多元Kyle模型：更多是不同的

要获得正确单位的估计值，必须除以√2242$.估计器损耗（χ）换向器（κ）PDness（λ？）不对称性（α）^∧MLE0.668 0.033 0.318 0.186^∧ELM0.691 0.108 0.231 0^∧Kyle0.718 0 0.952 0表2：6对美国国债期货的三个估值器的可观测值的平均值。5.3.2合成数据进一步探索价格变化和流动性相关性的影响，在接下来的两部分中，我们计算了上述6组合成2×2协方差矩阵的观测值，具体为0.600.85χ2Loss0 1^20.000.25相关性一致性0 1^20.00.8λPDness0 1^20.000.45α不对称性∧∧∧∧∧∧∧∧∧ELM∧∧KyleFigure 2：流动性影响。平均值（实线）和观察值的最大值和最小值（阴影区域）之间的间隔 范围从0到1。价格变动协方差（^∑ρ，^）Ohmdρ，^Rdρ）和特定体积协方差（^∑）,^Ohmd,^Rd) 分别通过修改B.5中解释的美国国债期货数据制作（见表2）。这种构造背后的思想是提供一组合成但真实的矩阵，这些矩阵由一个流动性参数（liquidityparameter）进行参数化 或相关参数ρ。通过改变这些参数，可以从实际情况中推断（恢复特定值 和/或ρ）和一个真实的世界，在这个世界中，通过改变旋钮，资产可以根据实际情况或多或少地流动, 通过改变参数ρ或多或少地相关。极端非流动性为了探索极端非均匀流动性的影响，我们将2×2的非流动性重新缩放为：^Ohmd7级→^Ohmd=√^Ohmd√^Ohmd.在图2中，我们显示了在6组协方差上平均的每个观测值 从0到1。关于损失，性能更好的估计器是∧∧MLE，无论 正如所料。

有趣的是，χmle不依赖于. 原因是，通过构造，估计价格变化协方差在体积变化下保持不变：^∑MLE=^Rd(^Ohmd)-1（^Rd）)>=^Rd（^Ohmd）-1（^Rd）>。其他两个估计值的损失取决于. 对于较小的值, χKyleis低于χELM，表明在波动率不均匀的市场中∧Kylem可能更好。对于 & 0.2三个估计值的损失分布有很多重叠，没有一个明显更好。如上所述，κmle不依赖于 通过构造，κKyle=0。另一方面，极限值κelm减小到0 → 1由于在限制内 = 1,^Ohmd和∑通勤所有估计量都是PD，唯一的非对称估计量是^∧MLE，其反对称部分随着 增加（即使它从未完全对称）。另外两个在构造上是对称的。与我们在示例6中所示的情况类似，在图3中，我们显示了协方差矩阵和三个相应的影响估值器，其中一个资产的流动性远远小于另一个。请注意，由于第二项资产缺乏流动性，第二列^Rd在价格协方差不变的情况下，比第一个小得多。让我们试探性地分析获得的估计值：^∧MLE：交易第二项资产将对其价格产生强烈影响，并对第一项资产的价格产生显著影响（由于不可忽视的价格相关性）。

交易第一项资产对这两种价格都没有什么影响^∧ELM：在这种情况下，影响估计员预测交易任何一种资产都会产生类似的影响。这不是2维系统的特殊属性，它适用于所有维。0.77 11 0.77^Σ^20.028 0.011 0.028^Ohmd^20.37 0.0470.44 0.037^Rd^20.26 40.37 2.7^∧MLE0.38 0.470.47 0.38^∧ELM0.38 50.69 0.38^∧KyleFigure 3：极度流动性不足。非流动资产的协方差矩阵和估计量。ρ=0.77的值是代表性对2USNOTES-5USNOTES的经验相关性，而 = 通过重新缩放同一对的经验响应和体积协方差，可获得0.01。0 1ρ0.550.95χ2Loss0 1ρ0.000.07相关性的一致性0 1ρ0.00.6λPDness0 1ρ0.00.6α不对称∧MLE∧ELM∧KyleFigure 4：价格变化相关性平均值（实线）的影响以及ρ范围内观察值的最大值和最小值（阴影区域）之间的间隔^∧Kyle：Kyle估值器的预测与^∧MLE之间的主要区别在于，在这种情况下，交易第二项资产将强烈修改其价格，但对第一项资产的价格影响很小。如前所述，这就是有效市场的运作方式：流动性工具不应受到相关非流动性工具订单流的影响，否则价格操纵策略将成为可能。极端相关性我们现在来看两种资产的线性组合，其价格变化协方差为：∑7→^Σρ=1 ρρ 1.在图4中，我们显示了在6组协方差上平均的每个观测值 从0到1。

