概率测度值多项式扩散

L的第k d个对偶算子定义为唯一线性算子Lk:dk→卑诗省（Ek）由p（ν）=hLkg，νki，ν确定∈ M（E），（4.3）对于每个p（ν）=hg，νki和g∈ Dk、 由于（4.2），第k个双运算符lk可以写为lk=kB 身份证件（k）- 1） +k（k- 1） Q 身份证件（k）- 2） ，（4.4）其中张量符号B . . .  BN用于表示D的线性运算符ktobC公司（Ek）由（B）确定 . . .  BN）（g）k） ：=B（gn） . . .  BN（g）nN）对于给定线性运算符Bi:D镍→卑诗省（Eni）n+····+nN=k。更明确地说，对于B（i）g（x）：=Bg（…，xi），我们定义了Bk=Bk+Qkwhere Bk和Qkare bkg：=kXi=1B（i）g和Qkg：=kXi，j=1Q（ij）g（4.5）-1、·、xi+1、…）（xi）和Q（ij）g（x）：=Qg（…，xi）-1、·、xi+1、，xj公司-1，·，xj+1，…）（xi，xj）。备注4.6。观察到，如果不存在同质代表（由推论2.5保证），表达式（4.3）将读取lp（ν）=hLkkg，νki+hLk-1kg，νk-1i+···+Lkg，ν∈ 因此，第k个对偶运算符将包含在一个（k+1）-运算符Lkk元组中，Lk。在力矩公式的上下文中，如下面的定理5.3所述，（5.2）的PIDE将转化为（k+1）PIDE系统。如果有人有兴趣研究跳跃差异在M（E）的其他子空间s中取值，例如M+（E），则无法再找到齐次代表，必须处理PID Es系统来计算力矩。5 M（E）上多项式微分的存在唯一性设E是局部紧波兰空间，D是C的稠密线性子空间（E） 包含恒常函数1和L:PD→ P线性运算符。

在本节中，我们研究了M（E）值多项式微分的存在性和唯一性，并推导了矩公式。在某些过滤概率空间上定义了c\'adl\'ag路径的M（E）值过程X(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）称为初始条件为ν的L鞅问题的解∈ M（E）如果X=νP-a.s.且NPT=P（Xt）- p（X）-ZtLp（Xs）ds（5.1）定义了每个p的鞅∈ PD。鞅问题解的唯一性总是从法律的意义上理解的。L的鞅问题是适定的如果foreveryν∈ 对于初始条件为ν的L鞅问题，存在唯一的M（E）值解。我们对与多项式算子对应的连续路径（关于弱收敛拓扑）的解感兴趣。定义5.1。设L为M（E）-多项式。L的鞅问题的任何连续解都称为概率值多项式微分。下面的引理将鞅问题解的路径连续性与作为推导的carr'e-du-champ算子联系起来。这解释了为什么我们在定理4.3中考虑导数。引理5.2。如果L的carr'e-du-champ算子Γ是M（e）-导子，则L的鞅问题的任何解都具有连续路径。相反，对于每个初始条件ν，i f∈ 对于具有连续路径的L，鞅问题有一个解，那么与L相关的carr'E-du-champ算子Γ是一个M（E）-导数。证据设X是L的鞅问题的解。根据Bakry and'Emery（1985）中的命题2，实值过程p（X）对于每个p是连续的∈ PD，特别是对于每个线性单项式p（ν）=hh，νi和h∈ D

since D在C中密集（E） ，我们可以得出X对于M（E）上弱收敛的拓扑是连续的。相反，如果X是具有连续路径的L的鞅问题的解，那么，通过引理2.3（i），映射t 7→ p（Xt）对于所有p都是连续的∈ PD。现在的结果是巴克里和埃默里（1985）的命题1。5.1矩公式和LawPolymonal微分中的唯一性在应用中很有意义，因为它们通常满足矩公式，从而可以方便地计算过程的矩。如果E是一个单位集，则力矩公式始终成立，但在一般情况下需要技术条件，尤其是关于双运算符的技术条件。有关算子和半群s的详细信息，请参阅toEthier和Kurtz（2005）。定理5.3。假设满足度（4.2）和k∈ N、 假设第k个对偶算子是可闭的，并且g在其closureLk的域中。假设有一个解u:R+×Ek→ 第R页，共页ut（t，x）=Lku（t，·）（x），（t，x）∈ R+×Ek，u（0，x）=g（x），x∈ Ek，（5.2），假设supt∈[0，T]kLku（T，·）k<∞ 对于所有T∈ R+。特别地，u（t，·）被假定为在所有t的域中≥ 那么对于L的鞅问题的任何连续解X，都有矩公式hg，XkTi | Ft= hu（T- t、 ·），Xkti。（5.3）证明。我们将遵循定理4.4.11 inEthier和Kurtz（2005）的证明，并对其进行扩展，以获得条件矩的公式。修复T∈ R+，t∈ [0，T]和A∈ Ft.DEFINE for all（s，s）∈ [0，T- t] ×[0，t- t] 定义f（s，s）：=E【hu（s，·），Xkt+si1A】。修复程序∈ [0，T- t] 。方程（5.2）和微积分基本定理，然后是yieldf（s，s）- f（0，s）=E[胡（s，·）- u（0，·），Xkt+si1A]=ZsE[hLku（s，·），Xkt+si1A]ds。然后修复s∈ [0，T- t] 。

