频谱正Levy的最优定期补货策略

由于w是充分的mooth并且是多项式增长的，根据It^o公式和支配收敛，我们得到了最优的周期补充策略7w（x）≤ Ex[右]∞e-所有X的qsf（X（s））ds]∈ R（有关更多详细信息，请参见[21]中引理7.5的证明）。这一点，再加上强马尔可夫性质，意味着e-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））≤ ExhZ公司∞t型∧Tne公司-qsf公司Rπ（t∧ Tn）+X（s）dsi。（3.4）现在，按照与[21]定理7.1的证明相同的步骤，我们得到了exhz∞t型∧Tne公司-qsf公司Rπ（t∧ Tn）+X（s）dsi公司≤ ExhZ[t∧田纳西州，∞)e-qs公司f（Uπ（s））ds+CdRπ（s）i+ExhZ∞t型∧Tne公司-qs公司f（X（s））+CqX（s）dsi。通过使用（3.3）中的和（3.4），我们得到w（x）≤ vπ（x）+Ex[R∞t型∧Tne公司-qs（f（X（s））+CqX（s））ds]。因为Ex[R∞t型∧Tne公司-qs | f（X（s））+CqX（s）| ds]<∞ （注2.1）取t，n↑ ∞通过单调收敛，我们得到了w（x）≤ vπ（x），根据需要。4、周期性障碍补充策略本文的目的是证明周期性障碍补充策略πb，b的最优性∈ R、 这会在观察时间Tr将库存推高至b，无论何时低于b。由此产生的库存过程正是[4]的巴黎反射L'evy过程。我们用Rbrand Ubr分别表示补货总额和产生的库存。更具体地说，我们有UBR（t）=X（t）和Rbr（t）=0，0≤ t<t-b（1）式中T-b（1）：=inf{S∈ Tr:X（S-) < b} 是第一次补货时间。然后按金额推高库存Rbr（T-b（1））=b- X（T-b（1）-) 因此Ubr（T-b（1））=b.对于T-b（1）≤ t<t-b（2）：=inf{S∈ Tr：S>T-b（1），Ubr（S-) < b} ，我们有Ubr（t）=X（t）+（b- X（T-b（1）-)) andRbr（t）=Rbr（t-b（1））。

可通过重复此过程来构建受控库存流程。我们有以下分解：Ubr（t）=X（t）+Rbr（t），t≥ 0，带RBR（t）=∞Xi=1（b- Ubr（T-b（一）-))1{T-b（一）≤t} =Z[0，t]（b- Ubr（s）-))+dNr（s），t≥ 0，其中补货次数（T-b（n）；n≥ 1） 可通过T感应构造-b（1）上述定义和T-b（n+1）：=inf{S∈ Tr：S>T-b（n），Ubr（S-) < b} 对于n≥ 1、我们将从（4.12）中看到，政策πb：=（Rbr（t）；t型≥ 0）满足（2.1），因此可接受。在本节中，我们通过比例函数计算πb下总成本的预期NPV：vb（x）：=ExhZ∞e-qtf（Ubr（t））dt+CZ[0，∞)e-qtdRbr（t）i、b、x∈ R、 （4.1）8 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSAN4.1。缩放功能。我们假设q，r>0。比例函数W（q）：R→ [0, ∞) 的X取零(-∞, 0），并在[0，∞) 这是一个严格递增函数，由其拉普拉斯变换定义：Z∞e-θxW（q）（x）dx=κ（θ）- q、 θ>Φ（q）：=sup{λ≥ 0：κ（λ）=q}。（4.2）此外，let，对于x∈ R、 W（q）（x）：=ZxW（q）（y）dy，Z（q）（x）：=1+qW（q）（x），Z（q）（x）：=ZxZ（q）（Z）dz。注意，对于x≤ 0，W（q）（x）=0，Z（q）（x）=1，Z（q）（x）=x。我们还定义了θ≥ 0和x∈ R、 Z（q）（x，θ）：=eθx1+（q- κ（θ））Zxe-θzW（q）（z）dz.（4.3）特别是对于x∈ R、 Z（q）（x，0）=Z（q）（x）和Z（q）（x，Φ（q+R））=eΦ（q+R）x1.- rZxe公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz,Z（q+r）（x，Φ（q））=eΦ（q）x1+rZxe-Φ（q）zW（q+r）（z）dz.（4.4）最后，letZ（q，r）（x）：=rq+rZ（q）（x）+qq+rZ（q）（x，Φ（q+r）），x∈ R、 对于所有x，y∈ R、 W（q，R）y（x）：=W（q+R）（x- y）- rZxW（q）（x）- z） W（q+r）（z- y） dz=W（q）（x- y） +rZ-yW（q）（x）- u- y） W（q+r）（u）du，（4.5），其中第二个等式由[15]中的（7）保持，尤其是W（q，r）y（x）=W（q）（x- y） 对于y≥ 0.在本小节的其余部分，我们列出了本文后面使用的几个函数恒等式。

