价格冲击和动态金融传染下的资本监管

最后，我们注意到，这种对称性银行系统的聚合系统的行为与完全多样化的设置ζ=1完全一样，但即使是小型异构系统也能产生很大的影响。0 0.2 0.4 0.6 0.8多元化3.53.523.543.563.583.63.623.643.663.683.70.750.80.850.90.95多元化对市值和价格的影响总市值：2银行总市值：资产总系统价格1：资产2银行总系统价格1：资产2银行总系统价格2：资产2银行总系统价格（a）终端市值和资产价格作为投资组合多样性和多元化的函数ζ。0 0.2 0.4 0.6 0.8多元化0.050.10.150.20.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9多元化对清算的影响清算：银行1清算：银行2清算：聚合时间：银行1时间：银行2时间：聚合（b）最终fr诉讼清算∏i（1）和第一次清算时间τ是投资组合多样性和多元化ζ的函数。图6：示例5.4：投资组合多样性和多元化对资产价格和持有量的影响。6结论在本文中，我们考虑了价格中介传染的动态模型，该模型扩展了[8、15、3、4]的工作。这项工作的重点是资本比率要求和风险加权资产。在分析该模型时，我们确定了资产的适当风险权重的界限，该资产依赖于资产本身的流动性，通过资产清算的价格影响行为建模。在适当的风险权重下，我们发现企业行为和系统健康的存在性和唯一性。然而，虽然可以用标准方法计算模型的输出，但无法找到解析解；提供了压力情景下系统健康状况的分析界限。

该分析应力测试范围可用于分析随机应力，并确定系统健康的概率。我们希望注意到，该模型的一个重要方面是更充分地考虑不可交易资产的价格随时间而下降的情况，从而考虑到银行破产。通过确定一段时间内的银行破产，对破产事件和违约传染进行适当建模，并确定违约后更新的系统参数（将在当前提议的模型上运行），将是一项有趣的练习，以更密切地模拟传染事件的实际。第3.1节的证明确定了映射∧（t）：=1+Z（t，Γ（t））ft（t）f′（Γ（t）），这将在以下许多证明中使用。A、 引理3.4证明。我们将证明，如果解存在，那么它必须满足单调性。为此，首先，我们注意到风险权重α的条件等价于αθmin<1和∧（τ）>0。因此，我们发现˙Γ（τ）>0。现在我们想证明∧（t）与∧（t）具有相同的符号，即∧（t）∧（t）≥ 0∧（t）=1+Z（t，Γ（t））ft（t）f′Γ（Γ（t））=1+1- αθminαθmin- Γ（t）fΓ（t））f′Γ（t））˙∧（t）=1- αθminαθmindt（s- Γ（t））f′Γ（t））fΓ（t））=（1- αθmin）˙Γ（t）αθmindΓ（s）- Γ）f′Γ（Γ）fΓ（Γ）Γ=Γ（t），因此，通过αθmin∈ （0，1），我们发现˙Γ（t）˙∧（t）≥ 0当且仅当ifddΓ（s）- Γ）f′Γ（Γ）fΓ（Γ）Γ=Γ（t）≥ 0根据假设，这是正确的。现在我们将使用一个归纳参数来证明∧（t）>0对于所有时间t∈ [τ，T]：o在τ时，我们（假设）∧（τ）>0任何时候t∈ [τ，T）使得∧（T）>0，那么对于每个u，它必须是∧（u）>0处的th∈ [t，t+]对于某些>0，通过Γ的连续性，因此∧的连续性（并且∧正好大于0）。o任何时候t∈ （τ，T）使得每u∧（u）>0∈ [τ，t）然后˙Γ（u）>0，并且作为一个序列，˙∧（u）≥ 每u 0∈ [τ，t）。

