网络重构方法：经济与金融案例

具体而言，用于确定与已知和预期的链路总数相关的未知系数z的等式是^L=NXi=1NXα=1z^s[1]i^s[2]α1+z^s[1]i^s[2]α（55），其中与否表示网络两层的基数，以及{s[1]i}Ni=1和{s[2]α}Nα=1分别表示属于第一层和第二层的节点序列的已知强度。值得注意的是，修正条款由等式定义。（54）不再需要对角项，因为现在定义中没有对角项。3.3.8. 通过协调ERG和重力模型，ERG框架可以将“经济”信息定义的重力模型转换为合适的定义。等式（44）提供了一个简单的例子。另一个例子是以下定义pgmij=z GDPiGDPje-φf（dij）1+z GDPiGDPje-φf（dij）（56），其中f（dij）是国家和j之间地理距离dijb的递增函数。最简单的函数形式f（dij）=从哈密顿量（W | z，φ）=-NXi=1（窑GDPi）-L ln z- Fφ（57），F（A）=PiPj（6=i）aijdij。后一个术语量化了网络的拓扑结构在多大程度上填充了网络本身所嵌入的几何空间【105】。通常，必须通过求解方程^L=hLi和^F=hF i来估计未知参数。在某种意义上，公式（56）定义了与传统重力模型最接近的基于网络的模型。本文提出的方法与传统经济学方法之间的主要差异在勾勒出所谓的零膨胀重力模型（ZIGM）的推导过程后变得显而易见【106】。为了防止该模型预测完全连接的网络（MaxEnt配方的相同限制），概率系数读数Pzigmij=1+e-~假设φ·~ Cij（58）控制任意两个节点i和j之间的链路的存在。

通过考虑因变量邻接矩阵的元素，以及通常用于建立重力模型的数量（如国家GDP、其地理距离等，即每对节点数量的整向量C），来估计未知量的向量φ，以发挥解释变量的作用。然后使用这两种方法来确定实际网络配置^G的似然函数，该函数通常为φ的最大值。一旦获得概率系数矩阵，只有满足条件pZIGMij的节点对≥ ^ρ（其中^ρ是已知的链接密度）实际上是链接的【106】。零膨胀重力模型和基于网络的重力模型在需要完全指定的信息量上有所不同。前者要求完全指定给定（经济）网络的整个邻接矩阵，而后者只要求了解全局（边际）信息。值得注意的是，尽管所需的信息量非常小，但基于网络的重力模型的性能远远优于零膨胀重力模型[106]。3.3.9. 关于集成方法的一点评论“集成方法”之所以有吸引力，其中一个原因在于它们有可能生成满足相同（加权）约束的不同拓扑结构。这一特征可用于理清边缘因素（如金融系统的资产负债表）和网络结构细节对动态过程（如金融危机蔓延）结果的影响【93】。然而，为了生成真实的场景，必须能够访问某种拓扑信息。在最佳情况下，真实网络的整个度序列将可用（因此，通过DECM或其两步版本，将其用作加权边缘旁边的附加约束）。

否则，如果可以获得关于系统的更聚合的知识（如链接的总数或节点的特定子集的程度），则需要额外的假设来充分利用这些信息。从迄今为止所做的许多尝试来看，对度序列的初步估计（如自举DECM方案）似乎提高了给定重构方法的性能，这一证据解释了[98]中的算法相对于[84]中的算法的优越性，尽管两者都由完全相同的信息定义[81]。从定量的角度来看，从聚合信息中提供节点度的真实估计意味着对整个网络密度具有良好的适应性和真实的估计。后一种要求是对方程（45）中使用的参数z进行估计。3.4. 类似香农的重建方法前面小节中介绍的重建算法基于香农熵的约束最大化，或类似KLDifference的密切相关函数。然而，香农熵只是在代表可访问信息的约束条件下，可以走极端的许多可能泛函中的一个。3.4.1. 光谱熵是一种类似香农的泛函，熵测度的存在受到量子物理的启发。光谱熵，也称为冯·诺依曼熵，值得特别注意。它被定义为Vn=Tr[ΞlnΞ]=NXm=1ξm（Ξ）lnξm（Ξ）（59），即由矩阵Ξ的特征值{ξm}Nm=1诱导的概率分布的香农熵。

