概率测度值多项式扩散

，ik）zi···zik，其中求和范围在Ek={1，…，d}k上。因此，当g（·）范围在Ek上的所有对称函数上时，我们恢复d变量z，…，中的所有全次k的齐次多项式，zd。特别是，从后面的推论2.5来看，这种关系提供了单纯形上多项式之间的一对一对应关系d、 即d： =新西兰∈ Rd：dXi=1zi=1，zi≥ 0o和M（E）上的多项式。以下功能空间将发挥重要作用。定义2.2。LetP：={ν7→ p（ν）：p是M（E）上的多项式}表示M（E）上所有多项式的代数，视为实值映射，配有逐点加法和乘法。2.2多项式的连续性与光滑性与普通多项式一样，P的元素是光滑的。这是下面的mad e PRECISSE INLEMA 2.3。在它的陈述中，我们使用了M（e）上函数的方向导数，这是自Leming和Viot（1979）的工作以来众所周知的。A函数f:M（E）→ Ris称为在δxf方向的ν处可微分∈ E如果xf（ν）：=limε→0f（ν+εδx）- f（ν）ε存在。我们写作p（u）表示地图x 7→ xp（u），并使用符号kxx···xkf（ν）：=x个x个···迭代导数的xkf（ν）。我们写作kp（ν）表示Ekto R的对应映射。p的观测值∈ P（ν）=hg，νixp（ν）=limε→0（Rg（y）εδx（dy））ε-1=每个x的g（x）∈ E、 下面的引理断言多项式的基本性质，特别是M（E）上的多项式可以唯一地扩展到M（E）上的多项式), 这通常是我们的兴趣所在。引理2.3。（i） 每个p∈ P在M+（E）上是连续的，在M（E）上是顺序连续的，并且可以唯一地推广到M（E）上的多项式).（ii）让p∈ P是形式为P（ν）=hg，νki的单项式。然后，对于每个x∈ E和ν∈ M（E），xp（ν）=khg（·，x），νk-1i，其中g（·，x）∈卑诗省（埃克）-1） 是函数（x，…，xk-1) 7→ g（x，…）。

，xk-1，x）。如果k=0，则右侧应为零。（iii）对于每个p∈ P和x∈ E地图xp：ν7→ xp（ν）位于P。（iv）对于每个p∈ P和ν∈ M（E），地图p（ν）：x 7→ xp（ν）位于C中（E） 。（v） 身份x（pq）（ν）=p（ν）xq（ν）+q（ν）xp（ν）适用于所有p，q∈ P，x∈ E、 ν∈ M（E）。（vi）泰勒表示p（ν+u）=kXl=0l!h类lp（ν），uli、 适用于所有p∈ P和ν，u∈ M（E），其中k表示p的度数。可以证明，顺序连续性不能增强为连续性。证据（i） ：对于h∈ C（E）kwe可以写入h=PLl=1λlh类kl对于一些hl∈ C（E） 和λl∈ R、 自hh起l, 通过弱收敛的定义，νi是连续的，hh，νki=LXl=1λlhh小时kl, νki=LXl=1λlhh小时l, νikis也在继续。然后注意，通过（2.1）中的线性，足以证明p（ν）=hg，νki和g的结果∈卑诗省（埃克）。选择h∈ C（E）K如此千克- 香港≤ εandletνn∈ M（E）形成一个极限为ν的收敛序列∈ M（E）。观察到，根据theBanach–Steinhaus定理，supn |νn |（E）<∞. 然后hg，νkni- hg，νki≤hh，νkni- hh，νki+ εsupn |νn |（E）k+|ν|（E）k→ Cε对于某些C≥ 由于ε是任意的，这证明了p在M（E）上的连续性。特别是我们在M+（E）上得到连续性，因为这是波兰的s步。最后一部分从C（E） 可以唯一扩展到C（E）中的函数).（ii）：利用g的对称性，直接计算yieldsp（ν+εδx）- p（ν）=εkZg（x，…，xk-1，x）k-1Yj=1ν（dxj）+o（ε）。的表达式xp（ν）如下。对于证明的其余部分，必须考虑单项式p（ν）=hg，νki forg∈卑诗省（Ek）由于（2.1）中的线性。（iii）：固定x∈ E并注意kg（·，x）∈卑诗省（埃克）-1).

