区域切换性能中的遍历BSDE系统

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英文标题：
《Systems of ergodic BSDEs arising in regime switching forward performance
  processes》
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作者：
Ying Hu, Gechun Liang, Shanjian Tang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We introduce and solve a new type of quadratic backward stochastic differential equation systems defined in an infinite time horizon, called \\emph{ergodic BSDE systems}. Such systems arise naturally as candidate solutions to characterize forward performance processes and their associated optimal trading strategies in a regime switching market. In addition, we develop a connection between the solution of the ergodic BSDE system and the long-term growth rate of classical utility maximization problems, and use the ergodic BSDE system to study the large time behavior of PDE systems with quadratic growth Hamiltonians.
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中文摘要：
我们引入并求解了一类定义在无限时间范围内的二次倒向随机微分方程组，称为emph{遍历BSDE系统}。此类系统自然会作为候选解决方案出现，以描述制度转换市场中的远期绩效过程及其相关的最优交易策略。此外，我们建立了遍历BSDE系统的解与经典效用最大化问题的长期增长率之间的联系，并利用遍历BSDE系统研究了具有二次增长哈密顿量的PDE系统的大时间行为。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Systems_of_ergodic_BSDEs_arising_in_regime_switching_forward_performance_processes.pdf (433.35 KB)

2022-6-10 05:51:11 上传

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关键词：BSDE SDE Mathematical Differential Hamiltonians

区域切换性能过程中的遍历BSDE系统*, 梁葛春+，汤善健摘要。我们引入并求解了一类在有限时间范围内定义的新型二次倒向随机微分方程系统，称为遍历BSDE系统。这类系统自然成为描述制度转换市场中远期绩效过程及其相关最优交易策略的候选解决方案。此外，我们建立了遍历BSDE系统的解与经典效用最大化问题的长期增长率之间的联系，并利用遍历BSDE系统研究了具有二次增长哈密顿量的PDES系统的大时间行为。关键词。有限视界BSDE系统、遍历BSDE系统、多维比较论、状态切换、前向性能过程、PDE系统的大时间行为。AMS科目分类。60H30、91G10、93E201。介绍本文介绍了一类在有限时间范围内的二次后向随机微分方程（简称BSDE）系统，称为遍历BSDE系统。这些系统出现在我们对制度转换市场中投资组合优化问题的正向绩效过程的解决方案中。我们表明，遍历BSDE系统是描述具有多种制度的金融市场中正向绩效过程和相关最优策略的自然候选。首先让我们回顾一下，有限水平BSDE通常采用（1.1）dYt=-F（t，Yt，Zt）dt+（Zt）trdWt，t≥ 其中F称为方程的驱动力，W是d维布朗运动，作为方程的驱动噪声。

与有限时间范围[0，T]的情况相反，有限时间范围BSDE（1.1）在所有时间范围内都是定义的，并且可能是不适定的，即使驱动程序F在Y和Z上都是Lipschitz连续的。它已在[8]中在驱动程序的严格单调条件下求解，典型的条件是readsF（T，Yt，Zt）=F（T，Zt）- ρYt，对于某些常数ρ>0。然后，如[8]所示，（1.1）承认了布朗过滤的唯一有界解（Y，Z），如果f是Lipschitz continuousin Z。如果f在Z中有二次增长，则在[6]中进行了进一步处理。注意，这里只考虑有界解，因为BSDE（1.1）的无界解通常不是唯一的。有界解内的约束*法国雷恩大学，法国北爱尔兰共和国大学，爱尔兰-UMR 6625，法国雷恩大学F-35000，复旦大学数学科学学院，中国上海200433。部分由LebesgueCenter of Mathematics“Investissments d\'avenir”program-ANR-11-LABX-0020-01、ANR CAESARS（批准号15-CE05-0024）和ANR MFG（批准号16-CE40-0015-01）提供支持。电子邮箱：ying。hu@univ-rennes1.fr+英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL，部分由皇家学会国际交易所支持（批准号170137）。电子邮件：g。liang@warwick.ac.uk复旦大学数学学院金融与控制科学系，上海200433。部分获得国家科学基金（资助号：11631004）和国家重点研发项目（资助号：2018YFA0703903）的资助。电子邮件：sjtang@fudan.edu.cn2Ying Hu、Gechun Liang和Shanjian Tang也有助于研究马尔可夫BSDE（1.1）及其渐近性质。