对于光谱负L'evy过程X，定义τ-a： =inf{t>0:X（t）<a}和τ+a：=inf{t>0:X（t）>a}，a∈ R、 通过使用[3]中的标识（3.19），对于x∈ R和θ≥ 0，H（q+r）（x，θ）：=排气-（q+r）τ-+θX（τ-){τ-<∞}i=Z（q+r）（x，θ）-κ(θ) - （q+r）θ- Φ（q+r）W（q+r）（x），（4.6），其中，H（q+r）（x，Φ（q））=Exhe-（q+r）τ-+Φ（q）X（τ-){τ-<∞}i=Z（q+r）（x，Φ（q））-rW（q+r）（x）Φ（q+r）- Φ（q），H（q+r）（x）：=H（q+r）（x，0）=排气-（q+r）τ-i=Z（q+r）（x）-q+rΦ（q+r）W（q+r）（x）。（4.7）任何Borel集合A的最优定期补货策略9 (-∞, 0]和x≤ 0，根据[12]中的定理2.7（ii），（4.8）ExhZτ+e-（q+r）t{X（t）∈A} dti=ZAΘ（q+r）（x，y）dy，其中我们定义x，y∈ R、 Θ（q+R）（x，y）：=eΦ（q+R）xW（q+R）(-y）- W（q+r）（x）- y） 。（4.9）备注4.1。（i） 对于x，y≤ 0，根据恒等式（4.8），Θ（q+r）（x，y）≥ 0。（ii）另一方面，对于x>0和y≤ x、 Θ（q+r）（x，y）≤ 实际上，通过（4.8），0≤ EhZτ+xe-（q+r）t{X（t）∈dy}dti=-e-Φ（q+r）xΘ（q+r）（x，y）dy.（4.10）设x是x的运行极限过程，且eq+rbe是一个具有参数q+r的独立指数随机变量。根据[12]的推论2.2，对于[0]上的Borel子集，∞),P(-X（等式+r）∈ dy）=q+rΦ（q+r）W（q+r）（dy）- （q+r）W（q+r）（y）dy，（4.11），其中W（q+r）（dy）是指W（q+r）（y）=r[0，y]W（q+r）（dz）（见[13，（8.20）]）的度量。备注4.2。（1） 根据[13]中的（8.26），W（q）的左、右导数总是存在于r{0}上。此外，如[10，定理3]中所述，如果X是无界变差或L'evymeasure是无原子的，则我们有W（q）∈ C（R \\{0}）。（2） 正如在[12]的引理3.1和3.2中，W（q）（0）=（0如果X是无界变化，cif X是有界变化，W（q）0（0+）=σ如果σ>0，∞ 如果σ=0且∏(-∞, 0) = ∞,q+π(-∞,0）cifσ=0和∏(-∞, 0) < ∞.（3） 如[12]中引理3.3所示，WΦ（q）（x）：=e-Φ（q）xW（q）（x）%k（Φ（q））-1，作为x↑ ∞.4.2. vb的计算。我们现在将总成本的预期净现值vbas写在（4.1）中。

对于控制成本，已经在【4】的推论3.2（iii）中得出，对于b，x∈ R、 Ex公司Z[0，∞)e-qtdRbr（t）=Φ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）Φ（q）Z（q，r）（x）- （b）-rq+rnZ（q）（x）- b） +κ（0）+qo。（4.12）因此，需要计算库存成本的预期净现值。回想（4.6）中的H（q+r），为了得到vblet的简明表达式，我们定义x，y∈ R、 Υ（x，y）：=-Θ（q+r）（x，y）+rZxW（q）（x）- z） Θ（q+r）（z，y）dz（4.13）=W（q，r）y（x）- Z（q）（x，Φ（q+r））W（q+r）(-y） ，（4.14），其中第二个等式由（4.4）和（4.9）确定。10 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANRemark 4.3。