网络重构方法：经济与金融案例

重建方法本研究中回顾的重建方法可根据输出配置的链接密度进行分类。事实上，重建的网络可以以可调的密度完全连接（或者至少非常密集），或者精确地生成观察到的链接数。图1:2003年观察到的eMID网络邻接矩阵（顶部面板）与根据第3.1.1节（底部面板）所述MaxEnt方法重建的eMID网络邻接矩阵之间的比较。左侧面板表示二进制邻接矩阵，黑色/白色表示存在/不存在连接，而右侧面板表示加权邻接矩阵，颜色强度表示连接的权重3.1。密集重建方法3.1.1。MaxEnt算法MaxEnt算法[76，77]代表了重建网络的最简单、可能也是最广为人知的方法。它规定最大化泛函=-NXi=1NXj=1wijln wij（12），在等式表示的约束下。(5). 方程（12）定义了一种特殊的熵，其中随机变量是矩阵条目本身。然而，由于缺乏适当的归一化条件，等式（12）无法返回真正的概率分布。上述约束最大化问题的解决方案实际上是wMEij=^souti^sinj^Wi、 j，（13）式中，^W=PNi=1^souti≡PNj=1^sinjis是观察到的网络的总重量^G。由于^souti=PNj=1wMEijand^sini=PNj=1wMEji，很容易验证约束是否满足i、 然而，求和索引必须覆盖所有值j=1。N，包括对角线条目对应的一个。注意，等式（13）意味着，除非某些节点的^souti=0或^sini=0，否则任何条目都不能为零，并且得到的矩阵是完全连接的（参见图7）。

1该算法已应用于意大利银行间存款电子市场的快照eMID【40】）。出于双重原因，此功能代表了该方法的主要局限性。第一，现实世界中的网络通常非常稀疏，因此MaxEnt不可能重现其拓扑结构。第二，密集网络中的系统性风险被低估[78，79]。然而，只要只考虑重量的大小，税收处方就提供了相当准确的估计[80，81]。后者是MaxEnt在经济学中被广泛使用的原因。简单重力模型（无距离）与MaxEnt估计具有相同的函数形式【82】，在金融领域，它与capitalasset定价模型（CAPM）具有相同的形式【83，84】。最后，我们强调，MaxEntalgorithm生成了一个独特的重构配置，因此可以归类为一个确定性算法。3.1.2. 克服缺失连接的问题：IPF算法描述未完全连接的网络（即，以相应邻接矩阵的一些空条目为特征）的第一步是通过运算比例拟合（IPF）程序给出的。这是一个简单的方法，可以获得与等式（13）定义的最大矩阵Wm“最小距离”处的矩阵Wt；熵最大化也可用于为（动态）路径分配概率。在这种情况下，这一原则被称为最大口径[67]。这一原则的应用涉及所谓的始发地-目的地网络，即由始发地节点、目的地节点和连接它们的一组连接定义的图形，表示信息流动的路径【75】满足等式。

(5);o 允许在典型情况下存在一组零条目，即对角线条目。让我们调用满足这些条件的WIPFthe矩阵。对于空对角线条目，该方法正式定义WIPFA:minWNXi=1NXj（6=i）=1wijlnwijwMEij！=NXi=1NXj（6=i）=1wIPFijlnwIPFijwMEij！（14） 即，使具有空对角项的ageneric非负W和WME之间的Kullback-Leibler（KL）散度[85]最小的矩阵。KL散度是任意两个概率分布之间的“距离”的非对称度量，它量化了W被WME近似时丢失的信息量。迭代过程提供了保证满足上述三个要求的数字配方，其在第n次和（n+1）次迭代中的基本步骤是w（n+1）ij=^sinjw（n）ijPk（6=j）w（n）kj！，w（n）ij=^soutiw（n-1） ijPk（6=i）w（n-1） ik！，（15） 所以wIPFij=limn→∞w（n）ij和w（0）ij表示用于初始化算法的矩阵。简言之，IPF算法在初始矩阵的非零项上迭代地分布已知矩阵边缘。只要这个初始矩阵是不可约的（意味着它不能被置换成块上三角矩阵，或者等价地，网络是强连通的），eqs。（15） Alwaysyfield是一个独特的矩阵，满足边缘人群的需求[86]。作为第一次一致性检查，让我们考虑初始矩阵由w（0）ij=wMEij定义的情况i、 j.在不将和限制为非对角线项的情况下，我们将得到w（1）ij=w（2）ij=····=wMEiji、 j.作为第二次检查，让我们考虑初始矩阵取w（0）ij=1的情况i、 j，相当于立即最大化方程式（13）中的功能的位置。我们得到w（1）ij=^soutina和w（2）ij=^souti^sinj^wi、 因此，仅在两次迭代后，MaxEnt估计就正确恢复了。3.1.3.

