价格冲击和动态金融传染下的资本监管

如前所述，我们假设θ（0）≥ θmin>0，以便公司在时间0时满足资本比率要求。因此，当θ（t）>0（即资本为正）时，θ随时间的变化如下：˙θ（t）=q（t）[s- Γ（t）][α（(R)p- x个- ψ（t）- l) + αll] + α˙Γ（t）q（t）（[s- Γ（t）]q（t）- [(R)p- x个- ψ（t）- l])（α[s- Γ（t）]q（t）+αll)（2） 如果价格变化和从清算中回收的现金由˙q（t）=f′t（t）fΓ（t））+˙Γ（t）ft（t）f′Γ（t）），（3）˙ψ（t）=f′（t）q（t）。（4） 作为一个简化假设，除非θ（t），否则不会发生清算≤ θmin。因此，企业第一次采取行动是在时间τ，使得ft（τ）=q：=\'p-x个-(1-αlθmin）l(1-αθmin）s.如果输入∈[0，T]ft（T）>(R)q此时不会发生再销售。一旦公司开始行动，我们假设它只在保持资本比率要求的范围内行动。假设一家公司有可能（如本节后面所证明的）在任何时候都能够通过单独液化保持监管要求，即θ（t）≥ θmin对于所有时间t，我们可以在θ（t）中去掉企业资本的正指标函数，因为它总是满足θ（t）≥ θmin。因此，通过求解˙θ（t）=0（其中（2）中的指示器函数等于1），我们可以得出结论：˙Γ（t）=-˙q（t）[秒- Γ（t）][α（(R)p- x个- ψ（t）- l) + αll]αq（t）（[s- Γ（t）]q（t）- [(R)p- x个- ψ（t）- l]){θ（t）≤θmin}。（5） 为了简化旋转，我们将构造映射：Z（t，Γ（t），q（t），ψ（t））=[s- Γ（t）][α（(R)p- x个- ψ（t）- l) + αll]αq（t）（[s- Γ（t）]q（t）- [(R)p- x个- ψ（t）- l]){θ（t）≤θmin}。事实上，通过逆需求函数的单调性，我们进一步得出，在任何时间t，一个固定的w将保留θ（t）=θ最小边界≥ τ=inf{t∈ [0，T]|θ（T）≤ θmin}前提是它不会耗尽可供出售的非流动资产。

因此，通过求解价格作为方程θ（t）=θmin的清算函数，我们发现q（t）=p- x个- ψ（t）- l(1 - αθmin）（s- Γ（t））+αlθmin1- αθminl ∈ R++（6）表示t≥ τ. 这直接提供了价格作为银行账簿的函数。根据（6）中价格q（t）的表示，我们重新排列了条款，以发现- Γ（t）]q（t）- [(R)p- x个- ψ（t）- l] =αθmin[(R)p- x个- ψ（t）- l] + αlθminl1.- 任意时间t的αθmin≥ τ（如果θ（t）等效）≤ θmin）。因此，我们可以将Z重写为仅依赖于时间和清算viaZ（t，Γ）=（1- αθmin）[秒- Γ]αθminft（t）fΓ（Γ）{t≥τ}.事实上，我们可以将˙Γ（t）与˙q（t）解耦，从而直接考虑q（t）=ft（t）fΓ（Γ（t））和˙Γ（t）来求解微分方程：˙Γ（t）=-Z（t，Γ（t））f′t（t）f′t（t））1+Z（t，Γ（t））ft（t）f′（t））（7）备注3.3。特别令人感兴趣的是˙Γ（t）6≥ 一般为0。根据假设3.1，我们得到f′t（t），f′Γ（Γ）≤ 0表示所有时间t和清算Γ。使用先前的计算，如之前讨论的任何时间t≥ τ、 我们可以得出这样的结论：Z（t，Γ（t））≥ 因此˙Γ（t）=-Z（t，Γ（t））f′t（t）f′（t））1+Z（t，Γ（t））ft（t）f′（t））≥ 0当且仅当ft（t）f′Γ（t））≥ -Z（t，Γ（t）），否则˙Γ（t）<0，银行将以给定的价格q（t）购买资产。由于财务理论和实践都表明，在危机时期不会发生紧急采购，我们利用以下结果来校准模型的风险权重，以便适当考虑再销售。形式上，如上所述，设τ：=in f{t |θ（t）≤ θmin}=inf{t | ft（t）≤ \'q}是第一次达到监管边界。引理3.4。设逆需求函数fΓ为（s- Γ）f′Γ（Γ）/fΓ（Γ）≤ 0表示所有Γ均不减损∈ [0，s）.如果α∈ (-sf′Γ（0）（1）-sf′Γ（0））θmin，θmin）然后是任何溶液Γ：[τ，T]→ （7）中的R表示Γ（t）∈ [0，s）和˙Γ（t）≥ 0表示所有时间t。备注3.5。