在量子物理学中，密度矩阵Ξ描述了一个系统，该系统可以在一组具有不同概率的纯态中找到（精确地由Ξ的特征值定义）：为了在网络理论中使用这个概念，密度矩阵必须用网络量重新表示。满足正半不确定性和迹酉性的密度矩阵的基于网络的版本定义为[108]：Ξ=e-βLZ。（60）其他提案，如Ξ=LTr【L】不满足（子）可加性性质【108】。其中L=D-A是Laplacian矩阵（D是节点度的对角矩阵），元素Lij=kiδij- aij公司 i、 j和Z=Tr[e-βL]。这种方法最终归结为计算与经验图相关的算子的谱密度与与与图模型相关的相应算子的谱密度之间的散度【108】。原则上，这允许使用第2.2.3.4.2节所述方法的量子模拟优化模型参数。Cressie-Read幂发散族将一系列泛函进行极值化，以重建部分已知的网络，推广通常的Shannon熵或Kullback-Leibler发散（见第3.1.2小节），用所谓的Cressie-Read幂发散表示。后者可以紧凑地写为asI（P，Q，γ）=γ（γ+1）XG∈总成（G）P（G）Q（G）γ- 1.（61）使用实数参数γ索引族成员。方程（61）概括了KL散度，并提供了任意两个概率分布P和Q之间的“距离”的替代度量。请注意，即使I（P，Q，γ）不是所有γ值的适当度量距离，它所满足的特性仍然有助于量化任意两个分布的差异程度【109】。

更具体地说，I（P，Q，γ）是其所有参数{P（G）}G的连续函数∈G、 {Q（G）}G∈G、 oI（P，Q，γ）≥ 0，当且仅当P（G）=Q（G）时相等， G、 oI（P，Q，γ）在零概率事件相加下不变；oI（P，Q，γ）是对数加性；o由参数γ值索引的泛函∈ (-1，0）满足三角形线质量；o表示适当度量距离（与Matusitadistance相关）的唯一函数是γ=-1/2.由于Q通常旨在总结有关系统的先验信息，搜索概率分布P的规定（该概率分布P与缺失信息最大程度上不一致）可以转化为最小化从Q到P的偏差的要求。在存在约束的情况下，这（第一）个优化步骤导致恢复P的表达式，该表达式取决于未知拉格朗日乘数的向量：minP（I（P，Q，γ）- λ“XG∈总成（G）- 1#-MXm=1λm“XG∈总成（克）厘米（克）-hCmi#）；（62）对数可加性属性读取ln[1+θ（θ+1）I（P，Q，γ）]+ln[1+θ（θ+1）I（R，S，γ）]=ln[1+θ（θ+1）I（P×R，Q×S，γ）]，其中P×R和Q×S表示两个涉及概率分布的张量积[110]。整个过程的第二步规定将恢复的P表达式替换为I本身，并针对未知参数λ优化I（~λ）[109]。方程（62）概括了前几节介绍的ERG形式的基础上的两个原则。随着γ的变化，描述P和Q之间发散的泛函也会变化。通过求解以下极限Slimγ，得到了两个值得注意的例子→0I（P，Q，γ）=DKL（P | | Q）=XG∈GP（G）lnP（G）Q（G）, （63）limγ→-1I（P，Q，γ）=DKL（Q | | P）=XG∈GQ（G）lnQ（G）P（G）（64）即P和Q之间以及Q和P之间的KL散度。

每当采用最大信息量先验时，Q（G）=| G| G∈ G、 著名的表达式dkl（P | | Q）=XG∈GP（G）ln P（G）+ln | G |，（65）DKL（Q | P）=-XG公司∈Gln P（G）| G |+ln | G |，（66）分别恢复，定义（直至符号）香农熵函数和似然函数[109]。注意，对于γ→ 0，最小化I始终转化为最大化香农熵，从而检索前面描述的过程。为了将上述框架用于重建目的，最常见的问题是推断条目{nij}i=1。。。一、 j=1。。。使用marginals ni·=Pjnij提供的信息创建矩形矩阵i和n·j=Pinijj必须用概率术语重述。如表1所示，引入变量Spij=nij/ni·i、 j，并将所有条目进一步除以n（从而得出定义xi=ni·/ni和yi=n·i/ni） ，提供表项的数值估计将转换为估计线性方程组y=xP中出现的矩阵P的条目。（67）事实上，P的条目可以正式解释为概率系数，定义为边缘分数。反过来，该位置允许将形式上类似于等式62中所述的问题定义为minpjkI（{pjk}，{qjk}，γ）-XjβjXkpjk- 1.-XkαkXjpjkxj- yk公司（68）和形式I（{pjk}，{qjk}，γ）=γ（γ+1）PjPkpjkh的解pjkqjkγ- 1待找到。请注意，选择γ→ 0和最大无信息先验减少到nn1·nnn2·nnn3·n·1n·2n-→pn1·pn1·n1·pn2·pn2·n2·pn2·pn2·n3·n·1n·2n-→PXPXXPXXPXXYYTYTable 1：关于推断表项的不适定反问题的图示，仅使用边线提供的信息。

