区域切换性能中的遍历BSDE系统

满足（3.8）-（3.10）的唯一马尔可夫解由三元组（y（·）、z（·）给出，√2π）y（v）=χ{v≥0}Zvey[e-y+N（y）- 1] dy+χ{v<0}Zvey[-e-y+N（y）]dy；z（v）=χ{v≥0}ev[e-v+N（v）- 1] +χ{v<0}ev[-e-v+N（v）]。然而，很容易检查三元组（\'y（·），\'z（·），0）与\'y（v）=χ{v≥0}Zv（e-y- ey）dy- χ{v<0}Zve-ydy；\'\'z（v）=χ{v≥0}（e-v- 电动汽车）- χ{v<0}e-v、 也满足（3.7），但未能满足条件（3.8）和（3.9）。4、注册前向性能流程的应用。让(Ohm, F、 F，P）是第2节中介绍的过滤概率空间。假设概率空间也支持马尔可夫链α及其增强过滤H={Ht}t≥0与布朗过滤F无关。马尔可夫链α表示假设2中规定的转移率矩阵Q，并允许表示αt=Xk，k′∈I（k- k′）χ{αt-=k′}dNk′kt，其中（Nk′k）k′，k∈i强度为qk′k的独立泊松过程（见[5]第9.1.2章）。设T=0，T，T。是Markovchainα和（αj）j的跳跃时间≥1表示α在时间间隔内位置的HTj可测量随机变量序列-1，Tj）。因此，αt=Pj≥1αj-1χ[Tj-1，Tj）（t）。在不丧失一般性的情况下，假设tα=i∈ 一、 表示由F和H a s G={Gt}t生成的最小过滤≥0，即Gt=Ft∨ Ht。我们考虑一个由零利率无风险债券和n项风险资产组成的市场，其中n项≤ d、 n项风险资产的价格由马尔可夫链α和d维随机因子过程V驱动，满足假设3。每个州i∈ 马尔可夫链α的I表示一个市场机制，在regimei中，t时风险的相应市场价格为θI（Vt）。n维价格过程S=（S。

，Sn）t风险资产如下（4.1）dSt=诊断（St）σ（Vt）（θαt-（Vt）dt+dWt），其中σ（Vt）∈ Rn×d+是时间t风险资产的波动矩阵，diag（St）={diag（St）kj}1≤k、 j≤n、 对于k 6=j，diag（St）kk=sk，diag（St）kj=0，表示时间t时风险资产的价格。假设5。n项风险资产的市场系数满足16 Ying Hu、Gechun Liang和Shanjian Tang（i）σ（v）一致有界于v∈ Rdand具有满秩n；（ii）对于i∈ 一、 θI（v）在v中一致有界且Lipschitz连续∈ Rd.备注4。当n<d时，金融市场是不完整的。以下制度转换随机波动率模型的一个典型例子是n=1和d=2 dst=Stσ（Vt）（θαt-（Vt）dt+dWt），dVt=η（Vt）dt+κdWt。这里，函数σ（·）取二维行向量空间中的值，所有这些值+1个函数θi（·），i∈ 一、 η（·）取二维列向量空间中的值，常数矩阵κ∈ R2×2为正定义，归一化为|κ|=1.4.1。交易策略。在这种市场环境下，投资者在无风险债券和风险资产之间进行动态交易。设▄π=（▄π，…，▄πn）tr表示她在风险资产中的财富比例（通过债券贴现）。它们被视为是自我融资的，因此（通过债券贴现）财富过程满足dxt（～π）=Xt（～π）～πtrtσ（Vt）（θαt-（Vt）dt+dWt）。正如在[36]中所述，我们使用波动率矩阵重新调整的交易策略，即πtrt：=πtrtσ（Vt）。然后，制度i中的财富过程满足（4.2）dXt（π）=Xt（π）πtrt（θαt-（Vt）dt+dWt）。对于任何t≥ 0，我们用AG[0，t]表示[0，t]中允许的交易策略集，定义为AG[0，t]：=πs=πiχ{0}（s）+Xj≥1παj-1sχ（Tj-1，Tj]（s），s∈ [0，t]：πjs∈ πj，πjis F-pr可测量和zt |πjs | ds<∞, P-a.s。,式中∏j，j∈ 一、 是Rd中的闭和共凸子集。

