日内电力市场的最优投资组合

（2.2）中的偏差分量为零，即σ≡ 我们遵循[9]的思想，这里通过费曼Kaˇc公式构造猜测。让我们注意到，我们通过证明时间非齐次L'evy过程和可能的有限变差平方可积L'evy测度的经典解的存在性，推广了[9]中的结果。更详细地说，我们认为g（t，s）：=EZTtf公司*（u，St，s（u））du（3.11）是一个定义良好的正则函数，用经典公式求解PIDE。我们需要一些初步建议，这些建议收集在附录A.12 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUProposition 3.11（纯跳跃案例）中。在假设1下，函数G（t，s）在t f或所有s中是连续可微的∈ 并求解以下部分积分微分方程：Gt（t，s）+（b（t）- λs）Gs（t，s）+ZR[G（t，s+ψ（t）y）- G（t，s）- Gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）=- f*（t，s），终端条件G（t，s）=0。特别是G∈ C1,1ν，ψ（[0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）。此外，对于所有t∈ [0，T）和s∈ R下列可积条件成立：EZTtZRG（u、St、s（u-) + ψ（u）y）- G（u、St、s（u-))ν（dy）du< ∞.证据修复t∈ [0，T），h>0，并将其^o引理应用于G（T+h，s（·）），从T到T+h。然后，wehaveG（T+h，s（T+h））=G（T+h，s（T））+Zt+ht（b（u）- λS（u））sG（t+h，S（u））du+Zt+htZR[G（t+h，S（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y]ν（dy）du+Zt+htZR[G（t+h，S（u-) + ψ（u）y）- G（t+h，S（u-))]N（dy，du）。现在，除以h，取期望值Et，s。

Fubini定理给出Et，s【G（t+h，s（t+h））】- G（t+h，s）（3.12）=hZt+htEt，s[（b（u））- λS（u））sG（t+h，S（u））]du+hZt+htZREt，S[G（t+h，S（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y]ν（dy）du+hEt，SZt+htZRG（t+h，S（u-) + ψ（u）y）- G（t+h，S（u-))N（dy，du）.根据中值定理，自映射u 7→ Et，s[（b（u）- λS（u））sG（t+h，S（u））]是连续的，我们有一个∈ [t，t+h]那Zt+htEt，s[（b（u））- λS（u））sG（t+h，S（u））]du= Et，s[（b（uh）- λS（uh））sG（t+h，S（uh））]，（3.13）收敛到（b（t）- 当h接近0时，λs）Gs（t，s）。类似地，对于第二项，它表示hzt+htZREt，s[G（t+h，s（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y]ν（dy）du=ZREt，S[G（t+h，S（uh）+ψ（uh）y）- G（t+h，S（uh））- sG（t+h，S（uh））ψ（uh）y]ν（dy），对于uh∈ [t，t+h]。由于期望中的所有映射都是连续的，当h趋于零时（参见引理A.4），最后一项收敛到Zr[G（t，s+ψ（t）y）- G（t，s）- Gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）。日内电力市场的最优投资组合13此外，Et，sZt+htZRG（t+h，S（u-) + ψ（u）y）- G（t+h，S（u-))N（dy，du）= 最后，左侧的ide可以写为Et，s【G（t+h，s（t+h））】- G（t，s）+h（G（t，s）- G（t+h，s））。根据马尔可夫性质和塔式规则，Et，s[G（t+h，s（t+h））]=EEZTt+hf*（u，St+h，St，s（t+h）（u））du= EEZTt+hf*（u，St，s（u））du英尺+小时= EZTt+hf*（u，St，s（u））du.因此，hEt，s【G（t+h，s（t+h））】- G（t，s）=h类EZTt+hf*（u，St，s（u））du- EZTtf公司*（u，St，s（u））du= -他Zt+htf*（u，St，s（u））du,收敛到-f*（t，s）随着h变为零。然后，我们发现-h（G（t+h，s）-G（t，s））存在并等于（b（t）- λs）Gs（t，s）+ZR[G（t，s+ψ（t）y）- G（t，s）- Gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）+f*（t，s），因此在Gt（t，s）处存在th，并且它是连续的，是右边的连续项。

