存在延迟时的最佳做市

因此，我们推断e[p（0）+δ++1- p（τfill）|τfill<t]=p（τfill=τfill |τfill<t）。（B3）为了证明（B1），还需要显示p（τfill=τfill |τfill<t）=λ+λ++λ。（B4）为此，我们考虑UAsk（t）的嵌入式离散时间马尔可夫链（DTMC）。嵌入式DTMC，表示为{U Askn:n≥ 0}具有U Askn的属性∈{（p（0）+δ+，1），（p（0）+δ++1，0）}仅当UAskn-1.∈ {（p（0）+δ+，0），（p（0）+δ+，1）}。此外，从连续时间马尔可夫链U Ask（t）的转移率可以清楚地看出，对于每个n，P（UAskn=（P（0）+δ+，1）| U Askn-1=（p（0）+δ+，0）p（UAskn∈ {（p（0）+δ+，1），（p（0）+δ++1，0）}| UAskn-1=（p（0）+δ+，0））=λ+λ++λ/2。结合连续时间马尔可夫链的马尔可夫性质、保持时间的独立性和跳变，我们可以很容易地验证（B4）是成立的。[第（b）部分的证明]。根据方程式（3.1），对于任何t≥ 0，t>0和δ+∈ Z、 H+（t，t，δ+）=E[（最大值{0.5+δ+- p[0，t]，-0.5} - p[t，t+t]）1填充+t，t，δ+]，其中指标函数1填充+t，t，x指定相对价格x（进入订单簿或在时间t执行）的询价订单是否在时间t+t之前完成。请注意{（p（t），N+（t））：t≥ 0}是一个具有平稳和独立增量的二维过程。然后给出p[0，t]=k，对于任何k∈ Z、 我们可以很容易地推断E[（max{0.5+δ+- k-0.5} - p[t，t+t]）1填充+t，t，δ+|p[0，t]=k]=E[（最大值{0.5+δ+- k-0.5} - p[0，t]）1填充+0，t，δ+-k] =H+（0，t，δ+- k） 。因此，我们从条件期望的tower性质中得到了期望的结果。[第（c）部分的证明]。首先，假设λ+≤ λ/2. 当t=0时，根据定理4.1的（a）部分，很明显，对于任何δ+∈Z、 我们有H+（0，t，δ+）≤ 因此，对于任何t，t≥ 0，根据定理4.1第（b）部分，对于任何δ+∈ Z、 H+（t，t，δ+）=E[H+（0，t，δ+- p[0，t]）]≤ 接下来，假设λ+>λ/2。

当t=0时，根据定理4.1的（a）部分，当δ+=0时，H+（0，t，0）=λ+λ++ λ/2- 0.5· E填充+0，t，0> 现在考虑t>0。根据定理4.1的（a）和（b）部分，对于任何δ+∈ Z、 我们有h+（t，t，δ+）=∞Xk公司=-∞H+（0，t，δ+- k） P(p[0，t]=k）=- 0.5便士(p[0，t]≥ δ++ 1) +λ+λ++ λ/2- 0.5δ+Xk=-∞E[1填充+0，t，δ+-k] P(p【0，t】=k）≥ - 0.5便士(p[0，t]≥ δ++ 1) +λ+λ++ λ/2- 0.5· E[1填充+0，t，0]·P(p[0，t]=δ+。我们声称Limδ+→∞P(p[0，t]≥ δ++P(p[0，t]=δ+- 1） =0，（B5），因此，如果δ+足够大，则H+（t，t，δ+）大于0。为了证明方程（B5），我们首先注意到，我们只需要证明mδ+→∞P(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)= 0. （B6）这是因为，如果方程（B6）成立，则存在常数c∈ （0，1），因此对于δ+足够大的，P(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+-1） <c.因此，作为δ+→ ∞,P(p[0，t]≥ δ++P(p[0，t]=δ+- 1)≤（1+c+c+…）P(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)=1-cP公司(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)→ 接下来，我们证明方程（B6）。