日内电力市场的最优投资组合

我们将A（[t，t]）称为容许控制集，它被定义为[t，t]上的实值可预测过程π（根据[31，定义3.3]），因此以下条件成立：（1）方程（2.4）和（2.6）允许每个初始条件s（t）=s，X（t）=X，具有t的唯一强解（s，X）=（St，s，X，Xt，s，X；π）∈ [0，T）和（s，x）∈ R×R+。（2） 相关财富过程为正，即Xt、s、x；π（u）>0，每个u的P-a.s∈ （t，t），最终净头寸为零：π（t）=0。定义2.3（价值函数）。如果（St，s，x，Xt，s，x；π）表示受控马尔可夫过程，从时间t的（s，x）开始，并按照（2.4）和d（2.6）进行演化，我们定义值函数v（t，s，x）=supπ∈A（[t，t]）J（t，s，x；π），其中J是目标函数：J（t，s，x；π）=E[U（Xt，s，x；π（t））]。函数U:R+→ R代表投资者的效用，是凹的、递增的，并且从下方有界。根据动态规划原理，与该优化问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程为tH（t，s，x）+supπAπH（t，s，x）=0，（t，s，x）∈ [0，T）×R×R+，（2.8）H（T，s，x）=U（x），（s，x）∈ R×R+。（2.9）根据（2.4）和（2.6），受控过程（St，s，x，Xt，s，x；π）的内部生成器Aπ作用于充分正则函数H（t，s，x），如下所示AπH（t，s，x）=（b（t）- λs）（πHx（t，s，x）+Hs（t，s，x））+πσ（t）Hxx（t，s，x）+πσ（t）Hsx（t，s，x）+σ（t）Hss（t，s，x）+ZR[H（t，s+y，x+πψ（t）y]- H（t、s、x）- （πHx（t，s，x）ψ（t）y+Hs（t，s，x）ψ（t）y）]￠νt（dydy），其中￠ν是与二维过程（s，x）相关的j ump测量。

由于这是一个奇异的二维测度，与线性y=y上的一维跳跃测度6 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUν（dy）重合，我们可以重写积分项asAπH（t，s，x）=（b（t）- λs）（πHx（t，s，x）+Hs（t，s，x））+πσ（t）Hxx（t，s，x）+πσ（t）Hsx（t，s，x）+σ（t）Hss（t，s，x）+ZR[H（t，s+ψ（t）y，x+πψ（t）y）- H（t、s、x）- （πHx（t，s，x）+Hs（t，s，x））ψ（t）y]ν（dy）。为了将HJB方程与控制问题联系起来，我们在[24，定理III.8.1]的基础上建立了一个验证定理。基本工具是众所周知的达因公式（见[24，p.122]），这里它适用于受控过程（S，Xπ）：Et，S，X[f（T，S（T），Xπ（T））]- f（t，s，x）=Et，s，xZTtAπ（u）f（u，S（u），Xπ（u））du,（2.10）式中，Et，s，xdenotes给定的条件期望s（t）=s，Xπ（t）=X和f：[0，t]×R×R+→ R是任何一个有意义的动作。定理2.4（验证定理）。定义集合D={f∈ C1,2（[0，T）×R×R+），因此（2.10）对每个π保持不变∈ A（[t，t]）}。让H∈ D是（2.8）的经典解，它符合终端条件（2.9）。然后itholds，for each（t，s，x）∈ [0，T]×R×R+，（1）H（T，s，x）≥ 每个容许控制π的J（t，s，x；π）∈ A[t，t]；（2） 如果存在容许控制π*∈ A[t，t]使得π*（u）∈ arg maxπAπH（u，S（u），Xπ（u））P-A.S.表示u∈ 然后H（t，s，x）=J（t，s，x；π*) = V（t，s，x），即π*是一种最佳策略。证据证明是经典的，直接遵循（2.10）中的Dynkin公式。3、对数效用的最优控制和值函数在本节中，我们解决了对数效用情况下的优化问题，即（2.1）中的效用函数为u（x）=log（x）。具体而言，我们通过对数变换找到HJB方程的显式解。

