频谱正Levy的最优定期补货策略

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal periodic replenishment policies for spectrally positive L\\\'evy
  demand processes》
---
作者：
Jos\\\'e-Luis P\\\'erez, Kazutoshi Yamazaki, Alain Bensoussan
---
最新提交年份：
2020
---
英文摘要：
  We consider a version of the stochastic inventory control problem for a spectrally positive L\\\'evy demand process, in which the inventory can only be replenished at independent exponential times. We show the optimality of a periodic barrier replenishment policy that restocks any shortage below a certain threshold at each replenishment opportunity. The optimal policies and value functions are concisely written in terms of the scale functions. Numerical results are also provided.
---
中文摘要：
我们考虑的是一个谱正Levy需求过程的随机库存控制问题，其中库存只能在独立的指数时间补充。我们证明了一种周期性障碍补货策略的最优性，该策略在每次补货机会时，将任何低于某个阈值的缺货重新进货。最优策略和价值函数用尺度函数简洁地表示。还提供了数值结果。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Optimal_periodic_replenishment_policies_for_spectrally_positive_Lévy_demand_processes.pdf (497.85 KB)

2022-6-10 05:25:09 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Levy Mathematical Optimization Quantitative mathematica

Spectrly POSITIVEL'EVY需求流程的最佳定期补充政策Jos'E-LUIS P'EREZ+、山崎和俊'和ALAIN BENSOUSSAN+*摘要。我们考虑了一个谱正需求过程的随机库存控制问题，其中库存只能在独立的指数时间补充。我们证明了一种周期性障碍补货策略的最优性，该策略在每次补货机会时，将任何低于某个阈值的缺货重新进货。用尺度函数简明地描述了最优策略和价值函数。还提供了数值结果。AMS 2020主题分类：60G51、93E20、90B05关键词：库存模型；光谱单边L'evy过程；缩放功能；定期观察。1、简介经典的连续时间库存模型旨在对库存水平进行最优控制，以便在最小化库存成本和补货成本之间取得平衡。通常假设无控制库存遵循布朗运动、复合泊松过程或两者的混合过程。假设库存可以持续监控，并且可以即时补货，现有结果表明，根据是否考虑固定（补货）成本，壁垒或补货政策是最理想的。有关综合视图和各种库存模型，请参见[6]。在这项研究中，我们考虑了一个新的扩展库存模型的约束下，补货机会发生在一个独立的泊松过程的到达时间。这是因为，在现实中，人们只能每隔一段时间监控库存，因此，屏障或（s，s）策略在实践中很难实施。

最近，在保险申请的背景下研究了类似的扩展[2、16、17]。本版本：2022年3月2日+墨西哥瓜纳华托，概率与统计部，材料调查中心A.C.Calle Jalisco s/n.C.P.36240关西大学工程科学学院数学系，地址：日本大阪市Suita shi Yamate cho 3-3-35，邮编：564-8680。* 德克萨斯大学达拉斯分校纳文·金达尔管理学院，800 W Campbell Road，Richardson，TX 75080，USA。作者感谢匿名推荐人和副主编仔细阅读了论文并提出了建设性意见和建议。本文得到了MEXT KAKENHI grant no.17K05377、19H01791和20K03758.2 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANAnalytical solutions的支持，可以在泊松补货机会的假设下寻求解析解，其中，由于无记忆性，直到下一个机会的等待时间总是（有条件地）呈指数分布。对于其他补给机会，必须扩大状态空间，使问题成为马尔可夫问题，据我们所知，必须求助于数值方法，而不是分析解决方案。考虑泊松到达间隔模型的一个重要动机是其在近似恒定到达间隔时间情况中的潜在应用。在数学金融文献中，随机化技术（参见，例如，[9]）被认为能够有效地将恒定成熟度问题近似为具有Erlang分布成熟度的问题。

