多元Kyle模型：更多是不同的

另一方面，它在δ中的一阶下注可以写成：x=rω+ωω(v+v） ω(v+五）+rωω2（ω+ω）√δ(v- 五）√δ(v- v） ！。在这种情况下，鼓励按平均价格变动的比例下订单，或按相对差异的比例下订单，并根据相对价格变动的典型规模进行调整√δ.事实上，IT应该押注于价格变化，而价格变化与价格变化的普遍程度成反比。上述结果对极端情况ρ的特化→ ±1区域特别有趣，因为它是更一般结果的结果，可以在∑为秩1时应用，如下一示例所示。例8（排名第一的价格协方差）。让我们考虑这样一种情况，∑的所有特征值除一个外都趋向于0，因此∑趋向于秩1矩阵。本例的兴趣在于∧在本例中显示了一个特别有启发性的表达式，它提供了一个简单的方法，可以将属于与同一基础产品相关的不同金融工具的数量汇集在一起。在不损失一般性的情况下，秩1情况下的∑可以写成∑=sσs>其中s∈ Rn是单位向量，σ>0。然后很容易验证矩阵∧=sσs>Ohms1/2s>（40）得出模型的线性平衡。上述方程有一个非常简单的解释：o矩阵∧与∑交换，其特征向量对Ohm （即噪音交易者引起的音量波动）。o因子σ1/2将价格变化的尺度设置为唯一具有非零波动的∑模式的尺度通过编写主成分分解Ohm 像Ohm =Pna=1waωaw>a，可以将分母写成：（s>Ohms） 1/2=nXa=1（w>as）ωa！1/2. （41）该分母设定了冲击体积∧的缩放比例。

这相当于Ohm 关于∑的唯一非零模式，或等价于单个体积方差ωaof之和Ohm, 根据其对s.5含义的预测进行加权影响矩阵∧的表达式（17）超出了凯尔模型的范围。它为交叉影响模型提供了一个有见地的推理处方，而不是迄今为止在交叉影响拟合的上下文中所做的（参见[BMEB17，MBEB17，WSG16，SL18]）。在这样的背景下，人们有兴趣从经验数据中估计一个预测价格变化的模型p，预测值的形式为：^p=^∧y，（42），其中必须忠实地建模交易工具i将如何影响工具j。本节的目标是在凯尔模型和公式（42）的经验校准之间建立联系，其中价格变化p和不平衡y从经验数据中取样。5.1从理论到数据：经验平均值和损失函数首先，让我们考虑一个关于国际直接投资有效价格变化和交易量的数据集{p（t）}Tt=1和{y（t）}Tt=1，从具有有界方差的未知分布中取样，该分布不需要与手稿前几节中介绍的凯尔模型相关。因此，有点滥用符号，从现在起，1【·】表示根据基础分布得出的平均值对p和y进行采样。此外，我们还引入了一个经验度量h·i来表示所调查的经验样本的平均值。特别是，平均价格变化和平均不平衡的简单经验估计值为：^p=hpi=TTXt=1p（t）（43）^y=hyi=TTXt=1y（t）。（44）从今以后，我们认为价格变化和订单流量会随着其经验平均值的变化而变化，因此我们将p=y=0。

相应的协方差相应定义为：^∑=hpp> 一、（45）^Ohmd=hyy>i，（46）^Rd=hpy>i.（47）为T→ ∞, 经验平均值收敛于实际均值和协方差。我们的目标是显示模型（42）校准的不同原则，所有这些都依赖于上述估计器。我们将把这些估计器与Kyle估计器∧Kyle进行比较，我们将看到，Kyle估计器显示了几个有趣的性质。为了评估不同校准的质量，我们考虑下面定义的二次损失χ。定义2（损失）。给出经验度量h·i，我们将损失χ定义为函数χ=D（^p- p） >米（^）p- p） E，（48）其中^p=^∧y是有效价格变化的线性预测值，M是SPD矩阵。这种对损失的定义隐含着模型的校准与凯尔模型中做市商的任务非常相似：而在凯尔模型中，MM的工作是根据订单流量不平衡预测基本价格变化，在这种情况下，需要根据不平衡预测有效（观察到的）价格。尽管这两个问题是不同的，但它们有着极其相似的方程式，这一事实将允许我们在校准设置中利用前面章节的结果，原则上对Kyle做市商有效。因此，在这种损失定义下，只需找到价格变化的代理p和修饰顺序不平衡y，忽略基本价格v.5.2交叉影响估计的实现。我们给出了三种不同的交叉影响估计，并讨论了它们的性质。App中提供了本节中命题的证明。

