日内电力市场的最优投资组合

通过使用软件对上述表达式进行精确积分（我们使用MathematicaTM），并在积分中插入估计参数，我们得到=b（t）0.0139- 6.7233·F1, 1.5406; 2.5406; -2.7412π*,其中f（a，b；c；z）是超几何函数。此显式公式说明了价格s相对于最优策略‘∏的值*. 逆关系s 7→ π*可以用数字计算。正如已经观察到的，如果我们对绘制上述函数感兴趣，我们需要为漂移b（t）设置一个值，而漂移b（t）不是从【10】中的分析中一致可计算的。阿奎克对最后一个表达的研究得出以下结论。20 MARCO Piccirillil和TIZIANO VARGIOLUProposition 5.1。让我们回顾一下跳跃测量平均值uL=ZRyν（dy）=ηZRy f（y）dy=ηuf的定义，其中uFis是每个t∈ [0，T]，如果价格方程（5.1）中的漂移b（T）为非正，则‘∏*（t，s）≡ 0表示任何s∈ R+。此外，如果漂移b（t）大于或等于t的ulf∈ [0，T]，然后是π*（t，s）≡ anys的最大∏≤ s*（t，max∏），其中s*（t，·）表示∏的反函数*（t，·）（在其可逆范围内）。证据一方面，策略的容许值属于∏，它是∏的任何紧子集=[0+∞) 包含0。另一方面，通过构造，价格s只能取正值（请记住，L是从属项）。在（5.2）中，函数“π”*7.→ ηR∞z'π*y1+(R)π*yf（y）Dy在正实线上增加，并保持很小的‘∏*→0ηZ∞z'π*y1+(R)π*yf（y）dy=0，lim'π*→+∞ηZ∞z'π*y1+(R)π*yf（y）dy=uL>0。因此，（5.2）中的一阶条件不适用于s和π的容许值*每当b（t）≤ 0正弦=λb（t）- η·Z∞z'π*y1+(R)π*yf（y）dy< 这意味着（3.5）中的最大值在∏的边界处达到，更准确地说，当∏时*= 最小∏=0（参见命题3.6）。

案例b（t）≥ ul可以用完全相同的理由来证明。现在，我们从（4.1）中写出第一个近似策略：’π*（t，s）=（b（t）-λsσL，如果'π*（t，s）∈ π，0，如果为π*（t，s）6∈ π，直接计算得出σL=RMmyν（dy）=η·R∞zyf（y）dy=η·0.6254=0.0971。观察，为了使条件'π*（t，s）∈ πh olds，b（t）必须是非负的。选择了b∏=[0]的任何∏紧子集+∞) 对于任何t，包含[0，b（t）σL]∈ [0，T]，该读数为'π*（t，s）=（λσL·b（t）λ- s, 如果0≤ s≤b（t）λ，0，如果s>b（t）λ。最后，从（4.8）中，我们得到了最优策略的第二个近似值：(R)π*（t，s）=(-ηuLb（t）-λsb（t）-λs-uL，如果0≤ s≤b（t）λ，0，如果s>b（t）λ，仍然满足∏的条件*（t，s）∈ π（参见命题5.1）。现在，我们绘制不同的策略：精确策略和两种近似策略。根据建议5.1，我们对漂移b=150、80、50、20%uL的以下值进行计算。通过这种方式，我们可以了解它们在最具代表性的情况下的行为（见图1）。日内电力市场中的最优投资组合212 4 6 8 10 12 14价格S12345标准化策略π（a）b=1uL的50%。2 3 4 5 6价格S1234567标准化策略π（b）b=80uL。2 3 4 5价格s0.51.01.5标准化策略π（c）b=50uL.0.5 1.0 1.52 3.0便士s0.100.3归一化策略π（d）b=uL的20%。图1。蓝线：（精确值）(R)π*, 橙色线：(R)π*, r ed线：(R)π*.提醒如果s≥bλ，然后是π*, π*和‘∏*都等于0。