在先验引理中，我们需要（s）上的单调性条件-Γ）f′Γ（Γ）fΓ（Γ）。这一术语是当清算Γ单位时（下一个边际单位在外部清算）持有的单位的“等效”边际变化与价格变化。也就是说，在价格边际变化下，企业的财富下降了相同数量，就好像企业持有（s）-Γ）f′Γ（Γ）fΓ（Γ）账面上的非流动资产减少。在这种情况下，该术语提供了以当前价格出售以抵消价格变动所需的单位数量。因此，假设资产流动性不动产意味着企业无需提高其出售非流动资产的速度来抵消其自身的市场影响。定理3.6。考虑带α的引理3.4的设置∈ (-sf′Γ（0）（1）-sf′Γ（0））θmin，θmin）。存在唯一解（Γ，q，ψ）：[0，T]→ [0，s）×R++×[0，p- x） 对于微分系统（7）、（3）和（4）（因此对于θ以及（2））。备注3.7。注意到-sf′Γ（0）1-sf′Γ（0）∈ [0，1）因为f′Γ（0）≤ 0根据假设3.1，我们现在可以从引理3.4中确定适当的风险权重，即α∈ (-sf′Γ（0）（1）-sf′Γ（0））θmin，θmin）。如果风险权重设置过低，即α∈ [0, -sf′Γ（0）（1）-sf′Γ（0））θmin），则银行将购买资产，以保持在监管阈值，而不是按照预期和实践观察进行清算。α<-sf′Γ（0）（1）-sf′Γ（0））θ很好，虽然我们只关注与真实性相匹配的风险权重。事实上，风险权重α的这一较低阈值可以被视为将资产的非流动性（以f′Γ（0）衡量）映射到可接受的风险权重的函数，而不是基于启发式进行选择。备注3.8。上述存在性和唯一性结果表明，该公司永远不会清算其整个（可交易）投资组合。

如果流动资产或不可交易资产的价值也随着时间的推移而增加，则情况并非如此；在这种情况下，公司可能会耗尽资产进行清算。由于清算动态（直到公司完全失去流动性为止），包括存在性和唯一性结果，似乎与本文所述的设置相似，我们关注的是不可交易资产在（短期）内具有固定价值的简单设置【0，T】。研究这一更简单的设置的价值在于，它提供了在银行倒闭之前通过捕捉零售流程的动态来确定适当风险权重α的现成途径，而无需对倒闭事件进行建模。我们将通过考虑两个反向需求函数fΓ的例子来结束本节：线性和指数价格影响。具有OUT价格影响的市场是通过设置b=0的反向需求函数的特例。示例3.9。考虑企业行为对价格的线性影响，即F（t，Γ）=ft（t）（1）- bΓ）对于b∈ [0，s）.引理3.4的逆需求函数的条件对于任何选择b都是满足的∈ [0，s）。此外，风险权重条件，α>-sf′Γ（0）（1）-sf′Γ（0））θmin满足当且仅当α>sb（1+sb）θmin。特别是，如果α≥2θmin当零售情况始终实现时，不依赖于价格影响参数b。示例3.10。考虑一下企业行为对价格的影响是指数级的，即F（t，Γ）=ft（t）exp(-bΓ）对于b≥ 对于任何选择b，满足引理3.4的逆需求函数f的条件≥ 此外，风险权重条件，α>-sf′Γ（0）（1）-只有当α>sb（1+sb）θmin.3.2具有单一代表性可交易非流动资产的n银行系统的资本比率要求与第3.1节中的设置相同，但具有n≥ 1银行。

