日内电力市场的最优投资组合

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英文标题：
《Optimal Portfolio in Intraday Electricity Markets Modelled by
  L\\\'evy-Ornstein-Uhlenbeck Processes》
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作者：
Marco Piccirilli and Tiziano Vargiolu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study an optimal portfolio problem designed for an agent operating in intraday electricity markets. The investor is allowed to trade in a single risky asset modelling the continuously traded power and aims to maximize the expected terminal utility of his wealth. We assume a mean-reverting additive process to drive the power prices. In the case of logarithmic utility, we reduce the fully non-linear Hamilton-Jacobi-Bellman equation to a linear parabolic integro-differential equation, for which we explicitly exhibit a classical solution in two cases of modelling interest. The optimal strategy is given implicitly as the solution of an integral equation, which is possible to solve numerically as well as to describe analytically. An analysis of two different approximations for the optimal policy is provided. Finally, we perform a numerical test by adapting the parameters of a popular electricity spot price model.
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中文摘要：
我们研究了一个为在日内电力市场中运行的代理设计的最优投资组合问题。允许投资者在模拟持续交易权力的单一风险资产中进行交易，目的是最大化其财富的预期终端效用。我们假设一个均值回复加性过程来驱动电价。在对数效用的情况下，我们将完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程简化为线性抛物型积分微分方程，对于这一方程，我们在两种建模情况下显式地给出了经典解。最优策略隐式地作为一个积分方程的解给出，它既可以用数值方法求解，也可以用解析方法描述。分析了最优策略的两种不同近似。最后，我们通过调整流行的电力现货价格模型的参数进行了数值测试。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_Portfolio_in_Intraday_Electricity_Markets_Modelled_by_Lévy-Ornstein-Uhl.pdf (409.45 KB)

2022-6-10 05:57:37 上传

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关键词：电力市场 投资组合 Differential Optimization Quantitative

由L’EVY-ORNSTEIN-UHLENBECK过程建模的日内电力市场最优投资组合Marco PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUAbstract。我们研究了一个为在日内电力市场中运行的代理设计的最优投资组合问题。投资者被允许以连续交易的权力为模型进行单一风险资产的交易，目的是最大化其财富的预期终端效用。我们假设一个均值回复加性过程来驱动电价。在对数效用的情况下，我们将完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程简化为线性抛物积分微分方程，对于该方程，我们在两种建模兴趣的情况下显式展示了经典解。最优策略隐式地作为积分方程的解给出，积分方程既可以用数值方法求解，也可以用解析方法描述。对最优策略的两种不同近似进行了分析。最后，我们通过调整流行的电力现货价格模型的参数进行了数值测试。1、简介全球电力市场放松管制后，这一金融部门正在经历彻底的结构变化。几个有趣的问题引发了人们对能源市场模型的兴趣。严谨的数学方法可能对实践者有用，同时也会促进学术研究的进步。在这项工作中，我们考虑了欧洲电力交易所（EPEX）的市场结构，该交易所监管中欧和西欧的电力现货交易。在许多交易所，短期交易主要在两个市场进行：日前和日内。

虽然日前市场为第二天交付的每小时（或一段时间）交易电量，并且是基于拍卖的，但日内市场在日前关闭后开放，为参与者提供了在交付前短时间内持续交易的可能性。对于可再生能源生产商来说，日内市场尤为重要，他们可以根据天气预报的变化调整日前头寸。在这项工作中，我们研究了一个为日内电力交易设计的动态投资组合优化问题。这些市场在电网平衡中发挥着重要作用，因为发电商和消费者都可以优化自己的位置，减少不平衡风险，这需要向系统运营商支付费用。随着可再生能源的不断普及，日内交易建模变得尤为重要，数学上也很有趣。与这个问题相关的文献是最近才发表的：这方面的第一篇论文是[30]，作者研究了风力发电的生产方式日期：2018年7月6日。关键词和短语。日内电力市场、投资组合优化、加法过程、均值回归、部分积分微分方程、近似。作者谨感谢亚历山德罗·巴拉塔、弗雷德·埃斯彭·本思、塞巴斯蒂亚诺·登、乔治·法拉利、保罗·卢兹尼、弗兰克·诺伯特·普罗斯克、沃尔夫冈·J·伦格·加尔迪尔以及2017年1月25日至27日在米兰举行的第十八届量化金融研讨会的所有参与者，感谢他们的有益讨论和建议。