因为u（t，·）在所有t的域中∈ R+，（5.1）产量SF（s，s）- f（s，0）=E[E[hu（s，·），Xkt+si- hu（s，·），Xkti | Ft]1A]=ZsE[hLku（s，·），Xkt+si1A]ds。自sups，s起∈[0，T-t]E【hLku（s，·），Xkt+si1A】≤ sups公司∈[0，T]kLku（s，·）k<∞, 我们可以得出结论，f（·，s）和f（s，·）都是绝对连续的有界导数。Lemm a 4.4.10 inEthier和Kurtz（2005）然后得出f（T-t，0）-f（0，T-t） =0，结果如下。为了避免混淆，对于本节的其余部分，我们用ug表示初始条件为ug（0，·）=g的（5.2）的解。在大多数感兴趣的情况下（见下面的Remark5.7（iii）），对于每个k，运算符Lksati在Ek上测试正最大值原理∈ N、 如果是这种情况，则满足定理5.3条件的解ugof（5.2）的存在性本质上等价于Lk在BC上生成一个强连续的正收缩半群（Ek）或换句话说，它是Ek上Fellerprocess的生成器。我们在下面的评论中准确地陈述了这一点。备注5.4。设L满足（4.2），X表示初始条件为X=ν的相应鞅问题的解∈ M（E）。假设相应的k-thdual运算符Lk满足（E）上的正最大值原理)k（特别是LK是可关闭的），对于每个k∈ N、 设Dbe为LK域的稠密子集，并假设定理5.3的条件对所有g均成立∈ D、 根据Ethier和Kurtz（2005）的第1.3.4条命题，如果我们另外得到t 7→Lkug（t，·）是连续的，则Lkug是强连续收缩半群{Ykt}t的生成元≥0onbC（Ek）和Yktg=ug（t，·）。

在这种情况下，力矩公式的读数为asEhg，XkTi | Ft= hYkT公司-tg，Xkti，适用于所有g∈卑诗省（埃克）。相反，ifLkis是强连续收缩半群{Ykt}t的生成元≥0onbC（Ek），则对于Kt域中的所有g，映射ug（t，x）：=Yktg（x）满足定理5.3的条件。根据Hille–Yosida定理，例如λ的范围- Lkis密集inbC（Ek）对于某些λ>0。在这种情况下，推论4.2.8 inEthier和Kurtz（2005）得出了LK的鞅问题的解Z（k）（在与X相同的概率空间上定义的一般性没有损失）（E)k满足Yktg（x）=E[g（Z（k）t）| Z（k）=x]。力矩公式则为屈服值[g（Z（k）t）| Z（k）~ νk]=E[汞，Xkti]。（5.4）这给出了（5.3）的另一种解释，即（5.2）i s theFeynman-Kac-PIDE中的PIDE与k维过程马尔可夫过程Z（k）相关。注意，在有限状态空间E的情况下，（5.2）减少为ODE，Lkis自动生成k维马尔可夫链。与在有限维情况下一样，矩公式产生了emartingale问题的适定性。推论5.5。假设L满足（4.2），设X是初始条件为ν的L鞅问题的连续解∈ M（E）。如果力矩f公式（5.3）适用于所有g∈ Dk和k∈ N、 那么X定律由L和ν唯一确定。证据通过矩公式（5.3），我们得到了所有k的E[hg，XkTi]=拥抱（T，·），νki∈ N和G∈ Dk、 自g 7以来→ ugis由L确定，Lemma2.7在一维下产生th X的分布由L和ν唯一确定。结论遵循定理4.4.2 inEthier和Kurtz（2005）。5.2存在性和适定性本节的第一个主要结果给出了鞅问题解存在的充分条件。

