概率测度值多项式扩散

然后B满足E上的正最大值原理，B1=0，hQ（g g） ，νi≥ 0和Q（g 1） =0表示所有g∈ D和ν∈ M（E）。证据通过（4.2），我们得到L1=0。还要注意，对于任何g∈ D和x∈ E使得g（x）=maxEg≥ 0，多项式p（ν）=hg，νi位于Pd中，满足p（δx）=maxM（E）p≥ 因此Bg（x）=Lp（δx）≤ 此外，取p（ν）=h1，νi我们得到p≡ M（E）上为1，因此B1（x）=Lp（δx）=0，对于所有x∈ E、 然后在引理中固定g和νas，并定义p∈ PDby p（u）=-（hg，νi- hg，ui）。然后是p≤ 0，p（ν）=0，p（ν）=0，且p（ν）=-2g g、 所以正极大值原理产生-总部（g g） ，νi=Lp（ν）≤ 此外，取p（ν）=hg 1，νi- hg，νi我们得到p≡ M（E）上为0，hen ce 0=hg，νihB1，νi+hQ（g 1） ，νi=hQ（g 1） ，νi表示所有ν∈ M（E），证明该主张。引理C.2。让B:C（E) → C（E) 是线性运算符。然后B1=0，B满足E上的正最大值原理，当且仅当E到E之间存在非负的有限核νB使bg（x）=Z（g（ξ）- g（x））νB（x，dξ）（C.1）对于所有x∈ E和g∈ C（E). 在这种情况下，B是有界的，并且满足E上的正极大值原则, 和{etB}t≥0是一个强连续收缩半群。此外，还有一些非负（有限）度量νB(, ·) 这样（C.1）也适用于x=.证据假设从E到E有一个非负的、有限的核νb（C.1）对所有x∈ E和g∈ C（E). 那么很明显B1=0。假设g∈ C（E), x个∈ E、 andg（x）=最大值≥ 0。然后g（x）=最大值g、 所以g（ξ）- g（x）≤ 0表示所有ξ∈ E因此Bg（x）≤ 因此，B满足E的正最大值原理，这证明了效率。为了证明必要性，假设B1=0，B满足正最大原理E。引理4.2.1和1.2.11 inEthier和Kurtz（2005），限制B | C（E）是不相容的，因此是可关闭的，甚至是关闭的，因为它是在C（E）上全局定义的。

通过闭图，B | C（E）是有界的，然后B也是有界的，因为B1=0。选择任意g∈C（E) 带g() = 最大值g级≥ 0。然后g-g级() ≤ 0，因此存在函数hn∈ Cc（E）带hn≤ 0和hn→ g级- g级() 如果正常，则取消。然后是Bhn→ B（g- g级()) = Bg也一致。取xn确保hn（xn）=0和xn→ , 我们获得Bg() = 画→∞Bhn（xn）≤因此，我们证明了B是有界的，并且满足正的最大p原则. 因此，引理4.2.1和定理1.7.1 inEthier和Kurtz（2005）得出{etB}t≥0是一个强连续收缩半群。它仍然显示来自E的核νb至E使（C.1）适用于所有x∈ E和g∈ C（E). 为此，FIX∈ E和定义h∈ C（E) 由h（y）：=d（x，y），其中d（·，·）是波兰空间E的兼容度量. 因为B满足E上的正最大值原理, mapC（e) → R、 g 7→ B（gh）（x）是一个正线性泛函。根据Riesz–Markov表示定理，这是一个度量u（x，·）∈ M+（E) 使得B（gh）（x）=REg（ξ）u（x，dξ）对于所有g∈ C（E). Wede fineνB（x，dξ）：=1E\\{x} （ξ）h（ξ）u（x，dξ），这是允许的，因为对于所有y 6=x，h（y）>0。对于每g∈ Cc（E\\ {x} ）我们有G/h∈ C（E), 因此bg（x）=Bghh公司（x） =ZEg（ξ）h（ξ）u（x，dξ）=ZEg（ξ）νB（x，dξ）。由于B是有界的，所以单位Bg（x）=REg（ξ）νB（x，dξ）通过连续性扩展到所有g∈ C（E) g（x）=0。因此，也使用B1=0，Bg（x）=B（g- g（x））（x）=ZE（g（ξ）- g（x））νB（x，dξ）。每x重复一次∈ E对于所有x∈ E和g∈ C（E).看到νB（x，E) < ∞, 请注意g（ξ）νB（x，dξ）≤ kBk每当g∈ C（E)满意度0≤ g级≤ 1和g（x）=0。对于每个Borel集A，νB（·，A）的可测性 E源自单调类argum ent，因此νBis实际上是E至E.引理C.3。

