存在延迟时的最佳做市

未结清订单是指等待在限额订单簿中填写的限额订单（由制造商发送）。在每一个时期，除了最后一个时期外，做市商可以采取三种行动，要求和等待双方。以ask端为例，第一个是制造商发送ask取消指令和新的ask订单。订单大小固定为一个单位（例如，100股）。取消指令将自动取消制造商的任何未完成的ask订单（如果有）。第二个是制造商发送ask取消指令，但不发送任何ask订单。第三，制造商不发送任何询价订单或订单取消指示。这与投标方类似。通过这些行动，很容易看出，在我们的模型中，做市商在技术上τ > t、 比如说，τ=k·t表示整数k≥ 2，那么我们需要考虑延迟MDP Katsikopoulos和Engelbrecht（2003），这超出了本文的范围。。。。交易所：做市商：…MessageQuote&cancelUnwindProcessingTimet2t0+t1t1+t2+t0tN-1t（N-1）+tNtN+T图1：交易员做市过程的说明。这里，ti+=ti+τ、 在哪里τ是延迟。在任何时候，订单簿中最多有一份未完成的买卖订单。在最后一段时间里，制造商使用市场订单解除所有库存。我们将N+1个动作时间（包括最后一个时段）定义为交易所发送消息的时间，在该时间上进行相应的动作，即ti：=i·t、 对于i=0，1，2。。。，N、 （2.2）由于延迟，第i个动作的指令或取消指令（如果该动作没有执行任何操作）进入限额指令簿的时间为ti+：=ti+τ .

特别是，平仓市场订单到达交易所的时间是N+：=N·t+τ.为简单起见，在整篇文章中，我们说在时间t发送订单/指令，这意味着发送的订单/指令基于时间t的信息。我们假设制造商引用的次数尽可能多。作为tN+≤ T，我们有N=bT-τtc，其中bxc是小于或等于x的最大整数∈ R、 作为文献中的标准（例如，见Gu’eant et al.（2013）；Cartea et al.（2015）），为了控制库存风险，我们假设做市商的库存（持有的资产单位数量）受到下界q和上界q的约束。这里q和q是两个固定整数，q<-1和q>1.2.2订单执行我们现在在模型中描述做市商限额订单的执行情况。为了举例说明，我们考虑附带任意限价的询价订单。考虑到投标订单类似。请注意，对于通常在最佳报价下有长长的限制订单队列的大型tick资产，大多数市场订单不会遵循订单簿，限制订单通常以最佳出价和最佳卖价执行。在我们的设置中，当做市商的询价单到达交易所时，可以通过以下方式之一执行：1。如果询价单的限价小于或等于市场最佳出价，订单将立即执行。2、否则，如果（a）订单处于最佳卖出价格，且最佳出价上涨一个勾号，超过询价订单的限价，则询价订单将进入订单簿，并以其限价执行；（b） 或者订单在最佳要价下花费的总时间超过了一个比率为λ+的指数随机变量。案例1可能发生，例如，当制造商发送限价请求订单，且资产的中间价在延迟期内上扬时。

询价单的执行价格是询价单到达交易所时的市场最佳出价。在案例2（a）中，当市场通过其限价进行交易时，即当市场走高时，它是队列中最后一个被填满的订单。在我们的模型中（不对称信息没有明确建模），这为做市商起到了“对手选择”的作用。案例2（a）可能发生，例如，如果百思买订单激增。在案例2（b）中，当询价订单完成时，中间价不会移动，即订单靠在其后面的队列上。我们将λ+解释为小规模或“未知情”购买市场订单流量的命中率，该流量与做市商在最佳ask下的ask订单相匹配。类似地，我们使用λ-对于小型或“未知”的命中率，以最佳出价出售与该做市商的购买订单相匹配的市场订单流。假设这些“未知情”的买卖市场订单到达是相互独立的，与价格过程无关。我们注意到，费率λ±可能取决于价格变化率λ和延迟τ做市商经验。这不会影响第4节的数学结果。为了符号的简单性，我们抑制了这种依赖。2.3状态空间和容许作用空间我们现在描述MDP模型的系统状态和容许作用空间。我们将t处可用信息的状态写为s（t），扩展整数集Z：=Z∪{±∞}. 在任何时候t∈ [0，T]，做市商使用s（T）：=（w（T），p（T），q（T），r+（T），r-（t） （）∈Z×Z用于决策，其中w（t）是做市商的财富，p（t）是资产的中间价格，q（t）是做市商的库存。此外，（r+（t），r-（t） ）表示ask-BidUnderstanding报价对。

