存在延迟时的最佳做市

我们只显示δ+的阶值从0到4，因为δ+>4的阶值几乎为零（因为阶数概率非常小），而阶值接近-δ+<0时为0.5（因为当到达订单簿时，ask订单将以很高的概率立即填写）。我们可以从表2中得出两个观察结果。首先，对于表2中的两种情况，都存在δ+，因此阶值为正值。这与定理4.1的（c）部分一致，即λ+=λ-> λ/2，见表2。其次，在δ+=0时达到最大阶值τ=0.2秒，即1.48×10-3，且δ+=1时τ=0.8秒，即4.58×10-从定理4.1来看，这并不奇怪。一方面，当τ=0，根据定理4.1的（a）部分，阶数值等于一个常数乘以阶数概率，因此当δ+=0时达到最大值。然后直观地预测100 200 300 400 500 600次（秒）-15-10-5051015报价-5-4-3-2-1012345库存（百股）询问行动出价行动库存图2：做市商的最佳报价和一次模拟中的库存过程。模型参数为：q=-4，q=4，τ=0.02秒，t=1秒，t=600秒，λ=λGEandλ+=λ-= 0.7λ+GE。这也适用于小型τ的连续性。另一方面，当τ变大时，由于后期窗口中可能存在的价格变动，当在订单簿上驱动时，以δ+=0报价的ask订单立即完成（“反向填充”）的概率增加。因此，δ+=0时的阶值可能变为负值，因此最大值可能在δ+较大时达到。表2：新ask订单的价值（以美元计）H+(τ, t型- τ、 δ+，用于不同的δ+和延迟τ .

其余模型参数为：t=4秒，λ=λGE，λ+=λ-= 0.7λ+GE>0.5λGE。δ+0阶值(τ=0.2秒）1.48×10-37.36 × 10-51.31 × 10-61.91 × 10-81.27 × 10-9订单价值(τ=0.8秒）-2.79 × 10-34.58 × 10-51.20 × 10-61.76 × 10-86.49 × 10-10图3显示了ask未决订单的值H+（0，τ、 r+（见（3.1）和（4.3）），r+=0，1，作为延迟的函数τ，在不利情况下：λ+=λ-< 0.5λ.注意，顺序值均为负值，这与定理4.1的（a）部分一致。未完成订单的完成概率随着延迟的增加而增加，因此增加0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10延迟（秒）-0.02-0.018-0.016-0.014-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.0020订单价值（美元）r+=0 r+=1图3：未完成订单的价值H+（0，τ、 r+，作为不同r+的τ（以秒为单位）。其余模型参数为：λ=λGe和λ+=λ-= 0.4λ+GE<0.5λGE。定理4.1的（a）部分，阶值减小。注：未完成订单的价值在价值函数中扮演着重要角色（见（4.3））。因此，这个实验显示了做市商延迟的另一个缺点：如果做市商由于延迟而不能及时取消其过期订单，那么当市场条件不利时，它将降低其利润。5.4造市和延迟的预期收益在本节中，我们在第4.3节对造市的可行性和延迟的影响进行了数值说明。我们在图4中使用了两个λ+=λ的代表性示例-= 0.7λ+GE>0.5λGE且λ+=λ-= 0.5λGE，做市商的预期利润P作为最近期的函数τ. 图4中有两个即时观察结果。首先，我们发现当λ+=λ-= 0.5λGE，P对于任何τ. 这也符合定理4.3的第（1）部分。

其次，与其他参数相比，P是τ .特别是当延迟τ较大，则P变为零。这是因为本例中引号的数量N=599是固定的，而从数字上讲，定理4.3中的非盈利正利润阈值随着τ. 因此，当延迟较大时，0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5（秒）00.511.522.5预期利润（美元）10-3+=->0.5 GE+=-=0.5 GE图4：做市商的净利润P与τ表示不同的λ+（=λ-).其余模型参数为：q=-2，q=2，t=0.5秒，t=90秒，λ=λGE。根据第4.3.6条结论和未来研究的第（2）部分，我们认为做市商的预期利润为零。在本文中，我们提出了一个风格化的离散时间MDP模型，以研究存在延迟情况下大型固定资产的最优做市策略。我们提供了序值的明确表征，以及值函数的结构。我们利用这些特征来研究做市策略的可行性和延迟效应。我们的分析表明，延迟可能是做市商的另一个风险源，做市过程中的一个关键任务是根据市场原语预测订单值，参见Moallemi和Yuan（2017），以了解这一领域的最新发展。为了进一步研究扩展本文中的模型，可以考虑各种真实特征。例如，做市商在实践中经历的延迟是随机的，并且可能随着市场条件的变化而变化，例如由于报价和取消请求的大幅增加。此外，高频资产价格在实际市场中通常表现出自相关。

