频谱正Levy的最优定期补货策略

直接计算得出（L- （q+r））eΦ（q+r）（x-b*)= 0，因此（L- q）r+qeΦ（q+r）（x）-b*)= qr（eΦ（q+r）（x-b*)- 1).让我们定义，对于固定z≤ b*,G（q+r）（z）：=EzhZτ+b*e-（q+r）tf（X（t））dti=Zb*-∞f（y）Θ（q+r）（z- b*, y- b*)dy，（6.2），其中最后一个等式为（4.8），并且对所有z都有很好的定义和定义≤ b*备注2.1。WithT公司(-N、 b类*):= inf{t>0:X（t）6∈ [-N、 b类*]} 对于-N<x，定义过程i（t）：=e-（q+r）（t∧T型(-N、 b类*))G（q+r）（X（t∧ T型(-N、 b类*))) +Zt公司∧T型(-N、 b类*)e-（q+r）sf（X（s））ds，t≥ 0，I(∞) := 限制→∞I（t）=e-（q+r）T(-N、 b类*)G（q+r）（X（T(-N、 b类*))) +ZT公司(-N、 b类*)e-（q+r）sf（X（s））ds。由强马尔可夫性质可知，G（q+r）（x）=Ex[I(∞)].带（G（t）；t型≥ 0）作为X的自然过滤，我们定义Px鞅：~I（t）：=Ex[I(∞)|G（t）]，t≥ 0.对于x<b*并且t>0，通过X的强马尔可夫性质，因为，在{t≥ T型(-N、 b类*)},I（t）=I(∞) =~I（t），我们可以写~I（t）=1{t<t(-N、 b类*)}氖-（q+r）tEX（t）[I(∞)] +中兴通讯-（q+r）sf（X（s））dso+1{t≥T型(-N、 b类*)}I（t）。另一方面，因为Px-a.s.{t<t(-N、 b类*)}I（t）=1{t<t(-N、 b类*)}氖-（q+r）tEX（t）[I(∞)] +中兴通讯-（q+r）sf（X（s））dso，我们有I=~I，这意味着它是Px鞅。最优定期补货策略17通过引理6.1以及表达式（4.18）和（6.2），我们得出G（q+r）是充分的。因此，利用这个鞅性质和It^o公式，我们得出结论（L-q-r） G（q+r）（x）=-f（x），或等效使用（6.2），（L）的最后一个等式- q） Zb公司*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)dy+f（x）=rZb*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)dy.最后，直接计算得出（L- q）b*- x个-κ（0+）q= -q（b）*- x） 。因此，把这一部分放在一起，我们完成了情况x<b的证明*.（ii）固定x>b*. 与上文所述类似，流程-q（t∧T（b*,N） ）vb*（X（t∧ T（b*,N） ））+Zt∧T（b*,N） e类-qsf（X（s））ds，t≥ 0，其中T（b*,N） ：=inf{t>0:X（t）6∈ [b]*, N] }当N>x时，是Px鞅。

因此使用了Matingale属性和It^o公式（由于vb*是充分光滑的，如引理6.1），我们得出结论（L- q） vb*（x） +f（x）=0，根据需要。对于x=b的情况*, 因为vb*是足够平滑的，我们在取x后得到结果→ b*.现在，我们准备展示本文的主要结果。定理6.1。政策πb*是最优的，值函数由v（x）=vb给出*（x） 对于所有x∈ R、 证明。根据引理6.1，足以验证（3.2）。（i） 假设x<b*. 使用命题6.1和（4.18），我们有MVB*（十）- vb*（x） =qq+rC（b*- x） +F（b*)1.- eΦ（q+r）（x-b*)-Zb公司*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)因此，利用这一点和命题6.2（i），我们推导出x<b的（3.2）*. （ii）对于案例x≥ b*, 使用命题6.2（ii）和（6.1），我们还有（3.2）。备注6.1。所考虑问题的一个自然扩展是允许在每次下单时产生额外的固定订购成本。在这种情况下，“定期（s，s）-策略”预计是最优的。此策略在每个观察时间tr，当项目低于S级时，将其补充至库存水平S。这是一个有趣且具有挑战性的问题，我们将其留给进一步的工作。6.1. 数值示例。现在，我们使用二次库存成本f（x）=x对获得的结果进行数值验证。在这种情况下，一个简单的计算得出b*= Φ（q+r）-1.- Φ（q）-1.-κ（0+/（q+r）- qC/2。我们假设X（t）=X（0）+t+0.2B（t）-PN（t）n=1Zn，对于0≤ t<∞. 这里，B是标准布朗运动，N是到达率为1的泊松过程，Z是相位型随机变量的i.i.d.序列（其参数在[20]中给出），分别用形状和尺度参数2和1近似威布尔分布。相应的缩放函数允许使用关闭的表单表达式，如[8]所示。