对于任何0≤ δ+∈ Z、 我们有(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)=∞Pk=δ+P(p[0，t]=δ+| N（t）=k）p（N（t）=k）∞Pk=δ+P(p[0，t]=δ+- 1 | N（t）=k- 1） P（N（t）=k- 1） ，（B7）注意到如果k<δ+，则P(p[0，t]=δ+| N（t）=k）=0。对于任何0≤ δ+≤ k、 wehaveP公司(p[0，t]=δ+| N（t）=k）=kk+δ+k、 如果k和δ+具有相同的奇偶性，则0，如果k和δ+具有相反的奇偶性。因此，对于任何0≤ δ+≤ k、 如果δ+和k具有相同的奇偶性，则p(p[0，t]=δ+| N（t）=k）p（N（t）=k）p(p[0，t]=δ+- 1 | N（t）=k- 1） P（N（t）=k- 1)=kk+δ+ke公司-λt（λt）k/k！k-1公里-1+δ+-1.k-1e级-λt（λt）k-1/（千）- 1)!=λtk+δ+≤λt2δ+。因此，通过方程（B7），我们得到(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+-1)≤λt2δ+→ 0，作为δ+→ ∞.因此，方程式（B6）成立，ask端的第（c）部分证明已完成。投标部分的顶部类似，因此省略。B、 2定理4.2的证明。

我们用反向归纳法和Bellman方程（2.7）证明了定理4.2。回想一下1fill+i、1fill+i+、1fill的定义-i、 1加注-i+，圆周率，pi+，pfill+i+，pfill-i+见第A.2节。对于i=N，根据Bellman方程（2.7），对于任何s=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 我们有Vn（S）=E[w+（p+0.5+r+）1填充+N- （p- 0.5- r-)1加注-N+（p+pN）（q- 1加注+N+1加注-N）- 0.5 | q- 1加注+N+1加注-N个|sN=s]=w+pq+H+（0，τ、 r++H-(0, τ、 r-) - 0.5E[| q- 1加注++1加注-|（r+，r-) = （r+，r-)],=w+pq+gN（q，r+，r-),其中，我们使用了MDP的平稳性以及H±和gN的定义。对于i=0，1。。。，N-1，假设vi+1（s）=w+pq+gi+1（q，r+，r-) 对于任何s=（w，p，q，r+，r-) ∈S、 然后对于任何S=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 我们可以计算出vi（S）=max（δ+，δ-)∈AsE[vi+1（s）| s=s，（δ+，δ-) = (δ+, δ-)]= 最大值（δ+，δ-)∈AsE[w+（p+0.5+r+）1注入+- （p- 0.5- r-)1加注-+ P填充+0+填充+0+- pfill公司-0+填充-0++（p+p+p0+（q- 1加注++1加注-- 1加注+0++1加注-0++gi+1（q，r+，r-) | s=s，（δ+，δ-) = (δ+, δ-)],其中，我们使用了Bellman方程（2.7）、vi+1假设和方程（A4）-（A6）中的系统动力学。