特别是，对于短期到期情况，根据经验，可以通过简单地用指数随机变量替换常数来获得准确的近似值【20】。虽然泊松假设简化了所考虑的问题，但与连续监测案例相比，它仍然具有更大的挑战性和有趣性。这些解直接取决于泊松到达率，因此，研究其敏感性很有意义。在这项研究中，我们关注由谱正L'evydemand过程驱动的贴现连续时间模型。换言之，在没有控制的情况下，库存遵循一个只有负跳跃的L'evy过程。正如文献中通常假设的那样，库存成本由凸函数建模，并且补货成本假设与订单金额成比例。在这些假设下，经典的连续监测案例有一个简单的解决方案（见[21]第7节）：在适当选择的屏障上反映库存过程是最佳的，价值函数用所谓的规模函数简洁地表示（对于成本固定的案例，也见[7]和[21]第4-6节）。本研究旨在证明定期障碍补货政策的最优性，即在每个补货机会将任何短缺补货到某个阈值以下。相应的受控库存过程成为【4，18】中研究的巴黎反射过程。我们证明了在所有可容许的策略集合上，周期性障碍补充策略确实是最优的。我们遵循经典的猜测和验证程序来解决这个随机控制问题：（1）第一步是计算定期障碍补货政策下补货和库存成本的预期净现值（NPV）。

补货成本是巴黎总贴现反射的预期量，已在【4】中计算。库存成本需要预解式等式，我们使用与[4]中类似的方法计算预解式等式。这些函数允许用尺度函数编写半显式表达式。（2） 在第二步中，我们选择最佳的周期势垒，我们称之为b*在目前的研究中。我们选择它的值，使候选值函数在障碍处的斜率等于单位补充成本的负值。（3） 在最后一步中，我们确认所选候选最优策略的最优性。为此，我们获得了一个验证引理（最优性的充分条件），该引理要求值函数充分光滑并满足某些变分不等式。通过利用规模函数的现有分析特性以及一些假设恒等式，我们确定候选值函数确实满足这些条件。应用这三个步骤的一个主要优点是，可以解决一般谱正L'evy需求过程（有界和无界变化）的问题，而无需指定特定类型的L'evy度量。通过将问题简化为对潜在L'evy过程的标度函数的某些分析，我们避免了使用积分-微分方程技术，这往往很困难，尤其是当L'evy度量具有有限的活动时。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们对所考虑的问题进行建模。第3节给出了验证引理。在第4节中，我们研究了定期障碍补充政策，并计算了总成本的相应预期NPV。

在第5节中，我们选择了候选屏障。在第6节中，所选政策的最优性在数值上得到了显示和确认。详细的证明和技术结果推迟到附录中。在整篇论文中，上标x+：=max（x，0）和x-:= 最大值(-x、 0）分别表示x的正部分和负部分。左侧和右侧限值写为f（x-) := 石灰↑xf（y）和f（x+）：=石灰↓xf（y），当它们存在时。2、具有定期补货机会的库存模型let(Ohm, F、 P）是随机过程D=（D（t）的概率空间；t型≥ 0）当D（0）=0时，定义了单个项目的总需求建模。在条件概率Px，forx下∈ R、 库存的初始水平由x给出（特别是，我们让P≡ P） 。因此，在没有控制的情况下，库存遵循随机过程x（t）：=x- D（t），t≥ 0、我们考虑这样一种情况，即物品只能在到达时间Tr=（T（i）时补充；我≥ 0）的泊松过程Nr=（Nr（t）；t型≥ 0），强度r>0，与X（和D）无关。换句话说，到达间隔时间T（i）- T（i- 1） ，我≥ 1（T（0）：=0）是独立的，并以平均值1/r指数分布。设F：=（F（T）；t型≥ 0）是流程生成的过滤（X，Nr）。在此设置中，一种可接受的策略，表示累计补货量π：=（Rπ（t）；t型≥ 0）是一个非减量的、右连续的、F适应的过程，使得rπ（t）=Z[0，t]νπ（s）dNr（s），t≥ 0，对于c'agl'ad过程νπ。特别是，第i次补货机会T（i）的补货由每个i的νπ（T（i））给出≥ 1、受控库存过程Uπ变为suπ（t）：=X（t）+Rπ（t）=X（t）+∞Xi=1νπ（T（i））1{T（i）≤t} ，t≥ 0.4 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANWe fix A贴现系数q>0和控制成本的单位成本/报酬∈ R