除非另有说明，否则我们将q=0.05，r=0.5，C=1。18 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANIn图1，我们绘制了x 7→ b=b时的vb（x）*对于b 6=b*以及点（b，vb（b））。已证实vb*确实是凸的（如引理6.2所示），并且在x中均匀地最小化b。在图2中，我们显示了vb*对于单位补给成本/报酬C和泊松到达率r的各种值，以及连续监测情况下的值【21】。对于前者，随着c的增加，值函数vb*增加（x均匀），而b*减少。另一方面，当R增加时，vb和*和b*减少作为r→ ∞, 与案例[21]的一致性也得到了证实-10-8-6-4-2 0 2x4005006007008009001000值图1。vb绘图*（实心）与vbfor b=b相比*- 2，b*- 1，b*+ 1，b*+ 2（虚线）。点（b*, vb*（b）*)) 由正方形表示，而点（b，vb（b））由向下和向上指向的三角形表示，表示b<b*和b>b*, 分别为-10-8-6-4-2 0 2x-400-200020040060080010001200value-10-9-8-7-6-5-4-3-2x400450500550value图2。（左）vb图*对于C=-100, -90, . . ., 90、100和（b*, vb*（b）*)) 用正方形表示。（右）vb的绘图*（虚线）对于r=0.1，0.2。，0.9, 1, 2, . . ., 9, 10, 20, . . ., 90, 100, 200, . . ., 900、1000带（b*, vb*（b）*)) 用三角形表示，以及点位于正方形表示的最佳屏障处的连续监测案例（实心）。最优定期补货政策19附录A.定理4.1的证明，如[13]的推论8.7和8.8所述，对于[0]上的任何Borel集A，∞) 在R上，分别为ExhZτ-e-qt{X（t）∈A} dti=扎赫-Φ（q）yW（q）（x）- W（q）（x）- y） idy，x≥ 0，（A.1）ExZ∞e-（q+r）t{X（t）∈A} dt公司=ZA公司eΦ（q+r）（x-y） κ（Φ（q+r））- W（q+r）（x）- y）dy，x∈ R、 （A.2）A.1。定理4.1的证明。

对于x∈ R、 让我们用gb（x）表示（4.15）的左侧，特别是g（x）：=g（x）。我们将证明b=0的结果；一般情况如下，因为L'evy过程的空间同质性意味着gb（x）=Ex-bR∞e-qth（Ur（t）+b）dt.（i） 对于x∈ R、 根据强马尔可夫性质，g（x）=ExhZτ-e-qth（X（t））dti+Exhe-qτ-g（X（τ-))1{τ-<∞}i、 （A.3）特别是，对于x<0，再次通过强马尔可夫性质，因为Ur=x on[0，T（1）∧ τ+，g（x）=A（x）g（0）+B（x），其中，对于x≤ 0，A（x）：=Exhe-q（τ+∧T（1））i=rq+r+qq+reΦ（q+r）x，B（x）：=ExhZτ+e-qt{t<t（1）}h（X（t））dti=Z-∞h（y）Θ（q+r）（x，y）dy。在这里，前者的第二个等式成立，因为T（1）是一个具有参数r和定理3.12的独立指数随机变量。后者的第二个等式为（4.8）。现在应用[3]中的标识（3.19），Exhe-qτ-A（X（τ-))1{τ-<∞}i=rq+rZ（q）（x）-qΦ（q）W（q）（x）+qq+rZ（q）（x，Φ（q+r））-rW（q）（x）Φ（q+r）- Φ（q）= Z（q，r）（x）-qrq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））W（q）（x）。此外，利用文献[1]中的恒等式（5）和文献[15]中的引理2.1，我们得到了对于c>x，Exhe-qτ-B（X（τ-))1{τ-<τ+c}i=Z-∞h（y）排气-qτ-Θ（q+r）（X（τ-), y） 1{τ-<τ+c}y=-Z-∞h（y）Υ（x，y）dy+W（q）（x）W（q）（c）Z-∞h（y）Υ（c，y）dy.（A.4）20 J.L.P'EREZ，K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANBy（4.4）和备注4.2（3），表示y∈ R、 林克斯→∞W（q，r）y（x）/W（q）（x）=Z（q+r）(-y、 Φ（q））。