像MaxEnt这样的定向加权配置模型，IPF具有生成单一确定性配置的主要缺点，因此很难从统计上评估所提供重构的准确性。评估节点I和j通过链接连接的概率的更严格的统计方法是基于ERG的方法，称为定向加权配置模型（DWCM）[58]。该方法约束网络每个节点i的输出强度soutiandin强度sini（定义见等式（5）），哈密顿量的形式为h（W | ~γ，~δ）=NXi=1（γisouti+δisini）。（16） 将Soutian和Sinin公式（16）的定义替换为概率分布p（W | ~γ，~δ），其分解为N（N）的乘积- 1） 成对特定分布P（W | ~γ，~δ）=NYi=1NYj（6=i）=1qDWCMij（W）。（17） 在权重仅取非负整数值的简单情况下，控制随机变量行为的概率分布为几何分布[58]：qDWCMij（w）=（youtiyinj）w（1-youtiyinj）代表w∈ Z+（18），其中youti=e-γi和yini=e-δi.根据公式（18），我们立即发现Hwijidwcm=youtiyinj1-youtiyinj（19），根据定义，存在从节点i到j的定向链路的概率pij为ispij≡P∞w=1qij（w），根据公式（18），其变为：pDWCMij=youtiyinj。（20） 最后，从似然最大化原理出发，通过求解相应的2N方程，找到拉格朗日乘子：i、 ^souti=hsoutii≡Pj（6=i）hwijiDWCMand^sini=hsinii≡Pj（6=i）hwjiiDWCM。DWCM属于密集重建方法的范畴，因为观测到的边缘通常非常大，以至于任意两个节点i和j之间的诱导链接概率非常接近1。

然而，与MaxEnt和IPF不同的是，DWCM算法通过将链接作为自变量处理，并从等式（19）所述的几何分布中提取相应的权重，从而生成整个网络集合。3.1.4. 结合MaxEnt和ERG框架最近开发了一种结合MaxEnt和ERG框架的方法，名为最大熵CAPM（MECAPM）[84]。其思想是最大化香农熵，而不是约束矩阵边缘的期望值，而是约束每个链接权重的期望值。与DWCM的情况类似，这导致qmecapmij（w）=（yij）w（1-yij）（21）其中，yijis是控制i到j之间链路权重的拉格朗日乘数。如果施加的预期权重仅取决于矩阵边缘，则该框架可用于网络重建，而矩阵边缘是系统上唯一可用的信息。这自然是通过MaxEnt配方实现的，因此：hwijiMECAPM=yij1-yij公司≡ wMEij，（22）允许拉格朗日乘数容易估计为链路概率的位置：pMECAPMij=yij=wMEij1+wMEij。（23）该算法属于密集重建方法的范畴，因为最大权重通常足够大，从而导致pij’1i、 作为DWCM，MECAPM算法产生了一个完整的网络集合。3.2. 密度可调重建方法MaxEnt、DWCM和MECAPM方法都有相同的局限性：预测的配置往往过于密集，无法准确描述真实网络。因此，提出了其他重建方法。驱动下面描述的算法的基本原理是生成比通过上述算法获得的配置更稀疏的配置。3.2.1.

IPF算法：我们已经看到，IPF算法基本上是通过将已知的边距分布到矩阵的正项上。因此，它要求预先知道nullentries的位置。这就是为什么该方法经常与其他估计零点位置的算法结合使用的原因。一旦这些位置已知，IPF算法将调整正条目（通常初始化为MaxEnt估计）以匹配约束。事实证明，只要需要能够生成真实配置的算法，就可以自由选择拓扑细节。IPF算法的一般公式给了我们这种自由。事实上，为了计算已知或猜测的条目子集（不一定需要为零），只需i）从已知的边值{souti}Ni=1和{sini}Ni=1减去它们，i）修改等式即可。（14） 和（15）通过使用这些重新缩放的边距，并明确地从分母处的和中排除已知条目【86】。在最常见的情况下，IPFestimation可以写为最终产品WIPFIJ=∞Yn=0^souti[souti]（2n）w（0）ij^sinj[sinj]（2n+1）（24），其中[souti]（2n）=Pj（6=i）w（2n）ij和[sini]（2n+1）=Pj（6=i）w（2n+1）ji。3.2.2.

Drehmann&Tarashev方法由于没有一个明确的方法来估计网络密度，已经提出了一些算法来探索可能的密度值的整个范围[0，1]。Drehmann和Tarashev设计了一种简单的方法[88]，通过以下三个步骤扰动MaxEnt矩阵并获得稀疏网络：o选择一组随机的对角项为零，从而手动设置所需的链路密度；IPF算法也称为RAS算法，因为【87】中设计的解的形式是三个矩阵的乘积，其符号为R、A、S。更具体地说，A（2n+1）=R（n+1）A（2n）和A（2n+2）=A（2n+1）S（n+1），A（0）是初始邻接矩阵，R，S是两个对角矩阵R，S是两个对角矩阵R（n+1）=对角矩阵^souti/[souti]（2n）和S（n+1）=诊断^sini/【sini】（2n+1）.图2:2003年观察到的eMID网络邻接矩阵（顶部面板）与根据第3.2.2节（底部面板）所述Drehmann&Tarashev方法重建的eMID网络邻接矩阵之间的比较。左侧面板表示二进制邻接矩阵，黑色/白色表示连接的存在/不存在，而右侧面板表示加权邻接矩阵，颜色强度表示连接的权重将剩余的非零项视为随机变量，均匀分布在零和其最大估计值的两倍之间：wD Tij~ U（0，2wMEij）（25）（因此该分布下的权重预期值与wMEij=^souti^sinj/^W）的估计值一致）运行IPF算法以正确恢复边缘值。可以调整网络密度的值以生成任意稀疏配置。然而，该方法的一个缺点在于所获得拓扑结构的完全随机性（参见图2）。3.2.3.

