多元Kyle模型：更多是不同的

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英文标题：
《The Multivariate Kyle model: More is different》
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作者：
Luis Carlos Garc\\\'ia del Molino, Iacopo Mastromatteo, Michael
  Benzaquen and Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We reconsider the multivariate Kyle model in a risk-neutral setting with a single, perfectly informed rational insider and a rational competitive market maker, setting the price of n correlated securities. We prove the unicity of a symmetric, positive definite solution for the impact matrix and provide insights on its interpretation. We explore its implications from the perspective of empirical market microstructure, and argue that it provides a sensible inference procedure to cure some pathologies encountered in recent attempts to calibrate cross-impact matrices. As an illustration, we determine the empirical cross impact matrix of US. Treasuries, and compare the results with recent alternative calibration methods.
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中文摘要：
我们在风险中性的环境下重新考虑多元Kyle模型，由一个完全知情的理性内幕人士和一个理性竞争的做市商，设定n个相关证券的价格。我们证明了影响矩阵的对称正定解的唯一性，并对其解释提供了见解。我们从经验市场微观结构的角度探讨其含义，并认为它提供了一个合理的推理程序，以治疗最近在校准交叉影响矩阵的尝试中遇到的一些病理学。作为说明，我们确定了我们的经验交叉影响矩阵。并将结果与最近的替代校准方法进行比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> The_Multivariate_Kyle_model:_More_is_different.pdf (667.99 KB)

2022-6-10 05:03:18 上传

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关键词：KYLE Multivariate Implications illustration Quantitative

多元凯尔模型：更多是不同的。C、 Garcia del Molino，I.Mastromatteo，M.Benzaquen2,1和J.-P.BouchaudCapital Fund Management，23 rue de l\'Universit\'e，75007，Paris，FranceLadhyx和经济部，UMR CNRS 7646，Ecole polytechnique，91128 Palaiseau Cedex，FranceDecember 212018AbstractWe在风险中性环境下重新考虑多元Kyle模型，完全知情的理性内幕人士和理性竞争的做市商，设定n个相关证券的价格。我们证明了影响矩阵的对称正定义解的唯一性，并对其解释提供了见解。我们从经验市场微观结构的角度探讨其含义，并认为它提供了一个合理的推理程序，以治疗最近校准交叉影响矩阵的尝试中遇到的一些病理学。作为一个例子，我们确定了澳大利亚的经验交叉影响矩阵，并将结果与最近的替代校准方法进行了比较。关键词：微观结构、影响、多元、价格形成内容1简介22多元Kyle模型32.1模型。32.2可见光。33平衡策略43.1线性平衡。53.2均衡解的价格和数量协方差。73.3公用事业和竞争性做市。84解释104.1价格和数量的白化。

104.2价格基础和数量基础。115含义135.1从理论到数据：经验平均值和损失函数。135.2交叉影响估计员。145.2.1最大似然估计。145.2.2特征流动性模型。155.2.3凯尔估值器。165.3配方比较。185.3.1实际数据的应用。185.3.2合成数据。196结论22A多元Kyle模型25A的解。1知情交易者的最优性。25A。2做市商的最优性。25A。3线性平衡的对称性。26A。4线性平衡的显式形式。27B估算27B。1损失χ。27B。2最大似然估计。28B。3特征流动性估计器。28B。4 Kyle估计器。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29B。5根据真实数据制作合成协方差矩阵。291简介了解市场影响——交易推动价格的机制——无疑是至关重要的。从理论角度来看，市场影响是金融市场价格形成的核心。从从业者的角度来看，市场影响往往是不可忽视的交易成本的根源，需要控制这些成本以优化执行策略。在过去几十年中，大多数文献都集中在单一产品的价格影响上（最近的综述见[BBDG18]），而没有考虑资产间的相互作用。然而，许多市场参与者交易的是组合了数百或数千项资产的大型投资组合。因此，解决资产间价格影响问题，即创造的交叉影响，是从根本上和实践上都非常感兴趣的问题之一。最近的实证研究表明，有证据表明股票市场存在显著的交叉影响【HS01、PV13、WSG16、BMEB17】。当涉及到大型矩阵估计时，经常出现的问题是经验噪声。因此，重要的是继续寻找良好的统计优先级，以帮助“清理”这些大维度估计量。在这个问题上，人们应该从理论经济学中期待什么？哪些经验观察结果应被视为不寻常？在这里，我们重点关注如何理解过去几年在最正统的背景下积累的经验观察结果：经典的凯尔模型[Kyl85]，扩展到多资产框架。