重新组织术语并使用以下事实：p0+独立于1个fill+和1个fill-, 我们得到VI（s）=w+pq+H+（0，τ、 r++H-(0, τ、 r-)+ 最大值（δ+，δ-)∈AsnE[（pfill+0+- p- p- p0++1填充+0+]+E[（p+p+p0+- pfill公司-0++1加注-0+]+E[gi+1（q，r+，r-) | （q，r+，r-) = （q，r+，r-), (δ+, δ-) = (δ+, δ-)]o、 通过对函数Gi的定义，仍需证明，对于任何可能的（r+，r-, δ+, δ-),H+（0，τ、 r++E[（pfill+0+- p- p- p0++1填充+0+|（r+，δ+=（r+，δ+）=H+作用（r+，δ+，H-(0, τ、 r-) + E[（p+p+p0+- pfill公司-0++1加注-0+|（r-, δ-) = （r）-, δ-)] = H-act（r-, δ-).（B8）我们证明了（B8）中的第一个方程（即ask侧）。对于δ+∈ Z、 它直接来自pfill+0+（方程式（A7）后给出）和H+act（r+，δ+）的定义。

对于δ+=o，我们需要toshowH+（0，τ、 r++E[（r+- p- p0++1填充+0+|（r+，δ+=（r+，o）]=H+（0，t、 r+（B9）这也可以通过使用（3.1）中H+的定义以及价格过程p（·）是鞅这一事实来验证。因此，证明是完整的。B、 3定理4.3的证明为了证明定理4.3，我们需要一个引理，表明当其他参数固定时，做市商P的预期收益是报价周期数N的非递减函数。引理B.1。修复延迟τ ≥ 0和其他参数λ、λ+、λ-, t、 我们有P是N的非递减函数。引理B.1的证明。主要思想如下。比较分别具有N个周期和N+1个周期的两个MDP问题，后者时间点的值函数与前者时间点的值函数（即初始值函数）相同，因为它们可以通过相同的终端值函数的相同向后递归（Bellman方程）计算。对于s=（w，p，0，∞, ∞), 由于制造商可以选择在初始操作中不发布订单，因此N+1周期问题的价值函数大于或等于相同问题的价值函数。因此，有N+1个周期的P大于或等于有N个周期的P。数学上，根据定理4.2和方程（4.7），P=g（0，∞, ∞) 是n的函数。用fP（N）表示此函数。显然，我们有fP（0）=0。对于N=N的两个MDP问题≥ 1和N=N+1，表示值函数和相应的g函数，由vni（s），gni（s），i=0，1。。。，n和vn+1i（s），gn+1i（s），i=0，1。。。，分别为n+1。根据定理4.2，函数vn（s）和vn+1（s）由相同的向后递归过程计算，从相同的函数Vnn（s）=vn+1n+1（s）=w+pq+H+（0，τ、 r++H-(0, τ、 r-)- 0.5E[| q- 1加注++1加注-|（r+，r-) = （r+，r-)],对于任何s=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 因此，对于任何∈ S、 vn（S）=vn+1（S）。

根据定理4.2，对于任何w，p∈ Zvn+1（w，p，0，∞, ∞) =w+p·0+最大值（δ+，δ-)∈AsnH+act(∞, δ++H-act公司(∞, δ-) + E[gn+1（q，r+，r-)| （q，r+，r-) = (0, ∞, ∞), (δ+, δ-) = (δ+, δ-)]o≥w+H+act(∞, ∞) + H-act公司(∞, ∞)+ E[gn+1（q，r+，r-) | （q，r+，r-) = (0, ∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)]=w+gn+1（0，∞, ∞) = vn+1（w，p，0，∞, ∞).因此，我们得到fp（n+1）=vn+1（w，p，0，∞, ∞) - w≥ vn+1（w，p，0，∞, ∞) - w=vn（w，p，0，∞, ∞) - w=fP（n）。因此，证明是完整的。定理4.3的证明。我们首先证明第（1）部分。根据定理4.1的（c）部分，如果λ+≤ λ/2和λ-≤ λ/2，函数H+，H-总是非正面的，因此根据H+act的定义，H-act，针对任何可能的（r+，r-, δ+, δ-), H+作用（r+，δ+，H-act（r-, δ-) 都是非正面的。我们证明了gi（q，r+，r-) ≤ 0，对于i=0，1。。。