在引入变量pij=nij/ni·并将条目除以n（定义xi=ni·/n，yi=n·i/n）后，自然会出现一个约束优化问题[111]。通常的指数形式来自KL发散点（0）jk=eαkxjPkeαkxj的最小化。（69）相反，其他选择会导致不同功能形式所描述的系数。以选择γ诱导的泛函为例→ -1通向表达式p(-1） jk=-αkxj+βj.（70）通常，对于指数γ的任意选择，由函数I（{pjk}，{qjk}，γ）诱导的P的中心函数形式与等式（69）中所示的“通常”指数形式有很大不同。这反过来会导致重建过程，因为性能可能与基于KL的方法非常不同。3.4.3. 其他熵族就像Cressie-Read泛函提供了Kullback-Leiblerdivergence的推广，Shannon熵的推广由Renyi熵[112]和Tsallis熵[113]提供。这些熵依赖于一个自由参数，并将汉农熵作为一种极限情况。更具体地说，Renyi熵定义为asSα=lnPG公司∈GP（G）α1.-α（71）（α是一个非负参数，与1不同）并满足相加性。Tsallis熵可以在推广第四个ShannonKhinchin公理的基础上进行公理化定义（见第2节）。虽然这条公理明确地识别了Shannonentropy，但用Sq（WA+B）=Sq（WA）+Sq（WB | A）+这一解决方案形式上等同于MaxEnt解决方案的要求来替代它。

然而，由于这种方法通常用于推断选举百分比或估计一篮子商品的购买量（即，重建实际上从未观察到零分录的表），因此非零边际不能导致零分录的证据并不构成问题[75]。可加性属性读取Sα（P×Q）=Sα（P）+Sα（Q），P×Q表示两个相关概率分布的张量积。(1 - q） Sq（WA）Sq（WB | A）导致唯一满足这一新行为集的功能：Sq=1-PG公司∈GP（G）qq- 1.（72）值得注意的是，SQ可以用来定义ERG形式主义的一个非扩展版本，其推导过程类似。例如，仅施加规范化条件会导致函数Lq[P]=Sq-λPG公司∈总成（G）- 1.由均匀分布P（G）=G最大化|G、 然而，还没有尝试施加不那么琐碎的约束：因此，仍然没有对由扩展和非扩展熵引起的重建性能的优劣进行彻底的比较。3.5. 超越香农熵：重建的替代方法在修改了现有的基于香农的和类似香农的重建方法之后，我们现在回顾不是基于香农启发泛函最大化的算法。3.5.1. “copula”方法基于熵的重建的第一种“替代”方法实际上是与传统MaxEnt方法最接近的方法。

事实上，“copula”方法采用了samephilosophy，并使用给定矩阵的条目来确定待估计概率分布的支持度；然而，与此同时，它为这个问题提供了一个更通用的解决方案。MaxEnt公式代表了估计二元概率分布Pxy（X，Y）的最简单方法，给出了两个边际分布Px（X）和py（Y）。实际上，最大化香农熵=-XiXjPxy（Xi，Yj）ln Pxy（Xi，Yj）（73），在归一化pipjpxy（Xi，Yj）=1和两个边际分布Px（Xi）=PjPxy（Xi，Yj）表示的约束下i和Py（Yj）=PiPxy（Xi，Yj）jleads精确到MaxEnt-like估计pmcxy（Xi，Yj）=Px（Xi）Py（Yj）。（74）然而，可以通过引入所谓的copulafunctions来推广上述方法。Sklar定理提供了使用copulas的基本原理，该定理指出，每个多元累积分布函数（CDF）都可以用其边际CDF（例如，Fx（X），Fy（Y）等）和copula函数C来表示，正如其名称所示，“耦合”它们：Fxy。。。（X，Y…）=C[外汇（X），财年（Y）…]。（75）参数q量化了此类函数的非扩展性程度。Sklar定理要求边缘是连续的。无论何时考虑离散数据集，这里描述的结果都可以被认为是应用于相应（离散）CDF的核密度估计。在我们的案例中，边际CDF是根据数据估计的约束条件（由等式（5）定义）。另一方面，特殊copula函数的选择是完全任意的。[115]中的作者使用了Gumbel copula，定义为Asgumbelij（θ）=e-h类(- ln Fx（souti））θ+(- ln Fy（sinj））θiθ（76），其中唯一的参数θ量化边缘之间的依赖关系。

值得注意的是，参数估计可以通过最大化似然函数（^G |θ）=NXi=1NXj=1ln C[Fx（^souti），Fy（^sinj）…]（77）关于θ。一旦对模型参数进行了估计，就会得到一个矩阵，该矩阵的入口是（解释为）概率系数。最后，采用IPF方法重新调整行和列的和，恢复观测到的边值。请注意，如果所谓的“独立”copula函数，由C定义【Fx（X），Fy（Y）…】=外汇（X）财年（Y），则恢复MaxEnt估计。至于MaxEnt，copula方法无法再现稀疏网络的拓扑结构[115]。3.5.2.