因此∏J为投资者的跨越式约束建模，投资者将根据不同的市场制度调整其交易约束集。对于0≤ t型≤ s、 集合AG【t，s】以类似的方式定义，所有t≥ 0依次定义为AG=∪t型≥0AG[0，t]。对于备注4中的制度转换随机波动率模型，j的交易约束集∏jis∏j=R×{0}的一个典型选择∈ 一、 4.2。制度转换绩效流程。投资者使用远期标准来衡量其可接受交易策略的绩效。我们介绍了与该市场相关的政权切换绩效流程的定义。定义4.1。

一类随机过程Ui（x，t）我∈一、 对于（x，t）∈ 如果满足以下条件，则R+，是一个状态切换前向性能过程：（i）对于每个i∈ I和x∈ R+，t 7→ Ui（x，t）是F-逐步可测量的；（ii）对于每个i∈ I和t≥ 0，映射x 7→ Ui（x，t）严格递增且严格凹；遍历BSDEs系统17（iii）定义了过程（4.3）U（x，t）：=Xj≥1Uαj-1（x，t）χ[Tj-1，Tj）（t）。那么，对于所有π∈ AGand 0≤ t型≤ s、 （4.4）U（Xt（π），t）≥ E[U（Xs（π），s）| Gt]，存在一个最优π*∈ Ag使得（4.5）U（Xt（π*), t） =E[U（Xs（π*), s）| Gt]，带X（π），X（π*) 求解（4.2）。上述（超）鞅条件（4.4）和（4.5）可以重述如下：≥ 1.关于{Tj-1.≤ t<Tj}，U（x，t）=Uαj-1（x，t）=ess supπ∈AG[t，s]EhUαj-1（Xs（π），s）χ{s<Tj}+Uαj（XTj（π），Tj）χ{s≥Tj}Ft，Xt=xi，在{t=Tj}上，U（x，t）与sizeU（x，Tj）有一个跳跃- U（x，Tj-) = Uαj（x，Tj）- Uαj-1（x，Tj-).因此，我们有以下U（x，t）的分解公式（回想一下α=i）：U（x，t）=U（x，0）+Xj≥1[U（x，t∧ Tj公司-) - U（x，t∧ Tj公司-1） ]+Xj≥1[U（x，t∧ Tj）- U（x，t∧ Tj公司-)]= Ui（x，0）+Xj≥1hUαj-1（x，t∧ Tj公司-) - Uαj-1（x，t∧ Tj公司-1） i+Xj≥1hUαj（x，Tj）- Uαj-1（x，Tj-)iχ{Tj≤t} 。（4.6）（4.6）右侧的第一个和是U（x，t）的连续分量，而第二个和是U（x，t）的跳跃分量。在这里，我们关注的是马尔可夫机制以功率形式向前切换的性能过程，即是随机因子过程V的确定性函数的过程，Ui（x，t）=xδδeKi（Vt，t）表示δ∈ （0，1）和适当的函数Ki:Rd×R+→ R、 18胡英、梁葛春和唐善健4.3。通过遍历BSDE系统表示。现在，我们通过第3节中介绍的遍历BSDEsystem（3.7）来描述马尔可夫区切换性能过程。

