网络重构方法：经济与金融案例

网络重构的贝叶斯方法基于可能性的方法（如前几节所述）与贝叶斯方法之间的主要区别在于模型参数所起的作用。从广义上讲，虽然基于可能性的方法提供了根据观察值估计未知参数的方法，但贝叶斯方法将未知参数视为（额外）随机变量，由适当定义的先验概率分布描述，其参数（称为元参数）是事先选择的。第二种网络建模方法的第一个示例由能力模型提供【52】，基于ERG方法的相同思想：o每个节点i由一个隐藏变量xi描述，表示其“能力”；一般来说，这是一个实数，可以量化网络中该节点的重要性，并从给定的概率分布ν（x）中得出任意两个节点i和j根据耦合函数f（xi，xj）建立连接，对于无向网络，该函数在分配给节点i和j的隐藏变量中是对称的。ERG方法的主要区别在于对耦合函数f的函数形式和从中提取函数的分布ν的先验选择。通过将ERG框架内导出的离散公式与连续情况相适应，可以直接实现能力模型。

值得注意的是，最近提出了一种估计copulas的最大熵方法[114]。例如，在无向情况下，节点度和链接总数的贝叶斯推导readski=NXj（6=i）=1f（xi，xj）-→ ki（x）=（N- 1） Zf（x，y）ν（y）dy，（78）L=NXi=1NXj（<i）=1f（xi，xj）-→ L=N（N- 1） Z Zf（x，y）ν（x）ν（y）dxdy，（79），其中需要对分布ν的支持度进行积分，以解释能力可变性。值得注意的是，f和ν的几种组合可以恢复幂律度分布。特别是，直观组合f（x，y）=zxy，ν（x）∝ x个-2（80）和高度非平凡组合f（x，y）=Θ（x+y- z） ，ν（x）=e-x（81）引线至P（k）∝ k-2、这一结果指出，许多被认为仅由微观动力学过程（如优先附着机制及其变体所描述的）产生的拓扑特性也可以通过静态模型进行复制【52】。换言之，每当优先连接不代表一种合理的机制时，可以合理地想象，当链接创建互利时，任何两个顶点都会建立连接，这取决于一些内在的节点属性。上述方法最近通过一种与DECM在精神上相同的算法进行了扩展，以同时考虑权重。更具体地说，在【116】中引入的模型由以下链接权重的概率分布描述：qBayesij（w）=1.-pBayesijif w=0，pBayesijθije-θijwif w>0。（82）（θij>0）。因此，在DECM中，不同的链接是独立的，虽然链接的存在是通过伯努利试验描述的，但其权重值是根据指数分布设置的。

注意，后者是几何分布的连续版本，由基于ERG的模型根据假设的离散权重获得。然后将能力模型的原理编码到函数形式的选择中，即pBayesij=f（xi+xj），θij=G-1ζ，η（e-xi）+G-1ζ，η（e-xj）。（83）在这些表达式中，G-1ζ，η是伽马分布的分位数函数，具有正的形状和比例参数ζ和η，从a先验分布π（ζ，η）中得出，而应力则从分布ν（x）=e中得出-X和f的定义如【116】所示，因此度分布呈现幂律。还引入了模型的同质版本，由选项pij=p定义~ β（α，β）和θij=θ~γ（γ，δ）。由于该模型诱导了整个网络集合，因此只有在集合上引入采样程序后，才能计算出感兴趣的数量的期望值。【116】的作者采用吉布斯取样器，其工作如下：使用矩阵W（0）初始化采样器。考虑到均匀性时，通过Erd"os-R"enyi模型生成初始矩阵，该模型只需要参数来匹配观测到的平均程度。由于初始配置需要满足souti（W（0））<^soutian和sini（W（0））<^sini的条件i、 采用最大流量算法【117】获得与约束精确匹配的矩阵W（1）。o通过“扰动”W（1）获得整个配置集合。