，N和任何可容许的（q，r+，r-) 通过定理4.2中的向后递归。对于i=N，它直接适用于方程式（4.5）。假设对于某些i（1≤ 我≤ N），gi（q，r+，r-) ≤ 0表示任何容许值（q，r+，r-). 然后从方程（4.5）和（4.6）中，我们得到-1（q，r+，r-) = 最大值（δ+，δ-)∈AsnH+act（r+，δ+）+H-act（r-, δ-) + E[gi（q，r+，r-)| （q，r+，r-) = （q，r+，r-), (δ+, δ-) = (δ+, δ-)]o≤ 因此，gi（q，r+，r-) ≤ 0，对于i=0，1。。。，N和任何可容许的（q，r+，r-). 根据方程式（4.7），P=g（0，∞, ∞) ≤ 因为P的下界为0，所以我们得到P=0。接下来，我们证明第（2）部分。假设λ+>λ/2和λ-> λ/2. 根据定理4.1的（c）部分，存在一个引号对，用（δ+，M，δ）表示-,M）∈ Z、 使H+(τ, t、 δ+，M）>0和H-(τ, t、 δ-,M） >0。显然，我们有δ+，M，δ-,M∈ Z和ifτ=0，然后δ+，M，δ-,M≥ 0，否则其顺序值将为0或-0.5. 其主要思想是利用这个引号对（δ+，M，δ）构造一个可容许策略-,M） ，如果N是一个非常大的偶数，则预期的结果为正。

然后，Nminexists sinceP是引理B.1给出的N的非增函数。我们还给出了Nmin的上界。首先，我们定义了可接受的政策。用vπi（s）表示任何容许策略π{fi：i=0，1，…N}后的预期W，从时间Ti开始，初始状态=（W，p，q，r+，r-) ∈ S、 在偶数N的MDP问题中，我们考虑了一个可容许策略∧π={fi:i=0，1，…N}≥ 4，即，对于某些2，N=2K≤ K∈ N、 从时间0开始，初始状态（w、p、0、，∞, ∞) 对于任何w，p∈ Z、 π定义如下。对于i=1，3，5。。。，N- 1，即i是奇数，对于任何w，p∈ Z、 r+，r-∈ Z、 q∈ {-1，0，1}这样（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 确定fi（w、p、q、r+、r-) := (∞, ∞).对于i=2，4，6。。。，N- 2，即，对于任何w，p，除0和N外，i是偶数∈ Z、 q∈ {-1，0，1}，定义fi（w，p，q，∞, ∞) :=（δ+，M，∞), q=1(∞, ∞), q=0(∞, δ-,M） ，q=-1、对于任何w、p∈ Z、 定义f（w，p，0，∞, ∞) := （δ+，M，δ-,M） 。对于状态s，if（δ+，δ-) =fi（s），我们也写δ+=~f+i（s），δ-=f-i（s），i=0，1。。。，N- 1、根据本政策，在时间ti，i=2，4，6。。。。，N- 2、如果制造商的库存为0，以相对价格δ+卖出一台，如果制造商的库存为1，以δ购买一台，则制造商不会发布订单-,Mif他的库存为-1。在时间ti，i=1，3，5。。。。，N- 1、制造商取消旧订单（如有），不发布任何新订单。在tN时，制造商将其库存（如有）展开。时间t=0时，没有库存，也没有未完成的订单，制造商的报价为（δ+，M，δ-,M） 。因此，时间ti，i=0，2，4，6。。。，N- 2、无未完成订单。此外，制造商的库存始终属于{-1, 0, 1}.然后，我们给出了该策略的向后递归。