事实上，在f（t，Zt）=f（Vt，Zt）的马尔可夫框架中，V是潜在的正向扩散过程，解（Y，Z）允许对一些可测函数Y（·）和Z（·）使用马尔可夫表示（Yt，Zt）=（Y（Vt），Z（Vt）），并且在[23]和后面的[17]中已经显示，当ρ→ 0，BSDE（1.1）的有界马尔可夫解收敛于遍历BSDE（1.2）dYt=-（f（Vt，Zt）- λ） dt+（Zt）trdWt，t≥ 这里，常数λ构成（1.2）解的一部分，并且具有随机控制解释，作为遍历控制问题的值。遍历BSDE（1.2）已被广泛用于研究其单元对应解的大时间行为（例如，参见[27]和[16]）。遍历BSDE（1.2）和有限水平BSDE（1.1）都是描述投资组合优化问题中的前向绩效过程及其相关最优投资组合策略的自然候选对象。[38、39、40、41]引入并开发了Forwardperformance流程。它们补充了经典的预期效用范式，在该范式中，效用是在单个终端时间选择的决定函数。正如动态规划原理所产生的那样，值函数过程反过来又在时间上向后构造。因此，如果需要始终保持时间一致性，则将风险偏好更新、滚动原点、学习和其他现实的“本质上的向前”功能结合起来的灵活性有限。随着市场在（任意）交易范围内的发展，远期绩效流程缓解了其中的一些不足，并有助于构建一个真正的动态机制，以评估投资策略的绩效。

有关其开发和各种应用程序，请参见[24、32、42、43、47、48]。然而，由于相应（随机）偏微分方程的不适定性和退化性，（马尔可夫）正向性能过程的构造是困难的（见[21]）。[36]最近克服了这一困难，这表明可以通过（1.1）和（1.2）等方程的马尔可夫解有效地构建同位旋形式的马尔可夫正向性能过程es。它绕过了在相关SPDE中继承的许多上述困难。有关研究前熵风险度量方法的进一步发展，请参见【12】。本文的目的是将（1.1）和（1.2）从标量值推广到向量值方程，即方程组。相应的BSDE系统是由区域交换市场中马尔可夫远期绩效流程的构建推动的。由于不同市场制度通过agiven-Markov链的相互作用，马尔科夫前进绩效过程的相应有限期BSDE系统预计采用（1.3）dYit=-fi（Vt，Zit）dt-Xk公司∈Iqik（eYkt-Yit公司- 1） dt+（Zit）trdWt，用于t≥ 0和i∈ I：={1，2，…，m}，其中qikis是从m市场制度I到k的过渡率。（1.3）右侧的第二项将所有方程耦合在一起，并表示不同市场制度的相互作用。在[3]和[4]中也出现了一个类似的特征，作者在一个体制转换框架中研究了经典效用最大化，并导出了一个有限的视界BSDE系统。遍历BSDE系统3然而，与有限层位情况不同，有限层位BSDE系统（1.3）是不适定的。事实上，在一个单一制度的情况下，（1.3）然后减少到一个标量值dbsde，而严格的mo notone条件无法保持。