这也意味着∧（t）>0。因此，如果∧（τ）>0，则必须保持∧（t）≥ 始终t的∧（τ）≥ τ（表示˙Γ（t））≥ 所有时间t为0≥ τ).最后，我们将证明，如果解Γ：[0，T]→ R存在，则Γ（t）<s始终为t∈ [0，T]。定义Γ（t）=0表示所有时间t∈ [0，τ]，所以我们从Γ（τ）=0开始。TakeT公司*= inf{t∈ [τ，T]|Γ（T）≥ s} 并假设这个in-finum被接管了一个非空集。Onu∈ [τ，T*) 我们有：˙Γ（u）=-Z（u，Γ（u））f′t（u）fΓ（Γ（u））∧（u）≤ -(1 - αθmin）输入∈[τ，T*]f′t（t）αθminft（t*)∧（τ）（s）- Γ（u））和输入∈[τ，T*]f′t（t）是在紧空间上实现连续函数时获得的。该微分方程表示Γ（u）≤ sh1- 经验值(1-αθmin）输入∈[τ，T*]f′t（t）αθminft（t*)∧（τ）（u）- τ)i<s代表任何时间u∈ [τ，T*). 特别是，通过连续性，这意味着Γ（T*) < sA、 2定理的证明3.6证明。我们将使用引理3.4来证明解（Γ，q，ψ）的存在性和唯一性。首先，对于所有时间t∈ [0，τ]存在唯一解，由Γ（t）=0，q（t）=ft（t），ψ（t）=0给出。现在考虑初始条件为t=τ的初值问题。我们将考虑（7）中给出的Γ的微分方程。由于该方程不再依赖于q或ψ，我们可以分别考虑清算Γ的存在性和不唯一性。实际上，从Γ开始，我们可以确定q（t）=ft（t）fΓ（Γ（t）），因此Γ的存在性和唯一性为q提供了相同的结果。ψ的结果遵循与Γ和d相同的逻辑，因此本文将省略。

在考虑（7）时，我们将考虑对函数∧（t）进行修改，由∧（Γ）给出，以明确其对清算的依赖性：˙（t）=-(1 - αθmin）（s- Γ（t））f′t（t）αθminft（t）(R)∧（Γ（t））=：g（t，Γ（t））和∧（Γ）=1+（1- αθmin）（s- Γ）αθminfΓ（Γ）f′Γ（Γ）。现在我们想考虑动力学由g给出且初值Γ（τ）=0的Γ的初值问题。在继续之前，我们希望注意到函数∧在时间上是恒定的，即仅取决于清算的单位总数，而不取决于时间。定义域U=nΓ∈ [0，s）|∧（Γ）>∧（τ）=h1+（1-αθmin）sαθminf′（0）io。我们希望从前面的证明中注意到∧在时间上是不递减的，因此任何解mus t都位于U中，即它必须满足Γ（t）∈ 你永远不会∈ [τ，T]。根据U的定义以及∧在时间上是常数的性质，我们可以得出任意∧的eαθminft（t）∧（Γ）>αθminft（t）∧（τ）>0∈ U和任意时间t∈ [τ，T]，因此g中的分母总是严格大于0。由此我们可以得出g和Γg是[τ，T]×U上的连续映射，因此Γ∈ U 7→ g（t，Γ）在任何时间t都是locallyLipschitz∈ [τ，T]。这意味着存在一些δ>0，使得Γ：[τ，τ+δ]→ u是满足˙Γ（t）=g（t，Γ（t））f的唯一解，对于所有时间t∈ [τ, τ + δ]. 从该方法的顺序应用中（即，考虑从时间τ+δ开始的初值问题），我们可以得出以下结论：在整个时间范围内存在唯一的解：【τ，T】→ 或者存在一些极大域[τ，T*) （[τ，T]在此基础上，我们可以得出存在性和唯一性的结论。我们将通过关注第二种情况来证明一个矛盾。为此，我们将首先证明g在[τ，T]×U上有界。通过定义，我们得到了g（T，Γ）≥ 0表示任何t∈ [τ，T]和Γ∈ U

