概率测度值多项式扩散

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英文标题：
《Probability measure-valued polynomial diffusions》
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作者：
Christa Cuchiero, Martin Larsson, Sara Svaluto-Ferro
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a class of probability measure-valued diffusions, coined polynomial, of which the well-known Fleming--Viot process is a particular example. The defining property of finite dimensional polynomial processes considered by Cuchiero et al. (2012) and Filipovic and Larsson (2016) is transferred to this infinite dimensional setting. This leads to a representation of conditional marginal moments via a finite dimensional linear PDE, whose spatial dimension corresponds to the degree of the moment. As a result, the tractability of finite dimensional polynomial processes are preserved in this setting. We also obtain a representation of the corresponding extended generators, and prove well-posedness of the associated martingale problems. In particular, uniqueness is obtained from the duality relationship with the PDEs mentioned above.
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中文摘要：
我们引入了一类概率测度值扩散，即多项式，其中著名的Fleming-Viot过程就是一个特例。Cuchiero et al.（2012）和Filipovic and Larsson（2016）所考虑的有限维多项式过程的定义性质被转移到这个无限维环境中。这导致通过有限维线性偏微分方程表示条件边际矩，其空间维度对应于矩的阶数。因此，有限维多项式过程的可处理性在此设置中得以保持。我们还得到了相应扩展生成元的一个表示，并证明了相关鞅问题的适定性。特别地，唯一性是从与上述偏微分方程的对偶关系中获得的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：概率测度 多项式 Mathematical Presentation Differential

概率测度值多项式的微分Christa Cuchiero*Martin Larsson+Sara Svaluto Ferro2018年7月10日摘要我们介绍了一类概率测度值微分，即创造的多项式，其中著名的Fleming–Viot过程就是一个特别的例子。Cuchiero等人（2012）考虑的有限维多项式过程的定义性质；菲利波维奇（Filipovi\'c）和拉尔森（Larsson）（2016）被转移到该有限尺寸设置中。这导致通过有限维线性偏微分方程表示条件边际矩，其空间维度对应于矩的程度。因此，在这种情况下，有限维多项式过程的可处理性得以保持。我们还得到了相应扩展生成元的一个表示，并证明了相关鞅问题的适定性。特别地，唯一性是从与上述偏微分方程的对偶关系中获得的。关键词：概率测度值过程、多项式过程、Fleming–Viottype过程、相互作用的p文章系统、鞅p问题、最大值原理、d ualprocessMSC（2010）分类：60J68、60G57内容1简介1.1符号和基本定义。5.*维也纳大学数学系，奥斯卡莫尔根斯特恩广场1号，A-1090维也纳，奥地利，克里斯塔。cuchiero@univie.ac.at+苏黎世ETH数学系，R–amistrasse 101，CH-8092，苏黎世，瑞士，马丁。larsson@math.ethz.ch.维也纳大学数学系，Oskar Morgenstern Platz 1，A-1090 Wien，Austria，sara。斯瓦卢托-ferro@univie.ac.at.ChristaCuchiero和Sara Svaluto Ferro感谢维也纳科学技术基金（WW TF）在MA16-021赠款下提供的财政支持。

Martin Larsson和Sara Svaluto Ferro感谢瑞士国家科学基金会（SNF）在205121163425.2度量参数多项式62.1单项式和多项式资助下提供的财政支持。72.2多项式的连续性和光滑性。82.3正则系数多项式。103最优性条件114多项式算子155 M（E）上多项式微分的存在性和唯一性175.1矩公式和定律的唯一性。185.2生存与幸福。206示例和应用246.1有限元分析。246.2底层空间E Rd。256.3跳跃微分的条件定律是多项式。29A定理4.3的证明和推广30B定理5.9的证明31C鞅问题的辅助引理33D的存在371简介在本文中，我们开发了一类过程的概率测度值版本，这些过程被称为多项式微分，由于其固有的可处理性，我在群体遗传学、相互作用粒子系统、，和融资；参见例如Etheridge（2011）；Vaillancourt（1990）；Fernholz和Karatzas（2005年）。