这些扰动根据以下规则推广了局部重布线算法：1）选择待更新子矩阵的维数k，并选择k对索引的集合k；2） 根据规则W（n+1）κi=W（n）κi+(-1） i+1 （84）κi表示第i对索引（例如，第r行和第c列），以及 ∈ [-mini，oddW（n）κi，mini，evenW（n）κi]。这样的采样过程不会在配置空间中留下未探索的区域：事实上，可以保证吉布斯移动序列的存在，允许从与给定约束相容的任何矩阵过渡到任何其他矩阵。虽然该算法允许生成具有不同拓扑结构的网络，但每个配置都满足等式定义的约束。（5） 没错。网络重构的“经验”贝叶斯方法。【116】的作者最近开发了贝叶斯方法的“可调整”版本【93】。在该模型中，假设任意两个节点i和j之间的连接概率为：贝氏Bayesij=zxixj1+zxixj，xi=^souti+^sini（自然，该位置更好地模拟无向网络）。3.5.3. 对贝叶斯重建方法的评论尽管上述三种算法被称为贝叶斯算法，但它们共享基于可能性的方法和真正的贝叶斯方法的特征。事实上，所有这些都是以存在一个或多个自由参数为特征的，这些参数不是从先验分布中提取出来的，而是通过适当定义的似然条件来估计的。对于[52]中涉及的模型，唯一的自由参数z是通过施加条件^L=hLi来确定的，即通过将公式（80）或公式（81）代入公式（79）并求解结果方程来代替z。

与能力诱导的ERGformalism（98）的一个主要区别在于处理问题的方式。从某种意义上说，能力诱导的形式主义代表了此处讨论的基于可能性的贝叶斯方法：在这里，完全忽略了关于能力分布的信息，只进行了点估计；在这里，完全考虑了能力的可变性。另一方面，【116】中的模型在用于重建真实网络时需要进行校准。在假设许多自由参数重合后，作者能够求解方程^W=hW i，从而得到θij≡ θ=PijpBayesij/^W。类似地，在[93]中，“调整”自由参数z，以确保预期密度与观察到的密度相匹配。这一讨论突出了使用贝叶斯方法作为重建方法的主要局限性。事实上，将模型参数视为随机变量所带来的自由并不一定有助于再现特定现实世界配置的特征。正如【116】中的作者明确认识到的那样，需要（至少部分）调整贝叶斯模型，以便用作重建模型。如果缺少这一步骤，可以更好地利用选择先验分布的任意性来生成有用的场景，例如，获得压力测试结果的置信区间。3.5.4. Montagna&Lux方法链接概率系数也可以特别定义，无需从给定的优化原则进行任何明确推导。例如，文献[118]中的作者考虑了以下形式：pM-L-1ij=d（^souti）α（^soutj）β，（85）pM-L-2ij=d（^souti+^soutj），（86）pM-L-3ij=d（^souti+^soutj- z） ，（87）其中，参数d、d、dare用于调整网络密度。

因此，该模型遵循能力模型的原理，假设任意两个节点i和j与概率pij（^souti，^soutj）相连。然后根据ij生成一组网络配置=概率为1的0- 概率为pM-L-hij（88）的pM-L-hij1（h=1、2、3，以及当aij=aji=1时产生的消除循环的附加规则）。一旦生成拓扑结构，实现的连接的权重将按所涉及节点的“大小”成比例设置，aswM-L-hij=^soutipM-L-hijP{aij=1}pM-L-hij！。（89）在原始文件【118】中，这种方法不用于网络重建，而是假设银行的总银行间资产是幂律分布的，从而生成一个金融银行间网络，这种选择也会导致幂律分布度。此外，在原始文件中，每个节点i使用的是总资产，而不是总银行间资产（见第4.3.1节）。尽管如此，我们在此提出的公式是等效的，因为线性比例关系^ai（1- θ） =假定为^soutiis【119，118】。图4:2003年观察到的eMID网络邻接矩阵（顶部面板）与根据第3.5.5节（底部面板）所述Ha laj&Kok方法重建的eMID网络邻接矩阵之间的比较。左侧面板表示二进制邻接矩阵，黑色/白色表示连接的存在/不存在，而右侧面板表示加权邻接矩阵，颜色强度表示连接的权重。3.5.5. Ha laj&KokHa laj&Kok的概率图进一步定义了链路概率，假设节点在组中的成员身份有其他信息【120】。