更准确地说，p（t）+0.5+r+（t）是市场的askIn价格。在某些场所，做市商可能不允许与做市商进行交易，因此，利差可以在短期内反转（允许套利）。我们不考虑这种情况。时间t的未完成订单，r+（t）=∞ 这意味着在时间t没有未完成的询价订单。请注意，p（t）+0.5是时间t资产的最佳询价，hencer+（t）是未完成询价订单与最佳询价的相对价格。类似地，p（t）- 0.5- r-（t） 是标记商在TW时未完成的投标订单的价格，其中r-（t） =∞ 表示在时间t没有投标订单。为了MDPmodel的可跟踪性，我们不在s（t）中包括订单状态、价格信号和其他市场信息。从泊松假设很容易看出，s（t）的样本路径是右连续的，具有左极限。对于i=0，1，2。。。，N、 表示SI=（wi、pi、qi、r+i、r-i） ：=s（ti-), si+=（wi+、pi+、qi+、r+i+、r-i+：=s（ti+-). （2.3）N+1状态si，i=0，1。。。，N与做市商的N+1行为（报价、取消或平仓）相关，而sN+是在做市结束之前的最终状态。这些N+2状态s，s。。。，sN，sN+是离散时间MDP和Si+的系统状态，i=1，2。。。，N- 是计算这些系统状态动力学的中间产物。我们也可以调用N+1乘以ti，i=0，1。。，N，离散时间MDP中的决策阶段（尽管在tN，做市商只是使用市场指令平仓）。我们现在可以写下状态空间。很明显，我们有r±（t）≥ 0

请注意，当制造商的库存达到下限/上限时，他不应在每个决策阶段有任何未完成的买卖订单，因为否则，由于可能执行这些未完成订单，库存可能会超过两个界限。因此，状态空间如下所示。S：={（w，p，q，r+，r-) : （w、p、q）∈ Z、 （r+，r-) ∈ Z×Z，q≤ q≤ q、 r±≥ 0，如果q=q，则r+=∞, 如果q=q，那么r-= ∞}.接下来，我们描述容许作用空间。制造商可以发送市场订单、限制订单或不发送任何订单。对于每个时期，当做市商收到系统状态s=（w，p，q，r+，r-), 我们使用一对（δ+，δ-) 表示制造商的动作，其中δ+，δ-∈ Z∪ {o} 。δ+∈ Z表示制造商以P+0.5+δ+的价格报价ask订单，即δ+是与最佳ask价格相比的相对价格，以及取消其先前ask未完成订单的指示。δ+= ∞ 表示制造商取消其ask未完成订单，但不发送任何新的ask订单。δ+= -∞ 也就是说，制造商发送了一份带ask取消指令的卖出市场订单。δ+=o表示制造者不为提问方做任何事。δ+=∞ δ+=o是指制造商是否发送取消指令，要求取消订单。投标方也是如此。具体而言，δ-∈ Z表示制造商以p价报价- 0.5- δ-. δ-= ∞ 意味着没有购买订单，但发出了取消出价指令。我们对离散时间状态使用基本连续时间状态过程的左极限，这是连续时间随机控制文献中的惯例。和δ-= -∞ 指取消投标的买方市场订单。

为方便起见，我们还将δ±=±∞ 相对价格，并使用符号Zo：=Z∪ {o} 对于一组可能的决定。我们用ast表示容许作用集（δ+，δ-) 对于s状态，做市商的投资在任何时候都保持在区间[q，q]内。有关As的数学表达式，请参见第A.1节。为了建立MDP，我们还需要描述系统状态的动态。我们请读者参阅第A.2节了解详细信息。2.4做市商的优化问题在本节中，我们制定了做市商的优化问题。做市商在每个时段都会报价买入和卖出指令，并希望在交易期结束时平仓后，最大化其预期的最终财富。不考虑IT和法规遵从性等交易成本。我们首先给出做市商终端财富的表达式，表示为W。假设在tN+之前，状态sN+=s（tN+-) is（wN+，pN+，qN+，r+N+，r-N+。那么很容易看出w：=wN++pN+qN+- 0.5 | qN+|。（2.4）也就是说，如果做市商的正库存qN+>0，那么做市商通过发送市场卖出指令来平仓，执行价格是最佳出价pn+- 0.5. 类似地，如果qN+<0，则做市商发送市场购买订单，该订单将以最佳要价pN++0.5完成。我们不考虑此类清理贸易的价格影响。只要做市商的库存边界不超过订单中最佳报价的市场深度，这是合理的。对于大型tick资产，通常存在大量处于最佳报价的限额订单。现在我们可以将做市商的优化问题表述为：v（s）=v（w，p，q，r+，r-) := supπEπ[W | s=（W，p，q，r+，r-)],（2.5）最高限额接管所有马尔可夫容许保单。