结果是一类随机过程，对随机演化的概率测度进行建模，包括Fleming–Viot过程（Fleming and Viot，1979；Ethier and Kurtz，1993）以及Rd（子集）上跳跃差异的条件定律等例子。有限维多项式差异形成了一个丰富的类，其中包括K imura差异（Kimura，1964），Wishart相关矩阵（Ahdida和Alfonsi，2013）和a ffeneprocesses（Du ffe et al.，2003），仅列举几个子类。参见例如Cuchiero等人（2012年）；菲利波维奇和拉尔森（2016）；菲利波维奇和拉尔森（2017）；Cuchiero等人（2017年），了解更多细节和示例。这表明将其定义特性和可处理性特征转换为有限维过程。这些过程还表现为经验上非常适合的有限维多项式模型的局限性，其限制行为是人口动力学的关键利益所在，但在其他领域也存在局限性，如资本分配曲线建模；参见例如Shkolnikov（2013）。我们在这里考虑的有限维设置是局部紧致波兰空间E上p概率测度空间中的多项式微分X取值。我们将其定义为某些算子的鞅问题的路径连续解L柱面多项式类，即公式p（ν）=φ的函数pREg（x）ν（dx），REgm（x）ν（dx）,其中φ是m变量的多项式，g，gmare连续且有界，参数ν是一个概率测度。任何这样的函数p都可以被视为概率测度eν中的齐次多项式，并接受第2节中讨论的度的自然概念。概率测度值多项式函数的定义性质是，Lp再次是与p具有相同次数的齐次多项式（或是零多项式）。

确切的定义实际上更为笼统；详情见第4节。其结果是，时刻允许可处理的表述。具体而言，对于从X=ν开始的概率测度值多项式微分X，我们建立了第5.1节（在适当条件下）矩公式hzekg（X，…，xk）Xt（dx）···Xt（dxk）i=ZEku（t，X，…，xk）ν（dx）···（dxk），（1.1），其中u（t，X，…，xk）解线性偏积分微分方程（PIDE）ut=Lku英寸（0，∞) ×Ek（1.2），初始数据u（0，x，…，xk）=g（x，…，xk），其中lk是从x的生成器L派生的线性运算符，作用于C（Ek）的（子空间）。k维PIDE（1.2）比Kolmogorov方程简单得多，在本文中，Kolmogorov方程的状态空间由E的测度组成。事实上，（1.2）对应于与Ek值马尔可夫过程相关的Feynman-Kac PIDE。当E由无数个点组成时，我们恢复了有限维情况，即E（1.2）退化为与某个Markovchain相关的线性ODE，其值以Ek为单位，其解通过矩阵指数计算。考虑到ed byBeck et al.（2018），这些皮恰好属于这种设置，他开发了基于神经网络的数值求解程序。这些方法不受维数限制，而是给出了整个函数（x，…，xk）7→ u（t，x，…，xk）。矩公式形成了对偶的一个特殊实例，通常用于证明测度值鞅问题的唯一性。这里也是这样，我们在b路环下得到了唯一性。作为PIDEs的解决方案，我们的双重“过程”是确定性的，与其他常用的双重“过程”不同，如弗莱明-维奥案中的KingmanCoalessent；参见例如Dawson和Hochberg（1982）。