同样，根据文献[4]中推论3.2（iii）的证明，我们得到了limx→∞Z（q）（x，Φ（q+r））/W（q）（x）=r/（Φ（q+r）- Φ（q））。因此，取c↑ ∞ 在（A.4）中，使用这些限制，我们得到-qτ-B（X（τ-))1{τ-<∞}i=-Z-∞h（y）Υ（x，y）dy+W（q）（x）Z-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy.将（A.3）和（A.1）中的这些替换为（A.1）和备注4.3，（A.5）g（x）=g（0）Z（q，r）（x）-qrq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））W（q）（x）+ W（q）（x）Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy-Z∞-∞h（y）Υ（x，y）dy.（ii）另一方面，通过强马尔可夫性质，我们也可以写出eg（0）=γ+γg（0）+γ，（A.6），其中γ：=EhZT（1）e-qth（X（t））dti，γ：=Ehe-qT（1）{X（T（1））≤0}i，γ：=Ehe-qT（1）g（X（T（1））1{X（T（1））>0}i，其值将在下面计算。（1） 我们得到γ=ER∞{t<t（1）}e-qth（X（t））dt= E【R】∞e-（q+r）th（X（t））dt]。（2） 利用（A.2），我们得到γ=rq+r- EZ∞e-（q+r）s{X（s）≥0}ds= rq+r-κ（Φ（q+r））Φ（q+r）.（3） 再次通过（A.2），γ=rEhZ∞e-（q+r）sg（X（s））1{X（s）>0}dsi=rκ（Φ（q+r））Z∞e-Φ（q+r）yg（y）dy，（A.7），我们将使用（A.5）中的g表达式进行计算。首先，通过部件集成，Z∞e-Φ（q+r）yZ（q）（y）dy=Φ（q+r）1+qZ∞e-Φ（q+r）uW（q）（u）du=Φ（q+r）q+rr。因为（4.2）和（4.4）给出了e-Φ（q+r）yZ（q）（y，Φ（q+r））=rR∞ye公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz，z∞e-Φ（q+r）yZ（q）（y，Φ（q+r））dy=rZ∞Z∞ye公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dzdy=rZ∞ze公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz=κ（Φ（q+r））r，（A.8），其中第二个等式通过变量的变化保持不变，最后一个等式由于单调收敛而保持不变，（4.2）给出∞ze公司-θzW（q）（z）dz=-θR∞e-θzW（q）（z）dz。引理A.1。对于y∈ R、 R∞e-Φ（q+r）xΥ（x，y）dx=[e-Φ（q+r）y- W（q+r）(-y） κ（Φ（q+r））]/r.最优定期补货策略21Proof。对于θ>Φ（q+r），根据卷积定理，Z∞e-θxW（q，r）y（x）dx=Z∞e-θxW（q+r）（x- y） dx公司1.- rZ公司∞e-θxW（q）（x）dx=e-θyκ（θ）- q- r-Zy公司∧0e-θxW（q+r）（x- y） dx公司κ(θ) - q- rκ（θ）- qθ↓Φ（q+r）-----→e-Φ（q+r）yr。这与（A.8）一起完成了证明。

通过这个引理，Fubini定理和（A.2），Z∞e-Φ（q+r）yZ∞-∞h（z）Υ（y，z）dzdy=κ（Φ（q+r））rEZ∞e-（q+r）th（X（t））dt.用（A.7）中的（A.5）替换，γ=g（0）rκ（Φ（q+r））hΦ（q+r）+qq+rκ（Φ（q+r））r-qq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））i- EZ∞e-（q+r）th（X（t））dt+κ（Φ（q+r））Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy。现在替换（A.6）中γ、γ和γ的计算值，简化后，我们得到g（0）=g（0）-rqq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））g（0）κ（Φ（q+r））+κ（Φ（q+r））Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy，因此，求解g（0），我们得到g（0）=q+rqrΦ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））Φ（q+r）Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy。根据需要，在（A.5）中用（4.15）代替b=0。附录B.可积性结果引理B.1。考虑g:R→ R满足假设2.2（i）。那么，对于任何b∈ R和θ≥ 0，wehaveRb-∞|g（y）| H（q+r）（b- y、 θ）dy<∞.证据按身份（4.6），Zb-∞|g（y）| H（q+r）（b- y、 θ）dy=Zb-∞|g（y）| Eb-yhe公司-（q+r）τ-+θX（τ-){τ-<∞}田园诗≤Zb公司-∞|g（y）| P(-X（等式+r）>b- y） dy=Zb-∞|g（y）| Z∞b-yP公司(-X（等式+r）∈ dz）dy=Z∞|g（b- u） | Z∞向上(-X（等式+r）∈ dz）du=Z∞P(-X（等式+r）∈ dz）Zz | g（b- u） |杜。