区域切换性能中的遍历BSDE系统

对于m≥ 1和t∈ [0，m]，我们考虑有限层位BSDE系统IT（m）=Zmt“fi（Vs，q（Zis（m）））+Xk∈Iqik（ep（Yks（m））-p（Yis（m））- 1) - ρYis（m）#ds-Zmt（Zis（m））trdWs。（2.8）对于t>m，我们定义Yit（m）=Zit（m）≡ 注意，（2.8）是一个标准的BSDE系统，具有Lipschitz连续驱动程序，因此它允许一个唯一的解决方案（Yi（m），Zi（m））i∈一、 我们将首先在第2.3节中建立Yi（m）和Zi（m）的统一边界（独立于m）。随后，我们将在第2.4节中说明这对过程（Yi（m），Zi（m））m≥1是适当空间中的柯西序列，其极限为有限层位BSDE系统提供了解决方案（2.1）。此外，解的唯一性依赖于下一小节介绍的多维比较定理。2.2. 多维比较定理。BSDE系统的多维比较定理首次建立于【29】。为了方便读者，附录A中给出了不同的证明。引理2.2。对于T>0，考虑一个具有终端数据ξi和驱动器（Fi，Gi）的BSDE系统（ξi，Fi，Gi），即Yit=ξi+ZTtFis（Zis）+Gis（Yis，Y-is）ds公司-ZTt（Zis）trdWs，t∈ [0，T]，其中Y-is：=（Ys，…，Yi-1s，Yi+1s，Yms）。设（\'Yi，\'Zi）为BSDE（\'ξi，\'Fi，\'Gi）系统的解决方案，其中包含终端数据\'ξi和驱动程序（\'Fi，\'Gi）。假设（i）ξi和ξi均为平方可积且满足ξi≤\'ξifor i∈ 我（ii）存在常数Cf和Cg，对于i∈ I和z，\'z∈ Rd，y=（yi，y-i） ，\'y=（\'yi，\'y-（一）∈ Rm，| Fis（z）- Fis（(R)z）|≤ Cf | z- \'z |，（2.9）| Gis（yi，y-（一）- Gis（\'yi，\'y-i） |≤ Cg | y- “是”；（2.10）（iii）驾驶员Gis（yi，y-i） 除Yi外，其所有成分均不减损，即当k 6=i时，在yk中不减损；（iv）持有以下不合格品，金融机构≤金融机构（Zis），（2.11）地理信息系统（Yis），（Y）-is）≤\'Gis（\'Yis，\'Y-是）。（2.12）那么，Yit≤“”Yitfor t∈ [0，T]和i∈ 一、 备注2。

引理2.2及其证明只是纠正了在[29]中发展的论点中的一个小的效率损失。在[29]中，要求Lipschitz条件（2.9）和遍历BSDE系统7（2.10）也适用于（\'Fi，\'Gi），并且要求不等式（2.11）和（2.12）适用于所有zi∈ R和y=（yi，y-（一）∈ Rm。在引理2.2中，不需要（\'Fi，\'Gi）上的lipschitz条件，并且要求不等式（2.11）和（2.12）仅在解（\'Yi，\'Zi）上成立。这样的改进很重要，是为我们以后的使用量身定做的。2.3. 先验估计。我们证明了这对过程（Yi（m），Zi（m））i∈一、 作为有限水平BSDE系统（2.8）的解决方案，估算值（2.13）| Yit（m）|≤ Kyand | Zit（m）|≤ Kz，其中常数ky和Kz独立于m，在定理2.1中给出。Yi（m）的有界性。对于z∈ Rd和y=（yi，y-（一）∈ Rm，letFis（z）：=fi（Vs，q（z））和Gis（yi，y-i） ：=Xk∈Iqik（ep（yk）-p（彝语）- 1) - ρyi。请注意，Fis（z）和Gis（yi，y-i） Lipschitz连续和Gis（yi，y-i） 对于k 6=i，在yk中为非递减。此外，根据假设1（iii），Fis（0）≤ KfandGis（\'Ys，\'Y）-is）=-ρ'Ys，其中'Y-i： =（\'Y，…，\'Y |{z}m-1） Y求解ODE，Yt=Zmt（Kf- ρ′Ys）ds。因此，引理2.2得出Yit（m）≤“”年初至今≤Kfρ，对于t∈ [0，m]安迪∈ 一、 同样，我们也得到了Yit（m）≥ -Kfρ，so | Yit（m）|≤Kfρ=Ky。因此，我们有p（Yit（m））≡ Yit（m），即截断函数p（·）在SDE系统（2.8）中不起作用。Zi（m）的有界性。用Vr表示SDE（2.2）的解从v开始∈ Rd在初始时间r，by（Yi，r，vt（m），Zi，r，vt（m）），t∈ [r，T]BSDE（2.8）的解决方案，其中过程V被Vr，V替代。