我们的目标是深入了解（i）在凯尔环境中，信息如何（横截面）用于价格，以及（ii）如何使用这些结果来规范实证交叉影响分析中产生的非常嘈杂的回归。多元Kyle模型在[CK94]中首次被考虑，在一个非常普遍的设置中，有n个资产和m个部分知情的交易者。模型的一般性使得只能对解决方案进行部分分析；此外，它还涉及一个无法通过实证数据直接衡量的对象，即知情交易者订单流量的相关性。在这里，我们重新考虑了经验校准问题。我们将重点放在特殊情况m=1上，并证明线性平衡是唯一的，并且以对称正定义（SPD）影响矩阵为特征。该解决方案提供了一个明确的配方，可以从（清理后的）订单流量和回报相关矩阵中推断交叉影响，我们将其与其他自然配方进行比较，如最大似然估计量（MLE）[BMEB17]或最近提出的“特征流动性”模型（ELM）[MBEB17]。本文的组织结构如下。在第2节和第3节中，我们介绍了多元Kyle模型，并提供了均衡策略，主要基于[CK94]中的工作，但也提供了新的结果。在第4节中，我们详细研究了该解的数学性质。在第5节中，我们介绍了一种基于做市商均衡策略的影响估计，并从理论和实证角度将其与其他常用估计进行了比较。在本文中，我们提供了几个示例，旨在为主要结果提供指导。

特别是，面对多变量和单变量模型的结果往往很有趣。以下所有粗体大写符号表示矩阵，粗体小写表示向量，轻小写表示标量。2多元Kyle模型在本节中，我们详细介绍了多元Kyle设置，并定义了允许使用经验观测值校准模型的观测值。2.1该模型考虑三个代表性代理人交易n种工具的单周期经济。代理人包括：拥有未来价格完美信息的信息交易者（IT），因外生原因而缺乏任何信息的噪音交易者（NT），以及有竞争力的做市商（MM），其职责是提高价格效率。模型的动力学由以下规则设置。基本价格v从高斯分布v中采样~ N（p，∑），其中∑是SPD。只有它事先知道v的值，而pand∑是常识。我们将价格偏离其平均值表示为v：=v- p、 2。IT和NT同时订购尺寸分别为x和u的产品。NT u的出价从高斯分布u中采样~ N（0，Ohm) 独立于基本价格，其中Ohm 是一个可变矩阵。3、MM根据观察到的总订单不平衡y=x+u，以结算价格p结算超额需求y，这允许他/她形成基本价格的最佳估计。这些基本价值随后被揭示出来。风险中性点要求的数量x，使其效用函数的期望最大化：UIT（x，p）=x>（v- p） 。（1） 请注意，UIT不包含任何风险罚款。虽然这种惩罚的引入会影响下面的一些结论，但我们决定将这个有趣的问题留给未来的工作。

与做市商具有竞争性的假设一致，MM设定的价格与预期v相匹配，给定可用的公共信息，即总订单不平衡y:p=E[v | y]，（2）其中E[·]表示v和u分布的平均值。显然，上述设置高度程式化，在许多情况下是不切实际的。尽管如此，该模型仍然能够捕获合理价格形成过程的一些基本要素：ITS所拥有的信息被编码为受噪声u污染的交易订单不平衡x。在竞争机制中，MMs有望解码总订单不平衡y=x+u中包含的信息，为了提供对基本价格v的最佳预测。这会机械地引发市场影响：因为订单不平衡y与基本价格相关，交易价格p也会显示与订单不平衡y的相关性，从而提供市场影响的合理度量。2.2可观察性为了深入了解该模型的含义并做出可测试的预测，需要提供一些可与市场数据进行比较的指标。幸运的是，该设置的高斯特性允许我们只考虑一阶和二阶统计（均值和协方差）。例如，凯尔设置中的阶流没有时间自相关，而众所周知，经验领主流有很长的记忆。参见[BBDG18]和[BMEB17]，了解多元背景下的最新讨论。价格和数量，以完全描述模型的行为。