Mastromatteo、Zarinelli和Marsili方法另一种生成具有任意链路密度的重构网络的方法已在[79]中制定。该方法包括对符合等式定义的约束的网络配置集进行统一采样。（5） 并且有一个给定的密度值。对矩阵^W进行了另外两个假设：i）大于某个阈值θ（假设最多为N阶）的条目被视为已知的假设，即在金融网络满足某些市场最近采用的披露政策的情况下【89】；ii）未知条目由阈值θ自身重新缩放，因此在范围[0，1]内有界。在方法的描述中可以完全省略知识项，重点只能放在由未知项的可变性生成的集合上。作者解决的基本问题如下：给定ρ的任意值，有多少矩阵满足等式。（5） 谁的密度与所选的匹配？显然，虽然允许（至少）一种配置存在的最大密度值为ρmax=1（MaxEnt算法始终满足等式（5）），但找到给定约束值的ρmin并非易事。[79]中引入的对与agivenρ兼容的二元邻接矩阵空间进行公平采样的度量是P（A | z）=ZzL（A），其中z是归一化常数，L（A）是A中的链接数，参数z将平均密度hρi=XAP（A | z）ρ（A）（26）设置为所需值（注意，总和仅在兼容配置上运行）。然而，当hρi<1时，很难分析评估抽样概率分布P（A | z）。

因此，引入了一个近似的概率分布：P（A | z）=e-βH（A）zL（A）Z（β，Z）（27），其中H（A）=Pi（Θ[souti- 库提]+Θ[四尼]- 基尼语]）。参数z在统计物理中起着模糊性的作用，并确定了整个相邻矩阵集上密度的平均值。由于W的未知条目范围在0到1之间，因此在任何兼容配置中，每个节点的传出（传入）链接数与“Chosen density”值总是大于其传出强度（传入强度）：这导致条件H（A）=0。相反，任何不可行配置（即H（A）=1）出现的概率被系数e抑制-β作为β消失→ ∞.由于等式（27）中分布的分析处理也是不可行的，作者实施了一种消息传递算法[79]，以计算边缘链路概率，然后对其进行独立采样以构建候选二进制网络。一旦获得二元拓扑，就可以通过IPF算法推断权重。正如作者明确指出的[79]，能够调整网络密度意味着能够考虑一系列结构，这些结构的特点是（可能）对金融冲击的鲁棒性程度不同，例如金融冲击。然而，根据作者的“兼容性分析”，在网络密度的特定值以下，无法找到允许的配置。虽然MaxEnt方法产生的配置被认为可以最大限度地提高网络的鲁棒性，但另一方面，稀疏配置可能会为其提供下限。3.2.4. Moussa&Cont方法另一种结合MaxEnt和ERG框架的算法是在[90]中提出的，其中作者提出了两种不同版本的方法，这两种方法与前面小节中描述的基于熵的方法相似。

主要区别在于所需的可用信息量，而这些信息量现在大得多：即网络的向外度分布和向内度分布，以及向外度分布和向内度分布，所有这些都被认为是由幂律描述的（这些参数被调整为再现金融网络的程式化事实）。简而言之，该方法生成了一整套不同的二进制网络配置（即先前的配置），然后对其拓扑结构进行后验“调整”，以匹配等式表示的约束。(5).“精确”方法。该方法的第一个版本设计用于在集合的每个配置中准确满足约束。先前的配置具有相同的度分布但不同的拓扑结构（用于生成集成的算法是优先连接算法对定向网络的推广[91]）。生成二进制配置后，IPF算法用于为实现的链接分配权重。因此，这个问题可以正式地表述为，对于集合中的每个二进制配置，确定权重集{wM Cij}，使得minwX{aij=1}wijlnwijwMEij！=X{aij=1}wM CijlnwM CijwMEij！，（28）其中，总和在集合中任何配置的非零项集合上运行（对于所有空项，我们通常将wM Cij=0）。使用一个归一化条件，即待估计的项目满足p{aij=1}wij=1，上述优化问题的解决方案可以正式写成wm Cij=^souti^sinjeγi+δjP{akl=1}soutk^sinkeγk+δl！，（29）其中{γi}Ni=1和{δi}Ni=1分别是与节点out和in强度约束相关的拉格朗日乘子，通过求解hsoutii=^soutian和hsini=^sini得到i、 “平均”方法。