所有估计量的损失随着ρ的减小而减小→ 1和前一种情况一样，分布有着巨大的重叠，再次表明没有一个估计员能够显著更好地最小化损失。通过构造κKyle=0，在这种情况下，κELM=0，因为Ohmdρ与^∑ρ换算（如果体积差异不相同，则不会发生这种情况）。对于ρ=0，κMLE=0，因为在这种情况下∑ρ=I，但对于ρ>0，κMLE>0。λ？ELMandλ？MLE本质上是相同的。λ?对于ρ的所有值，Kyleis明显大于其他两个。^∧mle中的不对称性放大为ρ→ 1因为在这个极限下Ohmdρ变为单数。同样，根据图5中的示例7，我们展示了协方差矩阵和三个相应的影响估计器，用于两种资产的价格变化具有强相关性的情况。让我们分析获得的估计器：o^∧MLE：由于转换产生的强体积相关性，使得^Rdρ中的小的任意函数被放大。在图中所示的示例中，对第二项资产的影响远大于对第一项资产的影响^∧ELM：自我影响和交叉影响具有可比性。此外，自我影响对于两个主题集来说非常相似^∧Kyle：两种资产的自我影响非常相似，而且比交叉影响更强烈。6结论在本研究中，我们研究了一个多元Kyle模型，该模型被证明是一个非常有趣的背景，可以理解交叉影响的基本机制。也许更重要的是，多变量模型提出了一个从经验数据中提取一致的交叉影响矩阵结构的实用方法——这一点以前似乎没有被强调过，但在处理当今的大维度数据时变得至关重要。我们恢复了平衡状态下的卡巴尔e-Krishnan解，并证明了对称解的唯一性。

我们对回归和体积协方差的本征模式的结果进行了解释。我们讨论了该模型对定价的影响，特别关注影响矩阵的SPD属性。我们提出了经验数据交叉影响回归的含义，并表明交叉意识（或用较少的术语“我知道你知道”）可以用作强有力的调节器，预测能力损失很小。我们将我们的结果与之前的经验交叉影响分析进行了对比，并确定了复制[BMEB17，MBEB17]中结果的限制机制。从补充的角度来看，我们的结果可以被视为理想化市场行为的代理，在理想化市场中，价格完全反映了按顺序编码的信息：对于一个不受操纵的市场，流动性证券的价格应该对流动性强的工具的交易不敏感（见示例6），强相关性工具的价格应该对其单独交易的方式不敏感（例7）。衡量实际市场违反这些原则的程度将是我们结果的一个有趣的实证应用，可以用来帮助监管机构评估市场对相关交易活动的脆弱性。尽管Kyle交叉影响估计器具有所有“良好”的特性，但人们应该记住，Kyle框架中遗漏了许多重要方面，这些方面在实践中可能起到至关重要的作用。首先，经验顺序流在时间上具有强自相关，这必然会导致影响函数的非平凡滞后依赖性，如【BMEB17】所示。扩展现有理论以预测滞后相关冲击矩阵∧（τ）将非常有用。