事实上，我们发现0≤ g（t，Γ）≤ -2(1-αθmin）s infu∈【τ，T】f′T（u）αθminft（T）∧（τ），其中infu∈[τ，T]f′T（u）是指在紧空间上优化连续函数。利用g的有界性，我们发现极限Γ（T*) := limtT*Γ（t）存在。此外，“∧（Γ（T*)) ≥ ∧（τ）>∧（τ）和Γ（T*) < s（根据引理3.4的结果）。因此，我们可以继续求解Γ：[τ，T*] → U发现[τ，T]的矛盾*) 是最大域。B本节第3.2节的证明，在不丧失一般性的情况下，假设银行的订单具有递减的“q.B.1引理3.11证明”。我们将通过归纳法来考虑这一论点。在n bank的情况下，定义∧（t，Γ）：=1+nXj=1Zj（t，Γ）ft（t）f′Γ（nXj=1Γj）=det我+Z（t，Γ）~ft（t）f′Γ（nXj=1Γj）.通过对银行的排序以及在达到监管阈值之前任何公司都不会修改其投资组合的假设，我们知道，如果t<τi，则Γi（t）=0。我们将通过归纳法来考虑这一证明。首先注意，根据构造，τ=0。如果t<τi，则Γi（t）=0，对于t，结果是微不足道的∈ [0，τ）。现在取k∈ {1，2，…，n}。任何时候t∈ [τk，τk+1）（或t∈ [τk，T]如果τk+1≥ T）∧（T，Γ（T））=1+1- αθminαθminhPkj=1（sj- Γj（t））如果′Γ（Pkj=1Γj（t））fΓ（Pkj=1Γj（t））˙∧（t，Γ（t））=1- αθminαθmindΓh类Pkj=1sj- Γif′Γ（Γ）fΓ（Γ）Γ=Pki=1Γi（t）kXi=1˙i（t）使用与引理3.4中相同的逻辑，我们恢复∧（t，Γ（t））≥ 0当且仅当Ipki=1˙Γi（t）≥ 0秒OLOG asddΓhh类Pkj=1sj- Γif′Γ（Γ）/fΓ（Γ）i≥ 0 atΓ=Pki=1Γi（t）。

为了证明这一有效条件，考虑反向需求函数fΓ的假设，并假设Γ=Pki=1Γi（t）∈[0，Pki=1si） [0，M）：如果Γ是f′Γ（Γ）≥ fΓ（Γ）f′Γ（Γ）thenddΓh类Pkj=1sj- Γif′Γ（Γ）fΓ（Γ）Γ=Pki=1Γi（t）=ddΓ[米- Γ]f′Γ（Γ）fΓ（Γ）-百米-Pkj=1sjif′Γ（Γ）fΓ（Γ）Γ=Pki=1Γi（t）=ddΓ[米- Γ]f′Γ（Γ）fΓ（Γ）-M-kXj=1sjfΓ（Γ）f′Γ（Γ）- f′Γ（Γ）fΓ（Γ）Γ=Pki=1Γi（t）≥ 否则f′Γ（Γ）<f′Γ（Γ）f′Γ（Γ），结果直接来自于导数的构造。此外，通过构造，如果∧（τk，Γ（τk））>0，则˙q（τk）≤ 存在0和˙Γ（τk）。我们现在想证明∧（τk，Γ（τk））>0。通过构造，只有当α>-（主键-1i=1【si】-Γi（τk）]+sk）f′Γ（Pk-1i=1Γi（τk））/fΓ（Pk）-1i=1Γi（τk））（1-（主键-1i=1【si】-Γi（τk）]+sk）f′Γ（Pk-1i=1Γi（τk））/fΓ（Pk）-1i=1Γi（τk）））θmin.通过定义和反向需求函数0的假设，Γk（τk）=0≥（Pki=1si-Pki=1Γi（τk））f′Γ（Pki=1Γi（τk））fΓ（Pki=1Γi（τk））≥（Pki=1si）f′Γ（0）fΓ（0）≥Mf′Γ（0）fΓ（0）=Mf′Γ（0）。