（i） 使用（4.3），对于x<0，H（q+r）（x，θ）=eθx>0，对于θ≥ 0。（ii）使用（4.14）和（4.5），我们得到Υ（x，y）=W（q）（x- y） 对于y>0。备注4.4。函数Υ（x，y）将是本文其余分析的关键函数。它与-Θ（q+r）（x，y）当x<0且W（q）（x）时- y） 对于y>0，如上所述。要查看与这些函数的进一步关系，请参见附录中的（A.4）和引理A.1。附录A.1给出了以下定理的证明。定理4.1。对于x，b∈ R、 以及R上具有紧支撑的正有界可测函数hZ∞e-qth（Ubr（t））dt=Z∞-∞h（y）r（q，r）b（x，y）dy，（4.15），其中，对于x，y∈ R、 R（q，R）b（x，y）：=q+rqrΦ（q）（Φ（q+R）- Φ（q））Φ（q+r）Z（q，r）（x- b） H（q+r）（b）- y、 Φ（q））- Υ（x- b、 y型- b） 。现在使用（4.12）和定理4.1，以及引理B.1（在附录中给出），我们得到（4.1）的表达式。提案4.1。对于x，b∈ R、 函数vb（x）是有限的，可以写vb（x）=F（b）Z（q，R）（x- （b）-Z∞-∞f（y）Υ（x- b、 y型- b） dy公司-Crq+rnZ（q）（x）- b） +κ（0）+qo（4.16），其中f（b）：=Φ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）hq+rqrΦ（q）Z∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+CΦ（q）i，（4.17），由引理B.1和备注4.3（i）定义和定义。

特别是，对于x<b，从（4.13），（4.18）vb（x）=F（b）r+qeΦ（q+r）（x-b） q+r+Zb-∞f（y）Θ（q+r）（x- b、 y型- b） dy公司-Crq+rnx- b+κ（0+）qo。证据根据定理4.1和支配收敛（由于引理B.1和B.2），恒等式（4.15）适用于h=f。根据这和（4.12），简化后的结果适用。4.3. vb的多项式增长。我们用验证引理（引理3.1）中要求的vb的以下特性来结束本节。引理4.1。对于每个b∈ R、 x 7→ vb（x）是多项式增长的。证据在P下，其中X（0）=0和z∈ R、 设Ub，zrbe为带势垒b的巴黎反射过程∈ r除以（X（t）+z；t型≥ 0）并以类似方式定义Rb，zr，以便Ub，zr（t）=z+X（t）+Rb，zr（t），t≥ 0.然后，Ub，yr（t）- Ub，xr（t）=（y- x） +（Rb，年（t）- Rb，xr（t）），x<y.（4.19），我们首先表明，对于y>x，Ub，yr（t）- Ub，xr（t）≥ 0，t≥ 0。（4.20）最优定期补货策略11让σ：=inf{t>0:Ub，xr（t）>Ub，yr（t）}，并假设σ<∞. 因为Ub，xrand Ub，yr的增量只能在Rb，xrand Rb，yr的跳跃时间不同，所以我们必须有Rb，xr（σ）>0和Ub，xr（σ-) < b、 如果Ub，yr（σ-) ≤ b然后Ub，xr（σ）=Ub，yr（σ）=b。如果Ub，yr（σ-) > b thenUb，xr（σ）=b<Ub，yr（σ-) = Ub，yr（σ）。在这两种情况下，Ub、xr（σ）≤ Ub，yr（σ）和不等式一直保持到σ之后的下一个泊松到达时间，这与σ的定义相矛盾。因此，我们必须有σ=∞ 或等效（4.20）。另一方面，让σ：=inf{t>0:Ub，xr（t）=Ub，yr（t）}，我们有，对于i≥ 1带T（i）≤ σ,Rb，xr（T（i））=（b- Ub，xr（T（i）-))+≥ （b）- Ub，yr（T（i）-))+= Rb，yr（T（i）），而对于T≥ σ、 我们一定有Rb，xr（t）=Rb，年（t）。这与（4.20）一起意味着0≤ Rb、xr（t）- Rb，年（t）≤ y- x、 t型≥ （4.21）通过（4.19）和（4.21），我们也有0≤ Ub，年（t）- Ub，xr（t）≤ y- x、 t型≥ 0。（4.22）根据这些界限和假设2.2（i），我们得到了多项式增长的VBI。5.