我们从数值结果中观察到以下事实：（1）策略之间的顺序：‘∏*≤ π*≤ π*持有。（2） 当b接近（并超过）uL时，第二个近似值|π*变得更好了，untilit几乎无法与精确的策略区分开来，而如果b接近0，则第一个应用程序近似值∏之间的（相当大的）误差*精确值减小。在这两种情况下，两种近似值的sh-apes与∏的sh-apes相似*. 例如，在后一种情况下，最优策略会出现，看起来像是一条s线。（3） 坏的性能为'π*可以从以下事实进行解释，即其不满足提案4.1中的估算要求。这是因为【10】估计的帕累托定律的参数α=2.5406<3，这意味着它允许有限的二阶矩，但不允许有限的三阶矩（见命题4.1的假设）。此外，这种近似对于具有小跳跃的过程来说是很自然的，其中第二个跳跃，即‘π’*, 与一般跳跃过程更为一致，因为它是围绕跳跃测量平均值uL构建的。特别有趣的是，一个经济上有意义的量，如默顿比，我们将其转化为‘∏’*（见方程式4.1），其性能通常比泰勒近似差得多。22马可·皮奇里利（MARCO Piccirillil）和蒂齐亚诺·瓦吉奥卢（TIZIANO VARGIOLU）（4），正如我们已经提到的，基本上是相同的近似值‘∏*在【41】中进行了数值研究。作者发现，它对三种流行的价格模型都很有效。与我们的设置不同，这甚至可以解释为什么我们观察到如此不令人满意的性能，是因为它们是在指数加性模型的背景下，而我们的价格动态纯粹是加性和均值回复。附录A.以下引理是命题3.11的辅助结果。

让我们回顾一下S=St，sis描述的比亚迪（u）=（b（u）- λS（u））du+ψ（u）ZRyN（dy，du），u∈ （t，t），S（t）=S，并且可以根据S（u）=se显式写入-λ（u-t） +Zute-λ（u-v） b（v）dv+ZutZRe-λ（u-v） ψ（v）yN（dy，dv）。此外，命题3.11中PIDE的候选解定义为g（t，s）=EZTtf公司*（u，St，s（u））du. （A.1）引理A.1。对于所有t∈ [0，T]和s∈ R、 它认为ZTt | St，s（u）| du< ∞.证据对于u∈ 我们有|St，s（u）|≤ |s | e-λ（u-（t）+祖特-λ（u-v） b（v）dv+E祖策尔-λ（u-v） ψ（v）yN（dy，dv）自从E祖策尔-λ（u-v） ψ（v）yN（dy，dv）≤ E“祖策尔-λ（u-v） ψ（v）yN（dy，dv）#=祖策尔-2λ（u-v） ψ（v）yν（dy）dv≤ ψZRyν（dy）1.- e-2λ（u-t） 2λ！和祖特-λ（u-v） b（v）dv≤祖特-λ（u-v） | b（v）| dv≤ C1类- e-λ（u-t） λ！我们发现这一点|St，s（u）|du<∞.我们以托内利定理作为结论。引理A.2。函数G:[0，T]×R→ 方程式（A.1）中的R定义良好。特别是，EZTt | f*（u，St，s（u））| du< ∞.日内电力市场的最优投资组合23Proof。只需在| G（t，s）|处观察th≤ EZTt | f*（u，St，s（u））| du≤ C1+EZTt | St，s（u）| du,这是引理A.1的定义。引理A.3。函数G:[0，T]×R→ （A.1）中定义的R在任何固定的时间变量中都是连续的∈ R和s在任何固定时间t内连续可微∈ [0，T）有界导数。具体而言，sG（t，s）=E-ZTtλe-λ（u-t） \'\'π*（u，St，s（u））du.此外sG（t，s）在变量s中是Lipschitz连续的，在t中是一致的∈ [0，T]。证据对于连续性，请注意G（t+h，s）- G（t，s）=EZTt+hf*（u，St+h，s（u））du- EZTtf公司*（u，St，s（u））du= EZTt+h[f*（u、St+h、s（u））- f*（u，St，s（u））]du- EZt+htf*（u，St，s（u））du.当h趋于零时，第二项根据支配收敛定理消失（参见引理A.2）。