B、 5.2.1最大似然估计为了估计交叉影响矩阵∧，可以构造的最简单的估计公式可能是最大似然估计量（MLE）：^∧MLE，通过最小化二次损失获得。提案8。损失χ相对于∧MLE的最小化收益率：^∧MLE=^Rd（^Ohmd）-1，（49）独立于M。最小损失为：χMLE=trM（^∑）-^∑MLE）, （50）式中，∑MLE=Rd（^Ohmd）-1（^Rd）>是模型（49）解释的基本价格变化协方差部分。注意，式（49）几乎与式（15）相同，这是通过强制执行有效价格条件获得的。这并非巧合，因为在具有正态分布变量的线性均衡设置中，贸易价格正是订单流量不平衡y的线性函数。尽管有两个重要的区别，区分Kyle模型的线性均衡和χMLE的最小化：oKyle设置中的一MM实际上是对基本价格进行线性回归，我们有兴趣降低有效价格。这就解释了为什么等式（15）使用基本价格响应Rdv，而等式（49）使用有效价格Rd。在Kyle设置案例中，MM意识到订单不平衡的一部分来自于拥有基本价格信息的IT，并正在优化其策略，假设MM使用aMLE。即使在线性平衡设置下，这也会导致∧的二次方程（见下面的等式（57）），而上面的等式（49）是∧MLE的线性关系。备注2。我们可以通过将有效价格条件（见等式（2））替换为χ最小化的条件来定义多元凯尔模型，而不影响线性均衡。此外，这种方法可以更好地将模型推广到更具异国情调的环境中。事实上，等式。

(??) 仅在价格和交易量为正态的假设下提供线性预测：对于其他分布，y和v之间的关系通常是非线性的。如果一个MM没有足够的基础分布知识或计算能力来构建一个有效的价格，那么拥有一个使损失χ最小化的MM是一个合理的假设，应该依赖线性回归来估计后者。^∧mle的表达式仅包含修饰的经验估计量^Rdand^Ohmd、 允许从实际数据估计影响矩阵。此外，这种估计器的优点是实现非常简单，因为它只需要解∧MLE的线性方程。不幸的是，这个估计缺少几个在实际情况下非常有用的性质：对称矩阵∧mle是对称的当且仅当∧Rdand∧Ohmdcommute。正不确定性矩阵∧∧mle可以具有负特征值（见[BMEB17]）。一般相关性的一致性，[^∑，^∑MLE]6=0。因此，通过使用逆流不平衡推断的价格变化与实际价格变化的特征向量不相同，除非响应^Rd（^Ohmd）-1^rd与^∑通勤。前两个属性在交叉影响模型的校准中极为重要，如【AKS16，SL18】：要在交叉影响设置中进行定价，矩阵∧应为SPD，以确保不存在价格操纵。MLE并非如此，因此不适用于实际目的。5.2.2特征流动性模型为了解决最大似然估计量缺乏对称性的问题，参考。