与前面一样，我们有| Yi，r，vt（m）|≤ Ky.对于t∈ [r，m]和v，\'v∈ Rd，letδYi，rt（m）：=Yi，r，vt（m）- Yi，r，’vt（m）和δZi，rt（m）：=Zi，r，vt（m）- Zi，r，(R)vt（m）。然后，fr om（2.8）得出δYi，rt（m）=Zmtfi（Vr、vs、q（Zi、r、vs（m）））- fi（Vr、vs、q（Zi、r、vs（m）））ds+ZmtXk∈我qik（eYk、r、vs（m）-Yi，r，vs（m）- 1) - qik（eYk，r，’vs（m）-Yi，r，(R)vs（m）- 1)ds公司-ZmtρδYi，rs（m）ds-Zmt（δZi，rs（m））trdWs=ZmtFi，rs（δZi，rs（m））+Gi，rs（δYi，rs（m），δY-i、 卢比（m））ds公司-Zmt（δZi，rs（m））trdWs，（2.14），其中fi，rs（z）=fi（Vr，vs，q（Zi，r，vs（m）））- fi（Vr，’vs，q（Zi，r，vs（m）））+fi（Vr，’vs，q（z+Zi，r，’vs（m）））- fi（Vr，’vs，q（Zi，r，’vs（m）））8瀛虎，葛春亮和山建唐安吉，rs（yi，y）-i） =Xk∈Iqikeyk公司-yi+Yk，r，(R)vs（m）-Yi，r，(R)vs（m）- eYk，r，(R)vs（m）-Yi，r，(R)vs（m）- ρyi，表示z∈ Rd和y=（yi，y-（一）∈ Rm，带| yi |≤ 2KY针对i∈ 一、 注意Fi，rs（z）和Gi，rs（yi，y-i） Lipschitz连续。此外，Gi，rs（0，0-i） =0，根据假设1（i）和Lipschitz估计（2.6），| Fi，rs（0）|=| Fi（Vr，vs，q（Zi，r，vs（m）））- fi（Vr、vs、q（Zi、r、vs（m）））|≤CvCηCη- Cv | Vr，vs- Vr，’vs |≤CvCηCη- Cve公司-Cη（s-r）| v- \'\'v |，s∈ [r，T]，其中最后一个不等式来自假设3中的耗散条件和Gronwall不等式。因此，（δYi，r（m），δZi，r（m））i∈Iis是（2.14）的唯一解决方案。此外，注意Gi，rs（yi，y-i） k 6=i和Gi，rs（(R)年，（(R)年）在YK中不减损-i） =-ρ'Yrs，其中'Yris ODEYt=Zmt的唯一解CvCηCη- Cve公司-Cη（s-r）| v- \'\'v |- ρYsds，t∈ [r，T]。因此，从引理2.2，我们得到δYi，rt（m）≤(R)Yrt=CvCηCη- Cveρt（e-（ρt+Cη（t-r） （）- e-（ρm+Cη（m-r） ））ρ+Cη| v- \'\'v|≤CvCη- Cv | v- 对于t，v（2.15）∈ [r，m]和我∈ 一、 同样，我们还有（2.16）δYi，rt（m）≥-CvCη- Cv | v- \'\'v |。注意，过程Yi，r，v（m）允许马尔科夫表示，即存在一个可测函数Yi（·，·；m），使得Yi，r，vt（m）=Yi（t，Vr，vt；m）（参见[22]中的Theo rem4.1）。