MDP理论中的标准参数得出，对于i=0，2，4。。。，N- 2，对于任何w，p∈ Z、 q∈ {-1，0，1}，v∏i（w，p，q，∞, ∞) =E[v∏i+2（wi+2，pi+2，qi+2，∞, ∞) | （wi、pi、qi、r+i、r-i） =（w、p、q、，∞, ∞),（δ+i，δ-i） =▄fi（w、p、q、，∞, ∞), （δ+i+1，δ-i+1）=(∞, ∞)].使用与定理4.2中的证明类似的论点，我们得到v|πi（w，p，q，∞, ∞) =w+pq+g∏i（q），对于i=2，4，6。。。，N和任意w，p∈ Z、 q∈ {-1, 0, 1}. 这里g∏N（q）=-0.5 | q |，and g|πi（q）=H+(τ, t、 f+i（w，p，q，∞, ∞)) + H-(τ, t、 f-i（w，p，q，∞, ∞))+ E[g∏i+2（q）|（q，r+，r-) = （q，∞, ∞),(δ+, δ-) =fi（w、p、q、，∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)], 对于i=2，4，6。。。，N- 2.（B10）要理解方程式B10，请注意，对于在时间ti发送的每个订单，i=2，4，6。。。N- 2、寿命为t由于下一期间的取消指令，并且在时间ti，i=2，4，6，…，没有未发出的订单。。。N- 2、类似地，对于任何w，p∈ Z、 我们有vπ（w，p，0，∞, ∞) = w+p·0+g▄π（0）=w+g▄π（0），其中g▄π（0）=H+(τ, t、 δ+，M）+H-(τ, t、 δ-,M） +E[g|π（q）|（q，r+，r-) = (0, ∞, ∞),(δ+, δ-) = （δ+，M，δ-,M） ，（δ+，δ-) = (∞, ∞)].（B11）接下来，我们证明，如果N足够大，那么gπ（0）>0。为了证明这一点，我们只需要通过方程（B11）证明g￠π（q）≥ q=0-1，0，1，自H起+(τ, t、 δ+，M）+H-(τ, t、 δ-,M） >0。首先，我们证明了g∧π（0）=0。通过方程式（B10），我们得到，对于i=2，4，6。。。，N- 2，g∏i（0）=H+(τ, t，∞) + H-(τ, t，∞)+ E[g∏i+2（q）|（q，r+，r-) = (0, ∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)]=g∏i+2（0）。因此，对于i=2，4，6。。。，N- 2，g▄πi（0）=g▄πN（0）=0。然后，我们证明了如果N是suficientlylarge，那么g|π（±1）>0。回想一下1插图+τ,t、 δ+，m说明询问订单是否在时间0发送，以及相对价格δ+，m和延迟τ在时间间隔内填充[τ, τ +t） 。

可以很容易地验证，给定δ+=δ+，Mwe有1个填充+τ,t、 δ+，M=1填充+0++1填充+。直观地说，当且仅当在时间间隔内完成其中一项时，才会完成ask订单[τ, t） ，表示为1fill+0+=1，或在时间t=t、 并在时间间隔内填充[t，τ + t） ，表示为1填充+=1。表示该询价单以相对价格δ+，Mby p+，其中p+=p（1插图）报价的完全概率+τ,t、 δ+，M=1）。（B12）通过方程式（B10），对于i=2，4，6。。。，N- 2，我们有g∏i（1）=H+(τ, t、 δ+，M）+E[g∏i+2（1- 1加注+0+- 1填充+|（q，r+，r-) = (1, ∞, ∞),(δ+, δ-) = （δ+，M，∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)]=H类+(τ, t、 δ+，M）+（1- p+）g▄πi+2（1），其中我们使用了g▄πi+2（0）=0，并且随机变量1填充+τ,t、 δ+，mdo不依赖于q，r+，r-, δ+, δ-, δ+或δ-. 投标方也是如此。确定以δ报价的投标订单的完全概率-,Mby p公司-, 其中P-= P（1加注-τ,t、 δ-,M=1）。（B13）对于i=2，4，6。。。，N- 2，我们有g|πi(-1） =小时-(τ, t、 δ-,M） +（1- p-)g∏i+2(-1).召回N=2K。用g∧πN（1）=g∧πN求解上述g∧πi（±1）的递推方程(-1) =-0.5，我们得到thatg￠π（±1）=-0.5-H±(τ, t、 δ±，M）p±(1 - p±）K-1+小时±(τ, t、 δ±，M）p±。