第6节讨论了该结果的应用。回想一下，E是一个局部紧凑的波兰空间。定理5.6。让D C（E） 是一个包含常数函数1的稠密线性子空间。Let L：PD→ P是满足（4.2）的线性算子，其中（i）B是E-保守的，满足B1=0，（ii）Q由Q（g）=αψ（g）+nXi=1（Ai Ai）（g），g∈ D D、 式中α：E→ R是非负对称函数，对于i=1，n、 a是C的正等距强连续群的生成元（E） ，而A的域同时包含D和Ai（D），（iii）B-Pni=1表示E上的正最大值原理.然后L是M（E）-多项式，其鞅问题在每个条件ν下都有一个连续路径的解∈ M（E）。此外，如果力矩公式（5.3）适用于所有g∈ Dk和k∈ N、 那么L的鞅问题是适定的。注意，（4.2）对α施加了隐式条件，即αψ（g）必须位于inbC（E） forevery g公司∈ DD、 如果D=C（E） ，则α必然是束缚ed，如下面的定理5.9所示。然而，这不适用于一般D C（E） ，正如我们可以看到的，由consideringE=R，D C（R） ，和α（x，y）=x- y型|-1{x6=y}。证据定理4.3表明L是M（E）-多项式。引理D.2给出了ce上任何初始条件下鞅问题的解的存在性（由于引理5.2，必然具有连续路径），我们检查L是否满足正最大值原理M（E). 因此让ν*∈ M（E）) 成为p的最大化者∈ PDover M（E). 定理3.1屈服点的最优条件xp（ν*) = supE公司p（ν*) 和ψp（ν*)（x，y）≤ 0，x，y∈ sup p（ν*).因此，由于B-Pni=1是正最大值原理，α是非负的，我们得到Lp（ν*) ≤nXi=1海(p（ν*)), ν*i+h（Ai Ai）(p（ν*)), ν*我.定理3.4中的最优性条件现在产生Lp（ν*) ≤ 0

这证明了正极大值原理，从而证明了存在性陈述。关于动量公式和适定性的断言来自定理5.3和推论5.5。备注5.7。（i） 关于定理5.6中的i tem（iii），请注意，线性运算符g:D→ C（E） 满足E上的正最大值原理当且仅当G满足E和Gg的正最大值原理() ≥ 0表示每个非负EG∈ C（E）∩D、 在许多感兴趣的情况下 RDD和D R+Cc（E），E上的正极大值原理意味着E上的正极大值原理.（ii）我们还要注意，第k个对偶算子gk与hG相关(p（ν）），νi满足（E）上的正最大值原理)kif它适用于G on E. 确实，如果x*∈（E）)kis最大值为g，然后为x*iis最大值为g（…，x）*我-1、·、x*i+1，…）。Hencegkg=kG 身份证件（k）- 1） g=kXj=1G（j）g，其中我们使用与（4.5）相同的符号，明确满足（E）上的正最大值原则)k、 （iii）考虑定理5.6的设置和假设，定义k：=kB-nXi=1Ai 身份证件（k）- 1） ，Ck：=k（k- 1)(αΨ)  身份证件（k）- 2） ，Tk：=knXi=1Ai 身份证件（k）- 1） +k（k- 1)nXi=1（Ai Ai） 身份证件（k）- 2).注意，通过（4.4），我们得到了Lk=Gk+Ck+Tk。我们认为Gk、Ck、Tk和henceLk满足（E）上的正极大值原理)k、 根据定理5.6中的第（iii）项，B-Pni=1表示E上的正最大值原理, （ii）也适用于Gkon（E)k、 ψ的形式和α的非负性保证了Ck也是如此。最后，由于Tk=Pni=1（Pnj=1A（j）i），其中A（j）ig（x）=Aig（…，xj-1，·，xj+1，…）（xj），Remark3.5得出（E）上的正最大值原理)kalso代表Tkand，因此所有人都在一起代表Lk。下面的结果给出了当所有操作符都为零时唯一性的有用条件。

由于Lemma3.6，例如，如果D=C，就会发生这种情况（E） 尤其是如果经济包含很多点。示例6.7给出了当这些运算符不都为零时唯一性成立的示例。引理5.8。考虑定理5.6的设置和假设，并假设所有i的Ai=0。此外，假设α是有界的，B是可闭的，其闭包是C上强连续收缩半群的生成元（E） 。然后动量公式（5.3）适用于所有g∈卑诗省（Ek）和k∈ N、 因为B满足E的正最大值原理根据定理5.6（iii），Hille–Yosida定理保证，只要λ-Bhas密度范围（C）（E） 对于某些λ>0。证据Let{Yt}t≥0是toB对应的半群。修复任何k∈ N并让BK和Qkbe如（4.5）所示。很容易检查bk是否是对D的限制强连续压缩半群{（Yt）的kof生成元k} t型≥0onbC（埃克）。此外，还有一个估算值kqkgk≤ k（k- 1） kαkkgk，g∈卑诗省（Ek），其中Qkis是有界算子。如定理1.7.1和推论1.7.2 inEthier和Kurtz（2005）所示，Lk=Bk+Qkis可闭且其闭包是BC上强连续收缩半群的生成元（埃克）。根据Remark5.4和定理5.3，结果如下。虽然定理5.6只给出了存在的充分条件，但结果是sh arp。实际上，我们现在证明，如果D=C（E） ，不存在其他多项式规格。例如，如果E是一个有限集，情况就是这样。下面的定理（这是本节的第二个主要结果）使这一点更加精确。第B节给出了证明。定理5.9。设D=C（E） 让L：PD→ P是一个线性算子。