如果系数η和导数是具有有界导数的连续可微函数，则函数v 7→ yi（t，v；m）是连续可区分的，如（见[22，推论4.1]）（2.17）κtrvyi（t，Vr，vt；m）=Zi，r，vt（m）。从（2.15）和（2.16），我们有for（i，v，v）∈ I×Rd×Rd，（2.18）| yi（t，v；m）- yi（t，v；m）|≤ Kz | v- v |带Kz：=CvCη- Cv。根据关于κ的假设3，我们有| Zi，r，vt（m）|≤ Kz，它可以显示（通过简化系数η和驱动函数fiin的简单表达式）来保持我们的常规（η，f）。因此，已经证明了Yi（m）=Yi，0，v（m）和Zi（m）=Zi，0，v（m）的先验估计（2.13）。遍历BSDEs系统92.4。定理2.1的证明。存在我们首先证明（Yi（m））m≥1是一个连续序列。对于m≥ n≥ 1和t∈ [0，m]，设δYit（m，n）：=Yit（m）- Yit（n）和δZit（m，n）：=Zit（m）- 青春痘（n）。因为我们已经在上一节中展示了| Yit（m）|≤ Kyand | Zit（m）|≤ Kz，截断函数p（·）和q（·）实际上在（2.8），a和wehave（p（Yit（m）），q（Zit（m））=（Yit（m），Zit（m））中不起任何作用。反过来，δYit（m，n）=Zmtfi（Vs，Zis（m））- fi（Vs，Zis（n））ds+Zmtfi（Vs，0）χ{s≥n} ds+ZmtXk∈我qik（eYks（m）-Yis（米）- 1) - qik（eYks（n）-Yis（n）- 1)ds公司-ZmtρδYis（m，n）ds-Zmt（δZis（m，n））trdWs=ZmtFis（δZis（m，n））+Gis（δYis（m，n），δY-is（m，n））ds公司-Zmt（δZis（m，n））trdWs，（2.19），其中fis（z）=fi（Vs，z+Zis（n））- fi（Vs，Zis（n））+fi（Vs，0）χ{s≥n} ，和GIS（yi，y-i） =Xk∈Iqikeyk公司-彝语+Yks（n）-Yis（n）- eYks（n）-Yis（n）- ρyi，表示z∈ Rd和y=（yi，y-（一）∈ Rm，带| z |≤ 2Kzand | yi |≤ 2KY针对i∈ 一、 按照第2.3节中类似的论点，我们推断（2.19）是Lipschitz连续驱动，因此，（δYi（m，n），δZi（m，n））I∈Iis是（2.19）的唯一解决方案。

此外，根据假设1（iii），我们有Fis（0）=fi（Vs，0）χ{s≥n}≤Kfχ{s≥n} 和Gis（\'Ys，\'Y-is）=-ρYs，Y求解ODE，Yt=ZmtKfχ{s≥n}- ρ′Ys因此，利用引理2.2，我们得到（2.20）δYit（m，n）≤“”年初至今≤ KfZmne公司-ρ（s-t） ds=Kfρeρt（e-ρn- e-ρm），对于t∈ [0，m]和我∈ 一、 同样，我们还有（2.21）δYit（m，n）≥ -Kfρeρt（e-ρn- e-ρm）。发送m，n→ ∞, 我们得到，对于任何T>0，supt∈[0，T]|δYit（m，n）|→ 因此，存在一个极限过程Yit，Yit（m）→ almos t every的Yitf（t，ω）∈ [0, ∞) × Ohm, 带| Yit |≤ Ky.10 Ying Hu、Gechun Liang和Shanjian Tang为了证明Zi（m）也是一个Cauchy序列，我们引入了Banach空间L2，ρ：=（Zt）t≥0:Z是逐步可测量的，E[Z∞e-2ρs | Zs | ds]<∞.将It^o公式应用于e-2ρt |δYit（m，n）|，利用（2.19），我们得到|δYi（m，n）|+Zme-2ρs |δZis（m，n）| ds=Zm2e-2ρsδYis（m，n）fi（Vs，Zis（m））- fi（Vs，Zis（n））|{z}（I）ds+Zm2e-2ρsδYis（m，n）fi（Vs，0）χ{s≥n} ds+Zm2e-2ρsδYis（m，n）Xk∈IqikeYks（米）-Yis（米）- eYks（n）-Yis（n）ds公司-Zm2e型-2ρsδYis（m，n）（δZis（m，n））trdWs。