与策略π关联∈ A、 库存成本按∞e-可测函数f:R的qtf（Uπ（t））dt→ 控制的Rand由CR[0，∞)e-qtdRπ（t）。问题是最小化他们期望的sumvπ（x）：=ExZ∞e-qtf（Uπ（t））dt+CZ[0，∞)e-qtdRπ（t）, x个∈ R、 在满足上述所有约束andEx的所有可容许策略A集合上Z[0，∞)e-qtdRπ（t）< ∞.（2.1）问题是计算值函数（2.2）v（x）：=infπ∈Avπ（x），x∈ R、 并得到最优策略π*如果存在这样的政策，那就达到了。2.1. 光谱单边L'evy过程。我们将考虑需求D遵循方面正L'evy过程，或等效X是光谱负L'evy过程的情况。我们排除了情况X是从属函数的负，因此它没有单调路径a.s。我们用κ表示X的拉普拉斯指数：[0，∞) → R使得E[EθX（t）]=t的etκ（θ），θ≥ 0，其l'evy Khintchine分解κ（θ）=σθ+γθ+Z(-∞,0）[eθy- 1.- θy1{y>-1} ]π（dy），θ≥ 0.这里，σ≥ 0, γ ∈ R、 和L'evy测度∏满意度(-∞,0)(1 ∧ y） π（dy）<∞.已知（例如，参见[13]中的引理2.12]）X具有有界变化路径当且仅当σ=0andR(-1,0）| y |∏（dy）<∞. 对于有界变化情况，X可以写成X（t）=ct- S（t），t≥ 0，其中c：=γ-Z(-1,0）y∏（dy）和（S（t）；t型≥ 0）是无漂移从属项。这里，假设X不是asubordinator的负数，我们必然得到c>0.2.2。假设。我们在以下关于L'evyprocess X和运行成本函数f的长期假设下解决了问题（2.2）。假设2.1。我们假设存在'θ>0这样的r(-∞,-1] exp（(R)θ| z |）∏（dz）<∞. 这保证了E[X（1）]=κ（0+）>-∞.假设2.2。（i） 我们假设f是凸的，并且尾部最多有多项式增长。

也就是说，存在k，k，m＞0和N∈ N使得| f（x）|≤ k+k | x |对于所有x∈ R因此| x |>m.（ii）我们假设f(-∞) < -Cq<f(∞) 其中f(∞) := 林克斯→∞f（x）∈ (-∞, ∞] andf公司(-∞) := 林克斯→-∞f（x）∈ [-∞, ∞).最佳定期补货政策5这些假设对我们的分析至关重要，现有文献中也有类似的假设（参见，例如，[7，11]）。备注2.1。根据假设2.1和2.2，我们得到R∞e-qt | f（X（t））| dt< ∞ 对于所有x∈ R、 关于它的证明，请参见[21]中引理7.5的证明。3、验证引理我们首先获得所考虑问题的验证引理。在整篇论文中，当X具有有界（或无界）变化路径时，如果g是C（R）（或C（R）），我们称之为R上的可测函数g充分光滑。设L为作用于充分光滑函数g的算子，由g（x）定义：=γg（x）+σg（x）+Z(-∞,0）[克（x+z）- g（x）- g（x）z1{-1<z<0}]π（dz）。此外，我们定义了作用于可测函数g的算子M，Mg（x）：=infl≥0{Cl+g（x+l）}。（3.1）引理3.1（验证引理）。假设^π∈ A是这样的：w：=v^π在R上充分平滑，具有多项式增长（见假设2.2），并且满足（L- q） w（x）+r（Mw（x）- w（x））+f（x）=0，x∈ R、 （3.2）然后v（x）=w（x），对于所有x∈ 因此，^π是一个最优策略。备注3.1。（1） 等式（3.2）可以用贝尔曼原理直观地解释。以较小的时间间隔t、 相应的Bellman方程预计近似为asv（x）=e-r特克斯[东]-q电视（X(t） ）]+（1- e-rt） Ex[e-qtMv（X(t） ]+ExZte公司-qsf（X（s））ds+ o(t） ，其中e-r是指超过（0，t） ，和1- e-r山雀补足。因此，使用It^o公式，除以经纬仪测量t型↓ 0，我们得到（3.2）。（2） 定义集合C：={x∈ R：（L）- q） v（x）+f（x）=0}。