在本节中，我们将确认我拥有由流动资产单位、非流动资产（可交易）单位确定的初始银行账簿，l不可交易非流动资产单位和“固定资产”。此外，我们将考虑M≥Pni=1si。反向需求函数仍假定遵循假设3.1。假设θi（0）≥ θmin，我们知道，除非θi（t），否则我不会采取任何行动≤ θmin.与1银行案例一样，第一次出现在“qi=”pi-xi-(1-αl,iθmin）li（1-αθmin）si。如果输入∈[0，T]ft（T）>最大值，则不会发生再销售。当一家公司确实需要采取行动时，我们会假设这只足以使该公司保持资本比率要求。因此，当θi（t）时，通过求解θi（t）=0≤ θmin（按照第3.1节的n=1河岸设置构造），我们可以得出：˙i（t）=-˙q（t）[si- Γi（t）][α（(R)pi- xi- ψi（t）- li） +αl,我li] αq（t）（[si- Γi（t）]q（t）- [(R)pi- xi- ψi（t）- li] ）{θi（t）≤θmin}，其中˙q（t）=f′t（t）fΓ（Pni=1Γi（t））+hPni=1˙i（t）ift（t）f′Γ（Pni=1Γi（t））和˙ψi（t）=i（t）q（t）。（8） 如前一节所述（在考虑了价格必须如何演变以使公司保持所需的资本比率后），让我们考虑mappingZi（t，Γ）=（1- αθmin）[si- Γi（t）]αθminft（t）fΓ（Pnj=1Γj）{θi（t）≤θmin}。通过这种映射，我们可以考虑Γ和q的联合微分方程：˙Γ（t）=-我+Z（t，Γ（t））~ft（t）f′Γ（nXj=1Γj（t））-1.Z（t，Γ（t））f′t（t）fΓ（nXj=1Γj（t））（9） ˙q（t）=f′t（t）fΓ（Pni=1Γi（t））1+[Pni=1Zi（t，Γ（t））]ft（t）f′Γ（Pni=1Γi（t））（10），其中~1：=（1，1，…，1）∈ 注册护士。设τ=0，τk+1：=inf{t∈ [τk，T]|i：θi（t）≤ θmin，θi（τk）>θmin}，τn+1=T。因此，我们将命令银行≥ \'qi+1对于每个i。由于单调性，这意味着银行k仅在第一个k之后达到监管阈值- 1银行。引理3.11。

设逆需求函数fΓ为（M- Γ）f′Γ（Γ）/fΓ（Γ）≤ 对于任何Γ，0是不减损的∈ [0，M）.如果α∈ (-Mf′Γ（0）（1）-Mf′Γ（0））θmin，θmin）然后是任何溶液Γ：[0，T]→ Rnof（9）表示Γ（t）∈ [0，s），˙Γ（t）∈ Rn+，和˙q（t）≤ 所有时间t均为0。利用过程单调性的结果，我们能够确定金融传染下系统的存在性和唯一性的结果。推论3.12。考虑带α的引理3.11的设置∈ (-Mf′Γ（0）（1）-Mf′Γ（0））θmin，θmin）。存在唯一解（Γ，q，ψ）：[0，T]→ [0，s）×R++×[0，p- x） 对于微分系统（9）、（10）和（8）（因此对于θ也是如此）。备注3.13。与单个气缸组n=1设置一样，我们可以考虑风险权重设置过低的情况。在这些参数下，最终一家银行可能会开始购买资产，而不是清算，以满足资本要求。对于n bank案例，此设置中仍然存在解决方案，但唯一性将不再成立。备注3.14。我方希望将备注3.8的评论扩展到与n家银行的交易。与单一企业一样，如果非交易资产由于金融冲击而随着时间的推移价值不断下降，那么企业可能会耗尽可供出售的流动资产，从而可能倒闭。因此，如推论3.12中所述的结果在所有时间内都有效，仅在不可交易资产随时间具有恒定价值的特殊情况下有效。

