存在延迟时的最佳做市

类似地，x=-∞ 表示订单是市场订单，我们有H±（t，t，-∞) ≡ -中间价的鞅性质为0.5。4主要结果在本节中，我们介绍了主要结果。第一个结果是订单的价值，见第4.1节。第二个结果描述了MDP模型值函数的结构，见第4.2节。最后，第三个结果是当做市策略可行时，第4.3.4.1节给出了订单价值的表征。我们现在陈述了本文的第一个主要结果。它给出了时滞t=0的阶值的显式表达式。它还将经历正延迟的订单值与零延迟的订单值联系起来。最后，它提供了确定theorder值何时为正值的简单条件。回忆H±和（3.1）中定义的指示器功能1fill±0，t，xd。在轻微滥用符号的情况下，我们使用δ±表示询价/投标订单的相对价格。定理4.1。对于任何t≥ 0，t>0和（δ+，δ-) ∈ Z、 我们有（a）H±（0，t，δ±）=λ±λ±+ λ/2- 0.5· E填充±0，t，δ±, δ±≥ 0,- 0.5，δ±<0，（4.1）（b）H±（t，t，δ）=E[H±（0，t，δ± p[0，t]）]（4.2）（c）H±（t，t，δ±）≤ 任何δ±为0∈ Z当且仅当λ±≤ λ/2.该结果的（a）部分指出，零延迟订单的值是线性初始概率。我们简要讨论了系数的经济解释。举例来说，我们以H+（0，t，δ+）为例。对于δ+<0的情况，ask订单实际上是市场订单，由于没有延迟，因此将立即以当前最佳出价完成。因此，其执行价格比执行时的中间价格低0.5个基点。由于中间价是一个具有独立增量的鞅，因此该订单的预期价值为-0.5个刻度。

另一方面，对于δ+≥ 0时，极限sellorder进入订单簿，通过（4.1），其值等于常数λ+λ++λ/2- 0.5乘以[0，t]中询问顺序的填充概率，即[1填充+0，t，δ+]。该常数λ+λ++λ/2-0.5表示在订单已填写的情况下，ask订单的有条件预期利润。要看到这一点，我们注意到，当此类询价单被填写时，有两种情况：首先，询价单处于最佳询价价格，最终与“未知情”的采购订单进行交易，由于中间价格在执行时没有移动，因此增加0.5个勾号（“展销捕获”）；其次，中间价上涨并与询价单的报价交叉，在这种情况下，询价单损失0.5个刻度，因为中间价在执行订单时立即上涨一个刻度（“逆向选择”）。第一种情况发生率为λ+，而第二种情况发生率为λ/2。因此，以执行为条件的预期利润限制销售订单由λ+λ++λ/2·0.5+λ++λ/2·给出(-0.5) =λ+λ++ λ/2- 0.5.虽然我们的模型不具有信息不对称的特征，但这里的结果与现有研究一致（见Sandas（2001）；Moallemi和Yuan（2017年）），他们表示可以将订单价值解释为：订单价值=（价差捕获- 逆向选择成本）×填充概率。我们接下来讨论第（b）部分。这表明，延迟订单的价值是零延迟订单的预期价值，其中引号（δ+，δ-) 受延迟窗口期间市场价格随机波动的影响。

因此，例如，如果在零延迟t=0的情况下，以最佳要价δ+=0报价是最优的（最大化订单值），那么在延迟t>0的情况下，这样的报价可能不再是最优的，订单值将减少。（c）部分表示如果λ+≤ λ/2，则不存在具有正值的ask指令，如果λ+>λ/2，则至少存在一个值为正值的ask限制指令。这与投标方类似。这一结果将有助于描述第4.3节讨论的造市策略的可行性。注意，对于t=0，第（c）部分的结果与第（a）部分的结果完全一致。对于一般t≥ 0时，需要结合（a）和（b）部分，以及随机游走和泊松过程的特性来建立结果。有关证明的详细信息，请参见附录B.1。4.2价值函数的结构和订单价值的作用我们现在给出本文的第二个主要结果。它描述了（2.7）中价值函数的结构，并强调了订单价值在最优做市中的作用。为了方便和简化演示，让我们使用指标函数1fill+和fill-表示未完成的买卖订单（在时间0时观察到）是否满足[0，τ ). 我们还定义了±act（r±，δ）：=（H±（0，τ、 r±）+H±(τ, t型- τ, δ±), δ±∈ Z、 H±（0，t、 r±），δ±=o，（4.3），那么我们可以得到以下结果。结果表明，做市商的sbid和ask指令在一个时期内的价值，即H+act（r+，δ+）+H-act（r-, δ-) 正如我们稍后将解释的那样，在我们的MDP模型中，基本上起着单期奖励的作用。定理4.2。