该权利要求后面是（ii）。（iv）：对于p（ν）=hg，νki，我们有|xp（ν）|=| hkg（·，x），νk-1i|≤ kkgk |ν|（E）k-1< ∞.x 7的连续性→ xp（ν）遵循支配收敛定理和E是波兰的事实，因此是序列空间。（v） ：对于单项式p（ν）=hg，νki和q（ν）=hh，νli、 我们有pq（ν）=hg h、 νk+li、 因为对于所有x∈ E和ν∈ M（E）（k+l)汞柱 h（·，x），νk+l-1i=khg（·，x），νk-1ihh，νli+lhg，νkihh（·，x），νl-1i，该权利要求后面是（ii）。（vi）：观察p（ν）：=hg，νkip（ν+u）=kXl=0klZg（x，…，xk）kYi=l+1ν（dxi）lYi=1u（dxi）结果如下（ii）。从引理2.3（ii）可以推导出表达式（2.1）的唯一性。推论2.4。假设p（ν）=Pmk=0hgk，对于所有ν，νki等于零∈ M（E）。对于所有k证明，则gk=0。让x，xm公司∈ E可以任意使用引理2.3（ii）来区分m次！gm（x，…，xm）=xx···xmp（ν）=0。因此，gm=0。现在依次重复此步骤-1，总经理-2.g、 以下属性在动量公式的上下文中特别有用。在有限维条件下，结果表明单位单纯形上的每个多项式都有一个齐次代表。推论2.5。M（E）上的每一个多项式都有唯一的同态表示onM（E）。也就是说，对于e非常p∈ P与deg（P）=m存在唯一的g∈卑诗省（Em）suc h thatp（ν）=所有ν的hg，νmi∈ M（E）。证据推论2.4产生了一组独特的系数g，gmwith gk公司∈卑诗省（Ek）和p（ν）=Pmk=0hgk，νki。现在，通过设置g：=Pmk=0gk得出结果 1.（m）-k） 。备注2.6。如果我们选择与系数inbC（Ek）而不是BC合作（Ek）我们将得到M（E）上的同一类多项式。这是因为每个g∈卑诗省（Ek）Equalski=0gi 1.（k）- i） 对于一些gi∈bC（Ei），因此hg，νki=Pki=0hgi，νii表示所有ν∈ M（E）。实际上，giare由g迭代给出：=g(, . . . , ) 和gi：=ki公司g级(, . . .

, , ·) -我-1Xj=0gj 1.（一）-j）.然而，在推论2.5的意义上，这种多项式并不是在M（e）上具有同质代表性，除非e是紧的。例如，1+hg，νi和g∈ C（E）非零。当E不紧凑时，同质代表的存在会导致显著的符号简化（更多细节见备注4.6）。这是与spacesbC合作的主要原因（埃克）。2.3具有正则系数的多项式导数映射x 7→ 多项式p的xp（ν）仅与p的系数一样正则。这导致我们考虑系数更正则的多项式的子空间。出租人 C（E） 是一个包含常数函数1的稠密线性子空间，d定义：=spann1，hg，νik:k≥ 1，克∈ 做（2.2）因此，Pd是由常数多项式和“秩一”单项式hg的所有（有限）线性组合组成的P的su-balgebra···g、 νki=hg，νikwith g∈ D、 式中，所有多项式p（ν）=φ（hg，νi，…，hgk，νi）与k的Pconsists∈ N、 g，gk公司∈ D、 φ是Rk上的一个多项式。引理2.7。对于任何p∈ Pd和ν∈ M（E），我们有kp（ν）∈ Dk、 此外，C（M（E）中的PDisdense)). 这里，Pd的元素被视为M（E）上的函数) 首先将其扩展到M（E) 使用引理2.3（i），然后将它们限制为M（E).证据对于p（ν）：=φ（hg，νi），其中φ是多项式kp（ν）=φ（k）（hg，νi）gk∈ Dk、 因此，结果的第一部分适用于所有此类p，并且通过线性关系适用于所有p∈ PD。对于第二部分，多项式的连续性由引理2.3（i）所遵循。Stone–Weierstrass和D完全包含在C（E）中的事实) 产生密度。3最优性条件我们现在为测量参数的多项式开发最优性条件，这在处理m（E）上的正最大值原理时很有用).

