多元Kyle模型：更多是不同的

尽管如此，非对称∧lackeda的其他平衡的缺乏已发表的证据（尽管类似的讨论可在Caball\'e和Krishnan[CK+90]未发表的论文中找到）。由于∧的对称性对价格形成和定价都有重要影响（见第4节和第5节的讨论），我们认为，排除非对称均衡的存在是多元Kyle模型分析中的一个重要步骤。这是本文的主要创新理论贡献。示例1（单变量Kyle模型的解）。将定理1专门化为仅交易一项资产的n=1情况，得到了[Kyl85]中导出的著名解决方案（轻小写符号是加粗大写和加粗小写符号的标量版本）：λ=rσω，（20）表明价格和失衡之间的比例常数随价格波动量而变化√σ和与噪声的典型波动成反比√ω. 直觉上，理性MM预期的价格偏差越大，他就越应该重视成交量失衡，以便预测基本价格对失衡的影响。另一方面，系统中的噪声越大，交易量信号越不可靠，因此交易价格越接近未信息的先验p。需要注意的是，等式（16）本身并不意味着∧的对称性，因为有必要进一步施加PDness以获得对称性。事实上，（16）的对称解不是PD。这些解决方案可以提高交易价格，但不能优化IT的效用。示例2（鞍点解）。设x为（14）中给出的形式的策略，设u=pand∧为（16）的对称但非PD解。

通过构造，此时相对于x的E[UIT]梯度为零，满足IT的一阶条件，但这并不保证它是最大值。现在，我们对策略x+δx进行任意扰动，并计算两种策略之间的效用差异：δE[UIT]=E[UIT]（x）-E[UIT]（x+δx）=E[2x>∧δx+δx>∧δx-δx>（v- p） ]=δx>∧δx。可以看出，当且仅当∧为PD时，任意δx的δE[UIT]始终为正。如果没有二阶条件，它可以找到比x更好的策略，这意味着对应于∧的解不是平衡点，而是鞍点。事实上，当∧不是PD时，E[UIT]可以任意大。在这种情况下，IT将任意交易大量的某些线性资产组合，而不均衡将是可能的。施加PD影响矩阵∧允许MM确定IT的最佳策略，否则将无法确定–至少在可替代性函数中没有进一步的风险惩罚的情况下。3.2均衡解的价格和数量协方差我们现在研究上述线性均衡的可测试含义。这里，我们提供了在这种情况下可以测量的可观测值之间的关系。提案4（Camou flage）。在平衡中，缀饰阶不平衡的期望值等于：y=E[y]=E[x]=0。（21）IT阶不平衡协方差可表示为：C【x，x】=Ohm , （22）暗示：Ohmd=2Ohm . （23）证明。

（21）和（22）中的结果是通过直接评估期望值得到的：E【x】=∧-1E【v】- p] =0，C[x，x]=∧-1E[（v- p） （五）- p） >]λ-1=Λ-1ΣΛ-1= Ohm .最后一个结果与（22）的定义基本一致Ohmd、 这一结果意味着，除了匹配NT的交易水平以隐藏其信息（在一维情况下获得），还需要匹配NT交易的方向（即Ohm) 以至于IT的交易行为和NT的交易行为无法区分。下一个命题给出了这种行为的一个更有趣的结果。命题5（信息差异）。均衡中的基本价格协方差和交易价格协方差由∑=关联。（24）此外，剩余信息isC[v，v | p]=C[v，v]- C[v，p]C[p，p]-1C【p，v】=∑- B∧∑∑-1∑∧>B>（25），其在平衡状态下的读数c【v，v | p】=∑。（26）证明。交易价格协方差为：∑=C[p，p]=∧Ohmd∧>=2∧Ohm∧=∑，（27），其中最后一个等式来自App中的等式（73）。A、 3。为了找到剩余信息，需要计算交易价格和基本价格之间的协方差：C【v，p】=B∧C【v，v】=B∧∑。虽然这两个协方差是相关的这一事实是意料之中的，但它们彼此成比例的事实并非微不足道。此外（27）意味着影响矩阵∧的作用是按照基本价格的波动方向“旋转”成交量的波动。这种行为背后的直觉是，由于伪装，IT将朝着与NT相同的方向交易。因此，需要一个理性的市场管理者来努力提高价格效率，以转换沿Ohm预测价格沿∑主成分的波动，从而匹配预期协方差∑。

