价格冲击和动态金融传染下的资本监管

首先，对于所有时间t∈ [0，τ]存在唯一解，由∏（t）=0，q（t）=ft（t），ψ（t）=0给出。遵循推论3.12中的相同论证，我们将遵循归纳论证来证明存在性和唯一性。为了证明这一点，我们将替换ithconditionθi（t）≥ θminwithPmk=1（1- αkθmin）sikft（t）fΓ（Pnj=1sjk∏j（t））≤ “”pi- xi- (1 - αl,iθmin）lias，byconstruction，一旦银行达到监管门槛，它将一直保持到最后期限。假设对于某些k，在时间τk之前，我们有解∏（t）的存在性和唯一性∈ {1，2，…，n}，那么我们希望证明我们可以继续这个解直到τk+1∈ [τk，T]。在引理3.15的证明中，我们将对银行进行重新排序，以便在τkandτk+1之间，只有前k家银行开始清算资产。即θi（τk）≤ θminif且仅当i≤ k、 引理3.15，∏i（τk）≥ 0表示所有银行i。设∧为引理3.15的证明，定义域Uk=Tml=1Π ∈ [0，1]n |∧kl（sΠ) ≥∧l（τk）式中∧k：[0，M]→ Rmis由∧kl（Γ）定义：=1+1-αlθminαlθmin[（Pkj=1sjl）-Γl]f′Γ，l（Γl）fΓ，l（Γl）对于所有l=1。。。，m、 我们希望注意到，通过∧kl在[τk，τk+1]上的时间不递减，任何解都必须位于Uk，即它必须满足∏（t）∈ UK适用于任何时间t∈ [τk，τk+1]。因此，根据定理3.6的逻辑，我们可以得出结论，【τk，τk+1】或【τk，T】上存在唯一解*) 带T*≤ τk+1。在前一种情况下，证明了结果。后者使用与定理3.6中相同的边界参数进行反驳，引理3.15中提供了∏的上界。D第4节的证明对于以下证明，我们将只关注m=1资产框架，其中银行按递减q排序。一般情况是引理证明3.15中有界论证的结果。D、 1定理4.1的证明。

我们将在单一资产案例中归纳证明这一点。回想一下引理3.11顶部对∧的定义，即∧（t，Γ）=1+Pnj=1Zj（t，Γ）ft（t）f′Γ（Pnj=1Γj）。1、首先，通过定义，可以清楚地看出，对于所有时间t，τ=τ和Γ（t）=Γ（t）=0∈ [0, ~τ]. 因此∧∧=∧（τ，0）。通过引理3.4的证明，我们知道˙Γ（t）≤ -(1-αθmin）f′t（t）αθminft（t）∧（s）-Γ（t））对于t∈ [τ, τ]. 如引理3.4的证明所示，我们可以得出Γk（t）≥ Γ（t）对于所有时间t∈ [°τ，τ]对于任何迭代k=1。。。，n通过构造为Γ是该微分不等式的最大解。2、固定k∈ {1，2，…，n- 1} 并假设Γki（t）≥ Γi（t）对于所有时间t∈ [0，τk+1]和任何系数=1。。。，k、 这意味着，对于任何^k≥ k，Γ^ki（t）≥ Γi（t）对于所有时间t∈ [0，τk+1]也是如此。假设τk+1<T，否则证明是完整的。通过逆需求函数的单调性，τk+1≤ τk+1，带Γki（Γτk+1）≥ Γi（Γτk+1）对于任何i=1。。。，k、 特别是，这意味着∧k+1≥∧（Γτk+1，Γ（Γτk+1））。通过引理3.11的证明，我们可以证明˙i（t）≤ -(1-αθmin）f′t（t）αθminft（t）∧k+1（si- Γi（t））表示t∈ [°τk+1，τk+2）和i=1，…，k+1。我们注意到，这是一个比引理3.11中给出的更严格的界限，但使用相同的逻辑存在。求解该微分不等式的最大解提供了必须满足k+1i（t）的解k+1≥ Γi（t）对于所有时间t∈ [0，τk+2，T]。D、 2推论4.2证明。