此外，我们从这个表达式中得到，它解决了该语句的积分微分方程。对于最后一点，如引理A.4中所述，充分观察到G（u，St，s（u）+ψ（u）y）- G（u、St、s（u））我≤ supz公司∈RGs（u，z）ψ（u）y≤ Ce2λuy，因为G在z上是Lipschitz连续的，在u上是一致的。在最后一个命题中，应用[42]的一个结果证明了二阶算子为统一椭圆且L的跳跃部分为复合泊松过程的存在唯一性。假设2。假设（2.2）中σ（t）>0表示所有t∈ [0，T]和ν是一个有限的L'evy度量。命题3.12（有限L'evy测度）。在假设2下，f函数（t，s）：=EZTtf公司*（u，St，s（u））du14 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUis唯一的C1,2ν，ψ（[0，T）×R）∩ （3.6）的C（[0，T]×R）溶液。此外，以下可积条件成立：EZTtZRG（u、St、s（u-) + ψ（u）y）- G（u、St、s（u-))ν（dy）du< ∞,EZTtσ（u）Gs（u，St，s（u））du< ∞.证据首先，观察到，由于ν是与复合泊松过程相关的L'evy度量，因此空间C1,2ν、ψ（[0，T）×R）和C1,2（[0，T）×R）重合（参见[15，定义17.4.9]）。因此，我们只需验证[42，命题5.3]的假设是否充分。注意，（H6）对应于假设L'evy跳跃分量是一个复合泊松过程。然后，为了应用[42，命题5.3]，仍需证明f*: [0，T]×R→ Ris Lipschitz continuous，源自命题3.9。可积条件可以在引理A.3中证明。最后，我们应用验证定理并陈述本节的主要结果。定理3.13。

设g为C1,2ν，ψ（[0，T）×R）∩（3.6）的C（[0，T]×R）解，并假设，对于任何T∈ [0，T）和s∈ R、 我们有以下条件ZTtZRg（u、St、s（u-) + ψ（u）y）- g（u、St、s（u-))ν（dy）du< ∞,EZTtσ（u）gs（u，St，s（u））du< ∞,其中S=St，sis为ds（u）=-λS（u）du+dL（u），u∈ （t，t），S（t）=S。然后，函数π*（t，s，x）：=’π*（t，s）·x，带'π*如命题3.6所示，是一个最优马尔可夫控制策略，即它在定义2.2的意义上诱导了一个可接受的策略，并且对于每个∈ [0，T），s∈ R、 x个∈ R+，我们得到J（t，s，x；π*) = V（t，s，x）=对数（x）+g（t，s）。证据见附录C。推论3.14。假设假设1或假设2，负（t，s）=EZTtf公司*（u，St，s（u））du.那么，π*（t，s，x）：=’π*（t，s）·x，如命题3.6所示，是一个最优马尔可夫控制策略，j（t，s，x；π*) = V（t，s，x）=对数（x）+G（t，s）。估计最优策略：默顿比和泰勒近似在证明了最优策略的存在性并描述了最优策略的分析性质之后，我们现在研究通过近似计算它的简单方法。日内电力市场的最优投资组合154.1。定义和直觉。在他关于投资组合选择的开创性工作中[37]，默顿研究了当风险资产遵循几何布朗运动时投资者财富的最优配置：dS（t）=us（t）dt+σs（t）dW（t），t∈ （0，T），并发现对数实用程序的最佳分配为π*M=uσ，由超额收益与原木价格局部方差的比率组成。相反，在我们的框架中，价格动态aredS（t）=（b（t）- λS（t））dt+σ（t）dW（t）+ψ（t）ZRyN（dy，dt），t∈ （0，T）。这里，时间T的局部方差是连续分量σ（T）和跳跃部分σL（T）方差之和：=ψ（T）RRyν（dy）。