与备注3.8中考虑的单一资产设置一样，在银行故障之间，系统动力学行为有时如本工作所述；银行发生故障后，系统参数将适当更新（从可能的故障传染），然后本文所述的持续零售模型将再次开始，直到达到终端时间T或另一家银行发生故障。3.3具有m个可交易非流动资产的n银行系统中的资本比率要求考虑与第3.1节中相同的设置，但具有n≥ 1家公司和m≥ 1可交易非流动资产。在本节中，我们将假设公司流动性按其持有量的比例分配其可交易资产∈ Rm+。值得注意的是，我们表示银行清算资产的比例，时间t由∏i（t）给出。通过这种方式，我们可以确定总清算向量由Γi（t）=si∏i（t）给出。如前一节所述，我们将考虑Mk提供的可转换非流动资产的（公关-再销售）市值≥Pni=1sik。每个资产集的反向需求函数仍将假定为遵循假设3.1，即资产k具有反向需求函数fk（t，Γk）：=ft，k（t）fΓ，k（Γk），对于任何时间t和资产清算Γk。我们通常会考虑反向需求函数的向量ft（t），fΓ（Γ）∈ Rm++简化表示法。如前几节所述，我们可以构建θ随时间的变化曲线，以确定必要的清算，从而使所有公司都满足资本比率要求。

使用上述同一逻辑，我们可以考虑部分清算∏的联合微分方程、价格向量q和清算交易资产所获得的现金ψ：˙∏（t）=-I+Z（t，diag[π（t）]s）diag[ft（t）]d iag[f′Γ（sπ（t））]s-1×Z（t，diag[π（t）]s）diag[f′t（t）]fΓ（s∏（t））（11）˙q（t）=I+diag[英尺（t）]d iag[f′Γ（sπ（t））]sZ（t，diag[π（t）]s）-1diag[f′t（t）]fΓ（sπ（t））（12）˙ψ（t）=diag[˙∏（t）]sq（t）（13）Z（t，Γ）=diag{θ（t）≤θmin}Diags diag[αθmin]diag[ft（t）]fΓ（Γ~1） 我-1（s）- Γ）（I）- diag[αθmin]）。（14） 引理3.15。设逆需求函数fΓ为（Mk- Γk）f′Γ，k（Γk）/fΓ，k（Γk）≤ 0对于任何Γk都是不减损的∈ [0，Mk）对于每个资产k。如果αk∈ (-Mkf′Γ，k（0）（1）-Mkf′Γ，k（0））θmin，θmin）对于每一组k，则任何溶液∏：[0，T]→ Rnof（11）为∏（t）∈ [0，1）n，˙∏（t）∈ Rn+，和˙q（t）∈ -Rm+对于所有时间t。利用过程单调性的结果，我们能够确定金融传染下系统的存在性和唯一性的结果。推论3.16。考虑带αk的引理3.15的设置∈ (-Mkf′Γ，k（0）（1）-Mkf′Γ，k（0））θmin，θmin）对于每个yasset k存在唯一解（π，q，ψ）：[0，T]→ [0，1）n×Rm++×[0，p-x） 到微分系统（11）、（12）和（13）（也就是θ）。4分析压力测试边界如引理3.4、3.11和3.15的证明所述，我们能够确定s y系统中每个公司出售资产数量的上限。在以下结果中，我们将对这些估计进行重新定义，并利用这些估计确定金融系统健康的简单分析最坏情况结果。因此，考虑到每家公司的初始银行账簿，可以轻松确定系统健康状况的启发式方法。