对于i∈ I和（v，z）∈ Rd×Rd，我们考虑驱动器（4.7）fi（v，z）=δ（δ- 1） dist公司π，z+θi（v）1- δ+δ2(1 - δ） | z+θi（v）|+| z |。很容易检查财务是否符合假设1。然后，根据定理3.2，er-go-dicBSDE系统（3.7）允许一个唯一的马尔可夫解（一、子）一∈一、 λ满足（3.8）、（3.9）和（3.10）。定理4.2。假设假设1-5满足。让（（Yit，Zit）i∈一、 λ）=（（yi（Vvt），zi（Vvt））I∈一、 λ），t≥ 0是遍历BSDE系统（3.7）的唯一马尔可夫解，驱动程序FIA在（4.7）中，满足（3.8）、（3.9）和（3.10）。然后，（4.8）Ui（x，t）=xδδeYit-λt=xΔδeyi（Vvt）-λt，i∈ 一、 形成马尔可夫区切换前向性能过程，在每个区中，（4.9）πI，*t=项目∏iZit+θi（Vt）1- δ是该机制中相关的最优交易策略。备注5。有界条件（3.9）和（3.10）对于验证U（x，t）（见第4.4节第3步）的（超）鞅条件至关重要，而线性增长条件（3.8）用于连接前向性能过程和经典效用最大化（见命题4.4）。在第三部分中，如果只有一个区域，即m=1，则遍历BSD系统（3.7）减少到todYt=-f（Vt，Zt）dt+λdt+（Zt）trdWt。在这种情况下，马尔可夫正向性能过程具有表示u（x，t）=xδeYt-λt=xΔδey（Vvt）-λt，这正是在[36，定理3.2]中建立的表示公式。为了证明定理4.2，我们需要马尔可夫链α的^o公式。我们在下面的引理中进行了重新校准，该引理将在pap e r的其余部分中经常使用。它的证明是[5]和[46]的直接扩展，因此在此省略。引理4.3。对于i∈ 一、 let Fit，t≥ 0，是一类F-逐步可测连续随机过程。

然后，Xj≥1hFαTjTj- FαTj-Tj公司-iχ{Tj≤t} =ZtXk∈Iqαs-k[Fks- Fαs-s] ds+ZtXk，k′∈I[Fks- Fk′s]χ{αs-=k′}d▄Nk′ks，其中▄Nk′kt=Nk′kt-qk′kt，t≥ 0，是过滤G=F下的补偿泊松鞅∨ H、 遍历BSDEs系统194.4。定理4.2的证明。我们将证明分为三个步骤。前两个步骤从局部和全局两个方面推导出了制度切换绩效过程的随机动力学。最后一步验证定义4.1中的超级（鞅）条件。第1步。对于t≥ 0和i∈ 一、 让“Yit：=Yit”- λt.然后，在每个时间间隔内[Tj-1，Tj），我们有U（x，t）=Uαj-1（x，t）=xΔδe'Yαj-1吨。另一方面，对于t∈ （Tj-1，Tj]，注意任何可接受的交易策略π∈ Ag的形式为πt=παj-1t，带παj-1逐步可测量。Inturn，应用It^o公式并使用方程（2.1）和（4.2），我们得到（XTj-（π） ）Δδe'Yαj-1Tj--（XTj-1（π））Δδe'Yαj-1Tj-1=ZTjTj-1（Xs（π））Δδe'Yαj-1shfαj-1（Vs，Zαj-1s；παj-1s）- fαj-1（Vs，Zαj-1s）ids+ZTjTj-1（Xs（π））Δδe'Yαj-1sXk∈Iqαj-1公里1.- 电子邮箱-\'\'Yαj-1秒ds+ZTjTj-1（Xs（π））Δδe'Yαj-1秒Δπαj-1s+Zαj-1秒trdWs，（4.10），其中（4.11）fi（v，z；π）：=δ（δ- 1） |π|+Δπtrθi（v）+Δπtrz+| z |，对于i∈ I和（v，z，π）∈ Rd×Rd×Rd.步骤2。那么，对于t≥ 0和π∈ AG，即。