【MBEB17】是通过加强关系：【^∧ELM，^∑】=0，（51），这意味着影响特征方向与特征投资组合（或资产空间的主成分）一致，构造一个通过构造对称的交叉影响∧ELM的估计量。这可以防止∧不对称引起的价格操纵。其校准在下一个命题中解释。提案9。考虑定价规则^p=^∧ELMy，其中我们施加了对易关系（51）。然后，在这种约束下获得的最大似然估计采用以下形式：^∧ELM=nXa=1^saga^s>a，（52）其中{sa}na=1是^∑的经验特征向量，其中：ga=^s>a^Rd^sa^s>a^Ohm迪萨。（53）此外，最小损失由：χELM=tr“M^∑给出-^RdnXa=1^sa^s>a^Rd^sa^s>a^Ohmd^sa^s>a！#。（54）在这种情况下，上述性质变为：对称矩阵∧∧ELMis通过构造对称。正不确定性矩阵^∧Elm仍然可以具有负特征值，尽管根据经验，矩阵^∧Elm显示的特征值没有明显小于零（见[MBEB17]）。相关性的一致性类似于最大似然估计情况，价格变化协方差∑ELM=∧∧ELMOhmd^∧Elm通常不与∑通勤。当且仅当[^Ohmd、 ^∑=0。综上所述，对称估计量的代价是一个更大的损失函数。请注意，如果^Rdand^Ohmd用∑表示，然后∧ELM=（Rd）（^Ohmd）-1=^∧MLE，因此损失等于最佳可能的χELM=χMLE。备注3（一维估计）。

由于交换和对称是在一维中授予的，施加条件（51）不会对损失函数的最小化增加任何约束，因此，λELM=λMLE=rdωd.5.2.3 Kyle估计器现在，让我们通过从不同角度描述Kyle模型中的∧来提供一些关于如何构建受Kyle模型启发的影响估计器的直觉。首先，取MM解式（15）（匹配MLE，式（49）），并将缀饰阶不平衡和响应与通过式（Q）预测的线性平衡进行交换。（28）和（23）：Rdv→ΣΛ-1, (55)Ohmd→ 2.Ohm . （56）然后，式（15）的线性回归变成二次矩阵方程：∧=Rdv(Ohmd）-1.→ Λ =ΣΛ-1.Ohm-1.（57）在施加∧的对称性和正不确定性后，这正是导致Kyle线性平衡中∧表达式的方程式（见附录A.4）。通过这样做，可以确保有效的价格变动过程，其相关协方差是“真实”价格变动的一半。如上所述，在Kylesetup中，MM隐含地执行线性回归，并且知道IT知道他/她的算法，最终导致等式（57）。我们现在提出一个利用这些思想的估值器∧∧Kylethat。提案10。让我们考虑一个估计量^p：=Kyley，因此，相关有效价格变化的经验协方差∑Kyle=h^p^p> i satis^∑Kyle=k^∑带k∈ R、 然后满足这些约束的唯一∧∧Kyle由∧∧Kyle=k（^Rd）给出-1p^Rd^∑Ld（^Ld）-1（58）其中^Ohmd=^Ld^Rdis^的分解Ohmdsuch that^Ld=（^Rd）>。此外，最小损失为χKyle=trhM（1+k）^∑- 2k^Rd（^Rd）-1p^Rd^∑Ld（^Ld）-1.i（59），使损失最小的k值由k给出=tr（陆路）-1p^Rd^∑Ld（^Ld）-1） tr（M^∑）。请注意，k=1时恢复了与Kyle模型的完全相似性。

事实上，如果样本数据来自实际的多元Kyle模型，其中∑/2=∑=^∑和2Ohm = Ohmd=^Ohm如前几节所述，我们得到：E∧∧Kyle]T→∞----→ k∧。保留k作为自由参数的优点是，它允许增加或减少凯尔估计量的损失χ，而不影响预测协方差的特征向量。事实上，凯尔模型中出现的关系2∑=∑被认为不是普遍的，因此更自然的是将其视为表示交易信息内容的现象学参数。采用∧∧Kyleas作为交叉影响的估计器与其他常用估计器相比有几个有趣的优点，例如最大似然估计器∧∧mle或基于特征流动性模型∧∧ELM的影响估计器：对称性和正不确定性。Kyle构造由于其最优性的要求，强加了先验对称性和PDness。事实上，最优性条件（14）和稳定性条件（PDness of∧）正是【AKS16，SL18】中考虑的风险中性理性主体在尝试优化其利益时所面临的条件。这种结构允许恢复k=1的经验相关性∑。对于k的任何值，都有[^∑，^∑Kyle]=0。损失一个重要的问题涉及使用^∧Kyle得到的损失函数。一般来说，χKyleis大于通过最大似然估计得到的值，而最大似然估计通过设计使χ最小化。因此，为了具有对称性、正半不确定性和相关性一致性而支付的价格通常是与^∧MLE相关的经验数据的较差部分（通过损失χ衡量）。然而，如果我们的数据表现为凯尔模型，即。