首先，我们将证明Γni（t）具有所提供的扩展形式。ni（t）={t<τn}n-1i（t）+{t≥τn}硅1.-ft（t）ft（|τn）1.-αθminαθmin∧n+Γn-1i（|τn）ft（t）ft（|τn）1.-αθminαθmin∧n={t<τn-1} Γn-2i（t）+{t≥τn-1} Γn-1i（|τn）-1） nYk=n-1.英尺（t∧ §τk+1）ft（t∧ §τk）1.-αθminαθmin∧∧k+{t≥τn-1} sinXj=n-1.1.-英尺（t∧ §τj+1）ft（t∧ τj）1.-αθminαθmin∧jnYk=j+1英尺（t∧ §τk+1）ft（t∧ )τk）1.-αθminαθmin∧∧k={t<τi}Γi-1i（t）+{t≥τi}sinXj=i1.-英尺（t∧ §τj+1）ft（t∧ τj）1.-αθminαθmin∧jnYk=j+1英尺（t∧ §τk+1）ft（t∧ §τk）1.-αθminαθmin∧k=sinXj=i1.-英尺（t∧ §τj+1）ft（t∧ τj）1.-αθminαθmin∧jnYk=j+1英尺（t∧ §τk+1）ft（t∧ §τk）1.-αθminαθmin∧k=si1.-nYj=i英尺（t∧ §τj+1）ft（t∧ τj）1.-αθminαθmin∧j.倒数第二行使用的f动作是Γi-1i（t）=0，对于所有时间t，按构造和ft（t∧τj+1）/ft（t∧ τj）=每j为1≥ 如果t<τi.现在，让我们考虑∧的形式，它对fΓ的指数形式有好处：∧i=1+1- αθminαθminiXj=1（sj-Γi-1j（|τi））f′Γ圆周率-1j=1Γi-1j（|τi）fΓ圆周率-1j=1Γi-1j（|τi）= 1.- b1级- αθminαθminiXj=1sj公司ft（|τi∧ §τj+1）ft（§τi∧ τj）1.-αθminαθmin∧jnYk=j+1ft（|τi∧ §τk+1）ft（§τi∧ §τk）1.-αθminαθmin∧k= 1.- b1级- αθminαθminiXj=1sji-1Yk=jft（|τk+1）ft（|τk）1.-αθminαθmin∧k最后，让我们考虑分析性最坏情况定价过程达到“qi”的时间，即如果所有公司都遵循最坏情况路径，则公司i达到监管阈值θmin的时间。由于没有企业在▄τ=τ之前采取行动，这可以很容易地计算为▄τ=f-1t（(R)q）。考虑nowi=2。。。，n、 回想一下“q”≥ \'\'q≥ ...

≥ \'qn，并假设t≥ τi-1： \'qi=英尺（t）fΓ我-1Xj=1Γnj（t）<=> \'qi=英尺（t）fΓ我-1Xj=1sj-我-1Xj=1sji-1Yk=j英尺（t∧ §τk+1）ft（§τk）1.-αθminαθmin∧k<=> 日志（(R)qi）-我-1Xj=1sj=对数（ft（t））+铋-1Xj=1sji-1Yk=j英尺（t∧ §τk+1）ft（§τk）1.-αθminαθmin∧k<=> 日志（(R)qi）-我-1Xj=1sj=对数（ft（t））+bft（t）1-αθminαθmin∧i-1ft（℃τi-1)1-αθminαθmin∧i-1.我-1Xj=1sji-2Yk=jft（|τk+1）ft（|τk）1.-αθminαθmin∧k<=> 日志（(R)qi）-我-1Xj=1sj=对数（ft（t））+αθmin1- αθminνi-1ft（t）1-αθminαθmin∧i-1.<=> 英尺（t）=∧i-1瓦νi-1▄∧i-1exp1.-αθminαθmin∧i-1hlog（\'qi）+bPi-1j=1sjiνi-1.αθmin∧i-11-αθ心。3推论4.4证明。首先，在我们证明推论4.4中提供的界之前，我们需要证明∧kandνkdo不依赖于逆d emand函数ft的参数a，也就是说，它们在这个问题上是恒常的。对于k=1，…，我们将通过在∧k，νk和f（∧τk）上联合归纳来实现这一点。。。，n（对于假定值∧=1、ν=0和f（∧τ）=1，情况通常如此）。1、固定k=1，然后∧=1- b1级-αθminαθmin，f（|τ）=q，ν=1-∧ft（￠τ）1-αθminαθmin∧。由于∧和f（∧τ）不依赖于参数a，那么ν也不依赖于参数a。2、固定k∈ {2，…，n}并假设（∧i，νi，f（∧τi））k-1i=1不依赖于参数a。根据推论4.2，f（τk）只依赖于∧k-1和νk-1，因此不取决于参数。此外，∧konly依赖于（ft（∧τi））ki=1，而（从前面的陈述中）它不依赖于a。最后，νkonly依赖于（∧i，ft（∧τi））ki=1，因此它也不依赖于a。我们将通过归纳法证明概率的界：1。让q*∈ [(R)q，1]（即k=0）。对于此类事件的发生，任何公司都不会达到监管阈值，因此必须是q（t）=ft（t）的情况。因此，P（q（t）≥ q*) = P（英尺（t）≥ q*) = P一≤ -tlog（q*)= P一≤tΦ-1（对数（q*)).2、假设所提供的界对任何q都是真的*∈ [(R)qk，1]。