b的选择*在本节中，出于备注3.1（2）中所述讨论的动机，我们寻求我们的候选人barrierb*这样vb*（b）*) = -C、 并显示其存在。vb的凸性*将在本文后面显示。我们首先得到以下两个引理，其证明推迟到附录C.1和C.2。引理5.1。定义，用于x、y∈ R、 ψ（x，y）：=W（q，R）y（x）-Φ（q+r）q+rZ（q）（x，Φ（q+r））Z（q+r）(-y） 。（5.1）然后，对于y<b，zΥ（z，y- （b）z=（x-b） +=-zψ（x- b、 z）z=（y-（b）-= W（q+r）0（（x- y） +）- rZxbW（q）（x）- z） W（q+r）0（z- y） dz公司- Φ（q+r）W（q+r）（b）- y） Z（q）（x）- b、 Φ（q+r））。（5.2）备注5.1。根据引理B.1和命题4.1，我们必须有limy↓-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 θ）=0表示θ≥ 0和石灰↓-∞f（y）Υ（x- b、 y型- b） =0。此外，因为ψ（x- b、 y型- b） =Υ（x- b、 y型- （b）-Φ（q+r）q+rZ（q）（x）- b、 Φ（q+r））H（q+r）（b- y） ，（5.3）我们还有石灰↓-∞f（y）ψ（x- b、 y型- b） =0.12 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANLemma 5.2。固定x、b∈ R、 我们可以选择-M≤ b∧ x足够小，以便xZ公司-M-∞f（y）Υ（x- b、 y型- b） dy=Z-M-∞f（y）xΥ（x- b、 y型- b） dy.利用引理5.1和5.2，我们得到了关于vb一阶导数的结果。引理5.3。固定b、x∈ R、 （i）我们有Vb（x）=（qF（b）- f（b））Φ（q+r）q+rZ（q）（x- b、 Φ（q+r））-ZxbW（q）（x）- y） f（y）dy-Zb公司-∞f（y）ψ（x- b、 y型- b） dy公司-Crq+rZ（q）（x）- b） 。（5.4）（ii）我们有Exhz∞e-qtf（Ubr（t））dti- vb（x）=Z（q，r）（x）- b） q+rqΦ（q）Φ（q+r）- Z（q）（x）- b、 Φ（q+r））M（q，r）（b），其中M（q，r）（b）：=Φ（q+r）- Φ（q）rZ∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+qq+rΦ（q+r）Φ（q）C.（5.5）证明。

（i） 通过部件集成，对于x 6=b，xZ公司∞bf（y）W（q）（x）- y） dy=f（b）W（q）（x- b） +ZxbW（q）（x）- y） f（y）dy.（5.6）微分（4.16）并使用（5.6）和引理5.2（导数可与积分互换），以及Υ（x- b、 y型- b） | y=x+- Υ（x- b、 y型- b） | y=x-= -W（q+r）（0），对于x 6=b，vb（x）=F（b）Z（q，r）0（x- （b）- f（b）W（q）（x）- （b）-ZxbW（q）（x）- y） f（y）dy-Zb公司-∞f（y）xΥ（x- b、 y型- b） dy公司- f（x）W（q+r）（0）1{x<b}-Crq+rZ（q）（x）- b） 。通过引理5.1、备注5.1和分部积分，并注意到ψ（x- b、 y型- b） | y=x+- ψ（x- b、 y型-b） | y=x-= -W（q+r）（0），Zb-∞f（y）xΥ（x- b、 y型- b） dy=-Zb公司-∞f（y）yψ（x- b、 y型- b） dy=-f（b）ψ（x- b、 0）+Zb-∞f（y）ψ（x- b、 y型- b） dy公司- f（x）W（q+r）（0）1{x<b}，其中ψ（x- b、 0）=W（q）（x- （b）-Φ（q+r）q+rZ（q）（x）- b、 Φ（q+r））。这个加上Z（q，r）0（x- b） =qq+rΦ（q+r）Z（q）（x）- b、 Φ（q+r））显示（5.4）。对于x=b的情况，在对右手和左手导数进行相同的计算后，可以确定它们都符合（5.4）。最优定期补货政策13（ii）按部件整合∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy公司=f（b）+Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy公司/Φ（q），（5.7），注意H（q+r）（z）：=H（q+r）（z，Φ（q））-rq+rΦ（q+r）Φ（q+r）-Φ（q）H（q+r）（z）/Φ（q），z∈ R、 是H（q+R）（·，Φ（q））的反导数，并通过备注5.1，Zb-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy=-f（b）Φ（q）1.