首先，我们将完全非线性的HJBequation简化为一个线性抛物型积分微分方程，在一定的假设下，可以证明其正则解的存在性。通过应用上一节的验证定理，我们证明它等于原始最大化问题的值函数（定理3.13）。我们还说明了一个最优策略的存在性并给出了它的一个表示，它被证明可以解一个积分方程。3.1. 最佳策略。利用对数效用的性质，认为如果一个最优策略π*存在，其形式为π*（u） =(R)π*（u） X（u-), （3.1）其中'π*是一个可预测的过程，可以根据St、s的s Emimatin-Gale特征（即价格过程的局部行为）进行隐含定义（见[28，定理3.1]）。这意味着我们可以明确地描述财富过程积极的策略。事实上，对于容许策略π（u）：=(R)π（u）X（u- ) 我们可以重写（2.6）asdX（u）=X（u-) π（u）dS（u）。（3.2）日内电力市场中的最优投资组合7这使得我们可以得到f或一般‘∏X的显式公式，因为它采用了一个离散指数的形式（参见[16，第8.4节]）。根据It^o公式，X（u）=X·e'π（u）s（u）-车辙σ（v）(R)π（v）dvYt<v≤u（1+(R)π（v）S（v））e-S（v），P-a.S.提案3.1（投资组合价值的积极性）。如果π（u）=π（u）X（u-), 它容纳Xt、s、x；π（u）>0，P-a.s。，u∈ [t，t]，当且仅当‘（u）ψ（u）y>-1 P-a.s.，ν-a.e.年∈ R、 适用于所有u∈ [t，t]。证据从（2.6）中，如果S的时间t处的跳跃度量被视为一个加法过程，由νSt决定，则它认为suppνSt=suppν。然后，{π（u）S（u）>-1 P-a.s。，u≤ T}当且仅当{π（u）L（u）>-1 P-a.s。，u≤ T} ，相当于{π（u）ψ（u）y>-1P-a.s.，ν-a.e.y∈ Ru≤ T}。

因此，对于π（u）=π（u）X（u）形式的每种策略，投资组合都是正的-) 这样的‘∏在适当选择的集合中取值。以下是容许控制的特征。定义3.2。设∏=∏ν，ψ是一个紧集，使得∏ν，ψb∏ν，ψ：={π∈ R s.t.’πψy>-每个y 1个∈ [m，m]和ψ∈ [ψ, ψ]}.可预测的过程'π：[t，t]→ 如果存在容许策略π，则∏称为归一化容许策略∈ A（[t，t]），使得π（u）=π（u）X（u-)适用于所有u∈ 【t，t】，P-a.s.备注3.3。根据测度ν的支持度，setb∏：=b∏ν，ψ由情况A：b∏=(-Mψ，-mψ）如果m<0且m>0（正负j umps），情况B：B∏=(-Mψ+∞) 如果0≤ m级≤ M和M 6=0（仅正跳跃），情况C：b∏=(-∞, -mψ）如果m≤ M≤ 0和m 6=0（仅为负跳跃），情况D：如果m=m=0（无跳跃），则b∏=R，一致解释其中n必要：例如，如果m=+∞, (-Mψ+∞) :=[0, +∞). 请注意，在所有情况下，我们都有0∈b∏。如果m=-∞ 和M=∞, 然后b∏={0}，这使得问题变得微不足道。因此，为了摆脱这种情况，我们可以假设从现在起，m和m之间至少有一个是有限的。备注3.4。setb∏=b∏ν，ψ是根据过程L的跳跃特征定义的（参见[29，第2节]中中性约束的类似概念）。

另一方面，我们对∏的定义有一定的自由，因为我们只要求它是b∏的一个紧子集。直觉上，我们限制了可能的交易策略的范围，以便即时投资组合的价值不能跳到（或低于）零，因为任何允许的（标准化的）头寸∏。为了找到HJB方程的解，我们采用以下方法：H（t，s，x）=U（x eg（t，s））=log（x）+g（t，s）。【20】中针对高斯过程的具体情况引入的这种变换与【43】中采用的变换类似，主要区别在于我们的现货价格动态的算术性质。我们从静态最大化问题开始，即策略π的所有可能值上的广义哈密顿量的最大化。与往常一样，在8 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUthis方法中（参见[24]中的讨论），一个候选最优策略π∈ A[t，t]可以通过计算π得到*（t，s，x）=arg maxπAπH（t，s，x）和定义π*（t） ：=π*（t，S（t-), X（t-)). 通常指的是确定性函数π*（t，s，x）作为最优马尔可夫控制策略。因为我们是对数效用（参见（3.1）），所以我们可以写π*（t，s，x）=π*（t，s）·x.简单计算yieldAπH（t，s，x）=（b（t）- λs）πx+gs（t，s）-σ（t）πx+σ（t）gss（t，s）（3.3）+ZRhlog（x+πψ（t）y）+g（t，s+y）- 日志（x）- g（t，s）-πψ（t）x+gs（t，s）yiν（dy）。忽略不依赖于π的项，我们得到arg maxπAπH（t，s，x）=arg maxπ（b（t）- λs）πx-σ（t）πx+ZR日志1+πψ（t）xy-πψ（t）xyν（dy）=x·arg max'π∈πf（(R)π；t，s），其中函数f：π×[0，t]×R→ R定义为asf（(R)π；t，s）：=（b（t）- λs）’π-σ（t）’π+ZR[对数（1+’πψ（t）y）- πψ（t）y]ν（dy）。