（B14）注意0<p±<1，因为δ±，M∈ Z和ifτ=0，我们有δ±，M≥ 0 . 除此之外，H±(τ, t、 δ±，M）>0。因此，如果N足够大，则g|π（±1）>0，因此g|π（0）>0。最后，由于∧π是一个可容许的策略，通过方程（4.7），我们得到了≥ v∧π（w，p，0，∞, ∞) - w=g|π（0）>0。注意，每个周期中值函数的向后递归取决于模型参数λ、λ+、λ-, τ, t、 q和q。根据fP（N）（LemmaB.1）的单调性以及当N为偶数且足够大时fP（N）>0的事实，存在一个恒定整数Nmin≥ 1取决于λ、λ+、λ-, τ, t、 q和q，使得fP（N）>0if且仅当N≥ N分钟。

对于Nmin的上限，最小值：=2最大值lnH公司+(τ,t、 δ+，M）H+(τ,t、 δ+，M）+0.5p+ln（1- p+）,lnH公司-(τ,t、 ，δ-,M） H类-(τ,t、 δ-,M） +0.5便士-ln（1- p-)+ 2，其中p±是（B12）和（B13）中给出的询价和投标订单的全部概率。可以很容易地验证，当N≥ Nmin，g|π（±1）>0，因此g|π（0）>0。因此，Nmin≥ N分钟。现在，第（2）部分的证明已经完成。λ+和λ的C估计-对于本节中的假设市场，我们将讨论如何估计λ+和λ-对于特定做市商。在我们的模型中，订单的执行有两种情况。第一种情况是订单已完成，中间价在执行时不会移动，称为I类事件。第二种情况是，订单是由于价格变动而完成的，称为类型II事件。使用定理4.1（a）部分证明中的类似参数，可以证明对于最佳二阶（δ-= 0）在时间0发送，延迟τ ≥ 0，我们有p[p（texe）=p（0）| p(τ） =p（0），texe<tfirstmove]=λ-λ-+ 0.5λ，（B1），其中texeis是投标订单的执行时间，tfirstmove：=inf{t≥ 0 | p（t）=p（0）+1}是市场价格第一次上涨1个百分点。在（B1）中，左侧是投标订单发生I类事件的可能性，前提是投标订单正确进入最佳投标水平，并且在市场价格上涨之前完成了投标订单。根据（B1）和实际订单提交和执行情况，做市商可以首先估计条件概率，然后使用λ的估计值计算λ的估计值-.我们使用基于纳斯达克TotalView瘙痒消息数据的人工订单模拟来说明这一估计过程。模拟程序与Moallemiand Yuan（2017）中的类似。

在不丧失一般性的情况下，我们将重点放在投标订单上进行说明。我们每天在账簿中以最佳出价水平随机插入500份人工订单（视延迟而定），并根据交易所的匹配规则在每个活动时间更新订单状态。假设艺术订单的规模很小，因此不会影响市场。给定固定的延迟水平，仅考虑市场价格在延迟窗口中不变动的订单。对于任何此类出价，假设订单在市场最佳出价上涨之前完成。如果在执行时，市场价格没有下降，则订单的执行被视为I类事件；否则视为II类事件。用nand表示I型事件的总数，用n表示II型事件的总数。用（B1）表示n+n≈λ-λ-+0.5λ，因此制造商估计λ-bynλ2n。速率λ+可以类似地估计。我们现在根据GE 2016年第四季度的数据报告估算结果。对于给定的λ，λ+和λ的估计值-本质上取决于I型事件数量与II型事件数量之间的比率，我们重点报告比率λ-/(0.5λ). 由于不同天数的结果不同，我们显示了不同潜伏期水平的季度平均比率。见表3。我们可以观察到比率从1.07>1下降，即λ-> 0.5λ至0.94<1，即λ-< 0.5λ，随着延迟的增加。原因是，考虑到市场环境，假设做市商的延迟较低，可以为其订单获得更好的排队位置，并减少平均逆向选择的影响。表3：λ-/（0.5λ）表示GE在2016年第四季度的不同潜伏期。τ（ms）0 10 50 100 500 1000 2000比值λ-/(0.5λ) 1.07 1.04 1.03 1.02 1.00 0.97 0.94