πt=πi+Pj≥1παj-1tχ（Tj-1，Tj]（t），使用分解公式（4.6），我们进一步得到（Xt（π））Δδe'Yαtt-xΔδe'Yi=Xj≥1英寸∧Tj公司-（π） ）Δδe'Yαj-1吨∧Tj公司--（Xt）∧Tj公司-1（π））Δδe'Yαj-1吨∧Tj公司-1#+Xj≥1“（XTj（π））Δδe'YαjTj-（XTj-（π） ）Δδe'Yαj-1Tj-#χ{Tj≤t} =（I）+（II）。对于连续分量（I），使用（4.10）和αs-= αj-1，πs=παj-1s，用于s∈ （t∧ Tj公司-1，t∧ 我们推导出（I）=Zt（Xs（π））Δδe'Yαs-s[fαs-（Vs，Zαs-sπs）- fαs-（Vs，Zαs-s） ]ds+Zt（Xs（π））Δδe'Yαs-sXk公司∈Iqαs-kh1- 电子邮箱-\'Yαs-sids+Zt（Xs（π））Δδe'Yαs-s（Δπs+Zαs-s） trdWs。（4.12）20 Ying Hu、Gechun Liang和Shanjian Tang对于跳跃成分（II），利用引理4.3，我们推导出（II）=Zt（Xs（π））Δδe′Yαs-sXk，k′∈Ihe？Yks公司-“Yk”- 1iχ{αs-=k′}dNk′ks+Zt（Xs（π））Δδe′Yαs-sXk公司∈Iqαs-khe？Yks公司-\'Yαs-s- 1ID。（4.13）然后是fr om（4.12）和（4.13）that（Xt（π））Δδe'Yαtt-xδe'Yi=Zt（Xs（π））δe'Yαs-s[fαs-（Vs，Zαs-sπs）- fαs-（Vs，Zαs-s） ]ds+Zt（Xs（π））Δδe'Yαs-s（Δπs+Zαs-s） trdWs+Zt（Xs（π））Δδe'Yαs-sXk，k′∈Ihe？Yks公司-“Yk”- 1iχ{αs-=k′}dNk′ks。依次，（Xt（π））Δδe'Yαtt=xΔδeYi×eRtfαs-（Vs，Zαs-sπs）-fαs-（Vs，Zαs-s） ds×EtZ·（Δπs+Zαs-s） trdWs公司×EtZ·Xk，k′∈IheYks公司-Yk’s公司- 1iχ{αs-=k′}dNk′ks,（4.14）对于任何π∈ AG，其中E（·）表示Dol’eans Dade随机指数。第3步。我们验证定义4.1中的条件。很明显，（i）和（ii）是成立的，因此我们只验证（iii）中的超级（马丁格尔）条件。由（4.7）和（4.11）可知，fαs-（Vs，Zαs-sπs）- fαs-（Vs，Zαs-s）≤ 0，对于任意π∈ 股份公司。所以过程（Xt（π））Δδe'Yαtt，t≥ 0是局部超鞅（见（4.14））。接下来，我们验证（4.14）右侧的第二个随机指数是非负有界G鞅。

事实上，定义ηk′ks：=他-“Yk”- 1iχ{αs-=k′}=heYks-Yk’s公司- 1iχ{αs-=k′}，s≥ 0.依次，EtZ·Xk，k′∈IheYks公司-Yk’s公司- 1iχ{αs-=k′}dNk′ks=Yk，k′∈IEt公司Z·ηk′ks（dNk′ks- qk′kds）=Yk，k′∈Ie-Rtηk′ksqk′kdsY0<s≤t（1+ηk′ksNk′ks）。遍历BSDE系统21定理3.2中的估计（3.10）意味着任何两个分量的差和Yk′有界：（4.15）| Yks- Yk’s |≤qminKf+CvCηCz（Cη- Cv）,soηk′kis有界。自1+ηk′ks起Nk′ks≥ 0，则ER·Pk，k′∈Iηk′ksdNk′ks是一个非负有界的G-ma鞅。反过来，（Xt（π））Δδe'Yαtt，t≥ 0是非负局部超鞅，所以它是任意π的超鞅∈ AG和supermartingale条件（4.4）已经过验证。最后，请注意*s=项目∏αs-Zαs-s+θαs-（Vs）1-δ, 我们有fαs-（Vs，Zαs-sπ*s）- fαs-（Vs，Zαs-s） =0。定理3.2中的估计（3.9）意味着zi是有界的，因此最优交易策略π*也有界，因此π*∈ 股份公司。注意R·（Δπi，*s+Zis）trdWsis是一个F-BMO鞅。反过来，ER·（Δπ*s+Zαs-s） trdWs公司是一致可积鞅。另一方面，我们已经证明了ER·Pk，k′∈Iηk′ksdNk′ks是一个非负有界G鞅。因此，我们很容易从（4.14）中得出（Xt（π*))Δδe'Yαtt，t≥ 0.4.5. 与经典效用最大化的联系。我们对马尔可夫转发性能过程（4.8）表示中出现的常数λ进行了解释，作为以下风险敏感控制问题（4.16）的解决方案。结果表明，常数λ也是效用最大化问题m的最佳长期增长率（见下文（4.17））。为此，我们需要将允许的se t AG缩小到以下定义：\'AG[0，t]=π ∈ AG[0，t]：Z·（πjs）trdWsis是一个F-BMO鞅。让'AG=∪t型≥0？AG【0，t】。注意，对于π*在（4.9）中给出，因为它是有界的，所以我们也有π*∈“”股份公司 股份公司。提案4.4。