让D C（E） 是一个包含常数函数1的稠密线性子空间，设Q:D D→卑诗省（E） 是线性运算符。下列条件是等效的：（i）Q（g g） （x，y）≥ 所有g为0∈ D和x，y∈ E、 如果g（x）=g（y），则等于。（ii）总部（gg） ，νi≥ 所有g为0∈ D和ν∈ M（E），如果g在ν的支持下是常数，则等于。如果满足任一条件，则对于某些非负对称函数α：E，Q的形式为Q=αψ→ R、 证明。很明显，（i）影响（ii）。相反，首先请注意，对于任何x∈ E和G∈ D、 平凡的g在δx的支撑下是常数。因此Q（gg） （x，x）=hQ（gg） ，δxi=0。取任意x，y的ν=（δx+δy）∈ E则产生Q（g g） （x，y）=hQ（g g） ，νi≥ 0，如果g（x）=g（y），则相等，因为g在ν的支撑上是常数。这证明（ii）意味着（i）。在假设（i）成立的情况下，仍需获得所述形式的Q。如果Eis是一个单态，那么Q=0，所以我们可以假设E至少包含两个点。固定X，y∈ E，x 6=y。由于（i），映射（g，h）7→ Q（g） h） （x，y）是双线性和正半无限的，因此满足Cauchy–Schwarz不等式| Q（g h） （x，y）|≤pQ（g g） （x，y）pQ（h h） （x，y）。与（i）一起，这意味着Q（gh） （x，y）仅通过x和y的值依赖于g和d h。此外，由于d在C中是稠密的（E） ，对于每个a∈ R存在g∈ D表示a=（g（x），g（y））。因为有一个独特的地图T:R×R→ R这样q（g h） （x，y）=T（a，b），其中a=g（x）g（y）, b类=h（x）h（y）.映射T继承了双线性和正半确定性。自Q（g）起1） （x，y）=0由于Cauchy-Schwarz不等式和（i），对于b=（1，1），我们也有T（a，b）=0。这意味着T（a，b）=α（x，y）（a- a） （b）- b） 对于某些α（x，y）∈ R+。

因此，Q（g h） （x，y）=α（x，y）（g（x）- g（y））（h（x）- h（y））=α（x，y）ψ（g h） （x，y）。任意定义α（x，x），我们得到映射α：E→ R、 由于Q（g）的对称性，它是对称的h） 。现在考虑引理6.6的设置，即e=R和D=R+C∞c（R）。引理C.4。考虑两个操作符B:D→ C（R） 和Q:D D→卑诗省（R） B如（6.4）所示，Q满足Q（h h） （x，y）≥ 所有h为0∈ D、 如果h（x）=h（y），且h′（x）=h′（y）=0，则为等式。然后，对于每个g∈ D和x，y∈ R使得g（x）=g（y）=1存在序列（pn）n∈N Pd使得pn（νλ）=maxM（R）pn，pn（νλ）=fn，和Q(pn（νλ）），νλ=Q（g） g） ，νλ适用于所有n∈ N和λ∈ [0，1]，其中νλ=λδx+（1- λ） δyand（fn）n∈Nsatis fieslimin公司→∞-2Bfn（z）=（a（z）g′（z）），z∈ {x，y}。证据修复g∈ D使得g（x）=g（y）=1。Let Fn：[0，1]→ R如LemmaB中所示。1和fixa紧支撑函数ρ∈ C∞c（R）使得在x和y的一些邻域上ρ=1，ρ（R） [0, 1]. 设置GN（z）=1+g′（x）（z- x） （z）- y） （十）-y） Fn公司|z- x | Cx+ g′（y）（z）- y） （z）- x） （十）-y） Fn公司|z- y | Cy,其中Cx=2 supz∈supp（ρ）（z-x） 。设置gn=1+（gn-1） ρ我们得到gn∈ R+C∞c（R）=D。对于n个偶数，定义多项式ln（ν）=n（n- 1)hgn，ν英寸- hgnn，νi.因为pn（νλ）=0，并且通过Jensen不等式pn≤ 0，我们可以得出结论，对于所有n偶数和λ，νλ使pn最大化∈ [0, 1]. 请注意pn（νλ）=n- 1.gn公司-ngnn公司=: fnand公司pn（νλ）=gn gn。在引理C.3的证明中，我们可以使用Q上的假设来证明Q（g h） （x，y）仅通过g和h的值以及它们在x和y处的导数的值来依赖于g和h。因为对于所有n偶数和z，gn（z）=g（z）=1，g′n（z）=g′（z）∈ {x，y}，这意味着Q（gn gn），νλ=Q（g） g） ，νλ. 最后，由（6.4）给出的B表示得出-2Bfn（z）=a（z）g′（z）- 2Zn- 1.gn（z+ξ）-ngn（z+ξ）n-nF（z，dξ），对于所有z∈ {x，y}。