（3.4）变量∏的最大化表达式为三项之和：线性项、严格凹函数和严格凹函数的积分。因此，我们在紧集∏上最大化一个整体严格凹函数。这确保了存在唯一的最大化器‘∏*= π*（t，s）：=arg max'π∈πf（(R)π；t，s）。（3.5）备注3.5。通过采用这个符号，我们提前揭示了π处的th*对应于非最优策略，但我们尚未给出证明。该候选人的最优性将在定理3.13中通过应用上一节的验证定理进行验证。回顾π*（t，s，x）=π*（t，s）·x，我们可以用简化形式写出HJB方程tH（t，s，x）+Aπ*（t，s，x）H（t，s，x）=0，也就是说，与我们的猜测一致，H（t，s，x）=log（x）+g（t，s），gt（t，s）+（b（t）- λs）（(R)π*（t，s）+gs（t，s））-σ（t）’π*（t，s）+σ（t）gss（t，s）+ZRhlog（1+(R)π）*（t，s）ψ（t）y）- π*（t，s）ψ（t）y+g（t，s+ψ（t）y）- g（t，s）- gs（t，s）ψ（t）yiν（dy）=0，在收集了带有g的项后，方程读数为sgt（t，s）+（b（t）- λs）gs（t，s）+σ（t）gss（t，s）+ZR[g（t，s+ψ（t）y）- g（t，s）- gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）=- f*（t，s），（3.6），终端条件g（t，s）=0，其中我们定义f*: [0，T]×R→ R byf*（t，s）：=f（(R)π）*（t，s）；t、 s）。（3.7）如果我们将（3.6）解释为唯一未知g中的一个方程，则其形式为线性抛物线部分积分微分方程（PIDE）。此类方程的分析通常是一项微妙的任务，据我们所知，对于此类问题的常规解，日内电力市场9中的最优投资组合的存在结果并不多（见[6、17、19、42]和其中的参考文献）。在某些假设下，我们能够证明存在性和概率表示公式：我们将在命题3.11和3.12中这样做。

需要注意的是，在对数情况下，我们可以通过解开发现∏的问题，直接求解HJB方程*（t，s）和函数g（t，s）。作者已经证实，这不是一般CARA或CRRA实用程序的情况，这使得解决HJB方程的问题更加困难和有趣（另请参见[1]）。然而，HJBequation的近似值已在[3，40]中针对CR R A效用的类似随机框架中提出。为了解决PIDE，我们首先必须研究（3.5）中隐含的策略属性。支配收敛定理的直接应用和L的二阶矩的不确定性确保f（·；t，s）是可微的f或任何t∈ [0，T]和s∈ R、 因此，如果最大化器'π*= π*（t，s）是一个内点，它是一阶条件f′（’π）的唯一解*; t、 s）=b（t）- λs- σ（t）’π*-ZR′π*ψ（t）y1+’π*ψ（t）yν（dy）=0。（3.8）我们注意到，这是第三个条件【28，定理3.1】的明确确定性对应物。在接下来的两个命题中，我们总结了候选（规范化）最优策略和函数f的性质*出现在HJB方程中。提案3.6。假设∏是一个包含0的紧区间。

（3.4）和（3.5）中的静态优化问题允许一个u nique最大化器∏*: [0，T]×R→ 具有以下性质的∏：（1）对于每个t∈ [0，T]，它保持'π*t、 b（t）λ= 0。（2）映射'π*: [0，T]×R→ π是连续的，尤其是可测且有界的。（3） 对于每个t∈ [0，T]，存在一个开放区间∑（T），使得限制∏*（t，·）∑（t）严格递减且光滑，其中情况A：∑（t）=（s（t），s（t）），情况B：∑（t）=(-∞, s（t）），情况C：∑（t）=（s（t）+∞),案例D：∑（t）≡ R、 此外，对于任何t∈ [0，T]π的导数*（t，·）∑（t）可以扩展到∑（t）。（4） 对于每个t∈ [0，T]，映射'π*（t，·）：R→ π在整条实线上递减，尤其是在情况A中：存在s，ssuch，对于任何t∈ [0，T]，我们有-∞ < s≤b（t）λ≤s<∞ 和‘∏*（t，s）≡（最大∏，如果s≤ s、 最小∏，如果s≥ s、 案例B：存在这样的情况，对于任何t∈ [0，T]，我们有b（T）λ≤ s<∞ 和‘∏*（t，s）≡ s最小∏≥ s、 案例C：对于任何t∈ [0，T]，我们有-∞ < s≤b（t）λ和π*（t，s）≡ s最大∏≤ s、 案例D：我们可以将最大化子显式地写为‘∏*（t，s）=b（t）- λsσ（t），10 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO Vargiolu，对于每个t和s，上述数量定义明确，属于∏。（5） 特别是，对于所有t∈ [0，T]映射'π*（t，·）是Lipschitz连续一致int∈ [0，T]（即Lipschitz常数L独立于T）。证据见附录B。备注3.7。在命题3.6的表示法中，对于案例A、B、C，我们可以更明确地写出ys（t）=lim'π→πs*（t，’π）=λb（t）- σ（t）’π-ZR'πψ（t）y1+'πψ（t）yν（dy）,s（t）=lim'π→πs*（t，’π）=λb（t）- σ（t）’π-ZR'πψ（t）y1+'πψ（t）yν（dy）,ands=薄荷糖∈[0，T]s（T），s=最大值∈[0，T]s（T）。备注3.8。为了解释命题3.6的结果，让我们假设例如案例A中的tobe。