为了克服这一困难，我们修改了（1.3），在驱动因素中添加了一个折扣项ρYitin（见第2节中的（2.1）），这证明了严格单调性的作用。虽然这一额外的disc-ount术语使修改后的BSDE系统处于良好状态，但它扭曲了原始问题。因此，修改后的BSDE系统的解决方案将不再符合前面的性能流程。作为第一个贡献，我们通过有限水平BSDE系统（2.1）的渐近极限，即遍历BSDE系统（3.7），构造了马尔可夫区域切换性能过程es的同态形式（见定理4.2）。SDE系统（2.1）和（3.7）都是新的。它们是第一次用于描述系统正向切换性能过程的特征。特别是，我们表明，当存在单一模式时，我们对正向性能过程的表示将恢复[36]中出现的遍历B SDE表示。我们的第二个贡献是关于有限视界BSDE系统的可解性（2.1）。由于iver Fi博士的Zi呈二次增长，因此标准Lipschitz估计值不适用于我们的系统。相反，我们首先应用截断技术并推导出解的先验估计，然后证明trunca离子常数与先验估计中出现的常数一致。为此，我们对BSD系统的多维比较定理进行了广泛的应用，该定理在[29]中首次提出。这里的一个基本思想是使用辅助ODE的有界解（无t系统！）作为控制BSDE系统所有解决方案组件的通用绑定。然后，我们推导出er go dic BSDE系统（3.7）作为有限视界BSDE系统（2.1）的渐近极限。

这种遍历BSDE系统一方面表征了reg-ime前向切换性能过程，另一方面，也是文献[23]中介绍的遍历方程的自然扩展。这里的一个新特点是，所有方程分量都有一个共同的遍历常数λ作为解的一部分。与[23]类似，我们应用微扰技术构造遍历BSDE系统的近似解序列。然而，常用的Girsanov变换方法并不意味着解决方案的唯一性，因为每个方程组都有不同的概率测度。相反，我们通过首先将遍历BSDE系统（3.7）转换为由布朗运动和非齐次给定马尔可夫链驱动的标量值遍历BSDE，然后在布朗运动和马尔可夫链下使用Girsanov变换，来证明解的唯一性（见附录B）。我们的第三个贡献是关于遍历常数λ的随机控制表示（见命题4.4）。我们证明了它对应于制度转换框架下风险敏感优化问题的长期增长率。这反过来又与制度转换效用最大化问题的长期增长率有关。因此，我们的结果也揭示了在一个具有多种制度的市场中，远期绩效过程与经典预期效用之间的内在联系。我们的最后一个贡献是使用遍历BSDE系统（3.7）来研究一类具有二次增长Hamilr的PDE系统解的大时间行为。最近，我们还引入了一个基于非零和对策的遍历BSDE系统。然而，他们的体系结构与我们的不同。特别是，他们的系统没有与REM进行比较。4胡英、梁葛春和唐健年（见定理5.1）。

这些偏微分方程系统通常用于描述体制转换市场中金融衍生品的效用差异价格（见[3]和[4]）。我们证明了PDE系统的解将以指数速度收敛到遍历BSDE系统的解。据我们所知，这是PDE系统大时间行为的第一个收敛速度结果。转向有关四元BSDE（系统）的文献，现有结果中的大多数仅适用于有限的时间范围。具有有界终值数据的标量方程在【33】中首次求解，并用于解决【25】中的效用最大化问题。有关扩展，请参见[7、37、44]。无边界终端数据的情况更具挑战性，在[9、10、18]中得到了解决，[19]和[20]进一步显示了解决方案的唯一性。其应用可在[2]和[26]中找到。最近，由于二次BSDE系统在均衡问题、价格影响模型和非零和博弈中的各种应用，人们对相应的二次BSDE系统重新产生了兴趣（例如，参见[11、30、31、34、35、45]，其中有更多参考文献）。尽管有上述所有结果，我们的论文似乎是第一次在有限的时间范围内引入和求解二次BSDE系统。本文的组织结构如下。第2节介绍了一个具有二次增长驱动力的有限水平BSDE系统。第三节研究了它的渐近极限，并将其引向一个e rgodic BSDE系统。第4节应用遍历BSDE系统在制度转换市场中构建马尔可夫远期绩效过程。第5节应用遍历BSDE系统来研究PDES系统的大时间行为。第6节结束。为了方便起见，我们还在附录中提供了多维比较定理的证明。2、有限水平二次BSDE系统。