这项工作得到了帕多瓦大学CPDA158845-2015赠款“多维多项式过程及其在数学金融和能源市场新挑战中的应用”的部分支持。2 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUmay通过考虑预测生产误差的风险，从日内市场的交易中获益。[26]研究最优交易执行问题，以补偿风力或光伏发电生产的预测者。[2] 考虑一个生产商，其目标是通过控制其灵活的电力生产（火力发电厂）和其在日内市场的头寸，将其剩余需求（随机）的不平衡成本降至最低。最近的另一篇论文【23】研究了离散时间内的随机多周期投资组合优化问题，特别是针对水力资产管理，推导了一种最优的日内交易策略。作者研究了风力和光伏发电日内更新预测对市场参与者竞价行为的影响，并比较了EPEX日前和日内电力市场的价格驱动因素。此外，[13]研究互联地点之间日内价格的跨境影响，[44]考虑在远期、现货、日内和调整市场交易的风能生产商，并考虑到其预测产量不完善，得出最佳交易政策。我们的研究是作为[20]的自然泛化而出现的，并从s商城代理商的角度出发，有兴趣利用日内价格的类型化特征，以最大化其预期的最终收益。我们提出了一个连续电价的随机模型，并用随机控制的语言描述了预期的利润最大化问题。价格由加性非高斯Ornstein-Uhlenbeck（O U）过程建模。

电力现货价格通常由几何[14，27]或加性均值回复过程[7，11，34，35，36]来描述。在日内市场的背景下，我们的模型选择概括了[20]，其中作者通过高斯OU过程对价格进行建模，以及[33]，其中日内价格是AR（1）过程（我们不考虑体制转换），这是OU过程的离散时间版本。此类具有高度灵活性，能够再现观测到的时间序列的均值回复和尖峰行为。由于我们没有像通常那样对价格进行对数转换，因此我们的模型可以复制负价格：这与自在电力组合中引入可再生能源以来最近观察到的情况一致（见[21]）。继默顿（Merton）[37，38]的开创性工作之后，最优投资组合管理已成为数学金融领域最受欢迎的问题之一，并在许多不同的框架中得到了解决。关于一般处理方法，请读者参阅[39]。我们的方法基于d y动态规划方法和相关Hamilton-JacobiBellman（HJB）积分微分方程的研究。一些相关工作包括，例如[8]，价格演化为指数Ornstein-Uhlenbeck过程，称为Schwartz模型，该模型在商品价格建模中非常重要。在[32]中，作者用指数L'evy过程对风险资产进行建模，并将其推广到指数加性过程。当我们介绍一种用于求解HJB方程的变换时，我们受到了[43，46]的启发。

此外，[9]还研究了Barndorff-Nielsen-Shephard模型的相同优化问题[5]，其中波动率是由从属函数驱动的非高斯OU过程的超位置。从HJB方程的公式来看，找到值函数的问题并不简单。我们研究了对数效用的情况，以便将取决于财富过程和策略的条件与取决于时间和价格的条件分开。对于某类跳跃扩散过程，[1]也观察到了这种简化。[28]对对数效用情况下的最优投资组合进行了理论研究，并在[29]中进一步推广，其中作者将鞅方法（有关该方法的详细信息，请参见[28，29]及其参考文献）应用于一般半鞅框架。然而，尽管他们的分析提供了最优策略及其唯一性的特征，但对其分析性质的研究并没有明确阐述。我们将完全非线性的HJB方程简化为线性部分积分微分方程（PIDE），方法是在日内电力市场中应用最优投资组合3a对数变换，如【43】所示。尽管最优策略是作为一个积分方程的解隐式给出的，但我们能够证明，为了应用验证理论，它是定义良好且满足正则性的。我们证明了HJB方程在两种情况下的经典解的存在性：具有非退化布朗成分的时间非齐次成分和泊松过程以及（可能）有限变化的加性纯跳跃过程。在第一种情况下，这取决于[42]的结果，而在第二种情况下，这是通过费曼Kaˇc表示完成的。

在后一种方法中，我们遵循[9]中的id ea，并将其推广到时间不均匀过程，我们不假设其具有[9]中所述的有限变化。尤其是Danskin定理[18]允许我们证明HJB方程的强迫项（定义为不可微分函数的组合）实际上是可微分的。部分积分微分方程（PIDE）本身就很有趣，并且出现在数学的不同领域。在本文中，我们考虑通过概率表示获得的经典解，部分是作为各种早期工作的扩展或补充贡献。这类问题的经典参考文献是[6]，其中一些存在性结果是在关于方程系数的强正则性假设下得出的。在证明具有非退化布朗分量的有限L'evy测度的正则解的存在性时，我们得到了[42]的一个结果。然而，该方法基于线性二阶微分方程（参见[25]）的PDE理论的经典平滑度结果，需要跳跃测度的细节。因此，对于m个更一般的跳跃过程，我们改为如下[9]，其中Feynman Kaˇc公式产生了一个候选者，这被证明是一个非常类似于我们的IDE的经典解。不幸的是，这种方法只适用于一阶情况，即没有布朗成分。然而，正如【17】所观察到的，为了生成真实的价格轨迹，有必要考虑金融模型，这些模型要么是结合了差异部分的有限活动跳跃过程，要么是有限活动纯跳跃模型，因为当频繁发生小跳时，后者表现为“差异”方式。然后，我们研究了基于一阶条件泰勒展开式的最优策略近似，这是一个数值积分方程。