我们的研究结果Theorem3.1扩展了有限维复杂函数的经典一阶和二阶Karush–Kuhn–Tucker条件（见Bertsekas（1995））。它是通过扰动优化器ν得到的*∈ M（E）) 通过将少量质量移动到E中的任意点. 我们的第二个结果，定理3.4，是通过变形优化因子ν得到的*使用C的一组等距（E） 。产生的条件是真正的有限维条件；见Lemm a 3.6。我们将使用运算符ψ，它映射任何函数g:E×E→ Rkto函数ψ（g）：E×E→ Rk由ψ（g）（x，y）=（g（x，x）+g（y，y）给出- 2g（x，y））。（3.1）注意，我们使用引理2.3（i）将多项式从M（E）扩展到M（E).定理3.1。让p∈ P和ν*∈ M（E）) 满足p（ν*) = 最大值（E)p、 然后，下列一阶和二阶最优性条件成立：（i）hp（ν*), ui=supEp（ν*), 对于所有u∈ M（E）) 使supp（u） 支持（ν*). 特别是，xp（ν*) = supE公司p（ν*) 对于所有x∈ 支持（ν*). （3.2）（ii）hp（ν*), ui≤ 0表示所有签名度量值u∈ M（E）) 使得h1，ui=0和SUPP（|u|） 支持（ν*). 特别是ψp（ν*)（x，y）≤ 0表示所有x，y∈ 支持（ν*). （3.3）证明。（i） ：选择任意x∈ 支持（ν*) 和y∈ E. 对于每个n∈ N、 设Anbe为半径1/N的球，以x为中心，与supp（ν）相交*). 然后ν*（An）>0，概率度量un：=ν*( · ∩ An）/ν*（An）弱收敛于δxas n→ ∞. 选择εn∈(0, ν*（An））。然后ν*≥ εnunsince f或全部B∈ B（E）ν*（B）- εnν*（B）∩ An）ν*（An）≥ν*（B）∩ An）ν*（An）（ν）*（An）- εn）≥ 因此νn：=ν*+εn（δy-un）是一种概率度量。ν的最大值*Lemma2.3（vi）现在给出0≥ p（νn）- p（ν*) = εnhp（ν*), δy- uni+o（εn）。除以εn，将n发送到单位，并使用该x 7→ xp（ν*) 是有界连续的，我们得到xp（ν*) ≥ yp（ν*). 我们推导出（3.2），这立即意味着（i）。（ii）：除了ab ove之外，假设y在supp（ν）中*).

因为我们也有thatsupp（|un |） 支持（ν*), 我们得到了hp（ν*), δy- uni=0，因为（i）。ν的最大值*andLemma2.3（vi）然后给出0≥ p（νn）- p（ν*) =εnhp（ν*), （δy- un）i+o（εn），因此hp（ν*), （δy- δx）i≤ 更一般地，考虑形式为νn的度量：=ν*+ εnmXi=1λiδyi-mXi=1γiui，n！对于某些点，yi∈ 支持（ν*), 凸权重λ，λ和γ，γm和ui被构造为unabove，x被xi取代∈ 支持（ν*). 让εn迅速减少到零，上述参数给出hp（ν*), ui≤ 0表示有符号测量u=mXi=1λiδyi-mXi=1γiδxi。传递到弱闭包得到（ii），并附加限制，即u的正负部分是概率度量。一般情况是通过缩放获得的。最后，因为hp（ν*), （δy- δx）i=2ψ(p（ν*))（x，y）我们得到（3.3）。备注3.2。注意定理3.1与有限维单纯形上的经典Karush–Kuhn–Tucker条件之间的相似性d、 让f∈ C（Rd）和x*∈ D满足f（x*) = 最大值df。然后，一阶和二阶（必要）Karush–Kuhn–Tucker条件dhold：（i）对于每个v∈ 当x时，使vi=0*i=0，f（x*)v=最大值∈{1，…，d}fxj（x*).（ii）对于每个v∈ Rd使1每当x时，v=0，vi=0*i=0，vf（x*)v≤ 0，其中1：=（1，…，1）.备注3.3。再次以E={1，…，d}为例，可以如下理解（3.3）中ψ的出现。假设z∈ D使函数f最大化∈ C（Rd）以上d、 对于每个i，j，使得zi>0和zj>0，我们必须有（ei- ej）f（z）（ei）- ej）≤ 0，其中ei是第i个正则单位向量。实际上，否则z±ε（ei- ej）将位于d当ε>0时，给出更高的函数值。更明确地说，我们必须iif（z）+jjf（z）-2.ijf（z）≤ 0，其中左侧等于2ψ(f（z））（i，j）在E={1。