其次，交易量的影响是非线性的：现在人们普遍认为，元订单的影响对交易量具有平方根依赖性。就我们所知，单资产平方根定律如何在多资产环境中推广是一个完全开放的问题。最后，将Kyle模型的一些最新扩展扩展扩展到多变量情况是很有意思的，这些扩展解释了做市商的投资风险[C,D+16]。我们希望在今后的工作中探讨其中一些问题。0.99 11 0.99^Σρ0.71 0.790.79 0.71^Ohmdρ0.51 0.550.51 0.54^Rdρ0.12 0.590.15 0.55^∧MLE0.33 0.370.37 0.33^∧ELM0.31 0.590.59 0.31^∧KyleFigure 5：价格变动相关性强。具有强相关价格变化（ρ=0.99）的协方差矩阵和估计值感谢Z.Eisler、A.Fosset和E.S'eri'E的富有成效的讨论。我们还感谢J.Caball\'e善意地提供了未出版的手稿【CK+90】。参考文献[AKS16]Aur\'elien Alfonsi、Florian Kl¨ock和Alexander Schied。多元瞬时价格影响和矩阵值正定义函数。运筹学数学，41（3）：914–9342016。Jean Phliippe Bouchaud、Julius Bonart、Jonathan Donier和Martin Gould。交易、报价和价格：显微镜下的金融市场。剑桥大学出版社，2018年。迈克尔·本萨金、亚科波·马斯特罗马特奥、佐尔坦·艾斯勒和让·菲利普·布沙德。剖析对股市的交叉影响：一项实证分析。《统计力学杂志：理论与实验》，2017（2）：0234062017。[C,D+16]Umut C,etin，Albina Danilova，et al.具有不对称信息和相关前向-后向系统的金融市场中的马尔可夫纳什均衡。《应用概率年鉴》，26（4）：1996–20292016。[CK+90]Jordi Caball\'e，Murugappa Krishnan等人。

不完全竞争多证券市场中的内幕交易与资产定价。技术报告，意大利经济研究所（UAB）和意大利经济研究所（CSIC），1990年。Jordi Caballe和Murugappa Krishnan。风险中性的多证券市场中的不完全竞争。计量经济学：计量经济学学会杂志，第695-7041994页。罗杰·霍恩和查尔斯·约翰逊。矩阵分析。剑桥大学出版社，剑桥，1985年。[HS01]乔尔·哈斯布鲁克和杜安·J·塞皮。价格、订单流量和流动性的共同因素。《金融经济学杂志》，59（3）：383–4112001。阿尔伯特·S·凯尔。持续的拍卖和内幕交易。《计量经济学：计量经济学协会杂志》，第1315-13351985页。纪尧姆·拉塞尔。连续时间多元安全模型中的信息不对称和不完全竞争。《金融与随机》，8（2）：285–3092004。格奥尔格·林德格伦、霍尔格·罗茨·恩和玛丽亚·桑德斯坦。科学家和工程师的平稳随机过程。CRC出版社，2013年。[MBEB17]Iacopo Mastromatteo、Michael Benzaquen、Zoltan Eisler和Jean-Philippe Bouchaud。轻松交易：交叉影响和最佳投资组合执行。《风险》杂志，2017年7月1日至6日。保罗·帕斯夸列洛和克拉拉·维加。美国股市的战略性交叉交易。《金融评论》，第19（1）：229–2822013年。迈克尔·施耐德和法布里齐奥·利洛。交叉影响，无动态套利。《定量金融》，2018年第1-18页。保罗·维塔莱。多资产顺序拍卖市场中的风险规避内幕交易。《经济学快报》，117（3）：673–6752012。【WSG16】王珊珊、鲁迪·谢弗和托马斯·古尔。相关金融市场的交叉反应：个股。

《欧洲物理杂志B》，89（4）：1052016年。多元Kyle模型的一个解定理1的证明分为4个不同的结果。首先，均衡是线性的这一事实是命题1和命题2的结果。在找到平衡的显式形式之前，我们需要证明∧是对称的。这是IT策略最小化的二阶条件的结果（命题1），并在命题3中得到证明。最后，在命题A中给出了∧的显式形式和唯一性证明。1知情交易的最优性命题1的Proof。这里，我们展示了一阶和二阶条件的后果，这些条件产生于IT局部最大化给定v的平均效用的要求，可以写成：E[UIT | v]=-E[x>（p- v） | v]=-E[x>（u+λy- v） | v]=-x> u- x> ∧x+x>v。为了找到最佳策略，我们将x的效用最大化。第一和第二阶导数为：E[UIT | v]x=-u - 2∧Sx+v=0（60）E[UIT | v]x个x> =-2∧S.（61），其中XS（XA）表示X的对称（反对称）部分。由于uit在X上是二次的，因此pro-fit最大化条件意味着二阶导数（61）必须严格负定义，这反过来意味着∧和∧都是PD。求解x导联tox=α+Bv（62）的（60），其中α=-BuB=∧-1秒。（63）由于∧Shas是PD，它是可逆的，B和α定义得很好。正如我们将在应用程序中显示的那样。A、 3，∧的PDness和有效价格条件（在附录A.2中讨论）表明∧是对称的。A、 2做市商的最优性在本附录中，我们将说明由要求MM确定定价规则p=∧y+u所产生的条件，以便p=E【v | y】是一个有效的价格。命题2的证明。