设T>0和π∈“”股份公司。定义概率度量PπasdPπdP：=ETZ·ΔπtrudWu,成本函数li（v；π）：=δ（δ- 1） |π|+Δπtrθi（v），对于i∈ I和（v，z）∈ Rd×Rd.Let（一、子）一∈一、 λ是遍历BSDE系统（3.7）的唯一马尔可夫解，驱动程序FIA在（4.7）中，并满足（3.8）、（3.9）和（3.10）。那么，λ是风险敏感控制问题（4.16）的长期增长率λ=supπ∈？AGlim支持↑∞Tln EPπheRTLαs-（Vs，πs）dsi，22 Ying Hu，Gechun Liang和Shanjian Tangor，或者，（4.17）λ=supπ∈？AGlim支持↑∞Tln E公司（XT（π））Δδ.对于这两个问题（4.16）和（4.17），每个区域中的相关最优控制为iπi，*如（4.9）所示。证据

我们首先发现驱动程序fiin（4.7）可以写成fi（v，z）=supπ∈ΠLi（v，π）+ztrΔπ+|z |。因此，对于任意容许^π，我们将It^o公式应用于[Tj]上的遍历BSD系统（3.7）-1，Tj），并获得αj-1Tj-- eYαj-1Tj-1=ZTjTj-1eYαj-1s“- supπαj-1秒∈ΠLαj-1（Vs，παj-1s）+（Zαj-1s）trδπαj-1秒+ （Zαj-1s）trδИπαj-1s#ds+ZTjTj-1eYαj-1s“λ-Xk公司∈Iqαj-1k（eYks-Yαj-1秒- 1） #ds+ZTjTj-1eYαj-1s（Zαj-1s）tr（dWs- δ￠παj-1sds）。通常，我们将eYαtti分解为连续和跳跃分量aseYαtti- eYi=Xj≥1.eYαj-1吨∧Tj公司-- eYαj-1吨∧Tj公司-1.+Xj公司≥1.eYαjTj- eYαj-1Tj-χ{Tj≤T}=（I）+（II）。根据事实，αs-= αj-1，πs=παj-1与▄πs=▄παj-1福斯∈ （T∧ Tj公司-1，T∧ （I）具有表达式（I）=ZTeYαs-s- supπs∈ΠLαs-（Vs，πs）+（Zαs-s） trΔπs+ （Zαs-s） trδИπs+λds公司-ZTeYαs-sXk公司∈Iqαs-k（eYks-Yαs-s- 1） ds+ZTeYαs-s（Zαs-s） tr（dWs- δ￠πsds）。（4.18）此外，从Le mma 4.3可以看出，（II）具有表达式（II）=ZTeYαs-sXk，k′∈我埃克斯-Yk’s公司- 1.χ{αs-=k′}dNk′ks+ZTeYαs-sXk公司∈Iqαs-k埃克斯-Yαs-s- 1.ds。（4.19）遍历BSDE系统23因此，结合（4.18）和（4.19），我们得到了αTT- eYi=ZTeYαs-s- supπs∈ΠLαs-（Vs，πs）+（Zαs-s） trΔπs+ （Zαs-s） trδИπs+λds+ZTeYαs-s（Zαs-s） trdWP∏s+ZTeYαs-sXk，k′∈我埃克斯-Yk’s公司- 1.χ{αs-=k′}d▄Nk′ks，其中过程WP▄πt：=Wt-RtδИπudu，t≥ 0是P∏下的布朗运动。Inturn，eYαTT=eYi+λTETZ·（Zαs-s） trdWP￠πsET公司Xk，k′∈我埃克斯-Yk’s公司- 1.χ{αs-=k′}dNk′ks×e-RTLαs-（Vs，|πs）ds×eRT[（Lαs-（Vs，|πs）+（Zαs-s） trδИπs）-supπs∈π（Lαs-（Vs，πs）+（Zαs-s） trΔπs）]ds。接下来，我们观察到对于任何∧π∈\'AG，右侧的最后一个指数项以1为界。