，d}。对于本节的其余部分，D C（E） 是一个线性子空间，PDI由（2.2）定义。我们的下一个最优性条件更加微妙，因为它在有限维情况下变得微不足道；见Lemm a 3.6。基本观察结果是C的一组等距（E） 导致测量值波动ut∈ M+（E) 通过公式hg，uti=hTtg，ui forevery g∈ C（E） ，其中u∈ M+（E) 是固定的。多项式在其最大值ν中的值*不能小于其值（单位：ν）*- u+ut，对于任何t，这导致了群生成器A的最佳条件。例如，如果E=R，对于某些τ，生成器可以是Ag=τg′∈ C（R） 。然后，这些度量值将为Ttg：=g（φ（t，·）），其中φsolvesddtφ（t，x）=τ（φ（t，x）），初始条件φ（0，x）=x。相应的度量值将包括φ（t，·）的Pushf或u的方向。有关更多详细信息，请参阅Lemma6.1。张量符号AA用于表示D中的线性运算符D tobC公司（E） 由（A）确定 A） （g） g） ：=（Ag）（Ag）对于给定的线性算子a:D→ C（E） 。定理3.4。让p∈ Pd和ν*∈ M（E）) 满足p（ν*) = 最大值（E)p、 设A为C的强连续正等距群的生成元（E） ，并假设A的域同时包含D和A（D）。ThenhA公司(p（ν*)), ui+h（A （A）(p（ν*)), ui≤ 0每u∈ M+（E) 带u≤ ν*.证据设{Tt}t∈Rbe由A生成的组。对于任何u∈ M+（E), 该组的测量值为ut∈ M（E）) 通过公式hg，uti=hTtg，ui表示g∈ C（E） 。t的正性和等距性表明u为非负且具有恒定质量ut（E) = u（E). 因此，假设此后u≤ ν*, 接下来是ν*+ ut- u是一个概率度量。自kTtg以来- gk=每g的O（t）∈ D、 我们有Hg，（ut- u）ki=O（tk）（每克）∈ Dk

ν的最大值*引理2.3（vi），然后给出0≥ p（ν*+ ut- u) - p（ν*)= h类p（ν*), ut- ui+hp（ν*), （ut- u）i+o（t）=h（Tt- id）p（ν*), ui+h（Tt Tt-2 Tt id+id id）p（ν*), ui+o（t）。（3.4）我方声明-A满足E上的正极大值原理. 的确，forf∈ D和x∈ Ef（x）=最大f≥ 0，正性和等距属性giveTtf（x）≤ Ttf+（x）≤ kTtf+k=kf+k=f（x）。（3.5）因此Af（x）=limt↓0（Ttf（x）-f（x））/t≤ 0以及-Af（x）=极限↓0（T-tf（x）-f（x））/t≤0，提供声明。自从xp（ν*) = supE公司p（ν*) 对于所有x∈ 支持（ν*) 根据定理3.1，可以得出(p（ν*))（x） =0表示所有此类x。因此，使用该SUP（u） 支持（ν*)A的域包含A（D），我们得到（Tt- id）p（ν*), ui=h（Tt- 身份证件- tA）p（ν*), ui=thA(p（ν*)), ui+o（t）。（3.6）此外，使用（Tt Tt- 2 Tt id+id id）（g g） =（Ttg- g）（Ttg- g） 对于所有g∈ D、 我们推断出h（Tt Tt- 2 Tt id+id id）g，ui=th（A A） g，ui+o（t）（3.7）对于所有g∈ DD、 将（3.6）和（3.7）插入（3.4），除以t，并将t发送到zeroyields0≥哈(p（ν*)), ui+h（A （A）p（ν*), ui.这就完成了预防。备注3.5。我们声称，对于定理3.4中的A，算子Asatis fi fies the positivemaximum principle on E. 的确，让f∈ D和x∈ Ef（x）=最大f≥ 然后，如（3.5）所示，使用相同的符号，我们有Ttf（x）≤ f（x）和Af（x）=0，因为A和-A满足E上的正极大值原理. He nce Af（x）=极限↓0（Ttf（x）- f（x）-Af（x））/t≤ 0，这证明了该声明。以下引理说明了定理3.4中提供的条件的纯有限维性质。引理3.6。设A是C的正等距强连续群的生成元（E） 。如果A的域都是C（E） ，则A=0。如果A是有界的或E由无数点组成，则情况尤其如此。证据