（2.22）此外，我们还应用了初等不等式2ab≤| a |+b |至第（I）项并获得（I）≤e-2ρs | fi（Vs，Zis（m））- fi（Vs，Zis（n））| Cz（1+2Kz）+2Cz（1+2Kz）e-2ρs |δYis（m，n）|≤e-2ρs |δZis（m，n）|+2Cz（1+2Kz）e-2ρs |δYis（m，n）|，其中我们还使用了假设1（ii）和第二等式中Zi（m）的先验估计（2.13）。反过来，对（2.22）两侧进行期望，并对Yi（m）yieldE使用先验估计（2.13佐暮-2ρs |δZis（m，n）| ds≤ 2Cz（1+2Kz）E佐暮-2ρs |δYis（m，n）| ds+ 2KfEZmne公司-2ρsδYis（m，n）ds+ 4mqmaxe2KyE佐暮-2ρsδYis（m，n）ds.然后，支配对流定理意味着δZi（m，n）→ L2中的0，ρ，因此，存在一个极限过程Zi，使得Zi（m）→ Zin L2，ρ，带| Zit |≤ Kz。检验极限过程对（Yi，Zi）i∈指标满足有限水平BSDE系统（2.1）。

例如，参见【8】第5节。独特性。由于Yi和Zi都有界，有界解（Yi，Zi）的唯一性∈伊藤（2.1）遵循了引理2.2中的多维比较理论。的确，假设（Yi，Zi）i∈土地（\'Yi，\'Zi）i∈i是（2.1）的两个有界解。对于t≥ 0，设δYit：=e-ρt（Yit-(R)Yit）和δZit：=e-ρt（Zit-？青春痘）。遍历BSDEs 11T系统≥ t、 设εt：=2Kye-ρT.那么，对于0≤ t型≤ T，δYit=δYit+ZTte-ρsfi（Vs，Zis）- 金融机构（Vs，Zis）ds+ZTte-ρsXk∈我qik（eYks-Yis公司- 1) - qik（e？Yks-\'\'Yis- 1)ds公司-ZTt（δZis）trdWs=δYiT+ZTtFis（δZis）+Gis（δYis，δY-is）ds公司-ZTt（δZis）trdWs，（2.23），其中fis（z）=e-ρs[fi（Vs，eρsz+(R)Zis）- fi（Vs，\'Zis）]，和GIS（yi，y-i） =e-ρsXk∈Iqikeeρs（yk-彝语）+Yks-\'\'Yis- 电子邮箱-\'\'Yis,对于z∈ Rd和y=（yi，y-（一）∈ Rm，带| z |≤ 2Kzand | yi |≤ 2KY针对i∈ 一、 我们使用与第2.3节中类似的参数来推断（2.23）具有Lipschitz连续驱动，因此，（δYi，δZi）I∈Iis是（2.23）的唯一解决方案。此外，请注意|δYiT |≤ 2年-ρT=εT，Fis（0）=0和Gis（εT，ε-iT）=0。通过引理2.2，我们推导出|δYit |≤ εTand，因此，通过发送δYit=0→ ∞. 因此，δZit=0，这证明了有限层位BSDE系统（2.1）内解的唯一性。3、遍历二次BSDE系统。我们研究了当ρ→ 0，这导致了一种新的遍历BSDE系统。遍历BSDE系统将依次用于构造树型切换前向性能过程（第4节），并获得PDE系统的大时间行为（第5节）。为此，我们要求假设2中的转移率矩阵Q满足某种不可约性质。假设4。对于i 6=k，转移率矩阵Q满足qik>0。让qmin>0为最小转移率，即。

qmin=mini6=kqik。我们首先表明，在假设4下，（2.1）的解的任何两个分量（如yi和Yj）的差实际上在ρ中一致有界。引理3.1。假设假设1-4满足i，j的假设∈ I和t≥ 0，letYijt=Yit- Yjt。然后，（3.1）|Yijt |≤qminKf+CvCηCz（Cη- Cv）,假设1中的常数Kf、Cv、Czas和假设3中的常数Cη。证据需要证明的是≥ 1,(3.2) |Yijt（m）|：=| Yit（m）- Yjt（m）|≤qminKf+CvCηCz（Cη- Cv）.12胡英、梁葛春和唐善建（3.1）随后发送m→ ∞.为此，让Zijt（m）=Zit（m）- Zjt（m）。