-rq+rΦ（q+r）Φ（q+r）- Φ（q）+Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy.因此，使用（4.17）中的先前恒等式以及备注4.3（i），我们得到f（b）=qf（b）-Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy公司+Φ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）q+rqrZ∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+CΦ（q）.（5.8）现在使用（5.4）和定理4.1以及（5.3）和备注4.3（ii），我们得到Z∞e-qtf（Ubr（t））dt- vb（x）=Crq+rZ（q）（x- b） +q+rqrΦ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））Φ（q+r）Z∞-∞f（y）Z（q，r）（x）- b） H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+Φ（q+r）q+rZ（q）（x- b、 Φ（q+r））f（b）-Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy公司- qF（b）,其中（ii）由（5.8）表示。

从（5.3），ψ（0，y- b） =-Φ（q+r）q+rH（q+r）（b）- y） 。因此，对于任何b∈ R、 vb（b）=-Crq+r+Φ（q+r）q+r-Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy+qΦ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）CΦ（q）+q+rqrZ∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+Φ（q+r）q+rZb-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy=M（q，r）（b）- C、 （5.9）鉴于此和备注3.1（2），我们对候选屏障b的自然选择*使得M（q，r）（b*) =有了这个选择，引理5.3（ii）可以立即得到以下结果。引理5.4。如果b*∈ R等于M（q，R）（b*) = 0，然后是vb*（x） =Ex[R∞e-qtf（Ub*x的r（t））dt]∈ R、 14 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSAN5.1。最优势垒b的存在性*. 我们首先展示以下两个引理。第一个引理的证明推迟到附录C.3。引理5.5。修复b∈ R和θ≥ 0、我们可以选择-M<b足够小，以便bZ公司-M-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 θ）dy=Z-M-∞f（y）bH（q+r）（b- y、 θ）dy.Lemma 5.6。对于所有b∈ 存在f（b）的R，（e-Φ（q）bM（q，r）（b））=-e-Φ（q）bΦ（q+r）q+r（Cq+E[f（X（eq+r）+b）]）。证据使用引理5.5和备注4.3（i）和（4.11），M（q，r）0（b）=Φ（q+r）- Φ（q）r“- f（b）+Φ（q）Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy+f（b）1.-rW（q+r）（0）Φ（q+r）- Φ（q）+Zb公司-∞f（y）Φ（q）Z（q+r）（b）- y、 Φ（q））+rW（q+r）（b- y）-rW（q+r）0（b- y） Φ（q+r）- Φ（q）dy#=Φ（q）M（q，r）（b）-Φ（q+r）q+rqC+E[f（X（eq+r）+b）].这样，就可以立即获得所需的结果。提案5.1。存在唯一的b*使得M（q，r）（b*) = 0.证明。（i） 首先我们注意到-Φ（q）bZb-∞|f（y）| H（q+r）（b- y、 Φ（q））dy=Z-∞e-Φ（q）b | f（y+b）| H（q+r）(-y、 Φ（q））dy.（5.10），因为f是非减量的，也是多项式增长的，f（（y+b）+）+≤P0≤m级≤NCm | y | mbN-m+K，y∈ R、 对于某些N∈ N和Cm，K＞0；对于f（（y+b）+），可以得到类似的界-.因为bke-Φ（q）bis每k在b>0范围内有界≥ 0，我们看到e-Φ（q）b | f（（y+b）+）|由y的多项式（与b无关）限定。