我们希望我们的模型能够促进进一步的研究，以解决这些实际问题。致谢感谢塞巴斯蒂安·贾蒙格尔、史蒂夫·寇和两位匿名评论员的建议和评论。本研究由香港研资局资助24207015和14201117。参考Sahalia，Y.和Saglam。M、 高频做市：最佳报价，2017年。工作文件，可查阅SSRN 2331613。AFM，《高频交易：先进交易技术在欧洲市场的应用》，2010年。可在线访问：https://www.afm.nl/en/nieuws/rapporten/2010/hft-rapport.Avellaneda，M.和Stoikov，S.，《限额指令簿中的高频交易》，QuantitativeFinance，2008，8（3），217–224。Bouchaud，J.P.、Bonart，J.、Donier，J.和Gould，M.，《交易、报价和价格：显微镜下的金融市场》，2018年（剑桥大学出版社：剑桥）。Baron，M.、Brogaard，J.、Hagstrmer，B.和Kirilenko，A.《高频交易中的风险和回报》。《金融与定量分析杂志》，2018年，即将出版。Buerle，N.和Rieder，U.，《马尔可夫决策过程与金融应用》，2011年（斯普林格科学与商业媒体：纽约）。Cartea，'A.和Jaimungal，S.，《高频交易策略的风险度量和微调》，数学金融，2015，25（3），576–611。Cartea，'A.、Jaimungal，S.和Penalva，J.，《算法与高频交易》，2015年（剑桥大学出版社：剑桥）。Cartea，A.，Jaimungal，S.和S\'anchez Betancourt，L.，延迟和流动性风险，2019年。SSRN 3433739提供。Cartea，'A.和S'anchez Betancourt，L.，《延迟的影子价格：改善外汇市场的日内融资比率》，2018年。SSRN 3190961提供。Chakraborty，T.和Kearns，M.，做市和均值回归。2011年在加利福尼亚州圣何塞举行的第12届ACM电子商务会议上提交的论文。Dayri，K。

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请注意，如果延迟，当发送新的ask订单时，未完成的ask订单将立即取消τ = 0. 在这些情况下，做市商不应引用新的询价单，或应使用买入市场订单，以使投资保持在限制范围内，即δ+∈ {∞, o} 或δ-= -∞. 同样，我们将库存上限q的集合定义如下。S：=（{（w，p，q，r+，r-) ∈ S:q=q}，τ=0，{（w，p，q，r+，r-) ∈ S：q=q或q=q- 1，r-< ∞}, τ > 0.（A2）然后，状态s的容许作用空间由下式给出：={∞, o} ×Zo∪ Zo×{-∞}, s∈ S{-∞} ×Zo∪ Zo×{∞, o} ，s∈ S、 Zo×Zo，否则。（A3）A.2系统动力学对于我们的MDP模型，我们现在描述MDP离散系统状态的动力学，即si，i=0，1，2。。。，N、 N+。对于i=0，1。。。，N- 1，表示决策者的第i个行动/决策（δ+i，δ-i） 。对于周期i=0，1。。。，N、 我们使用两个指示器函数1fill+I和1fill-ito指定在时间ti时，询问和出价是否未完成订单（如有）- 分别在时间ti+之前填充（如果未填充，则为0）。注：如果做市商在第i次行动中发出取消指令，这些未完成订单将在时间ti+时取消。类似地，对于i=0，1，2。。。N-1，我们使用两个指示器函数1fill+i+和1fill-i+指定制造商在时间间隔【ti+，ti+1】内是否有任何询价和投标订单。如果制造商在时间间隔【ti+，ti+1】发出新订单和取消指令-,然后1加注+i+和1加注-i+指定是否在时间ti发送订单- 填写在【ti+，ti+1】中。否则，如果制造商没有在ti发送任何新订单或取消指示-,i、 e，δ+，δ-= o、 然后，这两个指标函数指定是否在[ti+，ti+1]中填写未完成订单（如果有）。

如果制造商在没有新订单的情况下发送取消指令，即δ+=∞, δ-= ∞, 则制造商不会在[ti+，ti+1）和Fill+i+=1中发出订单-i+=0。我们现在描述系统状态的动力学（w，p，q，r+，r-) 来自ti- 至ti+1- 对于i=0，1。。，N- 1、首先，我们确定价格变化pi:=p（ti+）- p（ti）=N（ti+）Pj=N（ti）+1Xjandpi+：=p（ti+1）- p（ti+）=N（ti+1）Pj=N（ti+）+1Xj。然后我们可以很容易地得到wi+1=wi+（pi+0.5+r+i）1fill+i- （pi- 0.5- r-i） 1加注-i+P填充+i+填充+i+- pfill公司-i+填充-i+，（A4）pi+1=pi+pi+pi+，（A5）qi+1=qi- 1加注+i+1加注-我- 1加注+i++1加注-i+，（A6）r±i+1=（1- 1超出±i+1）·∞ + 1输出±i+1输出±i+1，（A7），其中pFill±i+：=（pi±max{0.5+δ+i，-0.5 ± pi}，δ±i∈ Z、 pi±（0.5+r±i），δ±i=o，out±i+1：=1.- 1填充±i+，δ±∈ Z、 1个- 1填充±i- 1fill±i+，δ±=o，rout±i+1：=（δ±i (pi+pi+，δ±∈ Z、 r±i (pi+pi+，δ±=o，我们简单地解释了财富和未完成订单的动态，其他人很容易看到。在财富动态中，做市商在完成询价单的情况下赚取的金额等于执行价格，在完成报价单的情况下支付的金额等于执行价格。对于第i个周期，pfill+i+是在时间间隔【ti+，ti+1）（如果有）内填写的制造商的询价单的价格。如果δ+∈ Z、 然后，将在时间ti+取消ask outstandingorder。因此，[ti+，ti+1）中填写的ask订单是在第i个动作中发送的新订单。其执行价格是其自身价格pi+0.5+δ+和ti+时的市场最佳出价中的较大者，即pi- 0.5 + 圆周率。否则，如果δ+=o，则未完成订单将不会在第i个期间取消，[ti+，ti+1）中的执行价格是未完成订单的价格。