这里，如[11]的（3.11）所示（使用假设2.1），我们有E[E-θX（eq+r）]<∞ 对于0<θ<θ。这加上假设2.2（i）中g的多项式增长，意味着上述是有限的。22 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANLemma B.2。修复任何b∈ R、 （i）对于任何x≥ b、 supz公司∈[0，x-b] Rb型-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy<∞. （ii）对于任何x∈ R、 Rb型-∞|f（y）| |Υ（x- b、 y型- b） | dy<∞.证据（i） 回顾备注4.1。对于z∈ [0，x- b] ，因为b≤ z+b，由（4.8）和（4.10）中的类似参数组成，Zb-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy≤Zz+b-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy=eΦ（q+r）zEbhZτ+z+be-（q+r）t | f（X（t））| dti≤ eΦ（q+r）（x-b） EbhZτ+xe-（q+r）t | f（X（t））| dti，因此我们得到了注释2.1的结果。（ii）固定x<b。然后通过注释4.1（i）和（4.13），我们得到y<b的|Υ（x- b、 y型- b） |=Θ（q+r）（x- b、 y型- b） 。

亨塞兹布-∞|f（y）| |Υ（x- b、 y型- b） | dy=Zb-∞|f（y）|Θ（q+r）（x）- b、 y型- b） dy=ExhZτ+be-（q+r）t | f（X（t））| dti，由备注2.1确定。另一方面，对于x≥ b、 我们注意到，通过应用Fubini定理和（i），Zb-∞|f（y）| Zx-bW（q）（x）- b- z） |Θ（q+r）（z，y- b） | dzdy=Zx-bW（q）（x）- b- z） Zb公司-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dydz≤W（q）（x）- b） supz公司∈[0，x-b] Zb公司-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy<∞.鉴于（4.13）和（i）中的形式，证明是完整的。附录C.其他证明。引理5.1的证明。对于y<b，因为uW（q，r）u-b（x- （b）u=y-= -W（q+r）0（（x- y） +）+rZxbW（q）（x- z） W（q+r）0（z- y） dz，我们有-zψ（x- b、 z）| z=（y-（b）-减小到（5.2）的右侧。另一方面，我们通过分部积分获得zW（q，r）y-b（z）z=（x-b） +=W（q+r）0（x- y） +）- rW（q）（x）- b） W（q+r）（b）- y）- rZxbW（q）（x）- z） W（q+r）0（z- y） dz。（C.1）使用zZ（q）（z，Φ（q+r））=Φ（q+r）z（q）（z，Φ（q+r））- rW（q）（z）和（C.1）在（4.14）中，我们有zΥ（z，y- b） | z=（x-b） +等于（5.2）的右侧。最优定期补货政策23C。引理5.2的证明。（i） 固定y<b∧ x和ε>0。WΦ（q+r）定义见备注4.2（3），（C.2）Θ（q+r）（x- b+ε，y- （b）- Θ（q+r）（x）- b、 y型- b） ε=eΦ（q+r）ε- 1εΘ（q+r）（x- b、 y型- （b）- eΦ（q+r）（x+ε）-y）WΦ（q+r）（x+ε）- y）- WΦ（q+r）（x）- y） ε.这里我们注意到ε7→ （eΦ（q+r）ε-1） /ε在（0，∞), 还有那个RB-∞f（y）| |Θ（q+r）（x）-b、 y型- （b）dy<∞ 引理B.2（i）。如【11】的附录A.1（第1150页）所示，我们有7→ |f（y）| e-Φ（q+r）yWΦ（q+r）（u+ε）- y）- WΦ（q+r）（u- y） ε在ε>0范围内有一个可积函数(-∞, -M） 对一些人来说-M<b∧ x、 因此，优势收敛xZ公司-M-∞f（y）Θ（q+r）（x- b、 y型- b） dy=limε↓0Z-M-∞f（y）Θ（q+r）（x- b+ε，y- （b）- Θ（q+r）（x）- b、 y型- b） εdy=Z-M-∞f（y）xΘ（q+r）（x- b、 y型- b） dy.（C.3）（ii）固定x>b，并考虑（4.13）中Υ的第二项。我们取δ>0足够小，以便x- b- δ > 0.