那么，在这种情况下，确定默顿比率π的类似物是自然而然的*Mas′π*（t，s）：=b（t）- λsσ（t）+σL（t）。（4.1）当对（3.8）应用泰勒近似时，该比率自然出现。回想一下最佳规范化策略‘∏*定义为“π”*（t，s）=arg max'π∈πf（(R)π；t，s），其中f（(R)π；t，s）=（b（t）- λs）’π-σ（t）’π+ZR[对数（1+’πψ（t）y）- πψ（t）y]ν（dy）。如果在内点处达到最大值（参见命题3.6），则'π*满足积分方程b（t）- λs- σ（t）’π-ZR'πψ（t）y1+'πψ（t）yν（dy）=0。（4.2）如果我们用零附近的二阶Tay-lor展开代替被积函数，则积分方程变为B（t）- λs- σ（t）’π- πψ（t）ZRyν（dy）=0，（4.3），其唯一解正是策略“a la Merton”π*我们在（4.1）中定义的（t，s）。【12】中引入的类似泰勒截断h，用于研究L'evy过程的近似值，并在【41】中进行了数值测试。此外，[3，40]得出了一个类似的近似策略，用于带跳跃的仓促波动率模型，但它们首先直接近似HJB。其想法是将小跳跃视为一个额外的布朗成分（非常符合[4]的精神），而忽略较大的跳跃。现在，让我们在有限活动情况下引入更精确的近似值。我们假设ν（[m，m]\\{0}）<∞, i、 （2.4）中的跳跃分量实际上是一个复合泊松过程，这通常是应用中最有趣的情况。因此，l'evy度量采用f formν（dy）=ηf（dy），其中η是跳跃强度，f（dy）是跳跃大小分布。根据我们的现有假设，分布F允许单位预期uF和方差σF。

我们提醒，如果通过与我们的设置一致的方式确定最优政策，我们假设无风险利率r为零，并且在交易期间没有消费。16（4.2）中的MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLU一阶条件。让我们在任意（有限）点y附近写出被积函数的泰勒多项式∈ [m，m]\\{0}。因此，我们设置φ（y）：=’πy1+’πψ（t）并计算其导数。将其展开式减至一阶，我们得到φ（y）=πy1+？πψ（t）y+2？πy+？πyψ（t）（1+？πψ（t）y）（y- y） +o（y- y） 。（4.4）然后，（4.2）变成b（t）-λs-σ（t）’π-\'-πψ（t）y1+\'-πψ（t）yν（[m，m]\\{0}）-2‘πψ（t）y+’πψ（t）y（1+’πψ（t）y）ZR（y-y） ν（dy）=0。（4.5）从这个表达式可以清楚地看出，选项y给出了一个重要的简化：=ν（[m，m]\\{0}）ZRyν（dy），因为在这种情况下，一阶项刚好消失。此外，通过编写关于F的L'evy度量，我们看到y对应于跳跃大小的平均值：y=ηRRF（dy）ηZRy F（dy）=uF。（4.6）我们基本上是用被积函数在积分平均值周围的线性近似来代替被积函数，或者，从另一个角度来看，我们是近似ju-mps关于跳跃大小平均值的函数。由于这里我们考虑了跳跃测量特性，因此这与第一近似值“π”略有不同*（泰勒多项式以零为中心）。因此，从（4.5）中，我们得到了以下‘π的近似方程式：-σ（t）ψ（t）uF′π+（uFψ（t）（b（t））- λs）- σ（t）- uFψ（t）η）’π+b（t）- λs=0。（4.7）在σ（t）ψ（t）6=0的情况下，它是变量π中的二阶多项式。因此，对于每个t∈ [0，T]我们有两种（通常）不同的解决方案。然而，只有其中一个是可以接受的，这意味着‘∏*（t，s）∈ 对于s的每个可能值∏。