利用v和u的高斯性质及其独立性，可以将（2）中给出的有效价格扩展为[LRS13，p.269]：p=e[v | y]=e[v]+C[v，y]C[y，y]-1（y- E[y]=p+Rdv(Ohmd）-1（y- y） =u+λy，（64），其中u=p- ∧y，（65）∧=Rdv(Ohmd）-1.（66）该分析为MM的策略提供了一种明确的形式，看起来MM可能正在进行线性回归。然而，若不知道IT的策略，就无法估计Rdvnor(Ohmd）-1这意味着MM必须在回归中包含关于x的信息，使其成为二次问题，而不是线性问题。这一点将在第节中详细讨论。5.2.1.A、 3线性平衡的对称性为了找到定理1中描述的线性平衡，我们首先必须证明命题3。为此，我们将利用一个有用的引理【HJ85，定理7.2.6】，该引理将用于以下推导。引理1（正定义平方根）。考虑一个对称且正半有限的矩阵Y。然后，它存在唯一的对称正半有限矩阵X=√Y使得XX=Y。命题3的证明。让我们从E[y]=y=开始-1S（p-u）转化为（15）。经过一段代数之后，我们得到（p- u）（I-ΛΛ-1S）=0（67），因此u=pand x=∧-1S（v- p） 这允许我们计算以下量：y=0（68）Ohmd=∧-1S∑∧-1S+Ohm （69）Rdv=∑∧-1秒。（70）通过将上述结果插入（15）中，可以得到一个二次方程：（∧∧∧）-1秒- 2I）∑+λOhm∧S=0。（71）将∧展开为（∧A+∧S），并从（71）中做一些代数，我们得到∧A=（I- Γ）（I+Γ）-1∧S（72），其中Γ=4∧SOhm∧S∑-现在，因为∧A=（λ- ∧>），我们有∧A=-∧>A因此（I- Γ）（I+Γ）-1∧S=-∧S（I+Γ>）-1（一）- Γ>）（I+Γ>）∧-1S（I- Γ) = -（一）- Γ>)Λ-1S（I+Γ）p∧SΓ>∧-1SΓp∧S=I.替换回Γwe getY=zy，其中Y=√∧SOhm√∧砂Z=q∧-1S∑q∧-1秒。

由于∧Sis PD，Yis也是SPD，因此Y=Z是Y的唯一PD平方根，它导致∑=∧SOhm∧S（73）并将这些结果代入（72）表明∧A=0。通过等式（73），我们证明了IT成本上的利益最大化条件（即∧必须是PD）导致∧A=0和∧=s。如果∧Swas不是PD，Y和Z可能是不同的根，我们将无法建立Y=Z的关系。在这种情况下，我们将找到许多解决方案，其中大多数是e[UIT]的鞍点。A、 4线性平衡的显式形式证明定理1中线性平衡的存在性和唯一性所需的最后一步是证明等式（73）允许唯一对称解，如下所示。提案11。满足等式（73）的唯一对称PD矩阵∧为∧=R-1pR∑LL-1.证明。∧的显式形式：等式（73）的解必须是∧=GOL形式的∧-1，（74）式中，G是G>=D的形式GD的∑的任何因式分解。然后留下方程OO>=I。该方程由属于正交群O（n）的任何矩阵O求解，该正交群由n（n）指定-1） /2参数。只有通过自洽施加∧对称性，才能找到OO=G的解-1R级-1pR∑L=（RG）-1q（RG）（RG）>。（75）在公式（74）中引入O值，我们得到了期望的结果。唯一性：分解Ohm = LR不是唯一的。实际上，用L乘以任意旋转OOhm产生另一种可能的分解。然而∧的最终值并不取决于OOhm. 要证明这一点，请考虑使用分解的∧值Ohm = LO（低）OhmO>OhmR： ∧=（O>OhmR）-1qO>OhmR∑LOOhm（低Ohm)-1=R-1个OhmO>OhmpR∑LOOhmO>OhmL-1=R-1pR∑LL-1我们使用了以下事实：√Y=X然后√O> Y O=O>XO。