立即检查工艺空气(Yij（米），Zij（m））i，j∈使满意Yijt（m）=Zmtfi（Vs，Zis（m））- fj（Vs，Zjs（m））ds+ZmtXk∈我qik（eYks（m）-Yis（米）- 1) - qjk（eYks（m）-Yjs（米）- 1)ds公司-ZmtρYijs（m）ds-Zmt公司(Zijs）trdWs=Zmt菲克斯(Zijs（m））+Gijs(Yijs（m），Y-ijs（m））ds公司-Zmt公司(Zijs（m））trdWs，（3.3），其中fijs（z）=fi（Vs，z+Zjs（m））- fj（Vs，Zjs（m）），andGijs（yij，y-ij）=qije-yij公司- qjieyij- ρyij+Xk6=jqikeyki-Xk6=iqjke-yjk，代表z∈ Rd和y=（yij，y-ij）∈ Rm，带| z |≤ 2Kzand | yij |≤ 2KY对于i，j∈ 一、 自Fijs（z）和Gijs（yij，y-ij）是Lipschitz连续的，遵循第2.3节中的类似参数，我们推断(Yij（米），Zij（m））i，j∈Iis是BSDE系统的唯一解决方案（3.3）。

此外，根据假设1（ii）-（iii），我们得到，对于v，z∈ Rd，| fi（v，z）|≤ Kf+Cz（| z |+| z |），soFijs（0）=fi（Vs，Zjs（m））- fj（Vs，Zjs（m））≤ 2Kf+2Cz（Kz+Kz）。使用PK6=jqik=-qijandPk6=iqjk=-qji，我们还有GIS（\'Ys，\'Y-is）=-（qij+qji）（e’Ys）- e-\'\'年）- ρ'Ys，其中'Y求解ODE'Yt=ZmtKf+Cz（Kz+Kz）- qmin？Ysds。自0起≤“”年初至今≤Kf+Cz（Kz+Kz）qmin，我们还有GIS（\'Ys，\'Y-is）≤ -（qij+qji）（e’Ys）- e-\'\'年）≤ -2qmin（(R)Ys+1）- e-\'\'年）≤ -2qmin？Ys，因此，使用引理2.2，我们推断Yijt（米）≤“”年初至今≤Kf+Cz（Kz+Kz）qmin。遍历BSDE系统13根据对称性，我们还得到了Yjit（米）≤Kf+Cz（Kz+Kz）qmin，从中我们获得估算值（3.2）。接下来，我们发送ρ→ 在有限水平BSDE系统中为0（2.1）。为了强调ρ和V=V的依赖关系，我们在本节剩余部分使用了符号Vvt、Yi、ρ、vt和Zi、ρ、vtin。正在发送m→ ∞ 在估算（2.18）中，得出（2.1），（3.4）| Yi，ρ（v）的解的FirstComponent Yi，ρ，vt=Yi，ρ（Vvt）- yi，ρ（v）|≤CvCη- Cv | v- v |，v，v∈ Rd.给定固定参考点，如v∈ Rd，我们定义过程“Yi，ρ，vt：=Yi，ρ，vt- Ym，ρ，v，对于t≥ 0，i∈ I和v∈ Rd，并考虑有限水平BSDE系统（2.1）的扰动版本，即“Yi，ρ，vt=”Yi，ρ，vt+ZTt“Xk∈Iqik（e’Yk，ρ，vs-\'Yi，ρ，vs- 1) - ρ′Yi，ρ，vs+ρYm，ρ，v#ds+ZTtfi（Vvs，Zi，ρ，vs）ds-ZTt（Zi，ρ，vs）trdWs，（3.5）表示0≤ t型≤ T<∞, 我∈ I和v∈ Rd.根据Yi，ρ，v的马尔可夫性质（见[22]中的定理4.1），我们得到了带Yi，ρ（·）：=Yi，ρ（·）的‘Yi，ρ，vt=’Yi，ρ（Vvt）- ym，ρ（v）。注意，根据估计值（3.4），yi，ρ（·）在ρ中是均匀Lipschitz连续的，根据估计值（3.1），yi，ρ（v）=yi，ρ（v）-ym，ρ（v）在ρ中一致有界。反过来，我们推导出，对于v∈ Rd，| yi，ρ（v）|=| yi，ρ（v）- yi，ρ（v）+yi，ρ（v）- ym，ρ（v）|≤CvCη- Cv | v- v |+qminKf+CvCηCz（Cη- Cv）.（3.6）此外，（2.3）意味着|ρym，ρ（v）|≤ ρKy=Kf。