第一学期，观察ZTT+hEh | f*（u、St+h、s（u））- f*（u，St，s（u））| idu≤ LZTt+hEh | St+h，s（u）- St，s（u）| idu。因此，E[| St+h，s（u）- St，s（u）|]≤ E[（St+h，s（u）- St，s（u））]≤ 3se-2λ（u-t） （eλh- 1)+ 3Zt+hte-λ（u-v） b（v）dv+ 3.ZRyν（dy）Zt+hte-2λ（u-v） ψ（v）dv,这是u的Lebesgue可积∈ [t，t]并在h趋于零时接近零。然后，利用支配收敛定理，认为ztt+hEh | St+h，s（u）- St，s（u）| iduvanishes和G（·，s）是连续的。为了证明可微性，我们在积分符号下应用了关于可微性的经典定理。首先，定义（t，s）：=ZTtf*（u，St，s（u））du。自f起*（u，St，s（u））对于每个u w连续可微分，其偏导数由可积函数控制：旧金山*（u，St，s（u））=-λe-λ（u-t） \'\'π*（t、St、s（u））≤ C、e-λ（u-t） ，我们有sF（t，s）=-λZTte-λ（u-t） \'\'π*（t，St，s（u））du。24 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO Vargiolu使用相同的论点，因为g（t，s）=E[F（t，s）]，其中F（t，s）与占优导数不同，我们得到了这个陈述。修复t∈ [0，T]。自从sG（t，s）=E-ZTtλe-λ（u-t） \'\'π*（u，St，s（u））du和‘∏*（t，·）是均匀Lipschitz连续的（参见命题3.6），我们有|sG（t、s+h）- sG（t，s）|=EZTtλe-λ（u-t） （(R)π）*（u、St、s+h（u））- π*（u、St、s（u）））du≤EZTtλe-λ（u-t）π*（u、St、s+h（u））- π*（u、St、s（u））杜邦≤L E公司ZTtλe-λ（u-t）St、s+h（u）- St，s（u）杜邦=C | h|ZTtλe-2λ（u-t） 杜邦=C | h |，其中C是一个常数，仅取决于T，λ和∏的Lipschitz常数L*（u，·）（独立于u）。引理A.4。对于每个人来说∈ R、 t型∈ [0，T）且h>0，则认为zt+htZREt，shG（t+h，S（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））iν（dy）duandZt+htZREt，s[| G（t+h，s（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y |]ν（dy）duare finite。证据