然后，C可以理解为连续区域，D：=R\\C是控制区域，每当补货机会到来时，在该区域进行补货。在本文中，我们旨在证明C=[b*, ∞) 和D=(-∞, b*) 对于一些b*∈ R、 这一性质与v的凸性及其在b的斜率密切相关*. 要看到这一点，如果v是凸的，并且v（b*) = -C、 那么我们必须有Mv（x）- v（x）=0当且仅当x≥ b*.（3） 与经典的奇异控制情况和控制过程必须在有界密度下绝对连续的版本既有相似之处，也有不同之处（见[11]的（4.2））。尽管变分不等式的形式不同，但候选载体的凸性和斜率条件是本文所需的关键要素。6引理3.1的J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANProof。通过将v定义为一个整数，可以得出w（x）≥ v（x）表示所有x∈ R、 因此，有必要显示相反的不平等。修复x∈ R和π∈ A及其对应的库存过程Uπ。

让（Tn）n∈Nbe定义为：=inf{t>0：| Uπ（t）|>n}；在这里和整个过程中，让inf = ∞.因为Uπ是半鞅，而w在R上是充分光滑的，所以变量的变化/It^o\'s公式（见[22]的定理II.31和II.32）在px下给出-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））- w（x）=-Zt公司∧Tne公司-qsqw（Uπ（s-))ds+Z[0，t∧Tn]e-qsw（Uπ（s-))dX（s）+σZt∧Tne公司-qsw（Uπ（s-))ds+X0≤s≤t型∧Tne公司-qs公司wUπ（s-) + νπ（s）Nr（s）+X0≤s≤t型∧Tne公司-qs公司wUπ（s-) + X（s）- w（Uπ（s-))X（s）=Zt公司∧Tne公司-qs（L- q） w（Uπ（s-))ds公司- CZ[0，t∧Tn]e-qsνπ（s）dNr（s）+Zt∧Tne公司-qsrCνπ（s）+wUπ（s-) + νπ（s）- w（Uπ（s-))ds+M（t∧ Tn）我们定义的地方≥ 0，带▄N（ds×dy）：=N（ds×dy）- π（dy）ds，M（t∧ Tn）：=Zt∧Tnσe-qsw（Uπ（s-))dB（s）+limε↓0Z[0，t∧Tn]Z(-1.-ε） e类-qsw（Uπ（s-))yN（ds×dy）+Z[0，t∧Tn]Z(-∞,0）e-qs公司w（Uπ（s-) + y）- w（Uπ（s-)) - w（Uπ（s-))y1{y∈(0,1)}~N（ds×dy）+Z[0，t∧Tn]e-qs公司Cνπ（s）+wUπ（s-) + νπ（s）- w（Uπ（s-))d（个）- 卢比）。此处，（B（s）；s≥ 0）是标准布朗运动，N是度量空间中的泊松随机测度（[0，∞) × (-∞, 0），B[0，∞) ×B(-∞, 0），ds×π（dx））。根据（3.1）中M的定义，w（x）≤ -Zt公司∧Tne公司-qsh（L- q） w（Uπ（s-)) + rMw（Uπ（s-)) - w（Uπ（s-))ids+CZ[0，t∧Tn]e-qsνπ（s）dNr（s）- M（t∧ Tn）+e-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））。使用假设（3.2），以及过程（M（t∧ Tn）；t型≥ 0）是一个零均值x鞅（见[13]的推论4.6），在考虑期望后，我们得到（3.3）w（x）≤ 前任Zt公司∧Tne公司-qsf（Uπ（s））ds+CZ[0，t∧Tn]e-qsνπ（s）dNr（s）+e-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））.我们现在取t，n↑ ∞ 在上述不等式中完成证明。首先，假设（3.2）和Mw≤ w表示（L- q） w（y）+f（y）≥ y为0∈ R