对于任何s=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 我们有vN+（S）=w+pq- 0.5 | q |和VI（s）=w+pq+gi（q，r+，r-), i=0，1，2。。。，N、 （4.4）其中gi（q，r+，r-) :=H+（0，τ、 r++H-(0, τ、 r-)- 0.5Eh | q- 1加注++1加注-|（r+，r-) = （r+，r-)i、 i=N，最大值（δ+，δ-)∈AsGi（q，r+，r-, δ+, δ-), i=0，1。。。，N- 1，（4.5）和Gi（q，r+，r-, δ+, δ-) := Egi+1（q，r+，r-) | （q，r+，r-) = （q，r+，r-), (δ+, δ-) = (δ+, δ-)+ H+act（r+，δ+）+H-act（r-, δ-).（4.6）定理4.2将值函数的计算从五个状态变量减少到三个状态变量（q、r+、r-) 在向后递归（4.5）中。如（4.4）所示，值函数vi（w，p，q，r+，r-) 可以分解为三部分：（1）w代表做市商当前的财富或现金；（2） pq是以中间价格标记到市场的存货价值；（3） gi（q，r+，r-) 表示遵循最佳策略的额外价值，该额外价值取决于做市商的未完成订单以及库存。特别是，存在库存罚款-0.5 | q |在tN+的终端时间出现，因为做市商需要通过使用市场指令和跨越买卖价差来平仓。（4.5）和（4.6）中的反向递归和最大化问题规定了当前期间的订单价值（未完成订单和行动中发送的新订单）与下一期间的预期额外价值gi+1之间的权衡。具体而言，术语H+act（r+，δ+）+H-act（r-, δ-) 在（4.6）中，是当前期间行动中未完成订单和新订单的价值。要看到这一点，请注意δ+，δ-∈ Z、 则当前期间未完成订单的生命周期为τ ; 否则（即，不采取任何行动），剩余订单将保留在订单簿中t在一个周期内。

类似地，第i个操作中的新orderssent如果输入到订单簿中，将保留t型- 当前期间的τ。这就解释了（4.3），从而解释了H+act（r+，δ+）+H-act（r-, δ-).我们还解释了此处的价值函数结构与现有文献中关于零延迟最优做市的结构（在不同模型下）之间的异同。当延迟为零时，即：。，τ=0，可以很容易地说明值函数不依赖于未完成订单的相对价格（r+，r-). 在这种情况下，（4.4）中的值函数分解结构类似于Incontea和Jaimungal（2015）。由于我们的模型中存在延迟，我们可以观察到我们的结果与文献中的结果之间的主要差异（参见Cartea和Jaimungal（2015））。首先，我们的额外价值取决于未完成的订单。其次，由于存在延迟，这些未完成订单可能在做市商取消之前执行，这将影响做市商未来的库存和行动。4.3做市商策略的可行性我们给出了本文的第三个主要结果。它使我们能够更好地了解做市策略的可行性τ ≥ 具体而言，我们考虑做市商的预期利润P，定义的asP：=v（w，P，0，∞, ∞) - w、 （4.7）也就是说，P是在期限[0，T]内的预期净财富变化，其中做市商以现金w、零库存（q=0）和无未完成订单（r+=∞, r-=∞) 在时间零点的限额订单簿中。下面给出的结果显示P为正时。定理4.3。修复延迟τ ≥ 0和其他参数λ、λ+、λ-, t、 q，q。

我们有（1）Ifλ+≤ λ/2和λ-≤ λ/2，则对于任何N，P=0≥ 1.（2）如果λ+>λ/2和λ-> λ/2，则存在一个与固定参数无关的有限正整数N，使得N<N时P=0，N时P>0≥ N分钟。接下来我们讨论定理4.3的含义。该结果的第（1）部分指出，在与做市商限价指令进行交易的“未知情”市场指令的比率λ+，λ-如果小于λ/2，则无论做市商报价多少倍，做市商都无法获得正利润。当市场高度波动且价格变化率λ较大，或者没有足够的“未知情”市场订单冲击做市商的限价订单，从而导致λ+和λ值较低时，这些条件可能保持不变-.然后，第（1）部分指出，在这些情况下，单一资产的电子做市并不可行。该结果的第（2）部分表明，如果市场条件良好，在λ+、λ-> λ/2，且市场庄家可以多次报价，或等效地，当周期长度t固定。虽然我们没有Nmin的解析表达式，但该数量有一个明确的可计算上界，该上界仅涉及某些买卖订单的值和概率。详见定理4.3的证明。为了理解定理4.3背后的直觉，我们使用了定理4.1中的theorder值的特征和定理4.2中的值函数。一方面，根据定理4.1的（c）部分，当λ+≤ λ/2和λ-≤ λ/2. 由于定理4.2表明，订单值在动态优化问题中基本上起着单期报酬的作用，我们可以推断，做市商不能获得正利润。

