈ Ohm, Kt（ω）是一个包含Rd+的闭凸锥，在时间t时称为偿付能力锥。它表示头寸的集合，以不同金融资产的单位标记，可以通过立即在资产之间进行交换，将其转换为非负头寸（逐成分）。我们用K表示*t型 Rd+its（非负）双锥：K*t（ω）：=y∈ Rd:x·y≥ 0表示所有x∈ Kt（ω）, （3） 其中，x·y：=Pdi=1XIYi是Rd上的内积。为了以后使用，我们还将介绍K*,0t（ω）：=y=（y，···，yd）∈ K*t（ω），yd=1.如【18】中所述，我们在本文中假设以下条件：假设1。K*t型∩ Rd+={0}和intK*t（ω）6= 对于每个ω∈ Ohm 和t≤ T根据上述假设和[18，引理A.1]，K*t、 K级*,0T和intK*皮重全部可测量。此外，还有一个满足（ω）的F-适应过程∈ K*,0t（ω）∩ intK公司*每个ω的t（ω）∈ Ohm, t型≤ T（4） 我们还假设交易成本有界且一致严格正。

这是根据上述S制定的。假设2。有一个常数c>1，这样c-1Sit（ω）≤ 易≤ cSit（ω），对于每个i≤ d- 1和y∈ K*,0t（ω）。邓、谭和余：《具有交易成本和不确定性的效用最大化运筹学数学》，00（0），第000–000页，c0000通知5最后，我们将可接受的策略集合定义如下。定义1。我们说一个F-适应过程η=（ηt）0≤t型≤如果ηt，这是一种可接受的交易策略∈ -KtP-q.s.适用于所有t≤ T我们用A表示所有可接受策略的集合。约束ηt∈ -kt表示0-ηt∈ Kt，即从t开始，0，可以执行即时转换以达到位置ηt。然后，给定η∈ A、 与时间0时的零初始捐赠相关的相应财富过程为Pts=0ηst型≤T、 具体示例参见【16，18】。另见专著【28】。2.2. 一个效用最大化问题及其重新表述→ R∪ {-∞}是一个非递减凹效用函数。我们对随机禀赋下的鲁棒效用最大化问题感兴趣：V（ξ）：=supη∈ AinfP公司∈佩普胡ξ+TXt=0ηtdi、 （5）其中包含所有η的集合∈ A使得（ξ+PTt=0ηt）i=0，对于i=1，···，d- 1、备注1。注意，（5）是基于num'eraire的效用最大化问题，d-thasset扮演num'eraire的角色。对于A中的可接受策略，需要在i=1、··、d时清算所有其他资产的头寸- 1在终端时间T。模型不确定性、交易成本和随机禀赋的混合会带来许多新的数学挑战。我们降低复杂性的首要补救措施是在没有交易成本的活跃市场上重新规划。