请注意，弗莱明-维奥型过程的力矩f公式是经典的（参见Dawson和Hochberg（1982）或（Dawson，1993，第2.8节））；我们在这里表明，它们实际上更广泛地可用。测度值过程的存在性通常通过仔细构造的粒子系统的大种群极限来证明；参见例如（Dawson，1993，第2节）的半群方法，orEthier和Kurtz（1993，1987）的鞅问题方法。我们也处理鞅问题，但不是使用有限粒子系统的近似，而是通过正极大值原理直接获得存在性。这依赖于第3节中提出的度量参数多项式的新最优性条件。因此，我们可以描述大型参数规格族。特别是，我们得到了概率测度值多项式微分的一个完整特征，其中生成子L有一个足够大的域。这就扩展了s o称为Fleming–Viot过程的加权抽样（Dawson，1993，第5.7.8节），其中允许抽样替换率取决于类型e。另一方面，通过限制L的域，我们获得了更丰富的类别，包括Vaillancourt（1988）考虑的可交换性影响模型；另见（Dawson，1993年，第5.8.1节）。我们的存在性和适定性结果见第5.2节。可以说，度量值过程的大部分应用来自群体遗传学。但像这里开发的那些易于处理的规范也对非参数贝叶斯统计（参见Regazzini et al.（2002，2003），其中考虑了随机概率测度函数的分布）、年龄分布和寿命风险建模（参见Boumezoued et al.（2018））或高维财务建模感兴趣。

让我们从随机投资组合理论中勾勒出一个情况（seeFernholz（2002）；Fernholz和Karatzas（2009）介绍了这一主题。）设Z是单位单纯形中有值的过程d={z∈ [0，1]d:z+…+zd=1}，表示d股的资本化权重。为了便于操作，选择Z作为多项式函数是很自然的das Inuchiero（2017年）。为了计算资本化权重的基本力矩统计，在e上使用力矩公式s im ilar To（1.1）。对于齐次多项式q（z，…，zd），其形式为[q（Zt）]=Xαut（α）zα···zαdd，其中z=z∈ d、 该和扩展到所有多个指数α=（α，…，αd），其中α|=α+···+αd=k：=deg（q）。有N个：=k+d-1公里这样的多指标，且其n值函数ut=（ut（α）：|α|=k）求解线性常微分方程ut=Lku，（1.3），其初始条件是q的系数向量，其中Lku是从Z的生成器导出的N×N矩阵。对于小尺寸或中等尺寸d和k度，求解（1.3）是可行的。然而，d通常在10的数量级上，这使得即使对于小k，计算也很费力，因为ODE维度是N~ 丹麦。现在，考虑资本化权重的线性因子模型eZ=（eZ，…，eZd）。这意味着对于一些非负函数g，…，Ezi=REgi（x）Xt（dx），GD求和为1，以及概率度量值多项式微分X，例如，E=[0，1]。在这种情况下，对于k=deg（q）的某个度量多项式p（ν），E[q（eZt）]=E[p（Xt）]。可以使用矩公式（1.1）计算该期望值，该公式相当于求解时间t之前的PDE（1.2）。使用每个维度上的n个点离散空间域EK会产生顺序nk的复杂性。这可以比求解的复杂性dk（1.3）小几个数量级。

重要的是，n是根据精度要求选择的参数，而LED是问题的输入。这说明了概率测度值多项式如何增强高维模型的可处理性。最重要的是，作为有限维过程的投影，这些线性因子模型构成了一个比多项式模型丰富得多的类d、 论文的再版安排如下。在回顾了下一小节中的一些基本符号和定义之后，我们在第2节中讨论了度量参数的多项式，并在第3节中证明了such多项式的最优性条件。在第4节中，我们定义了多项式算子，并研究了它们在扩散情况下的形式。第5节介绍了矩公式以及我们关于鞅问题适定性的主要结果。第6节介绍了应用和示例。附录中收集了一些证据和补充材料。1.1符号和基本定义在本文中，E是一个局部紧的Polish空间，具有Borelσ代数。使用以下旋转：M+（E）表示E，M（E）上的有限度量 M+（E）概率测度，M（E）=M+（E）-M+（E）有界变差的有符号测度（即形式ν+-ν-带ν+，ν-∈ M+（E））。所有这三个都是通过弱收敛进行拓扑化的，这将M+（E）和M（E）转化为波兰空间。对于u，ν∈ M（E）我们写u≤ νifν- u ∈ M+（E）和|ν|表示ν++ν-.o C（E）、Cb（E）、C（E）、Cc（E）通常表示E上的连续（有界、消失、紧支撑）实函数。后三者的拓扑是一致收敛的拓扑，k·k表示上范数如果E是非紧的，那么E= E∪ {} 是一点紧凑型，本身就是一个紧凑的抛光空间。