然后L isM（E）-多项式，其鞅问题是适定的，所有解都有连续路径，且仅当L满足（4.2），且bg=Z（g（ξ）-g（·））νB（·，dξ）和Qg=αψ（g），（5.5），其中νBis是从E到E的非负有限核，α：（E)→ R在（E）上是非负的、对称的、有界的和连续的)\\ {x=y}。在这种情况下，对于每个k∈ 第k个对偶运算符Lk满足定理5.3的假设，力矩公式（5.3）适用于所有g∈卑诗省（埃克）。此外，B和Q以及每个Lk都是有界运算符。如定理5.6所示，条件（4.2）对不同的p参数施加隐式条件。度量νB就是这种情况，尤其需要满足yrg（ξ）- g（·）νB（·，dξ）∈ C（E） 对于所有g∈ C（E） 。如果x 7给出了从E到M+（E）的映射，则该条件明显满足→ νB（x，·）是连续的。然而，通过考虑以下核νB（x，dξ）=Δφ（x）{φ（x）6=x}，对于某些连续φ，我们可以看到，这个逆命题不成立：E→ E使得φ6=内径。推论5.10。让D C（E） 是一个包含恒常函数1的稠密线性子空间，并让L满足（4.2）的B和Q，如定理5.9所示。然后L是M（E）多项式，它的鞅问题是适定的，所有解都有连续路径。此外，力矩f公式（5.3）适用于所有g∈ Dk和k∈ N、 证明。因为根据定理5.9，每个LK都有界，所以算子L可以唯一地扩展到PC（E） 。结果遵循相同的定理。本节的最后一个主要结果刻画了概率值多项式鞅。如果hg，Xi是g的鞅，则M（E）值过程X称为鞅∈ C（E） 。请注意，与定理5.6不同，无论域D的选择如何，条件都是必要且有效的。定理5.11。让D C（E） 是一个包含常数函数1的稠密线性子空间。

Let L：PD→ P是一个线性算子。那么L是M（E）-多项式，它的鞅问题在任何初始条件下都有解，并且每个解都是具有连续路径的鞅，当且仅当L满足（4.2），对于一些非负对称函数α：E，B=0，Q=αψ→ R、 在这种情况下，如果加法α有界，则鞅问题是适定的。证据为了证明正向蕴涵，首先请注意引理5.2和定理4.3暗示L满足（4.2）。要查看B=0，请选择任意g∈ D和x∈ E、 设X是初始条件为δX的鞅问题的解。S因为hg，Xi是一个鞅，我们有hBg，Xi=0，hen ce Bg（X）=hBg，Xi=0。Q的形式将遵循Lemmac。为了验证其假设，Fix g∈ D和ν∈ M（E）和定义p∈ PDbyp（u）：=-（hg，νi- hg，ui）。然后p（ν）=-2g g、 p≤ 0，且p（ν）=0，因此正最大值原理得出-总部（g g） ，νi=Lp（ν）≤ 0.下一步，fix g∈ D和ν∈ M（E）使得g在v的支撑上是常数。定义p∈ PDby p（u）：=汞，ui- hg，ui.然后，再次，p（ν）=2g g、 和J ensen不等式yieldsp≤ 0和p（ν）=0。因此，hQ（g g） ，νi=Lp（ν）≤ 因此，Q的形式遵循fr om LemmaC。为了证明逆蕴涵，观察鞅问题解的存在性，以及路径连续性，遵循推论5.10，如果加法α有界，则适定性也是如此。由于B=0，很明显hg，Xi是每g的鞅∈ d鞅问题的每个解X。这意味着X是鞅。6示例和应用6.1有限底层小空间E={1，…，d}。然后是C（E） =C（E）是有限维的，因此任何稠密线性子空间必须等于整个空间。因此，我们取D=C（E）。在此设置中，任何M（E）值进程X的形式为Xt=Pdi=1Zitδiford值进程Z=（Z，…，Zd）。