由Fubini的theoremZ-M-∞f（y）Zx-bW（q）（x）- b- z） Θ（q+r）（z，y）- b） dzdy=Zx-bW（q）（x）- b- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz。另一方面，根据中值定理和引理B.2（i），对于0<z<x-b-δ和0<ε<ε，W（q）（x）- b- z+ε）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dy公司≤ supu公司∈[δ，x-b+？ε]W（q）0（u+）supz∈[0，x-b]Z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dy公司< ∞.这与主导收敛implylimε↓0Zx-b-δW（q）（x- b- z+ε）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=Zx-b-δW（q）0（x- b- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz。24 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANOn，Zx公司-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz公司≤supz公司∈[0，x-b] Z-M-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dyZx公司-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- u）- W（q）（x）- b- u） εdu，作为ε消失↓ 0，然后是δ↓ 0，因为l\'Hopital的规则给定了szx-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εdz=W（q）（ε+δ）- W（q）（δ）- W（q）（ε）ε↓0--→ W（q）（δ）- W（q）（0）。将各部分放在一起，我们得到a：=limε↓0Zx-bW（q）（x）- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=直线度δ↓0limε↓0Zx-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz+limδ↓0limε↓0Zx-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=Zx-bW（q）0（x- b- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz。另一方面，通过（C.2）映射z 7→R-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dy是连续的，henceA：=limε↓0εZx-b+εx-bW（q）（x）- b+ε- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=W（q）（0）Z-M-∞f（y）Θ（q+r）（x- b、 y型- b） dydz。因此（C.4）xZ公司-M-∞f（y）Zx-bW（q）（x）- b- z） Θ（q+r）（z，y）- b） dzdy=A+A=Z-M-∞f（y）xZx公司-bW（q）（x）- b- z） Θ（q+r）（z，y）- b） dzdy。现在，我们通过恒等式（C.3）、（C.4）和（4.13）得出结论。C、 3。引理5.5的证明。

我们有zH（q+r）（z，θ）z=（b-y） +=θH（q+r）（b- y、 θ）-κ(θ) - （q+r）θ- Φ（q+r）r（q+r）（（b- y） +），最优定期补货策略25，其中r（q+r）（x）：=W（q+r）0（x）- Φ（q+r）W（q+r）（x）>0，x>0，（q+r）r（q+r）（x）/Φ（q+r）是-（4.11）中的X（等式+r），因此zH（q+r）（z，θ）z=（b-y）+≤ θH（q+r）（b- y、 θ）+κ(θ) - （q+r）θ- Φ（q+r）r（q+r）（（b- y） +）。让我们假设b∈ [b，b]带b>-M、 首先，通过（4.6），我们得到H（q+r）（b- y、 θ）≤电子商务-是[英]-（q+r）τ-]. 