因此，通过标准对角线程序，存在一个序列，用{ρn}n表示≥1，对于Rd的稠密子集中的v，limρn→0ρnym，ρn（v）=λ，limρn→0'yi，ρn（v）=yi（v），对于某些λ∈ R和极限函数yi（v）。由于“yi，ρ（·）”在ρ中是一致的Lipschitz连续函数，因此极限函数yi（·）可以进一步扩展到为所有v定义的Lipschitz连续函数∈ Rd，即forv∈ Rd，limρn→0’yi，ρn（v）=yi（v）。因此，对于有限层位BSDE系统（3.5），它认为limρn→0’Yi，ρn，vt=Yi（Vvt）和limρn→0ρn？Yi，ρn，vt=0。因此，通过定义程序Yi，vt:=Yi（Vvt），表示t≥ 0，i∈ I和v∈ Rd，标准是表明（见[17]和[23]）存在一个极限函数zi（·），因此参考点m的选择没有什么特别之处。任何状态j∈ 我也会遵守这个目的。14 Ying Hu，Gechun Liang和Shanjian Tang认为Zi，ρn，v与Zi，v：=Zi（Vvt）重合∈ Lasρn→ 0，和（一、五、子、五）一∈一、 λ求解遍历BSDE系统（3.7）dYi，vt=-fi（Vvt、Zi、vt）dt-Xk公司∈Iqik（eYk，vt-Yi，vt- 1） dt+λdt+（Zi，vt）trdWt，对于t≥ 0，i∈ I和v∈ 本节的主要结果是erg odic BSDE系统解的存在性和唯一性（3.7）。显然，遍历BSDE（3.7）引入了多个（可能是非马尔可夫）解。考虑函数的唯一性比考虑过程的唯一性更为合理（见【23】中的备注4.7）。这解释了为什么我们在本文的其余部分只关注（3.7）的马尔可夫解。定理3.2。假设假设1-4满足。

然后，存在一个非唯一的马尔可夫解（（Yi，vt，Zi，vt）i∈一、 λ）=（（yi（Vvt），zi（Vvt））I∈一、 λ），t≥ 0，遍历BSDE系统（3.7），使得函数（yi（·），zi（·））满足| yi（v）|≤ Cy（1+| v |），（3.8）| zi（v）|≤ Kz=CvCη- Cv，（3.9）| yi（v）- yj（v）|≤qminKf+CvCηCz（Cη- Cv）,（3.10）对于某些常数Cy>0，其中所有其他常数在引理3.1中给出。函数yi（·）对于一个加性常数是唯一的，并且在不丧失一般性的情况下，它设置为yi（0）=0。证据我们已经证明了（3.7）的马尔可夫解的存在性。Theestimates（3.8）、（3.8）和（3.10）follow，from（3.6）、（2.3）and（3.1），by sendingρ→ 0。因此，仍需显示唯一性。其思想是将遍历BSDE系统（3.7）转换为一个由布朗运动驱动的标量值遍历BSDE系统，该运动由给定的马尔可夫链α驱动。在下一节介绍马尔可夫链α后，我们将这部分内容推迟到附录B。备注3。条件（3.8）-（3.10）对于（3.7）的马尔可夫解的唯一性至关重要。我们提供了不满足马尔可夫解的例子。假设d=m=1，η（v）=-v、 κ=1。然后，（3.7）降低到todYvt=-f（Vvt，Zvt）dt+λdt+ZvdWt，dVvt=-Vvtdt+DW和Vv=v。作为示例，我们考虑f（v，z）=ve-v/2。然后满足假设1-4。满足（3.8）-（3.10）的唯一马尔可夫解由（Yvt，Zvt，λ）=（y（Vvt），z（Vvt），0）和（y（v），z（v））给出=零电压-∞e-ydy，e-v.很容易检查两个三胞胎Zv[e-y- ey]dy，[e-v- ev]，0遍历BSDE系统15和兹维[e-y+N（y）- 1] dy，ev[e-v+N（v）- 1],√2π,其中N（x）：=√2πRx-∞e-ydy，也满足（3.7）。然而，它们都不满足条件（3.8）和（3.9）。作为第二个例子，我们考虑f（v，z）=v | e-v/2。