自然，定义模型的基本参数(Ohm, ∑）是不可直接观察到的，需要从交易价格p和交易量y的统计数据中推断出来，这是模型唯一的物理可观察数据。价格由于价格有效性条件（见等式（2）），平均交易价格等于基价的平均值，其本身等于（一致性）初始价格：e[p]=e[v]=p.（3）。然而，交易价格和基价的协方差没有理由重合：∑=C[p，p]=e[（p- p） （p-p） >]，（4）∑=C[v，v]=E[（v- p） （五）- p） >]。（5） 进一步，我们表明，在平衡状态下，∑和∑完全成比例（见等式（24））。由于NT的非知情性质，平均订单不平衡由IT引入的偏差确定，因此：E[y]=E[x]：=x。（6）由于NT的体积协方差部分和由于IT的体积协方差部分之间的关系更微妙，由下式得出：Ohmd=C[y，y]=C[x，x]+Ohm , （7） 在这里，我们介绍了我们创造的缀饰体积协方差Ohmd、 这是物理可观测量。相应地，裸体积协方差（即不受噪声影响Ohm) 是C[x，x]。最终，我们感兴趣的是有条件地描述给定贸易不平衡的预期价格变化：与价格影响直接相关的响应函数。在这个模型中，测量这些量的物理观测值，即我们推测的反应，是：Rd=E[（p-p） y>]=C[p，y]，（8）Rdv=E[（v- p） y>]=C[v，y]。（9） 由于非知情订单不平衡u和v之间缺乏相关性，我们可以将撤回的响应与关于x:R和Rv的响应联系起来，即通过hr=E[（p- p） x>]=C[p，x]=Rd- C【p，u】，（10）Rv=E[（v- p） x>]=C[v，x]=Rdv。

（11） 有趣的是，虽然基本价格对噪音交易水平不敏感，但由于总订单不平衡y和基本价格v.3均衡策略之间的虚假相关性，交易价格在一定程度上存在定价错误。在本节中，我们描述了多元凯尔模型的均衡策略。虽然大多数结果都可以从卡巴尔和克里希南的开创性工作中推断出来【CK94】，但我们认为，提供我们自己的证明的简化版本是有用的，我们以更具教育性的形式呈现，在某些情况下更为紧凑，并且可以明确讨论几个理论问题和经验含义。3.1线性平衡或主要结果是存在一个唯一的线性平衡，如下所述，其结构可通过分析表示。定义1（线性平衡）。通过线性均衡，我们指的是一组策略，其中MM执行交易价格p，IT通过线性规则p=u+λy，（12）x=α+Bv，（13）执行其出价x，从而满足以下两个条件：1。利益最大化：对于x6=x，E[UIT（x，p）| v]>E[UIT（x，p）| v]的所有备选策略。2、价格效率：价格满意度（2）。基于等式（12）中给出的MM线性策略的假设，我们得到以下结果（附录a中提供了证明）。提案1。对MM实施线性定价规则（12）意味着理性IT也会将订单不平衡x设置为不平衡的线性函数，其中：x=∧-1S（v- u），（14），其中∧sde表示∧的对称部分。此外，IT战略的利润最大化条件意味着∧Shas为正定义（PD）。等式（12）表明∧起着调整交易价格水平p与不平衡成比例的作用。

命题1表明∧也起到了从知情交易者X设定订单不平衡的作用，因为了解基本价格v。此外，等式（14）和等式（12）意味着，由于卷积下高斯分布的稳定性，订单不平衡y和交易价格p都是正态分布随机变量。最后一个属性是以下命题的核心。提案2。假设公式（14）中的IT线性策略意味着公式（12）中MM的优先级参数由以下公式给出：u=p- ∧y，∧=Rdv(Ohmd）-1.（15）注意y，RdvandOhmD依赖于x，因此是∧S。将（15）代入式（14）可以关闭系统并找到∧的方程。然而，请注意，获得的系统有许多可能的解决方案。为了约束后者，我们必须实施命题1中引入的利益最大化条件。提案3。假设存在等式（14）给出的IT效用最大化问题的解决方案，以及等式（14）给出的MM定价规则。（12） 和（15）。然后，∧Shas为PD的利润最大化条件意味着∧是对称的，并且满足以下方程：∑=∧OhmΛ . （16） ∧的对称性导致了一个唯一的解，可以用问题的参数来表示（即∑和∧）Ohm). 表示方式√Y对于SPD Y，矩阵方程XX=Y的唯一PD解（见附录A.3中的引理1）我们引入以下定理：定理1（线性平衡的存在性和唯一性）。策略（12）和（14）给出了唯一的线性平衡，其中：∧=R-1.√R∑LL-1，（17）y=0，（18）u=p.（19）这里L，R是矩阵的因式分解Ohm = LR满足L=R>。注意，存在性结果是参考文献[CK94]中命题3.1的特例，专门用于具有完美信息的单个IT的情况。