比例常数等于1/2（仅显示一半信息）这一事实无关紧要，是模型单周期特征的结果。将Kyle框架扩展到多个时间步，将常数因子1/2转化为一个时变函数，表示信息融入价格的速率（单资产案例见Kyle原始文件[Kyl85]，离散和连续多资产案例分别见[Vit12，Las04]）。最后，有趣的是，在多元凯尔模型的背景下描述这些反应。提案6（回复）。上述命题和等式（10）意味着RV=Rdv=Rd=2R=∑∧-1，（28）使得响应由∑和∧唯一确定。证据通过在定义上插入平衡策略，可以找到响应的平衡值：Rdv=Rv=E[（v- p） x>]=E[（v- p） （五）- p） >]λ-1=ΣΛ-1，Rd=E[（p- p） y>]=λE[yy>]=2∧Ohm =ΣΛ-1，R=E[（p- p） x>]=∧E[xx>]=∧Ohm =ΣΛ-1、这个命题的一个有趣的结果是，在目前的框架内，修饰响应应该完全由∑和Ohm 单独地在第5节中，我们将看到这如何自然地导致影响模型的校准，在该模型中，可以通过将上述响应结构作为合理的先验来减少部分估计噪声。

最后，请注意，虽然基本价格的修饰响应和裸响应一致，但交易价格的修饰响应比裸响应大一个因子2，这是因为NT瞬时引入的价格和交易量之间存在纯粹的相关性。3.3公用设施和竞争性市场开拓在该模型中，三个代理的公用设施总和为零：UIT=-x> （p- v） ，UNT=-u> （p- v） ，UMM=（x+u）>（p- v） 。因此，描述效用如何在平衡状态下从一个代理转移到另一个代理是很有趣的。提案7（平衡时的公用事业）。三种试剂在平衡状态下的效用等于toE[UIT]=tr（R），（29）E[UNT]=-tr（R），（30）E[um]=0。（31）证明。E【UIT】=-E[x>（p- v） ]=tr（E[vx>]- E[px>]）=tr（Rv- R） =tr（R），E[UNT]=-E【u>（p- v） ]=tr（E[vu>]- E[pu>]）=tr（0- R） =-tr（R），E[um]=-E【UIT】- E[UNT]=0。与标准Kyle模型一样，多元Kyle模型的线性均衡使得财富从NT转移到IT，从而能够利用其信息优势。MMI的作用更为微妙：我们假设MM执行了一个有效的价格，因此通过建设他并不是在优化他的财富。然而，正如我们在命题7中所示，通过定价规则（2）施加价格效率会导致MM在效用预期为0的意义上实现盈亏平衡。在下一个例子中，我们证明了事实并非如此：对MM施加盈亏平衡条件通常不足以确保价格。示例3（有效价格和盈亏平衡条件）。考虑盈亏平衡条件E[UMM]=0。

单变量模型中MM的预期效用为：E[UMM]=（u- p） λ-1+λωd- rdv=0。施加u=可以消除复杂溶液的存在，而不考虑rdvandω，因此：λ=rdv/ωd，u=p。因此，在一维中，MM的盈亏平衡条件，以及要求u=pis等效于施加价格效率。这种等价性源于系统的低维性，因为当我们在一维中施加盈亏平衡条件时，我们得到了一个参数的一个方程（u是通过强制要求任何参数选择的解必须是实的来固定的）。在多元Kyle模型中，情况并非如此。特别是盈亏平衡条件writesE[UMM]=tr(u - p） （u- p） >λ-1S+λOhmd- Rv= 0 .在这种情况下，我们再次获得一个方程式，但现在需要~ N参数。这意味着有很多方法可以实现收支平衡，但只有一种方法是有效的。在限制性更强的设置中，MM甚至必须单独为每个资产进行破解，条件可以写为：diag(u - p） （u- p） >λ-1S+λOhmd- Rv= 0。（32）在这种情况下，有n个方程，仍然不足以确定~ N参数。因此，在一维中，条件E[UMM]=0既是价格有效的必要条件也是有效条件。在多个维度上，虽然E[UMM]=0仍然是价格效率的结果，但正如下一条评论所阐明的，反之则不成立。备注1（效率的充分和必要条件）。资产盈亏平衡条件（32）也可以写成：E[（pi- vi）yi]=0，（33）对于每项资产i。假设u=矩阵形式的pand，（33）导致0=diag（E[（p- v） y>]）=诊断（λE[yy>]- E[vy>]）=诊断（λOhmd- Rv），对应于（15）的对角线。为了恢复（15）（不仅是对角线），我们需要方程（33）的有效对角线版本：E[（pi- vi）yj]=0，对于j 6=i。