对于第一学期，有必要观察thatEt，shG（t+h，S（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））我≤ supz公司∈RGs（t+h，z）ψ（u）y≤ Ce2λuy。对于语句的第二部分，请回想引理A.3sG（t，s）在s中是Lipschitz连续的，在t中是一致的sG（t，s）（有界）。因此，我们可以用整数余数写出G（t+h，·）在s+ψ（u）y中的泰勒表达式：G（t+h，s+ψ（u）y）=G（t+h，s）+sG（t+h，s）ψ（u）y+Zs+ψ（u）ysφ（t+h，ξ）（s+ψ（u）y- ξ） dξ。日内电力市场的最优投资组合25因此，对于所有∈ R、 我们有| G（t+h，s+ψ（u）y）- G（t+h，s）- sG（t+h，s）ψ（u）y|≤Zs+ψ（u）ys |φ（t+h，ξ）| s+ψ（u）y- ξ| dξ≤ CZs+ψ（u）ys | s+ψ（u）y- ξ| dξ=Cψ（u）y≤ 因此，Zt+htZREt，s[| G（t+h，s（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y |]ν（dy）du≤ CZRyν（dy），根据我们对L’evy测度ν的长期假设确定。附录B。在本附录中，我们收集了一些最具技术性的证据。命题3.6的证明。我们为案例A证明了这一点，其他案例都是类似的。设usdenote‘π=最小∏，’π=最大∏。我们已经观察到，由于（3.4）中函数f（·；t，s）的凹度，映射‘π’*: [0，T]×R→ [？，？]定义明确。同样，从（3.8）中，可以立即得到‘π*t、 b（t）λ= 函数∏的连续性*: [0，T]×R→ π依赖于基于f（(R)π；t，s）的凹性的一般参数。如果z=（t，s）∈ [0，T]×R，然后'π*= π*（z） =arg max'π∈πf（(R)π；z）。Takea层序（zk）k [0，T]×R，使zk→ zas k公司→ ∞. 然后下面的语句证明了‘∏*（zk）→ π*（z） 。这相当于说‘∏的每个子序列*（zk）允许一个收敛到∏的子序列ce*（z） 。取'π的任意子序列*（zk）并用‘∏表示*（zk）（即我们不命名索引）。

自'π*（zk） π是紧凑的，它包含一个序列∏*（zkh）收敛到极限'π∈ π为h→ ∞. 注意，对于任何'π∈ π，f（(R)π；z）=limh→∞f（(R)π*（zkh）；zkh）≥ 林氏→∞f（\'π；zkh）=f（\'π；z）。通过定义“π”*, 我们有‘π=’π*（z） ，这意味着*（zkh）→ π*（z） 。因为这个论点对任意的‘∏子序列有效*（zk），我们得到*（zk）本身必须收敛到‘π*（z） 作为k→ ∞.现在，fix a t∈ [0，T]。然后，一阶条件可以在以下意义上颠倒：s*（t，’π）：=λb（t）- σ（t）’π-ZR'πψ（t）y1+'πψ（t）yν（dy）,因此，要定义∏的反函数*（t，·）从（(R)π）*（t，·））-1.(π, π)至（(R)π，(R)π）。根据反演定理（参见[22，附录C.5]），自s*（t，’π）π=λ-σ（t）-ZRψ（t）y（1+(R)πψ（t）y）ν（dy）< 0，我们得到了∈ [0，T]，\'π*（t，·）是严格递减的，并且对于任何∈π*（t，·）-1.(π, π). 请特别注意：π*（t，·）-1.(π, π)必须是26 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUan间隔，我们用（s（t），s（t））表示。此外，由于s*（t，·）是由Lebesgue的支配收敛定理光滑的，具有n阶导数ns系列*（t，’π）πn=(-1） nn！λZRψ（t）n+1yn+1（1+’πψ（t）y）n+1ν（dy），（B.1）然后‘∏*（t，·）：（s（t），s（t））→ （\'π，\'π）是sm ooth。

π导数的有界性*（t，·）源自（B.1）和以下事实，通过定义，1+(R)πψ（t）y≥ 每tδ>0∈ [0，T]和dπ∈ Π.自f′（(R)π；t，s）→ ∞ 作为s→ ±∞, 关于'π一致∈ π和t∈ [0，T]，存在s，sindependent fromπand T，因此，对于任何T∈ [0，T]和'π∈ [π, π],-∞ < s≤b（t）λ≤ s<∞ 如果s，则（f′（\'π；t，s）>0≤ s、 f′（(R)π；t，s）<0，如果s≥ s、 通过f的单调性，可以得出'π*（t，s）≡（(R)π，如果s≤ s、 \'π，如果s≥ s、 这证明了第四种说法。π的Lipschitz连续性*（t，·）源自这样一个事实，即它在[s（t），s（t）]中的导数在t中是一致有界的，并且∏*（t，·）在[s（t），s（t）]之外是常数（常数是t的凹痕）。定理3.13的证明。π的可容许性*（u，S（u-), X（u-)) = π*(u,S)-))X（u-)是提案3.6的直接后果。为了应用验证定理（定理2.4），我们可以得出结论，我们需要证明H（u，s，x）=log（x）+g（u，s）满足Dynkin f公式（2.10）。