如果^Rd=^∑∧-1Kylethen k？=1和：χKyle=0=χMLE，这意味着∧是（显然！）重现多变量模型统计数据的市场的最佳估计量。此外，最低损失为零，因为有效的价格变化p完全由不平衡决定。事实上，回归基本价格变化的问题由于∑<∑的关系，即使是从实际Kyle模型中采样的数据，v也会产生最小的非零损失。备注4（秩1∑的ELM和Kyle估计）。如例8所示，当价格变量协方差为秩1∧Kyleis与∑成比例时。另一方面，根据定义，^∧ELMhas与价格变化协方差具有相同的基础。因此，如果∑为秩1，则∧elm与∧Kyleand∑成正比。5.3配方比较为了比较估值器的性能，我们计算与上述属性直接相关的观察值：o损失：我们计算公式（48）中给出的损失χ不对称：为了量化估计量的对称度，我们计算其反对称部分的范数除以总范数：α=|^∧-^Λ>|2|^Λ|.值α=0（α=1）表示估计量是对称的（反对称的）。o正不确定性：我们计算估计量谱的最低实部：λ？=mini<（λi），其中{λi}1≥我≥求∧的特征值。正不确定性等于λ？>0.o相关性一致性：我们计算交换子的范数∑和估计价格变化的协方差∑est：κ=∑est∑∑-^∑∑est | |^∑| |^∑est |。如果κ=0.5.3.1应用于实际数据，则相关性是一致的。在图1中，我们显示了芝加哥交易所交易的美国国债期货的2年、5年、10年和30年期的协方差和估计数（详情见B.5）。

在表1中，我们显示了4×4系统对应的可观测值。在表2中，我们显示了相同的obserbavles6个可能的2×2系统组合的平均值。正如所料，Kyle程序在损失函数方面表现稍差，但在所有其他方面都比其他程序好得多。估计器损耗（χ）换向器（κ）PDness（λ？）不对称性（α）^∧MLE1.20 0.038 0.031 0.31^∧ELM1.26 0.129 0.017 0^∧Kyle1.32 0 0 0.386 0表1：美国国债期货和债券三个估值器的可观测值。2USNOTES 5USNOTES 10USNOTE TBONDTBOND 10USNOTES 5USNOTES 2USNOTES 0.59 0.81 0.87 10.71 0.93 1 0.870.77 1 0.93 0.811 0.77 0.71 0.59^∑0.015 0.062 0.26 0.280.032 0.15 1 0.260.01 0.1 0.15 0.0620.013 0.01 0.032 0.015^Ohmd0.035 0.14 0.54 0.290.039 0.15 0.57 0.270.043 0.15 0.54 0.250.051 0.12 0.42 0.18^Rd0.89 0.46 0.28 0.621.2 0.58 0.33 0.451.5 0.66 0.3 0.382.8 0.46 0.21 0.21^∧MLE0.21 0.34 0.4 0.510.28 0.43 0.46 0.40.33 0.46 0.43 0.340.55 0.33 0.28 0.21^∧ELM0.0081 0.19 0.29 1.10.24 0.39 0.62 0.290.57 1.3 0.39 0.195 0.57 0.24 0.0081^∧KyleFigure 1：平均美国国债期货协方差和影响2016年估计数。从左到右上方：以风险平方为单位的每日平均价格变化协方差。根据最大值重新缩放的无单位日平均体积协方差。获取原始卷^OhmDHA乘以2242美元。根据风险单位的最大交易量重新调整市场反应。要获得原始体积，必须将其乘以√2242$.从左到右的底部：以风险为单位的最大似然影响估计量、基于特征流动性模型的影响估计量和基于Kyle模型的影响估计量。