从数学上讲，这是由T heorem 4.1提供的。根据这一结果，我们将给出一个快速示例，以证明这些边界在考虑随机应力测试时的价值。自始至终，我们将回顾，在单一资产设置中，当q（t）=qi时，公司i达到监管阈值θminh。对于本节的指标，我们将考虑在引理3.15的证明中进行的资本比率分解。根据这一概念，我们将清算的个别价格界限定义为“qi=”pi- xi- (1 - αl,iθmin）liPmk=1（1- αkθmin）适用于任何银行i。请注意，这些阈值不取决于所考虑的资产。在不丧失一般性的情况下，如前所述，我们将假设企业的订单是以“QI”为递增序列的。我们希望注意到，以下分析界限虽然对于单一资产m=1设置很严格（见下文第5节中的数值示例），但对于m≥ 2资产设置。然而，将g'q作为衡量每家公司风险的指标的启发性方法需要在m≥ 2设置。定理4.1。考虑带n的推论3.16的设置≥ 1个银行（按递减“q”排序）和m≥ 1资产。确定精确行为t 7的近似命中时间τ和界限→对于k=1。。。，n： ∏i（t）=最大值=1，。。。，m（Γnil（t）sil | sil>0）~Γkil（t）={t<τkl}k-1il（t）+{t≥τkl}“sil- （sil-^1Γk-1il（￠τkl））ft，l（t）ft，l（|τkl）1.-αlθminαlθmin∧∧kl#如果i≤ k0其他τkl=inf（t∈ [°τk-1，l，T]ft，l（t）fΓ，lk-1Xi=1Γk-1il（t）！≤ (R)qk）∧kl=1+1- αlθminαlθminkXj=1（sjl-^1Γk-1jl（￠τkl））f′Γ，l主键-1j=1Γk-1jl（￠τkl）fΓ，l主键-1j=1Γk-1jl（￠τkl）式中：△τ0l=0、△τn+1、l=T和△il（T）≡ 0

然后∏i（t）≤∏ni（t）对于所有时间t∈ [0，T]且所有系数均为1。。。，n、 有了这个一般的分析结构，我们现在希望将注意力转向反向需求函数的特定选择，以提供一些额外的结果。特别是，如Remark 3.2所述，我们将选择示例3.10中考虑的指数逆需求函数来推导精确的分析公式。在本节的其余部分中，我们将使用lamber t W函数W：[- 经验值(-1), ∞) → [-1.∞], i、 e.，x 7的逆映射→ x exp（x）。推论4.2。考虑定理4.1的设置。固定资产k=1。。。，m、 然后，考虑一个指数逆需求函数fΓ，k（Γk）：=exp(-bkΓk），如示例3.10中的bk≥ 可以为任何i=1，…，显式提供分析压力测试界限。。。，n： Γnik（t）=sik1.-nYj=ift，k（t∧ §τj+1，k）ft，k（t∧ τjk）1.-αkθminαkθmin∧jkτik=f-1t，k（(R)q1k），如果i=1f-1t，k∧i-1，千瓦νi-1，k∧i-1，kexp1.-αkθminαkθmin∧i-1，k[对数（\'qik）+bkPi-1j=1sjk]νi-1，kαkθmin∧i-1，k1-αkθmin如果我∈ {2，…，n}∧∧ik=1- bk1型- αθminαθminiXj=1sjki-1Yh=jft，k（|τh+1，k）ft，k（|τhk）1.-αkθminαkθmin∧hkνik=1-∧ikftk（▄τik）1-αkθminαkθmin∧ikwhere∧ 表示最小运算符。备注4.3。推论4.2中提供的扩展形式Γniknik适用于任何逆需求函数fΓ，kand不依赖于指数形式的选择。