因此，如果α>-Mf′Γ（0）（1）-Mf′Γ（0））θminthen∧（τk，Γ（τk））>0。下一步，我们想知道˙Γ（t）∈ Rn+对于所有时间t。正如最初构建的一样，对于任何i≤ k： ˙Γi（t）=˙q（t）[si-Γi（t）][(R)pi-xi-ψi（t）]q（t）[（si-Γi（t））q（t）-（(R)pi-xi-ψi（t））]{θi（t）≤θmin}。如果银行高于监管阈值，他们将不会执行任何交易，即˙i（t）=0，但这只能在˙q（t）>0时发生。否则（1- αθmin）（si- Γi（t））q（t）=π- xi- ψi（t）作为公司需要保持在监管阈值。因此，我们可以将˙i（t）简化为˙i（t）=-˙q（t）（1-αθmin）[si-Γi（t）]αθminq（t）{θi（t）≤θmin}。这使我们可以得出结论，˙Γi（t）与˙q（t）具有相反的符号，即˙Γ（t）∈ Rn+。最后，我们现在将演示Γ（t）∈ [0，s）对于所有时间t∈ [τk，τk+1）（或t∈ [τk，T]如果τk+1≥ T）对于任何k∈ {0，1，…，n}。如上所述，我们发现˙q（t）≤ 0表示所有时间t∈ [τk，τk+1）。

假设Γ（t）∈ [0，s）对于所有时间t∈ [0，τk]，所以我们从Γ（τk）开始∈ [0，s）.取T*= inf{t∈ [τk，τk+1）|i：Γi（t）≥ si}，并假设此函数被非空集接管。在u上∈ [τk，T*) 我们得到：˙q（u）=f′t（u）fΓ（Pnj=1Γj（u））∧（u）≥输入∈[τk，T*]f′t（t）fΓ（Pnj=1Γj（u））∧（τk，Γ（τk））˙i（u）=-(1 - αθmin）˙q（u）[si- Γi（u）]αθminft（u）fΓ（Pnj=1Γj（u））≤ -(1 - αθmin）输入∈[τk，T*]f′t（t）αθminft（t*)∧（τk，Γ（τk））（si- Γi（u））。因此Γi（u）≤ 硅- （si）- Γi（τk））exp(1-αθmin）输入∈[τk，T*]f′t（t）αθminft（t*)∧（τk，Γ（τk））（u- τk）< sifor任何时间u∈ [τk，T*).在引理3.4的证明中，我们注意到∈[τ，T*]f′t（t）是在紧空间上实现连续函数时得到的。因此，通过连续性，这意味着Γi（T*) < siforall banks i.B.2推论证明3.12证明。我们将使用引理3.11来证明解的存在性和唯一性。首先，对于所有时间t∈ [0，τ]存在唯一解，由Γ（t）=0，q（t）=ft（t），ψ（t）=0给出。在定理3.6的证明中，我们将考虑（9）给出的Γ的微分方程。我们注意到，尽管我们之前考虑了Γ和q的联合微分方程，（9）仅通过θi（t）上的指示函数集合依赖于q≤ θmin；为了证明这一点，我们将用ft（t）fΓ（Pnj=1Γj（t））替换ithcondition≤ \'\'气。从解Γ中，我们可以立即定义q（t）=ft（t）fΓ（Pni=1Γi（t）），因此Γ的存在性和唯一性为q提供了相同的结果。ψ的结果遵循与Γ相同的逻辑，因此本文将省略。我们将考虑一个归纳论点来证明存在性和唯一性。假设对于somek，我们有到时间τkf的解Γ（t）的存在性和唯一性∈ {1，2，…，n}，那么我们希望证明我们可以继续这个解直到τk+1∈ [τk，T]。引理3.11，˙Γi（τk）≥ 所有银行i为0。

