最后一眼外汇市场

因此，当慢交易者考虑到放弃的收益（由于拒绝交易）、即时成本以及返回市场完成交易的成本时，存在一个最佳阈值，可以最大限度地降低他们在最后一眼的地点进行交易的成本。如果只有一个外汇交易场所，这个最佳阈值可能是市场庄家从不拒绝交易的极端情况。换言之，慢交易者会根据市场上晚交易者的比例以及慢交易者的延迟来寻找或避免最后一眼的场所。当有多个外汇交易场所时，做市商仍会公布利差，以确保从STs中收回对LAs的损失。然而，各场馆之间的竞争激励交易员迁移到效果更好的场馆。我们表明，存在一个不平衡的区域，那里没有移民的动机。如果市场从该地区以外开始，交易者将迁移，直到达到均衡。这种平衡可以是两个场馆共存的平衡，也可以是只有一个场馆幸存的平衡。有趣的是，我们表明，当有两个场所，一个有LastLook，另一个没有LastLook时，市场达到的均衡主要取决于每个市场中最近套利者交易的比例。当无最后一眼的场馆开始时，潜在套利者的比例较低（即，在最后一眼的场馆中潜在套利者的比例较高），市场会在两个场馆共存的情况下达到均衡。然而，如果市场的起点是具有最后一个外观的场所的潜在套利者比例较低，那么市场就会达到一个均衡，即在这个均衡中，强制执行最后一个外观的场所吸引所有订单流，即只有最后一个外观的场所存活下来。附录A.结果证明附录A.1。

命题1的证明结果来自于对期望值的直接计算：E[（P- （P+))+] =Z∞-∞（σz- ) 1{σz->0}e-z√2πdz=-σe-z√2π∞σ-  Φσ= σ φσ- Φσ.附录A.2。命题3的证明很容易检查f（x）=φ（x）-xΦ(-x） 在x上递减且凸∈ [0, +∞).特别是，我们有f（x）=-Φ (-x）≤ 0，f（x）=φ（x）>0，x个≥ 0 .此外，f（0）=qπ，f（0）=-, f（0）>0和limx→∞f（x）=0。设g表示线g（x）=1-ααx.很明显，g（0）<f（0），因为f是凸的，我们必须有f（x）≤ 林克斯→+∞f（x）=0。再加上f（0）=-f（0）>0，我们看到x上必须存在f和g的一个交点∈ [0, +∞) 当且仅当直线g的斜率大于f的渐近斜率，即只要斜率为正。当且仅当α∈ [0, 1]. 附录A.3。命题4的证明首先，将（5）的根重新排列为2α（φ（x*(α)) - x个*(α) Φ (-x个*(α))) = (1 -α） x个*（α） ，并注意对α的显式依赖。显然，在极限α内↓ 0，x*(α) ↓ 0、通过此观察，下一步，writex*（α） =cα+o（α），目的是找到常数c。将此展开式插入到前面的表达式中，并在α中展开，我们发现2α[（φ（0）+cαφ（0））- cα{Φ（0）- cαφ（0）}]=（1-α） cα+o（α），因此c=2φ（0）=qπ，结果如下。附录A.4。计算（8）得出该结果，首先注意，由于对称性，两个期望值相等，因此，OhmST |陈旧=-E（P- P- ) 1{P-P> ξ}.接下来，将期望中的两个术语分为两部分：A=E（P- P） 1{P-P> ξ}B=E 1{P-P> ξ}.B的计算很简单。辛塞普- P=σ（Z+Z）d=σZ+ρZ+p1- ρZ⊥,其中Z⊥是独立于Z的标准法线。

因此，P- Pis正常，平均值为0，标准偏差为P（1+ρ）+（1- ρ） =p2（1+ρ），soB= Φξp2（1+ρ）！。接下来，我们需要以下期望来计算A:EZ{Z+Z>c}= EZn（1+ρ）Z+√1.-ρZ⊥>有限公司=Z∞-∞Z∞一-bζe-ζ-ζdζ√2πdζ√2π，其中c是任意常数，a=c√1.-ρ和b=1-ρ√1.-ρ. 继续计算，EZ{Z+Z>c}=Z∞-∞ζΦ（bζ- a） e类-ζdζ√2π=b√2πZ∞-∞e-ζ-（bζ-a） dζ√2π（分部积分）=b√2πe-a1+bZ∞-∞e-1+bζ-a b1+bdζ√2π（完成平方）=b√1+bφa1+b=r1级- ρφcp2（1- ρ)!. （插入a和b）因此，我们使用上述结果得到a=EhσZ{Z+Z>ξσ}i，以及b的先前结果，并得出（8）。附录A.5。命题6的证明根据交易者是否收到更新的条件，我们有P[Pe- P> ξ]=βP[Pe- P> ξ|更新]+（1-β） P[Pe- P> ξ| stale]（A.1）=βP[P- P> ξ]+（1- β） P[P- P> ξ]，（A.2），计算这些无条件概率的结果如下。附录A.6。命题7的证明为了计算这一点，我们分别推导出每个项。首先，OhmLA |购买=E（P- P- )+{P-P> ξ}= E（P- P） 1{P-P> , P-P> ξ}（A.3）-  P[P- P> , P- P> ξ]。（A.4）让σB表示上述（A.3）的第一项，并且 A表示上述第二项（A.4）。首先，专注于计算A，所以我们有A=P[P- P> , P- P> ξ]=PhZ>(R) , Z+Z<-ξi=P“Z>(R) ,（1+ρ）Z+p1- ρZ⊥p2（1+ρ）<-ξp2（1+ρ）#=P“Z>） , Z<-ξp2（1+ρ）#=P“Z<-Иξp2（1+ρ）#- P“Z<~ , Z<-ξp2（1+ρ）#，其中Z⊥是独立于Z的标准法线r.v.和Zis标准法线r.v。v、 用相关P（1+ρ）/2与Z相关。（13）中的表达式紧跟其后。接下来，对于B，我们有B=EhZ{Z>~ , Z<-ξ}i=EZnZ>~ , （1+ρ）Z+√1.-ρZ⊥<-ξo=Z∞~ζΦ（a- bζ）e-ζdζ√2π，其中a=-Иξ/p1- ρ和b=（1+ρ）/p1- ρ.