投标方也是如此。对于未完成订单，以询价方为例，1 out+i+1说明在时间ti+1是否存在未完成订单- （如果存在，则为1；如果不存在，则为0），rout+i+1将相对价格与ti+1时的最佳要价进行比较-. 如果δ+∈ Z、 如果且仅当在时间ti发送的新ask订单- 未填入[ti+，ti+1）。否则，如果δ+=o，则订单存在，如果且仅存在i-the期间的未完成订单（存在于时间ti-) 未填入[ti，ti+1）。如果δ+∈ Z、 相对价格基于时间ti发送的新订单的价格-; 否则，将以第i期未完成订单的价格为基础。接下来，我们将描述tN的动态- 至tN+-. 我们有wN+=wN+（pN+0.5+r+N）1填充+N- （请注意- 0.5- r-N） 1加注-N、 （A8）pN+=pN+pN，（A9）qN+=q- 1加注+N+1加注-N、 （A10）r±N+=1填充±N·∞ + (1 - 1加注±N）（r±N pN）。（A11）与tito ti+1动力学相比的主要差异，i=0，1。。，N- 1是做市商仅在时间tn解除其库存头寸，而不发布新报价。要查看（A11），请注意，如果第N个期间的未完成订单已填写，则在时间tN时不会有未完成订单-. 否则，将有一个askoutstanding订单，相对价格为pN+0.5+r+N- （pN+0.5+pN）=r+N- Pn与时间tN的最佳要价进行比较+-. 投标方也是如此。B第4B节中主要结果的证明。1定理4.1的证明。我们只为提问方证明结果。投标方类似。[第（a）部分的证明]。对于任何δ+<0的情况，发送的ask命令将立即执行，直到δ+0，t，δ+≡ 1.

然后从（3.1）得出，对于任何δ+<0的情况，我们有H+（0，t，δ+）=E[-0.5- p[0，t]=-p（·）的鞅性质为0.5。对于δ+≥ 0，从（3.1）我们推断，为了建立（4.1），必须显示[δ++1- p[0，t]| 1填充+0，t，δ+=1]=λ+λ++λ/2。（B1）为此，我们构造了一个适当的马尔可夫链。用τ，τ，…表示两个独立泊松过程N（·）和N+（·）的跳跃时间。。。和τ+，τ+。。。分别地定义（t）：=（1，如果{n∈ N：τN（t）<τ+N≤ t} 6=,0，否则，UAsk（t）：=（p（t），U A（t））。这里，如果存在任何“未知情”的买方市场订单（N+（·）），则UA（t）规范已达到自时间t的市场价格τN（t）最近一次跳跃以来的最佳ask。可以很容易地证明，U ask（t）是一个状态空间为Z×{0，1}的连续时间马尔可夫链，并且对于任何p∈ Z： （p，0）-→（p+1，0），速率λ/2，（p- 1，0），速率λ/2，（p，1），速率λ+，（p，1）-→（p+1，0），速率λ/2，（p- 1，0），速率λ/2，（p，1），速率λ+，还定义：τ填充：=inf{t≥ 0:UAsk（t）=（p（0）+δ+，1）}，τ填充：=inf{t≥ 0:UAsk（t）=（p（0）+δ++1，0）}，τfill：=最小{τfill，τfill，t}。如果τfill<min{τfill，t}，则在时间0发送的具有相对价格δ+且无延迟的ask订单将在时间t之前由“未信息”订单填充；另一方面，如果τfill<min{τfill，t}，则中间价格将在时间t之前与询价单的价格交叉。询价单将在时间tif之前完成，并且只有当τfill<t。然后，我们可以从方程（B1）中推导出e[δ++1- p[0，t]| 1填充+0，t，δ+=1]=E[p（0）+δ++1- p（τfill）|τfill<t]- E[p（t）- p（τfill）|τfill<t]，（B2），其中通过对鞅（·）应用可选采样定理，第二项为零。此外，我们注意到，如果τfill=τfill，那么p（τfill）=p（0）+δ+；如果τfill=τfill，则p（τfill）=p（0）+δ++1。