具体来说，我们有每个马尔可夫策略π=（f，f，…，fN），其中fi（·）是从S到zo×zo的映射，因此对于所有∈ S、 金融机构∈ As，容许作用空间。该函数从第0个周期开始调用value函数。我们还可以从第i个周期开始定义值函数，i=1，2。。。，N、 N+，如下所示：vi（w，p，q，r+，r-) := supπEπ[W | si=（W，p，q，r+，r-)], i=1，2。。。，N、 vN+（w、p、q、r+、r-) := w+pq- 0.5 | q |。（2.6）从数学上讲，在方程（2.5）和（2.6）中，期望值的存在并不平凡，因为W是无界的。为了解决这个问题，有一种标准的方法，使用一个积分边界函数来约束值函数。对于我们的MDP，可以使用边界函数C（| w |+| p |+1），它可以被验证为可积的，其中C是独立于状态s的常数。为简单起见，我们省略了证明，并参考Buerle和Rieder（2011）的方法。2.5 Bellman方程我们将做市商问题表述为MDP，标准参数产生以下价值函数Bellman方程：vi（s）=w+pq- 0.5 | q |，i=N+，E[vN+（sN+）（sN=s]，i=N，sup（δ+，δ-)∈AsE（δ+，δ-)[vi+1（sN+1）| si=s]，i=0，1。。。N- 1，（2.7）其中上标（δ+，δ-) 在期望符号中，表示在第i个动作中，ask动作是δ+，bid动作是δ-. 利用上半连续MDP理论，可以很容易地证明方程（2.7）中的上确界算子可以得到，从而为MDP生成一个最优策略。

由于论点是标准的（参见Buerle和Rieder（2011）），我们省略了证据。2.6模型限制在给出主要结果之前，我们简要讨论了模型的主要限制。首先，实际上，做市商是根据微观结构信息做出决策的，例如交易largetick资产时订单簿的状态和订单的队列位置。我们使用了一个风格化的MDP模型，以在做市过程中包括延迟，而不包括这些用于可处理性目的的功能。通过我们的简化模型，我们可以发现做市的关键因素是订单的价值（预期利润）。实际上，做市商可以使用微观结构信号和延迟信息来预测订单价值，并结合我们的结果来决定是否适合交易特定的大额资产。此外，在我们的模型中，做市商是风险中性的，因为他最大化了预期的终端财富。如果做市商的预期利润是经过风险调整的，那么我们在本文中提供的利润条件将成为此类做市商获得正风险调整利润的必要条件。最后，我们不会直接模拟做市商的竞争。

除了我们考虑的代理之外，还可能有其他具有类似策略和信息的标记制造商，而较低的延迟可以让人们在订单队列中获得更好的位置。我们的模型以一种节省的方式捕获了代理的相对速度优势，直接指定了“未知情”的市场订单流冲击代理的小额订单的速度，并且该速度可能会随着代理经历的延迟而降低（在其他事情固定的情况下）。3订单的价值在本节中，我们介绍并定义订单的价值（也称为“订单价值”），该价值在我们分析最优做市问题时起着关键作用。订单的价值（或预期利润）衡量其执行价格与订单执行时资产“基本价值”的差异。例如，如果使用订单执行时的资产中间价作为基本价值，则一个单位市场订单的价值为-0.5个刻度表示大型刻度资源。也就是说，atrader使用市场指令支付一半的买卖价差。为了确定存在延迟时订单的价值，我们注意到，市场价格可能在做市商发出订单的那一刻与确认的下单或执行订单之间变动。通过这一观察，我们现在可以从数学上定义一个阶的值。假设基于时间零点的信息，一个相对价格为x的订单∈ Z被发送到exchange。对于ask订单，这意味着订单的报价为p（0）+0.5+x；对于投标订单，这意味着该订单的报价为p（0）- 0.5- x。

此订单经历时间延迟t≥ 0（这是做市商发送的新订单在交易所确认下单之前的延迟时间）。然后，我们将此订单的执行价格与时间t+t（对于某些时间t）的中间价格进行比较≥ 0）被视为资产的基本价值。如果在时间t+t之前未执行该命令，则该命令的值为零。正如我们稍后将看到的，在我们的模型中，tcan可以是零或τ和t+tcan beτ或t取决于我们考虑的订单（例如，制造商发出的未完成的旧订单或新订单）以及订单取消的时间。数学上，对于任何t，t≥ 0，相对价格为x的订单的值由h±（t，t，x）=E定义最大{0.5+x p[0，t]，-0.5}  p[t，t+t]· 1填充±t，t，x, （3.1）其中H+表示ask订单的值，H-表示投标订单的价值，p[·，·]表示相应时间窗口上中间价的变化，指示器功能1fill±t，t，x指定在t+t之前是否填写了相对价格为x的询价/投标订单。我们简要解释了（3.1），因为询价方与投标方相似。本询价单的执行价格为其限价p（0）+0.5+x，或T时的市场最佳出价，即p（0）+p[0，t]- 0.5，这取决于当询价单到达交易所时，市场最佳出价是否超过询价单的限价。此外，时间t+的中间价格由p（0）+p[0，t]+p[t，t+t]。询价订单的执行价格与时间t+的中间价格之间的差异使得订单值H+的表达式出现在（3.1）中。请注意，上述订单值H±（t，t，x）的定义也适用于x=±∞. 对于x=∞, （3.1）中的指标函数为零，因为这样的订单不会被填写，H±（t，t，∞) ≡ 0