因为根据支配收敛定理，对于n，积分项收敛到0∞, 证据到此结束。D鞅问题的存在性本节的目的是建立L鞅问题解的存在性与L的正m极大值原理之间的（本质）等价性。这里，E是局部紧波兰空间，D是C的稠密线性子空间（E） 包含常数函数1和L:PD→ 满足（4.2）的线性算子。第一引理断言，如果存在鞅问题的解，则隐含正最大值原理。引理D.1。如果对于M（E）中的每个初始条件，L的鞅问题存在解X，则L满足M（E）上的正极大值原理。Lemm aD.1的证明是标准的，因此我们省略了它。例如，参见Emma 2.3 Inflipovi'c和Larsson（2016）的证明。下一个引理是Ethier和Kurtz（2005）经典结果的改编。对于这一结果的应用，至关重要的是L是局部紧、可分、可度量空间上有界连续函数空间上的算子。如果E是非紧的，那么M（E）就不是这种情况，所以我们研究M（E), 这是一个关于弱收敛拓扑的紧Polishspace。然后可以应用Theier和Kurtz（2005）的结果，我们只需检查M（E）的初始条件) 解决方案X将质量1分配给E，然后Xt（E）=1对于每个t几乎确定≥ 0，所以解的th实际上取M（E）中的值。引理D.2。假设L满足M（E）上的正极大值原理). 如果是双E-保守的，则对于M（E）中的每个初始条件，L的鞅问题都存在一个解。证据回想一下，由于引理2.3（i），算子L可以看作是M（E）上空间多项式上的算子).

证明的第一部分在于证明如果L满足M（E）上的正最大值原理) 然后存在一个M（E)M（E）中每个初始条件下L鞅问题的值解). 这一结果是Ethier和Kurtz（2005）中定理4.5.4和后续标记4.5.5的结果。现在我们解释一下必要条件是如何成立的。观察M（E) 是一个紧可分的可度量s-步，通过引理2.7，thatPD（M（E)) := {p | M（E): p∈ PD}是M（E）上连续函数空间的稠密子集). 此外，正最大值原理意味着Lp | M（E)= Lq | M（E)对于所有p，q∈ Pd使P | M（E)= q | M（E). 因此，我们可以把L看作M（E）上连续函数空间上的算子) 具有域PD（M（E)).对于第二部分，回顾一下电子保守性的定义，存在函数∈ D∩ C（E）使limn→∞gn=1，limn→∞（Bgn）-= 0边界点式1和E, 分别地根据极限收敛定理（5.1）和Fatou引理，我们可以计算[Xt（E）]=limn→∞E【hgn，Xti】=limn→∞hgn，νi+EZthBgn，Xsids≥ ν（E）=1。最后，请注意，在M（E）上的c\'adl\'ag进程X) 使得Xt（E）=1几乎确定isc\'adl\'ag也关于M（E）上的弱收敛拓扑。参考A。阿赫迪达和阿方西。相关矩阵上的均值回复SDE。《随机过程及其应用》，123（4）：1472–15202013。D、 Bakry和M.Emery。差异超合同。1988年3月至1984年，第177-206页。斯普林格，1985年。C、 Beck、S.Becker、P.Grohs、N.J aafari和A.Jentzen。通过深度学习求解随机微分方程和Kolmogorov方程。预印本XIV:1806.004212018。D、 P.Bertsekas。非线性规划。雅典娜科学出版社，1995年。A、 Boumezoued、H.Hardy、N.El Karoui和d S.Arnold。

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