另一方面，使用x 7→ W（q+r）0（x+）/W（q+r）（x）随着[11]的标记3.1（3）的减少，映射x 7→ r（q+r）（x+）/W（q+r）（x）也在减少。因此（q+r）（（b- y） +）≤W（q+r）（b）- y） W（q+r）（b）- y） r（q+r）（（b- y） +）≤W（q+r）（b）- y） W（q+r）（b）- y） r（q+r）（（b- y） +）。因为W（q+r）（b-y） /W（q+r）（b）-y） 收敛为y→ -∞ 备注4.2（3），用于-M足够小，存在一个仅依赖于b的常数K（b，b），如W（q+r）（b- y） /W（q+r）（b）- y）≤K（b，b）表示所有y≤ -M、 因此zH（q+r）（z，θ）z=（b-y）+≤ θEb-yhe公司-（q+r）τ-我+κ(θ) - （q+r）θ- Φ（q+r）K（b，b）r（q+r）（（b- y） +）。这里通过引理B.1和f的多项式增长，如假设2.2（i），R-M-∞|f（y）| Eb-y[e]-（q+r）τ-]dy公司<∞. 对于第二项，通过-X（等式+r）如（4.11），Z-M-∞|f（y）| r（q+r）（b- y） dy=Z∞b+M | f（b- u） | r（q+r）（u）du≤Φ（q+r）q+rE[| f（b+X（eq+r））|]<∞,在引理B.1的证明中，该完整性成立。因此，根据[5]中的推论5.9，导数可以在积分上互换，证明是完整的。C、 4。引理6.1的证明。

（i） 鉴于引理5.4的表达式，通过单调收敛（注意fis单调）和（4.22），vb*对于所有x是连续的∈ R、 因此，它只剩下显示vb*对于X具有无界变化路径的情况，是连续的，其中W（q+r）（0）=W（q）（0）=0，注释4.2（2）。利用引理5.4的表达式和定理4.1，我们得到了微分后的Vb*（x） =Φ（q）r（Φ（q+r）- Φ（q）Z（q）（x，Φ（q+r））Z∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy-Zxb公司*f（y）W（q）0（x- y） dy公司-xZb公司*-∞f（y）Υ（x- b*, y- b*)dy.因为Υ（x- b*, y- b*) 对于无界变化和引理5.2的情况是连续的，xZb公司*-∞f（y）Υ（x- b*, y- b*)dy=Zb*-∞f（y）xΥ（x- b*, y- b*)dy，x∈ R、 使用（5.2），我们可以写，对于x 6=y，xΥ（x- b*, y- b*) = A（x，y，b*) - rZxb*W（q）（x）- z） A（z，y，b*)dz、26 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANwhereA（x、y、b*) :=W（q+r）0（x- y）- Φ（q+r）W（q+r）（x）- y）- Φ（q+r）Θ（q+r）（x）- b*, y- b*).（i） 因为A（x，y，b*) = W（q）0（x- y） 对于y>b*,K（x，b）*) :=Zxb公司*f（y）W（q）0（x- y） dy+Zb*-∞f（y）A（x，y，b*)dy=Zb*∨x个-∞f（y）A（x，y，b*)Y.对于x≤ b*, 回顾W（q+r）（0）=0，如注释4.2（2）中所述，对于无界变化的情况，K（x，b*) =Φ（q+r）q+rE[f（X（eq+r）+X）]- Φ（q+r）ExhZτ+b*e-（q+r）tf（X（t））dti。类似地，对于x>b*, 注释4.1（ii），K（x，b*) =Φ（q+r）q+rE[f（X（eq+r）+X）]+Φ（q+r）eΦ（q+r）（X-b*)电子商务*hZτ+xe-（q+r）tf（X（t））dti。（1） 函数x 7→ 根据假设2.2（i），E[f（X（eq+r）+X）]通过单调收敛是连续的。（2） 根据假设2.2（i），对于x≤ x个≤ x、 在P，Zτ+b下*-xe公司-（q+r）t | f（X（t）+X）| dt≤Z∞e-（q+r）t（| f（X（t）+X）+f（X（t）+X）|）dt，可通过备注2.1进行积分。因此，受支配的收敛，x 7→ Ex[Rτ+b*e-（q+r）tf（X（t））dt]是连续的。（3） 函数x 7→ 电子商务*[Rτ+xe-（q+r）tf（X（t））dt]由再次支配收敛连续，因为被积函数的绝对值由r支配∞e-（q+r）t | f（X（t））| dt。