如果E是紧的，我们写E= E、 这减轻了分别考虑契约和非契约案例的需要。我们还定义（瑞典克朗）：=f | Ek:f∈ C（（E)k）,Cb（Ek）的闭合曲面。空格C（E） 和C（E) 我们偶尔会将前者的元素视为后者的元素，反之亦然。当E是紧的，我们有C（E）=Cb（E）=C（E）=Cc（E）=C（E） 然后我们简单地写C（E）。注：常数函数1处的th位于C中（E） ，但当然不是在C（E）中。这是空格C的一个原因（Ek）有用；备注2.6和4.6中讨论了其他原因卑诗省（Ek）是C的闭子空间（Ek）由对称函数f组成，即f（x，…，xk）=f（xσ（1），xσ（k））表示所有σ∈ ∑k，k元素上的置换群。bC（Ek）和bC（Ek）的定义类似。对于任何g∈卑诗省（Ek），h∈卑诗省（E）l)我们用g表示 h类∈卑诗省（埃克）+l) 对称张量积，由（g）给出 h） （x，…，xk+l) =（k+l)!Xσ∈∑k+lgxσ（1），xσ（k）h类xσ（k+1），xσ（k+l).（1.4）对于线性子空间D C（E） 我们设置了D D：=跨度{g g：g∈ D} 。本文强调只使用对称张量积。两个关键概念是某些线性算子的正极大值原理和保守性。通常，对于波兰空间X和子集S 十、 这些概念定义如下。操作员A：D→ 带域D的Cb（X） Cb（X）满足S-iff上的正极大值原理∈ D、 x∈ S、 supSf=f（x）≥ 0表示Af（x）≤ 如果S局部紧，如果存在函数fn，则称A为S-保守∈ D∩C（S）此类限制→∞E和limn上的fn=1→∞（Afn）-= E上的0, 两者都是有界的点明智意义上的；c、 f.第4.2章inEthier和Kurtz（2005）。

对我们来说，S就是E，E, M（E），orM（E).众所周知，正极大值原理与守恒性相结合，本质上等价于鞅问题的S值解的存在性；例如，参见Ethier和Kurtz（2005）的定理4.5.4。我们广泛使用这一点，并在第D节中查看相关结果。这里一个重要的问题是，当E是紧的时，M（E）是紧的，当E是非紧的时，M（E）甚至不是局部紧的。2.测度论元多项式在本节中，我们将讨论测度论元多项式的一些基本性质。本文介绍的方向和结果在本文中起着核心作用。通过这一部分，E是一个局部紧凑的波兰节奏。2.1单项式和多项式M（E）上的单项式是hg，νki=ZEkg（x，…，xk）ν（dx）···ν（dxk）的表达式，对于某些k∈ N、 WHER e g∈卑诗省（Ek）被称为单项式的系数；见。g、 （道森，1993年，第2章）。我们识别BC（E） 对于R，对于k=0，我们有hg，νi=g∈ R、 很明显，mapν7→ hg，νki是k阶的h齐次，thatg 7→ hg，νki是线性的。此外，一个人的身份是hg，νkihh，νli=hgh、 νk+li、 其中对称张量积g h在（1.4）中定义。M（E）上的多项式现在定义为单项式的（有限）线性组合，p（ν）=mXk=0hgk，νki，（2.1），系数gk∈卑诗省（埃克）。用deg（p）表示的多项式p（ν）的次数是最大的k，因此gk不是零函数，并且-∞ 如果p是零多项式。表示（2.1）是唯一的；见下文推论2.4。示例2.1。设E={1，…，d}为有限集。然后每个元素ν∈ M（E）i s形式ν=zδ+···+zdδd，（z，…，zd）∈ Rd，其中δiis狄拉克质量集中在{i}。单项式的形式为hg，νki=Xi，。。。，ikg（i。