回想一下，在这种情况下，我们可以看到价格的上涨和下跌（见备注3.3），并且标准化头寸∏（t，s（t））也可以取负值，因此允许短期抛售。在每个时间t，如果价格s（t）达到（依赖时间的）“均衡”b（t）/λ级，则执行最佳的交易者将获得净零头寸。此外，如果价格高于这个水平，他就会做多，因此，当价格低于这个水平时，他就会做空。随着价格下降，交易分配增加（带符号），反之亦然。此外，s（相对s）由较低（相对较高）的价格阈值组成，在该阈值下，交易者根据∏中规定的交易约束，独立于时间瞬间，采取可能的最长（相对最短）头寸。提案3.9。函数f*: [0，T]×R→ （3.7）中的R是连续可微分的，Lipschitz连续的，带有偏导数tf公司*（t，s）=b′（t）’π*（t，s）- σ（t）σ′（t）’π*（t，s）- ψ（t）ψ′（t）’π*（t，s）ZRy1+’π*（t，s）ψ（t）yν（dy），旧金山*（t，s）=-λπ*（t，s）。此外，它在t中均匀地作为s的线性函数增长，即| f*（t，s）|≤ C（1+| s |），C仅依赖于λ，T，kbk∞, kσk∞, kψk∞.证据回想一下，通过定义f（(R)π；t，s）=（b（t）- λs）’π-σ（t）’π+ZR[对数（1+’πψ（t）y）- πψ（t）y]ν（dy），这是变量（t，s）中任意π的连续可微函数∈ π，因为b、σ和ψ是连续可微的。然后，根据丹斯金定理[18，定理1]，f*（t，s）=最大'π∈πf（(R)π；t，s）可与偏导数区分tf公司*（t，s）=tf（(R)π；t，s）|π=(R)π*（t，s），旧金山*（t，s）=sf（(R)π；t，s）|π=(R)π*（t，s）。日内电力市场中的最优投资组合11由于它们是有界连续函数，因此f*∈ C（[0，T]×R）和Lipschitzcontinuous。线性界是f的定义和π的界的直接结果*（t，s）。3.2.

概率表示和正则解的存在性。在研究了redu-ced HJB方程（3.6）强迫项的正则性之后，我们讨论了解的存在性问题。首先，我们澄清了这类积分微分方程经典解的自然概念。通过【15，第17.4节】，我们可以说函数g:[0，T]×R→ R属于集合C1,2ν，ψ=C1,2ν，ψ（[0，T）×R），如果它在第一个自变量中连续可微分，在第二个自变量中连续可微分两次，并且以下可积条件成立：∈ [0，T）和s∈ R、 ZR | g（t，s+ψ（t）y）- g（t，s）- gs（t，s）ψ（t）y |ν（dy）<∞. （3.9）那么，HJB方程的经典解是一个函数g:[0，T]×R→ R属于1,2ν，ψ（[0，T）×R），满足积分微分方程（3.6）.我们现在给出三个结果。首先，我们回顾Feynman Kaˋc定理的一个版本，该定理给出正则解的概率表示。然后，我们陈述了经典解的两个存在性结果：第一个结果适用于无扩散部分的加性过程，第二个结果适用于复合泊松过程和一致非退化布朗分量。定理3.10（Feynman Kaˇc公式）。假设g是C1,2ν，ψ（[0，T）×R）∩ （3.6）的C（[0，T]×R）溶液，满足生长条件：maxt∈[0，T]| g（T，s）|≤ K（1+s），对于s∈ R、 此外，如果存在ε>0，则z | y|≥1 | y | 2+εν（dy）<∞,然后我们可以在下面的费曼Kaˇc类型中重新表示g（t，s）=EZTtf公司*（u，St，s（u））du. （3.10）证明。证明是经典的：见[15，定理17.4.10]。在接下来的命题中，我们证明了（3.6）在不存在布朗分量的情况下经典解的存在性。假设1。