确定流程*（t） =Pni=1Γi（t）=Pki=1Γi（t），初始条件为*（τk）=Pk-1i=1Γi（τk）。根据˙Γi（t）的初始公式，我们发现˙Γ*（t） =-Z*k（t，Γ*（t） ）f′t（t）fΓ（Γ）*（t） ）1+Z*k（t，Γ*（t） ）ft（t）f′Γ（Γ*（t） ）带Z*k（t，Γ*) =(1 - αθmin）[Pki=1si- Γ*]αθminft（t）fΓ（Γ*){t≥τk}。我们注意到，这遵循1组设置的微分方程（初始值可能非零）。因此，我们可以得出以下结论：*（t） 存在并且对于t是唯一的∈ [τk，τk+1]（其中τk+1是由Γ单独确定的停止时间*) 通过应用定理3.6。利用这一独特的过程*我们发现，对于任何银行，i=1。。。，k： ˙Γi（t）=gi（t，Γ）=（1- αθmin）[f′t（t）fΓ（Γ*（t） ）+˙Γ*（t） ft（t）f′Γ（Γ*（t） ）]αθminft（t）fΓ（Γ*（t） ）[si- Γi（t）]。AsΓ*（t） 和˙Γ*（t） 如果在有限时间内有界，我们可以推断GI是一致的LipschitzinΓ，因此在域[τk，τk+1]上保证了Γiis的存在性和唯一性。C第3.3C节的证明。1引理证明3.15证明。我们将通过归纳法来考虑这一论点。首先，利用Sylvester的行列式恒等式，我们注意到dethI+Z（t，Γ）diag[ft（t）]d iag[f′Γ（Γ~1） ]秒i=dethI+diag[英尺（t）]d iag[f′Γ（Γ）~1） ]秒Z（t，Γ）ifor anyΓ∈ Rn×m。因此，当且仅当∏q定义良好时，∏定义良好。定义Y（t，Γ）：=-Z（t，Γ）diag[ft（t）]d iag[f′Γ（Γ~1） ]秒r（t，Γ）=s diag[αθmin]diag[ft（t）]fΓ（Γ）。注意Yij（t，Γ）≥ 对于每个i，j=1，…，0和ri>0。。。，n和所有时间t和d清算矩阵Γ。因此，利用Leontief逆e的结果- 如果r（t，Γ），则Y（t，Γ）是可逆的Y（t，Γ）<r（t，Γ）. r（t，Γ）的ithelement[我- Y（t，Γ）]可展开为：ri（t，Γ）-hr（t，Γ）Y（t，Γ）ii=mXk=1αkθminfΓ，k（nXj=1Γjk）+（1- αkθmin）f′Γ，k（nXj=1Γjk）nXj=1（sjk- Γjk）{θj（t，Γ）≤θmin}sikft，k（t），其中θj（t，Γ）是给定清算矩阵Γ时公司j的资本充足率。

如果αkθminfΓ，k（Pnj=1Γjk）+（1-αkθmin）f′Γ，k（Pnj=1Γjk）Pnj=1（sjk-Γjk）{θj（t，Γ）≤θmin}>0对于每个资产k。特别是，沿着解∏（t）的路径，资产k中的不等式等价于0<∧k（t）：=1+1- αkθminαkθminhPnj=1sjk（1- ∏j（t））{θj（t）≤θmin}如果′Γ（Pnj=1sjk∏j（t））fΓ（Pnj=1sjk∏j（t）），为了便于记法，给定一个解∏（t），我们将假设银行的顺序是随着监管命中时间的增加，即τi≤ τi+1对于每个形式i（构造τ=0和τn+1=T），其中τj：=inf{T∈ [0，T]|θj（T）≤ θmin}。我们将通过归纳来考虑这个证明。由∏i（t）=0，如果t<τi，则i的可逆性- Y（t，diag[π（t）]s）对于t是微不足道的∈ [0，τ）。现在取i∈ {1，2，…，n}和k∈ {1，2，…，m}。