设W是概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 P）。用F=（Ft）t表示≥0 W产生的强化过滤。在本文中，我们用矩阵A的传输表示。考虑有限层位BSDE系统：对于≥ 0安迪∈ I：={1，2，…，m}，（2.1）dYit=-fi（Vt，Zit）dt-Xk公司∈Iqik（eYkt-Yit公司- 1） dt+ρYitdt+（Zit）trdWt。通过对（2.1）的解析，我们指的是一对适应过程（Yi，Zi）i∈在任意时间范围内实现（2.1）。为了解决（2.1），我们对fi施加以下假设。假设1。有三个常数Cv，Cz和Kf，对于i，k∈ I和v、v、z、z∈ Rd，（i）| fi（v，z）- fi（(R)v，z）|≤ Cv（1+| z |）| v- \'\'v |；（ii）| fi（v，z）- fi（v，’z）|≤ Cz（1+| z |+| z |）| z- “z”；（iii）| fi（v，0）|≤ Kf。假设1（ii）意味着fi（v，z）在z上具有二次增长。因此，我们面临的是一个在有限时间范围内定义的定量BSDE系统。系统通过系数qik、i、k耦合∈ 一、 满足消费2。方阵Q：={qik}i，k∈一个满足（i）Pk的转移率矩阵∈Iqik=0；（二）qik≥ 0表示i 6=k。设qmax为m最大传递率，即qmax=maxi，kqik。最终水平BSDE系统（2.1）与满足假设3的前向差异过程相结合。潜在的d维正向扩散过程是由均值回复SDE（2.2）dVt=η（Vt）dt+κdWt的解所驱动的遍历BSDE系统，其中漂移系数η（·）满足耗散条件，即存在常数Cη>cv，使得对于V，(R)V∈ Rd，（η（v）- η（(R)v））tr（v- (R)v）≤ -Cη| v- \'\'v |。此外，波动率矩阵κ∈ Rd×dis正定义，并归一化为|κ|=1。本节的主要结果是（2.1）的解的存在性和唯一性。定理2.1。满足假设1、2和3。

然后，存在s个唯一有界解（Yi，Zi）i∈Ito最终水平BSDE系统（2.1）满足（2.3）| Yit |≤ Ky:=Kfρ和| Zit |≤ Kz：=CvCη- Cv。备注1。正如引言中所解释的，我们将讨论限制在BSDE（2.1）的边界解决方案上。这是为了（i）其适应解决方案的唯一性；（ii）讨论其马尔可夫解决方案；（iii）讨论（2.1）的解在时间范围内的渐近行为。本节其余部分将介绍定理2.1.2.1的证明。校样草图。为了构造（2.1）的解，我们遵循截断过程和稳定性分析。为此，我们首先定义了两个截断函数p:R→ R和q：Rd→ Rdby（2.4）p（y）：=最大值{- Ky，min{y，Ky}}和q（z）：=min{z}，Kz}z}z1{z6=0}。我们考虑（2.1）的截断系统，即，（2.5）dYit=-fi（Vt，q（Zit））dt-Xk公司∈Iqik（ep（Ykt）-p（Yit）- 1） dt+ρYitdt+（Zit）trdWt，对于t≥ 0和i∈ 一、 假设1（I）和（ii）意味着函数fi（·，q（·））是Lipschitz连续的，即（2.6）| fi（v，q（z））- fi（(R)v，q（z）|≤CηCvCη- Cv | v- \'v |，和（2.7）| fi（v，q（z））- fi（v，q（(R)z）|≤ CzCη+CvCη- Cv | z- \'\'z |。还需要立即验证PK∈Iqik（ep（yk）-p（彝语）-1)-ρyi是连续的，除了有限的多个点外，还有有界导数。因此，截断系统（2.5）的驱动程序是Lipschitz连续的。6此外，我们可以证明（2.5）接受一个解，比如（Yi，Zi）i∈一、 带| Yit |≤ 基兰|兹特|≤ Kz，然后p（Yit）=Yit，q（Zit）=Zit，对于t≥ 0和i∈ 一、 Inturn，一对过程e s（Yi，Zi）I∈我还解决了原始的有限地平线BSDE系统（2.1）。接下来，我们通过近似过程构造（2.5）的解。