对于复合泊松过程，选择多项式的中心作为平均跳跃大小。我们将其与经典的默顿比（37）进行了比较，后者对应于零附近的泰勒展开式。[3、12、40、41]中也对带有跳跃的随机波动价格模型的这种近似进行了研究。然而，在他们的方法中，作者首先直接近似HJB方程，而我们在一阶条件下工作。我们得出了近似误差的一些估计值，并对电力现货价格模型进行了数值测试，特别是[10]中的因子模型。我们在这里的主要发现是，默顿的per比率与我们基于跳跃的近似值很难比较，这表明，电动汽车市场的最佳交易并不能很好地用这一具有经济意义的数量来描述，至少对于加性均值回复率的特定情况而言。本文的结构如下。在第二节中，我们介绍了日内价格动态，并设置了随机控制问题。在第3节中，我们描述了最优策略的性质，并研究了对数效用的简化HJB方程。特别地，给出了PIDE经典解的两个存在性结果。我们通过应用验证定理来结束本节。最优策略的近似研究包含在第4节中，而第5节给出了策略近似的示例性数值测试。附录A包括关于Firstorder案例中PIDE解决方案存在性的辅助命题，而在附录B中，我们收集了一些最具技术性的证据。4马可·皮奇里利和蒂齐亚诺·瓦吉奥卢2。最优投资组合问题我们遵循动态规划策略来解决随机最优控制问题（例如，参见[24]）。

目的是最大化我们的投资组合在一组交易策略上的预期效用，即研究数量supπE[U（X（T）），（2.1），其中U:R→ R是代表投资者风险的效用函数，X=Xπ表示与策略π相关的投资组合价值，T是交易结束时间。让我们介绍一下驱动市场的随机动力学。用L表示在完整的过滤概率空间中定义的实值相加过程（有关详细信息，请参见[16，第14.1节]）(Ohm, F、 （Fu）u≥0，P）bydL（u）=b（u）du+σ（u）dW（u）+ψ（u）ZRyN（dy，du），u∈ （0，T），（2.2）式中σ，b，ψ：[0，T]→ R是连续可微函数，如0≤ ψ≤ ψ（u）≤ψ表示任何u∈ [0，T]和σ（u）以及ψ（u）不会同时消失。过程W是标准布朗运动，N（dy，du）：=N（dy，du）-ν（dy）du是与L'evy测度ν相关联的补偿泊松随机测度，即R \\{0}上的Radon测度，使得rr（1∧ y） ν（dy）<∞. 特别地，如果b，σ和dψ是常数，则ψ≡ 1，那么L是一个L'evyprocess。为了处理具有有限秒矩的过程，我们进一步假设ν满足以下可积条件：Z | y|≥1yν（dy）<∞. （2.3）观察到L可以分解为确定性漂移部分、具有时变波动性的Brown-ian运动和平方可积纯跳跃鞅分量。我们还介绍了以下公约。备注2.1（跳跃测量支持）。它认为suppν 【m，m】用于-∞ ≤ m级≤ M≤ +∞.我们将m=m=0的情况正式解释为唯一情况，即当L没有跳线组件时。例如，如果m=-∞, 我们的意思是[m，m]：=(-∞, M）。我们所处的市场只有一项资产（即。

连续交易的日内电价，以欧元/兆瓦时表示，其市场价值S=St，根据托卡斯蒂克微分方程（u）=-λS（u）dt+dL（u），u∈ （t，t），（2.4）对于某些t，给定初始条件St，s（t）=s∈ [0，T）和s∈ R、 常数λ为正，表示S的平均回复率。特别是，对于任何加法过程L，都存在唯一的e（强）解S，因此对于某些u，通常P（S（u）<0）>0≥ t、 即价格可能为负值。然而，如果L只能有正跳跃，并且没有布朗分量，即它是一个时间非齐次的从属项（参见例[16]），则非负初始条件s≥ 0自然意味着S（u）对于每个u都是a.S.非负的≥ t、 因此，根据建模偏好，可以考虑同时采用正值和负值的相加过程。（2.4）的唯一解，在起始条件St，s（t）=s的情况下，可以显式地写成asSt，s（u）=se-λ（u-t） +Zute-λ（u-v） dL（v）。（2.5）由于L在（2.3）之前有有限的秒力矩，S也有有限的秒力矩。日内电力市场中的最优投资组合5Ifπ（u）表示代理在时间u拥有的股票数量（即以MWh为单位的能量），相关的自我融资投资组合动力学X=Xt，s，X；π表示为dx（u）=π（u）dS（u），u∈ （t，t），（2.6）X（t）=X，（2.7），其中S=St，砂X>0。我们还假设π（T）=0，因此，试剂在终端时间T清算沉淀；换言之，我们处于纯交易环境中（见[20，备注3.1]）。然后，我们定义了可接受的交易策略集和价值函数。定义2.2（容许控制）。