现在让q*∈ [\'qk+1，\'qk）.P（q（t）≥ q*) = P（q（t）≥ \'\'qk）+P（q（t）∈ 【q】*, (R)qk））≥ 帕≤ Φ-1公里-1（对数（q*) + 黑色-1Xi=1si）！+Pft（t）fΓkXi=1Γni（t）！∈ 【q】*, (R)qk）！现在我们想展示一下我们学期最后一个学期的形式。Pft（t）fΓkXi=1Γni（t）！∈ 【q】*, \'\'qk）！=P-在- bkXi=1Γni（t）∈ [日志（q*), 日志（(R)qk））！=P-在+αθmin1- αθminνkft（t）1-αθminαθmin∧k∈ [日志（q*) + bkXi=1si，log（(R)qk）+bkXi=1si）！=P-在+αθmin1- αθminνkexp-at1- αθminαθmin∧k∈ [日志（q*) + bkXi=1si，log（(R)qk）+bkXi=1si）！=帕∈ (Φ-1klog（(R)qk）+bkXi=1si！，Φ-1klog（q*) + bkXi=1si！]！。结果来自Φ-1公里-1（对数（(R)qk）+bPk-1i=1si）=Φ-1k（对数（(R)qk）+Pki=1si），如下所示：Φ-1公里-1日志（(R)qk）+黑色-1Xi=1si=αθmin1- αθminνk-1ft（￠τk）1-αθminαθmin∧k-1.-“日志（(R)qk）+黑色-1Xi=1si#=αθmin1- αθminνkft（|τk）1-αθminαθmin∧k-“log（(R)qk）+bkXi=1si#=αθmin∧k1- αθmin！1.-∧∧k∧∧k！-“log（(R)qk）+bkXi=1si#=αθmin∧k1- αθmin！W1级-∧∧k∧∧kexp“1-∧k ∧k#！-“log（(R)qk）+bkXi=1si#=αθmin∧k1- αθmin！Wνk∧kft（|τk）1-αθminαθmin∧kexp“1- αθminαθmin∧kbkXi=1[si-Γni（Γτk）]#！-“log（(R)qk）+bkXi=1si#=Φ-1klog（(R)qk）+bkXi=1si！。参考文献[1]Hamed Am ini、Damir Filipovi\'c和Andreea Minca。具有清算费用的支付系统均衡的唯一性。运筹学快报，44（1）：1-52016。[2] 马克西姆·比丘奇和扎卡里·范斯坦。优化systemicrisk中的财务销售和借款。《暹罗金融数学杂志》，10（1）：68–882019年。[3] Yann Braouezec和Lakshith e Wagalath。压力情景下基于风险的资本要求和最优清算。《金融评论》，22（2）：747–7822018。[4] Yann Braouezec和Lakshithe Wagalath。战略性零售和价格中介的银行体系传染。《欧洲运筹学杂志》，274（3）：1180–11972019。[5] Fabio Caccioli、Munik Shrestha、Cristopher Moore和J.Doyne Farmer。投资组合重叠导致金融传染的稳定性分析。

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