在银行间网络的特定模型实施中，每个节点（银行）都属于一个地理区域（即一个国家），链接概率表示为国家（假设已知）内聚合的节点输出强度的分数：pH Kij=^wgi，gj^wgi，·，（90），其中^wgi，gj=Pi∈giPj公司∈gj^wijis从gito区域观察到的总重量gj和^wgi，·=Pi∈giPj^wijis是从gi区域流出的总重量。虽然该算法在精神上与能力模型相似（具体而言，与Stocastic区块模型相似，见第4.2.3节），但其形式主义与ERG不同。实际上，网络结构是根据以下步骤确定的：o从一组可能的节点中随机抽取一对节点；o链路根据相应的概率pH Kij实现；o如果保留链接，则随机数rij∈ 生成[0，1]，以确定节点i的out-strength值和节点j的in-strength值的百分比，分配给权重wij；oi的外强度和j的内强度的残余量根据以下公式进行更新，即，[souti]（n）=（1- r（n）ij）[souti]（n）-1） 和[sinj]（n）=（1- r（n）ij）[辛基]（n-1） （n表示算法的第n次迭代）；o重复上述步骤，直到souti‘soutiand^sini’sinii（由于算法最后一步的纯数值性质，约束可能仅大致满足）。除了需要关于其他重建方法的大量额外信息外，这种方法将属于同一地理区域的所有节点视为等效的（唯一的变化是通过（随机）分配权重）：连接任意两个地理区域的子网络的结构是随机的，并且可能不会反映其观察到的对应物（参见图4）。3.5.6.

正如我们已经强调的最小密度算法一样，定义重建算法与最大化算法的主要原因是公式（13）预测的配置密不可分，这歪曲了实际网络结构（并可能导致低估系统风险）。为了克服completenetwork结构的固有限制，最近设计了一种相反的方法，即在满足观察到的约束条件的同时最小化链接密度[121]。与MaxEnt算法相反，MaxEnt算法在所有连接上平均共享边距，最小密度（MD）算法将边距分配到链接的最小可能数上（参见图5）。MD不是基于Shannonentropy的最大化，而是基于最小化连接维护成本的优化原则。实际上，该算法的工作原理如下：确定要满足的边缘偏差（n） souti=^souti- [souti]（n）=^souti-NXj（6=i）=1w（n）ij，（91）（n） sini=^sini- [西尼]（n）=^西尼-NXj（6=i）=1w（n）ji（92），其中w（n）是在MD算法的第n次迭代中获得的矩阵根据概率系数q（n）ij选择一对节点∝ 最大值（n） 苏蒂（n） sinj，（n） 辛基（n） 苏蒂（93）节点i的“外强度系数”相对于节点j的“内强度系数”较大的节点特权对，反之亦然通过连接权重w（n）ij=min链接两个选定节点{（n） 苏蒂，（n） sinj}，（94）因此对应于这对节点可以交换的最大卷。此步骤与前一步骤相结合，确保为每个新链接分配满足边际^soutio或边际^sinj所需的最大可能权重。

此外，正如作者明确指出的那样，该更新规则还诱导了一种排序拓扑，以便重现在许多真实世界网络中观察到的结构特征通过评估目标函数v（W（n））=-cL（n）-NXi=1αi（n） 苏蒂+ βi（n） 斯尼, （95）c量化建立链接的成本。如果（n） V=V（W（n）+W（n）ij）>V（W（n-1） ）保留链接（请注意，密度较低的网络具有较大的V值）。如果相反（n） V<0时，评估观察结果配置的可能性，即，用Metropolis Hasting概率P（W（n）+W（n）ij）/P（W（n）保留拟定权重-1)) ∝ e（n） V.重复上述步骤，直到分配完所有边缘。与目前讨论的其他概率方法一样，可以使用MD方法生成整个网络集合，其特征是链路密度值接近最小可能值（由于最后一步引入的可变性而接近），但拓扑结构不同。然而，请注意，很少观察到具有如此低密度值的真实网络。因此，该算法背后的主要原理不是网络重建。相反，该算法对于确定系统性风险的上限非常有用。因此，它可以成功地与MaxEnt结合使用，MaxEnt提供了下限，以获得系统风险的真实价值必须存在的区间。此外，为了测试系统风险对网络密度的假定依赖性，作者还提供了更新权重的更一般规则，用w（n）ij=θmin替换公式（94）{（n） 苏蒂，（n） sinj}：参数θ∈ [0，1]用于分配边缘的百分比，从而放宽了创建密度最小的网络的要求。

通过调整θ，可以探索整个链路密度值范围。4、测试网络重建既然我们描述了许多旨在重建给定网络结构的算法，我们将重点介绍一些有用的方法来测试实现的重建的有效性。特别是，将考虑统计、拓扑和动态性质的三种不同类型的指标。4.1. 统计指标使用这个名称，我们指的是所谓混淆矩阵的条目，即4×4表格，其元素是真阳性、假阴性、真阴性和假阳性的数量。考虑到从纯拓扑的角度来看，重构方法可以作为二元分类器“决定”给定的一对节点是否应该链接，并且其性能可以根据上述指标进行评估，因此这些指标的使用是合理的【122】。更明确地说，考虑检索观察到的二元矩阵^A的现有链接和缺失链接的位置的问题。