A和-A满足E上的正m最大值原理，且A1=0。上述第C.2节意味着-A均为形式（C.1），B=±A。因此，0=Ag（x）- Ag（x）=Z（g（ξ）- g（x））（νA+ν-A） （x，dξ）对于所有x∈ E和g∈ C（E). 这意味着1{x}c（ξ）νA（x，dξ）和1{x}c（ξ）ν-对于所有x，A（x，dξ）为零∈ 因此A=0。由于有限维向量空间上的每个线性算子都是有界的，且C（E） 可以扩展到所有C（E） ，第二部分如下。4多项式算子设E为局部紧Polish空间。我们现在定义多项式算子，它构成一类作用于多项式的可能无界线性算子。通常情况下，这并不是在所有P上定义的，而是在一些稠密子空间D的子空间Pd上定义的 C（E） ；见（2.2）。这一概念的类似物以前曾出现在有限维多项式过程中；参见例如Cuchiero等人（2012年）；菲利波维奇和拉尔森（2016）；Cuchiero等人（2017年）。定义4.1。修复S M（E）。线性算子L:PD→ 对于每一个P，P称为S-多项式iff∈ PDQ有一些问题∈ P使得q | S=Lp | Sanddeg（q）≤ 度（p）。给定一个线性算子L:PD→ P，其关联的carr'e-du-champ算子是对称双线性映射：PD×PD→ P定义为Γ（P，q）=L（pq）- pLq公司- qLp。（4.1）carr'e-du-champ算子为算子L提供了关于鞅问题中出现的鞅的二次变化的信息。它还提供了关于此类鞅问题解的路径连续性的信息。我们回到Emma5.2中的这个问题，粗略地说，当Carr'e-du-champ操作符Γ是一个派生时，路径连续性正好成立，定义如下。定义4.2。修复S M（E）。

对称双线性映射Γ：PD×PD→ P被称为所有P，q，r的anS导数i f∈ PD，Γ（pq，r）=S上的pΓ（q，r）+qΓ（p，r）。对于有限维扩散，已知其生成器为多项式，当且仅当d裂谷和扩散系数分别为一次多项式和二次多项式时；参见Cuchiero等人（2012年）和Filipovi\'c和Larsson（2016年）。下面的结果是将这一事实推广到概率值集。第A节给出了证明。定理4.3。Let L：PD→ P是一个线性算子。那么L是M（E）-多项式，它的carr'E-du-champ算子Γ是M（E）-导数当且仅当ifLp（ν）=B类(p（ν）），ν+Q(p（ν）），ν, ν ∈ M（E），对于一些线性算子B:D→ C（E） 和Q:D D→卑诗省（E） 。（4.2）在这种情况下，B和Q是由L唯一确定的。当e S是M（e）的任意子集时，类似于eorem4.3，L是S多项式；参见TheoremA。示例4.4（Fleming-Viot生成器）。设E=R，D=C（R） 。弗莱明-维奥分歧由弗莱明和维奥（1979）提出，随后由其他几位作者进行了研究。这个过程取M（R）中的值，其生成器L作用于多项式p∈ PDbyLp（ν）=ZEB(p（ν））（x）ν（dx）+ZExyp（ν）ν（dx）（δx（dy）- ν（dy）），ν∈ M（E），其中Bg：=某些σ的σg′∈ R、 这是形式（4.2）的M（R）-多项式算子，其中Q=ψ，如（3.1）所定义。有关更多详细信息，请参阅Ethier和Kurtz（2005）第10.4章。推论2.5指出，M（E）上的任何多项式都有唯一的齐次表示。因此，满足（4.2）的算子L实际上将任何单项式hg，νkit映射到M（E）上唯一的单项式hh，νki。这导致一个操作符Lkg作用于相应的系数Lkg：=h。操作符L，L。是计算与L.D定义4.5相对应的多项式微分条件矩所需的关键对象。Let L：PD→ P满足（4.2）。