由于模糊性来自对数的定义域，我们只需要施加条件1+(R)π*ψ（t）uF>0。这会导致‘∏*（t，s）：=p（t，s）+√p（t，s）+4p（t，s）2p（t，s），如果uF>0，p（t，s）-√p（t，s）+4p（t，s）2p（t，s），如果uF<0，其中p（t，s）=uFψ（t）（b（t）- λs）- uFψ（t）η- σ（t），p（t，s）=uF（b（t）- λs）σ（t）ψ（t），p（t，s）=uFψ（t）σ。另一方面，在纯跳跃上下文中（σ（t）≡ 0），我们得到简单的π*（t，s）=-b（t）- λsψ（t）uFb（t）- λs- ηψ（t）uF, （4.8）对于任何uF6=0，对于每个t和s，使得'π*（t，s）定义明确，并将值纳入∏。日内电力市场的最优投资组合174.2。错误界限。为了估计逼近误差，我们计算了最佳归一化策略∏之间的差异*和近似的‘π’*和‘∏*.提案4.1。假设∏包含0和跳跃三阶矩的完整性，即z | y|≥1 | y |ν（dy）<∞,表示σ=min[0，T]σ（T），σν=RRyν（dy）。若我们不是3.3中的情况D（无跳跃），则f或每个t∈ [0，T]它认为|π*（t，·）- π*（t，·）|≤ CZR | y |ν（dy），其中C是一个常数，取决于δ：=dist（π），b∏）、max∏、min∏、m、m、ψ、σ和σν，根据以下不同情况：情况A：C=Cmin{1，ΔψM，-Δψm}如果m 6=-∞, M 6=+∞,Cmin{1，ΔψM}如果M=-∞, M 6=+∞,Cmin{1，-Δψm}如果m 6=-∞, M=+∞.情况B：如果M 6=+∞,到岸价M=+∞.案例C：C=（Cmin{1，-Δψm}如果m 6=-∞,到岸价m=-∞,其中C：=ψσ+ψσνmaxπ∈Ππ.提案4.2。假设我们不在备注3.3的情况D中。此外，我们支持0∈ π，σ（t）和u的值不等于0。

然后对于每个t∈ [0，T]我认为|(R)π*（t，·）- π*（t，·）|≤ηψCσFσ+ηψCuF，其中σ=min[0，T]σ（T），σFis是随机跳跃大小方差的平方根，C，关心常数取决于δ：=距离（π，b∏）、max∏、m in∏、m、m、ψ，根据以下不同情况：情况A：C=max{1，（ΔψM），（ΔψM）}+max{1，ΔψM，-Δψm}，如果m 6=-∞, M 6=+∞,max{1，（ΔψM）}+max{1，ΔψM}，i f M=-∞, M 6=+∞,max{1，（Δψm）}+max{1，-Δψm}，如果m 6=-∞, M=+∞.C=（（1+最大∏ψuF）如果uF>0，（1+最小∏ψuF）如果uF<0.18 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUcase B：C=（最大{1，（ΔψM）}+最大{1，ΔψM}，如果M 6=+∞,如果M=+∞.C=（1+最大∏ψuF）。情况C：C=（max{1，（Δψm）}+max{1，-Δψm}，如果m 6=-∞,如果m=-∞.C=（1+最小∏ψuF）。5、数值示例在本节中，我们用一种最流行的电价模型，即[10]中的因子模型来测试我们的交易策略。在那里，作者在日前市场的背景下，对三种不同的电力现货价格模型进行了关键性的比较。事实上，这是一个典型的拍卖市场，在该市场中，电价在随后的一天固定，因此在一年的时间内，将每日平均价格考虑在内。因此，我们关注不同的市场和价格定义。回想一下，我们采取的是日内市场代理人的观点，这是一个电力交易持续时间为8-27小时（取决于合同）的交易所，通常以季度或每小时远期合同的形式进行交易。然而，我们的目标是利用[10]中的分析，其中模型根据Nord Pool现货市场数据进行校准，主要有两个原因。首先，日内市场的风格化特征与日前价格系列中观察到的特征具有相似的性质，例如尖峰行为、高波动性、瘦肉症（有关更详细的实证研究，请参见[20，33]）。