这与引理B.1一起允许我们应用支配收敛，因此（5.10）消失为B→ ∞. 因此，根据（5.5），我们得到（5.11）肢体→∞e-Φ（q）bM（q，r）（b）=0。（ii）引理5.6和假设2.2（i），b 7→ l（b）：=eΦ（q）b（e-Φ（q）bM（q，r）（b））不递增。此外，单调收敛与假设2.2（ii）给定边↓-∞l（b）=-Φ（q+r）q+rhCq+f(-∞)i> 0，肢体↑∞l（b）=-Φ（q+r）q+rhCq+f(∞)i<0。（5.12）根据exp（Φ（q）b）的正性，存在b∈ R使得（e-Φ（q）bM（q，r）（b））≥ 0 a.e.开启(-∞, b） 和（e）-Φ（q）bM（q，r）（b））≤ 0 a.e.开（b，∞); 相当于b 7→ e-Φ（q）bM（q，r）（b）在(-∞, b） （分别为，∞)). 根据此和（5.11），存在-∞ < b*≤ b使最优定期补货政策15e-Φ（q）bM（q，r）（b）（因此M（q，r）（b）也是非正的(-∞, b*) 和非负on（b*, ∞).根据M（q，r）（b）的连续性，我们必须有M（q，r）（b*) = 最后，我们证明了b的唯一性*. 因为b*≤ b、 （根据b的定义）我们必须（e-Φ（q）bM（q，r）（b））；b=b*+≥ 因此，有必要表明（e-Φ（q）bM（q，r）（b））；b=b*+6=0（当量l（b*+) 6= 0). 假设l（b*+) = 那么，因为l在（b）上是非递增的*, ∞), l（b）≤ 0 a.e.开（b*, ∞) 因此e-Φ（q）bM（q，r）（b）≤ b为0∈ [b]*, ∞). 因为这也是非负的*已选择，e-Φ（q）bM（q，r）（b）=0均匀分布在[b]上*, ∞), 暗示（e-Φ（q）bM（q，r）（b））=0 a.e.开（b*, ∞),或者等价地，通过引理5.6，Cq+E[f（X（eq+r）+b）]=0表示a.E.（b）*, ∞), 这与（5.12）相矛盾。备注5.2。

在（5.5）中使用恒等式（5.7）导致q+rΦ（q+r）M（q，r）（b）=CqΦ（q）+q+rr（Φ（q+r）- Φ（q））Φ（q+r）×h- f（b）+Φ（q）Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy+Zb-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dyi。因为单调收敛和表达式（4.7）给出了limr→∞Rb型-∞|f（y）| H（q+r）（b-y、 Φ（q））dy=0和limr→∞Φ（q+r）=∞, 我们有Limr→∞q+rΦ（q+r）M（q，r）（b）=M（q）（b）：=Φ（q）Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy+CqΦ（q）- f（b）。这与文献[21]一致，其中经典情况下的最佳势垒是M（q）（b）=0.6的根。b的最优证明*∈ 在上一节中选择R，我们将证明我们的候选值函数vb*满足引理3.1中要求的条件，因此策略πb*是最佳的。我们首先确认vb所需的平滑度*; 我们将证明推迟到附录C.4。引理6.1。函数vb*在R上充分平滑。现在为了验证等式（3.2），我们证明以下内容。引理6.2。函数vb*是凸的，vb*（b）*) = -C、 证明。（i） 根据假设2.2（i），fis增加了Lebesgue-a.e.，因此，使用引理5.4，以及Ub的单调性*在（4.20）中的起点处，我们得到Vb*（x） =ExhZ∞e-qtf（Ub*r（t））dti≤ EyhZ∞e-qtf（Ub*r（t））dti=vb*（y） 对于x<y。因此vb*是凸面的。（ii）如何b*选择M（q，r）（b*) = 0和（5.9），vb*（b）*) = -C接下来，通过应用引理6.2，可以立即得到以下结果。16 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANProposition 6.1。对于x∈ R、 我们有（6.1）Mvb*（十）- vb*（十）=C（b*- x） +vb*（b）*) - vb*（x） 如果x∈ (-∞, b*),如果x，则为0∈ [b]*, ∞).现在我们显示以下辅助结果。提案6.2。（i） 对于x<b*, 我们有（L- q） vb*（x） +f（x）=-qrq+rF（b）*)1.- eΦ（q+r）（x-b*)+ C（b*- x）+ rZb公司*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)dy.（ii）代表x≥ b*, 我们有（L- q） vb*（x） +f（x）=0。证据（i） 假设x<b*.