通过It^o引理，对于每个容许策略π，我们得到dh（u，s（u），X（u））=Hu（u，s（u），X（u））+AπH（u，s（u），X（u））+σ（u）π（u）X（u）+gs（u，S（u））dW（u）+ZRhlog（X（u-) + π（u）ψ（u）y）- 对数（X（u-))iN（dy，du）+ZRhg（u，S（u-) + ψ（u）y）- g（u，S（u-))iN（dy，du）。因为π（u）=π（u，S（u-))X（u-), 我们可以将其重写为：dh（u，S（u），X（u））=Hu（u，S（u），X（u））+AπH（u，S（u），X（u））+σ（u）（(R)π（u，S（u））+gs（u，S（u）））dW（u）+ZRlog（1+(R)π（u，S（u-))ψ（u）y）N（dy，du）+ZRhg（u，S（u-) + ψ（u）y）- g（u，S（u-))iN（dy，du）。日内电力市场中的最优投资组合27那么Dynkin公式的有效性可以归结为过程dz（u）的鞅性质：=σ（u）（(R)π（u，s（u））+gs（u，s（u）））dW（u）+ZRlog（1+(R)π（u，s（u-))ψ（u）y）N（dy，du）+ZRhg（u，S（u-) + ψ（u）y）- g（u，S（u-))iN（dy，du）。充足的条件ZTtσ（u）(R)π（u，St，s（u））du< ∞,EZTtZR[对数（1+？（u，S（u））ψ（u）y）]ν（dy）du< ∞,EZTtZRg（u，St，s（u）+ψ（u）y）- g（u、St、s（u））ν（dy）du< ∞,EZTtσ（u）gs（u，St，s（u））du< ∞.前两个条件来自∏的定义（π的范围）和σ的有界性，而最后一个条件取决于g和d，在声明中假设有效。通过标准的可积性解释（参见[41，第3.1节]中的一个参数），我们得到Z是鞅，然后得到结果。命题4.1的证明。

我们遵循与[12]第4节相同的推理路线。首先，让我们从（4.3）写出π∈∏和固定t∈ [0，T]和s∈ R： h（π）：=h（π；t，s）=b（t）- λs- πσ（t）- ψ（t）ZRπyν（dy），观察到*) = 0，h（(R)π*) = ψ（t）ZR′π*y1+(R)π*ψ（t）yν（dy）- ψ（t）ZR′π*yν（dy）=-ZRψ（t）（’π*)y1+(R)π*ψ（t）yν（dy）。因此，’π*= h类-1(0), π*= h类-1.-ZRψ（t）（’π*)y1+(R)π*ψ（t）yν（dy）.现在，|π*- π*| =h类-1.-ZRψ（t）（’π*)y1+(R)π*ψ（t）yν（dy）- h类-1(0).通过应用中值定理，自'π*取∏=∏ν，ψ中的值，一个紧集，其距离b∏的边界为δ>0和|（h-1（z））′|=σ（t）+σL（t），我们最终得到上述估计值|'π*- π*| ≤σ（t）+σL（t）ZRψ（t）（π）*)y1+(R)π*ψ（t）yν（dy）≤ψσ+ψσνZR（(R)π）*)1 + π*ψ（t）y | y |ν（dy）≤ CZR | y |ν（dy），其中C是语句中的常数。28 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO Vargiolu对命题4.2的证明。定义“π”∈∏和固定t∈ [0，T]和s∈ R： h（\'π）：=h（\'π；t，s）=b（t）- λs- (R)πσ（t）-πψ（t）uF1+？πψ（t）uFη，η=ν（[m，m]\\{0}）。