不幸的是，这些术语与任何公用事业没有直接关系，仅仅表明为了使价格有效，MM应该破坏订单流量与错误定价PI之间的任何相关性- vi.因此，虽然在一个维度上，Kyle MM的行为可以根据效用和竞争性做市论据进行调整（见参考文献[Kyl85]），但在多资产情况下，为什么竞争性MM会在其自身效用的基础上提高价格效率却不太清楚。4解释上述章节中说明的线性平衡性质提供了一些关于模型现象学的直觉，但它们无助于理解公式（17）中的影响∧。以下讨论旨在对∧的表达式进行调整，从而阐明其结构。据我们所知，以下论点以前从未出现在文献中。4.1价格和数量的白化定理1中给出的线性均衡的推导依赖于二次矩阵方程（16），该方程由（见命题11的证明）求解：∧=GOL-1，（34）其中，我们使用了价格相关性的分解∑=GD，类似于Ohm = LR和O是正交矩阵。这一发现的显著之处在于，无论∑和Ohm, 基O总是存在唯一的变化，∧就是SPD。因此，MM操作的预测过程导致了定价规则v=v- p=∧y可以看作是以下步骤的结果：1。应用白化变换L-1至y，以获得白化不平衡y=2-1/2升-1y，其中c[~y，~y]=I.2。将旋转O应用于▄y，获得白化的基本价格变化v=O  y。如前所述，事实上C[v，v]=E[vv>]=I.3。

应用逆白化变换G，以发现基本价格变化的预测v=v- p=2-1/2克~v.虽然本程序的第一步和第三步是直观的，并且只能从维度分析中看出，但在第二步中应用的旋转O的性质并不那么简单，将在以下章节中进行更深入的研究。示例4（一维Kyle模型中的简并度）。在一维中，等式（16）变为σ=λω，导致一对解λ=±pσ/ω。通过施加影响∧的正不确定性，可以很容易地解决解之间的简并，从而选择正解。在这种情况下，我们有G=√σ、 L=√ω、 O=1。因此，从O的角度来看，一维Kyle模型的维度太低，任何非平凡的事情都不会发生：只有在更高的维度中，人们才能理解其一般结构。4.2价格基础和容量基础正如我们在命题11的证明中所示，公式（34）中出现的旋转O可以表示为asO=（RG）-1q（RG）（RG）>。（35）为了在理解n>1的旋转的复杂性方面取得一些进展，重要的是要注意，它完全是根据矩阵RG规定的。让我们假设选择计算Ohm ∑是主成分分解：Ohm = W诊断(√ω） |{z}Ldiag(√ω） W>{z}R，（36）∑=Sdiag(√σ） |{z}Gdiag(√σ） 其中W和S是正交矩阵，其中向量√ω和√σ有正元素。然后我们有：RG=诊断(√ω） W>Sdiag(√σ） ，（38）表明，除了对角矩阵之外(√ω） 和diag(√σ） 设定了基础价格波动和订单不平衡的规模，正是重叠W>S将成交量的特征向量与基本价格的特征向量联系起来。

为了对O的结构有更深入的了解，我们应该用一些简单的例子。示例5（二维Kyle模型）。在二维中，矩阵O可以用一个角度θ：O来表征，而不会失去一般性=cosθ-sinθsinθcosθ.考虑由以下相关性给出的系统：∑=1 ρρ 1, Ohm =ω0 ω.在这种情况下，我们可以显式地计算O。尤其是一个hasG=√√1 + ρ -√1.- ρ√1 + ρ√1.- ρ, L-1=ω-1/20 ω-1/2!,施加∧的对称性可以表明θ=弧inω-1/2√1 + ρ + ω-1/2√1.- ρ√2.!哪里 =qω+ω+2（ωω）1/2p1- ρ. 最后我们得到∧=21+qωp1- ρρρ1+qωωp1- ρ. （39）事实上，通过一致地选择G和L的因式分解，可以根据公式（35）任意地将O的行列式固定为正或负1。我们可以使用示例5中的结果来检查两种极端情况：一种是流动性极度不足，另一种是资产相关性很强。例6（极度流动性不足）。让我们考虑ω=ω带 → 0，而ω=ω，意味着y-预计有1/2是固定的。然后预测一阶MM is：p- p=√ωyρy+p1- ρ（y-1/2),这意味着流动性工具的有效价格仅由同一工具上的交易量确定，而对于非流动性市场，重要的是要考虑流动性相关市场上的交易量。另一方面，IT在 由：x给出=√ωvq1.-ρ(v- ρv） ！。现在，IT被鼓励只交易流动资产，而且在出价时忽略非流动资产。

与前一种情况类似，交易价格将保持为订单1，因为第二种资产的市场订单将是订单√.例6中的价格创新可以解释为一个有效市场应该如何运作的指示：交叉影响的对称性意味着，在流动资产价格上交易一美元资产的效果与在资产价格上交易一美元资产的效果相同，然而，由于在ait上交易的美元很少，因此不会对a的价格产生显著影响。相反，a的价格将在很大程度上受a的交易量的驱动。虽然我们只证明了可逆∑的线性均衡的存在，我们可以研究∧在∑具有低秩的极限情况下的行为，如以下两个示例：示例7（强相关价格）。考虑ρ=1- δ、 带δ→ 0，因此(p- p）/√δ是有限的。根据（39），δ中一阶MM的预测值为：p- p=√ω+ ωy+yy+y,这意味着，在处理强相关性工具时，可以通过在全球流动性正常化之前，对每种工具的交易量进行代数求和来构建有效的价格。