任何时候t∈ [τi，τi+1）（或t∈ [τi，T]如果τi+1≥ T）˙∧k（T）=1- αθminαθminddthPij=1sjk（1- πj（t））如果′，k（Pij=1sjk∏j（t））fΓ，k（Pij=1sjk∏j（t））=1- αθminαθmindΓkh类Pij=1sjk- Γkif′Γ，k（Γk）fΓ，k（Γk）Γk=Pij=1sjk∏j（t）iXj=1sjk∏j（t）。使用与引理3.4中相同的逻辑，我们恢复∧k（t）≥ 0当且仅当ifPij=1sjk∏j（t）≥ 0 solong asddΓkhh类Pij=1sjk- Γkif′，k（Γk）/fΓ，k（Γk）i≥ 0 atΓk=Pij=1sjk∏j（t）。这个有效条件与引理3.11的证明相同。此外，通过构造，如果每个资产k的∧k（τi）>0，则∏（τi）∈ Rn+由Leontief逆的非负性和˙q（τi）∈ -Rm+由∏（τi）构成。我们现在要证明∧k（τi）>0对于每个资产k。如果αk>-Mkf′Γ，k（0）（1）-Mkf′Γ，k（0））θminthen∧k（τi）>0。通过一个与引理3.4证明中相同的参数，我们可以知道∧k（t）>0对于每个资产k和所有时间t∈ [τi，τi+1）（或t∈ [τi，T]如果τi+1≥ T）。

因此，根据上述论点和Leontief逆的非负性，我们可以得出∏（t）∈ Rn+（和Thus˙q（t）∈ -Rm+，适用于所有时间t∈ [τi，τi+1）。最后，我们现在将证明∏（t）∈ [0，1）对于所有时间t∈ [0，T]。我们希望考虑两个案例来证明这一点。如果'pi≤ xi+（1- αl,iθmin）li银行永远不会被要求清算任何资产（见备注2.2）。对于此证明的其余部分，我们将考虑设置'pi≥ xi+（1- αl,iθmin）li、 我们希望考虑资本比率θibyθi（t）的分解≥ 貂：sik>0|θik（t），其中：|θik（t）：=cikxi+Rtsik∏i（u）qk（u）du+sik（1- πi（t））qk（t）+cikl我- cik'piαksik（1- πi（t））qk（t）+cikαl,我l对于PMK=1cik=1的所有银行i和资产k（sik>0）。特别是，我们将选择cik级别≥ 0为cik=（1-αkθmin）sikPml=1（1-每个银行i和资产k的αlθmin）SIL。此选项为▄θik（0）≥ θminif且仅当cik≤(1-αkθmin）sik'pi-xi-(1-αl,iθmin）li=：(R)cik。可以很容易地显示PMK=1'cik≥ 1当且仅当θi（0）≥ θmin，假设成立。因此cik=\'cik/Pml=1\'cil≤“CIKC构造了一个单一资产问题，资本比率|θik满足引理3.11和推论3.12的所有条件，可以独立解决。表示Γikto为资产k中银行i的清算函数，以便资本比率Γθik（t）≥ θminfor all times t.由引理3.11推出Γik（t）<sik。通过构造ik（t）≥ θmin对于每个资产k，然后θi（t）≥ θmin；因此，设置∧∏i（t）：=maxk=1，。。。，mnΓik（t）/sik | sik>0o<1将保证∏i（t）≤∏i（t）在任何时候，如果出售不必要的矿产资产，将使资本比率高于监管阈值。C、 2推论的证明3.16证明。我们将使用引理3.15来证明解的存在性和唯一性。