另一方面，当λ+，λ-> λ/2，定理4.1的（c）部分表明存在一个顺序值均为正的买卖报价对。然后，我们可以使用该报价对构建一个明确可行的市场制定政策，对于该政策，在大量的报价时间n内，其收益将变为正。在进行数值实验之前，我们对λ+>λ/2的情况进行简要的评论≥ λ-和λ-> λ/2 ≥ λ+. 在这两种情况下，存在一方订单值为正的订单，而另一方订单值为零。取决于λ+、λ的值-和其他模型参数一样，对于任何N（如定理4.3第（1）部分所述），P=0或对于足够大的N（如定理4.3第（2）部分所述），P>0是可能的。5数值实验在本节中，我们给出了数值结果。第5.1节讨论了使用纳斯达克数据对模型参数的估计。第5.2节讨论了做市商最佳报价政策和相关库存流程的代表性示例。第5.3节说明了我们关于订单价值的结果。第5.4节从数字上说明了我们关于做市可行性和延迟效应的主要结果。我们的数值结果基于解决定理4.2中的向后递归，其中我们可以计算函数gi，并通过截断有限状态空间和动作空间以及使用（4.5）中的最大化问题的穷举搜索来找到最优报价。5.1估计我们讨论模型参数λ、λ+、λ的估计-在本节中。

其他参数，如报价持续时间t、 交易期限t、库存界限q、q均由做市商选择。5.1.1数据描述我们使用纳斯达克的TotalView ITCH数据，该数据包含订单事件的消息数据。数据库记录了导致限额订单账簿更新至所需级别的所有订单活动，因此包括带有订单参考号的可见订单提交、取消和执行。每个可见限额订单都有一个唯一的订单参考号，该编号在提交后立即分配。数据由LOBSTER网站提供(https://lobsterdata.com/).这些事件的时间戳以秒为单位测量，十进制精度至少为百万秒，最高可达纳秒，具体取决于请求的级别数。我们使用具有代表性的大型股票通用电气公司（GE）在随机选择的日期（2016年10月3日）上午10:00至下午4:00的数据进行参数估计。表1显示了当天的买卖价差观察结果。阿松可以看到，GE的传播在大多数情况下是1蜱，传播很少超过2蜱。我们还报告，best askand和best bid上的限制订单队列的平均大小分别为8758和7727股。表1:2016年10月3日GE不同买卖价差的观察百分比。买卖价差1勾2勾≥ 3 ticksPercentage 88.236 11.757 0.0075.1.2模型参数估计首先讨论如何估计λ，即我们模型中的市场价格变化强度。由于我们在模型中假设买卖价差始终为1个刻度，因此我们首先在买卖价差超过1个刻度时删除数据。

然后，我们可以利用白天每分钟中间价的平均跳跃次数来估计价格变化的强度。这产生λ=λGE=1.56/min。然后讨论如何估计λ+，λ-, 以最佳报价与做市商的限价指令进行交易的“未知情”市场指令的比率。如果市场订单到达并生成交易后中间价不变，我们将市场订单视为“未知情”市场订单，然后我们通过计算每分钟平均到达数量来估计总“未知情”市场订单的到达强度。为了简单起见，我们使用总强度的一半来买卖“未知情”市场订单，这导致λ+GE=λ-GE=每分钟1.25。注意λ+Ge和λ-Ge对应于做市商的订单总是排在最高价的队列前面的情况。对于特定做市商，利率λ+和λ-可能小于λ+GEA，因为他发送的命令在队列中可能没有最高的执行优先级。此外，λ+和λ-可能取决于其他因素，包括特定做市商与执行类似策略的贸易商相比的延迟和速度优势。为了便于说明，在我们的数值实验中，我们fixλ+=λ-= 0.7·λ+GE=0.875每分钟>0.5λGE，除非另有规定。特别是，我们假设λ+，λ-与延迟无关本节中的τ。我们注意到可以估计λ+和λ-并显示他们对基于本文的理论分析，给出了特定市场制造商的τ。详见附录C。5.2做市商的最优报价和库存过程基于以上估计的参数，我们在图2中展示了做市商在一次模拟中的最优报价和库存过程的代表性示例。在本例中，做市商在100分钟的窗口内每秒钟报价一次。

延迟时间固定为0.02秒。在此示例路径中，做市商总共发送129个询价单和35个报价单。在所有这些订单中，执行了13个ask订单和13个bid订单。在最优报价策略中，我们使用报价值15表示动作δ+=o，即在ask端不做任何事情。类似地，我们使用引号-14表示δ-= o、 对于任何其他值y∈ (-14、15）在左纵轴上，代表做市商的报价δ+=y- ask侧为1或δ-= -投标方为y。对于这个特定的示例路径，我们观察到制造者的动作在许多时期内都不起作用。这是因为，由于延迟，发送新订单有潜在的缺点：如果市场价格在延迟窗口内变动，那么制造商发送的新订单可能会进入不期望的价格水平，或者在到达订单簿时“被反向填充”。因此，如果制造商已经以合适的价格收到了未完成的订单，那么可能什么都不做比发送新订单来替换未完成的订单更好。我们还观察到，当制造商拥有非零库存时，其报价对可能是不对称的。例如，当时间为450秒时，库存为-2（右轴），动作为（δ+，δ-) = (4, 0).在这种情况下，考虑到库存为负值，做市商销售的积极性较低。5.3阶值和延迟在本节中，我们使用数值实验来说明第4.1节中基于第5.1.2节中参数的阶值结果。表2显示，使用两个具有不同延迟的代表性示例，制造商H发送的新ask订单的值+(τ, t型- τ、 δ+（见（3.1）和（4.3）），了解不同的质量决定δ+。