继续计算，B=-b√2πZ∞~e-（a）-bζ）e-ζdζ√2π+ φ(~) Φ（a- b▄) （按部件集成）=-b√2πe-a1+bZ∞~e-1+b（ζ-a b1+b）dζ√2π+ φ(~) Φ（a- b▄) （完成方块）=-b√1+bφa1+bΦa、b√1+b-~√1+b+ φ(~) Φ（a- b▄) .（14）中B的表达式后面用上述表达式替换a和B。附录A.7。命题10的证明首先，从表达式Ohm我们有OhmST（yen) = σaST+▄ 英国夏令时, （A.5）其中=（1- β） q1+ρφ√2(1+ρ)ξσ,andbST=βΦ-ξσ+ (1 - β)Φ-√2(1+ρ)ξσ,和▄ = /σ.接下来，从（12）开始，OhmLA（▄) = 2（B（）) - A（yen)~) σ，其中（) = 阿拉巴马州- Φ~ρ~ ,^ξ,康斯坦萨拉=Φ-~ξ√2(1+ρ),^ξ = -~ξ√2（1+ρ），§ρ=q1+ρ，和B（）) = φ(~) Φˇξ - ˇρ~- bLAΦξ - ρ~,常数71ξ=-~ξ√1.-ρ, ˇρ =1+ρ√1.-ρ、 bLA=°ρφ~ξ√2(1+ρ),ξ = -~ξ√2(1-ρ), ρ =√2(1-ρ).最优利差（相对于波动率）定义为（1）的解- α) OhmST（yen*) - α OhmLA（▄*) = 0，并写入*=~+~α+o（α），我们需要求解（保持项为o（α））：（1- α)OhmST（yen) + α~OhmST（yen)- α OhmLA（▄) = o（α），以及我们得到的相等阶的集合项OhmST（yen) + αn▄OhmST（yen) - OhmST（yen) - Ohm洛杉矶()o=o（α）。首先解决▄通过将上述第一项设置为零并使用（A.5），我们得出=aSTbSTand（22）如下。因此，上述方程变为αn°OhmST（yen) + Ohm洛杉矶()o=o（α）。最后，自OhmST（yen) = bST，将大括号中的项设置为零将导致▄=OhmLA（▄)bSTand（23）紧随其后。附录A.8。命题11的证明来自附录A.7中命题10的证明，由于ψsti独立于α，因此, 当经纪人根据（15）将利差设定在其最佳水平时，我们立即得到BOhmST=OhmST（yen*) + δ (1 -ψST）=σ（aST+bST（）+ α~)) + δ (1 -ψST）+o（α）=σαbST▄+ δ (1 - ψST）+o（α），并使用=OhmLA（▄)英国夏令时，证据是完整的。附录A.9。

命题12的证明使用与附录A.7中命题10的证明相同的符号，我们有OhmLA（▄) = 2.B（yen) - A（yen)~σ，其中（) = 阿拉巴马州- Φ~ρ~ ,^ξ,andB（yen) = φ(~) Φˇξ - ˇρ~- bLAΦξ - ρ~.当经纪人将利差设定在最佳水平，使其预期收益和损失为零时，我们有2σOhmLA（▄*) =nB（▄+ α~) - A（yen+ α~) (~+ α~)o+o（α）=nB（~) - A（yen)~o+nB（▄) - A（yen) - A（yen)~oα+o（α）。接下来，通过直接计算SB（x）=-xφ（x）Φˇξ - ˇρx- ˇρφ（x）φˇξ - ˇρx+ ρbLAΦξ - ρx,andA（x）=-Φ~ρ~,^ξ.此外，标准计算表明Φc（x，y）=Zy-∞φc（x，y）dx dy=Zy-∞expn公司-2(1-c）x个- 2c x u+uodx dy2π=√2πe-xZy公司-c x√1.-c-∞e-zdz公司√2π=√1.- cφ（x）Φy- c xp1- ρ!.插入各种常量的显式表达式完成了证明。ReferencesReferencesBank of England，H.M.Treasury，and Financial Conduct Authority（2015年6月）。固定收入、外汇和大宗商品市场的公平性和有效性如何？公平有效的市场审查。Copeland，T.E.和D.Galai（1983年）。信息影响买卖价差。《金融杂志》38（5），1457–1469。DeJong，F.和B.Rindi（2009年）。《金融市场的微观结构》（第1版）。剑桥大学出版社。Glosten，L.R.和P.R.Milgrom（1985）。在一个拥有不同信息交易者的专业市场中，买入、卖出和交易价格。《金融经济学杂志》14（1），71–100。Grossman，S.J.和M.H.Miller（1988年7月）。流动性和市场结构。《金融杂志》43（3），617–37。Oomen，R.（2017a）。在聚合器中执行。量化金融17（3），383–404。Oomen，R.（2017b）。最后一眼。量化金融17（7），1057–1070。