其次，因子模型基于与（2.4）中相同家族的L'evy Ornstein-Uhlenbeck过程。我们考虑了[10]中的因子模型，该模型最初是在[7]中为电价建模引入的。价格动态写为asS（t）=eQ（t）Z（t），其中Z（t）=nXi=1wiYi（t）是非季节化价格，Q（t）是季节性成分。wi为正权重，而因子Yi（i=1，…，n）为独立的非高斯Ornstein-Uhlenbeck过程，由dyi（t）=-λiYi（t）dt+dLi（t），Yi（0）=Yi，i=1。。。，n、 具有递增路径的独立纯加性过程。当作者在【10】中校准模型时，通过比较理论自相关函数和经验自相关函数，他们将因子的最佳数量设置为n=2。平均回归的估计速度为λ=0.0087和λ=0.3333。在本文中，这两个值分别被解释为基信号（最慢）和尖峰信号（最快）。我们从这里开始定义我们的方程。具体而言，eir数据系列范围为2000年7月13日至2008年8月7日，其中包括2099天（周末除外）。t的卸载时间为1天。因此，为了使其适应我们涵盖日内交易小时数的时间线，首先我们将日内电力市场19中的最佳投资组合设定为e小时作为我们的时间单位，即我们将时间变量ch an ge u=24·t。然后，表示C:=24，我们通过重新调整峰值速度（λ=0.3333）的时间尺度，在我们自己的模型中设置平均回复速度λ，即取λ=λ/C=0.0139。驱动过程L是一个复合泊松过程，其中ju mp强度（最初由文献[27]采用）与季节相关。此外，跳跃大小分布为帕累托分布（α，z），其中α=2.5406，z=0.3648，密度函数f（y）=αzαyα+1。

因此，我们是在正跳跃的情况下：对于前面部分的旋转，supp（ν）=[z+∞), i、 e.m=z，m=+∞ ,b∏=0+∞) andF（dy）=f（y）dy。集合∏可以是b∏的任何包含0的紧子集。为了让我们自己的问题有意义，另一个需要解决的问题是降低跳跃强度的季节性。具体而言，强度的形式如下：e（t）=θ·s（t）=θ·1+| sin（πt-τk）|- 1.其中θ=14.0163表示峰值聚集时间内每个时间单位的预期峰值数量，而季节参数由作者的校准程序k=0.5，τ=0.42，d=1.0359设定。然后，我们决定计算e（t）在其时间周期内的积分平均值，即2k，得到u：=3.7249，这样，在重新缩放后，我们的强度η：=u/C=0.1552。综上所述，我们每小时日内市场的电价是比亚迪（t）=（b（t）- λS（t））dt+dL（t），（5.1），其中λ=λ/C=0.0139是平均回复速度，L是复合泊松过程，跳跃强度η=u/C=0.1552，跳跃大小分布为参数α=2.5406和z=0.3648的帕累托定律。因此，跳跃中不存在布朗成分，跳跃波动率的系数被归一化为1（σ≡ 0和ψ≡ 1). 特别需要注意的是，L是一个从属项，它使价格保持为正。drif t值Bc不能直接从【10】中得出，它不是尖峰信号的一部分，因此将在后面讨论。让我们为精确的归一化策略‘π’建立方程*= π*（t，s），定义在积分方程（3.8）中，即（b（t）- λs）- ηZR'π*y1+(R)π*yf（y）dy=0，或者，用价格水平s表示，s=b（t）λ-ηλ·Z∞z'π*y1+(R)π*yf（y）dy，（5.2），其中f（y）=αzαyα+1是帕累托定律的密度，η是L的跳跃强度。