概率测度值多项式扩散

当X是多项式微分时，Theorem5.9用核νBfrom E to E和非负对称度量函数α：E来描述其生成器→ R、 正如我们现在所展示的，过程Z还解决了一个鞅问题，其生成器可以显式地写下来。根据示例2.1，任何多项式f对于某些p，dca可以表示为f（z）=p（zδ+····+zdδd）∈ PD。然后，我们可以通过公式af（z）：=Lp（zδ+····+zdδd）定义作用于此类多项式f的算子A。由于f（Z）=p（X）和Af（Z）=Lp（X），很明显，Z是以多项式f为测试函数的a鞅问题的解。相反，如果给出了该鞅问题的解Z，则通过设置X：=Pdi=1Ziδi来获得L鞅问题的解。接下来，计算表明a的形式为f（Z）=dXi，j=1νB（i，{j}）zifzj（z）-fzi（z）+dXi，j=1α（i，j）zizjfzi（z）+fzj（z）- 2.fzi公司zj（z）.（6.1）这也可以是wr itten Af（z）=b（z）f（z）+Tra（x）f（x）, 其中，系数b和a由bk（z）给出：=dXi=1νB（i，{k}）zi- νB（k，{i}）zk, k=1，d、 ak公司l（z） ：=-α（k，l)zkz公司l, kl = 1.d、 k 6=l,和akk（z）=-Pl6=千卡l（z） 。菲利波维奇（Filipovi\'c）和拉尔森（Larsson）（2016）在这里获得了适定性，因此我们将其作为特例加以恢复。特别是，Z是din的定义为ofFilipovi\'c和Larsson（2016，定义2.1）。此外，定理5.9给出了X的力矩公式，从而将Z的相应公式简化为givenbyFilipovi'c和Larsson（2016，定理3.1）。6.2底层空间E RdLet E Rdbe是闭子集，集合D：={f | E:f∈ R+C∞c（Rd）}。我们的目标是在此背景下分析Theorem5.6。如果E不是Rd的全部，则空间运动的动力学受到限制。直觉上，其扩散成分必须与E的边界相切。

其编码如下。∑d（E）：=τ ∈ C（Rd，Rd×d）：g∈ D、 x∈ E、 g（x）=maxEg表示τ（x）g（x）=0.（6.2）此处C（Rd，Rd×d）由矩阵值f函数和C中的分量组成（Rd）=C（Rd）∩ C（Rd）。引理6.1。固定τ∈ ∑d（E），带列τ，τd.算子Ai:d→ C（E） Givenbyig：=τ我g、 g级∈ D、 （6.3）满足定理3.4的条件。也就是说，每个Ai都是C的强连续正等距群的生成器（E） ，其域同时包含D和ai（D）。请注意，（6.3）对AI进行了很好的定义，即Aig仅依赖于E上的g穿透值。这是∑d（E）定义（6.2）的直接结果。证据根据命题2.5 inDa Prato和Frankowska（2004），对于每个i=1，d、 存在一个映射（t，x）7→ φi（t，x）从R×E到E，使得tφi（t，x）=τi（φi（t，x）），φi（0，x）=x，流动特性φi（s+t，x）=φi（s，φi（t，x））自τi起保持不变∈ C（Rd，Rd）。这意味着Ti，tg（x）：=g（φi（t，x）），t∈ R、 d在C的gly连续正测群上定义str（E） 带发电机Ai。很明显，AIC的域包含D，并且它也包含Ai（D），因为τilie的分量在C中（Rd）。定理6.2。Let L：PD→ P是满足（4.2）的线性算子，其中（i）B是E-保守的，B1=0，（ii）Q由Q（g）驱动 g） =αψ（g g） +Tr(τg） (τg）g级∈ D、 其中τ∈ ∑d（E）和α：E→ R是非负对称函数，（iii）B-Pdi=1（τ我)满足E上的正最大值原理，其中τ，τdτ的列。那么定理5.6的条件（i）–（iii）成立。证据这直接来自引理6.1，直到在（iii）中，我们需要验证正最大值原理是否适用于E, 不在E上。自D起 Cc（E），这源自备注5.7（i）。本节其余部分专门讨论d=1和E=R的情况。

根据引理C.1，算子B应满足E=R上的正最大原理。众所周知，如Courr\'ege（1965）或Hoh（1998），在此条件下，B是L’evy型算子，即Bg=Bg′+ag′+Zg（·+ξ）- g级- χ（ξ）g′F（·，dξ），g∈ D、 （6.4）对于某些连续函数a、b和a≥ 0，一个截断函数χ和一个从R到R的核函数（·，dξ）|∧ 1 F（·，dξ）<∞. 此公式的每个运算符都满足B1=0和R上的正最大值原理。以下结果在此设置中表示为M6.2。推论6.3。Let L：PD→ P是满足（4.2）的线性算子，其中B由（6.4）给出，对于某些连续函数σ和τ，a：=σ+τ，Q由Q（g）给出 g） （x，y）=α（x，y）（g（x）- g（y））+τ（x）τ（y）g′（x）g′（y），g∈ D、 其中α∈卑诗省（R） 为非负且τ∈ C（R） 。还假设B是R保守的。那么定理5.6的条件（i）–（iii）成立。系数α量化了Xt（dx）支撑下不同点之间的质量交换。当E={1，…，d}时，这一点可能最为明显；参见第6.1节。τ的作用是不同的，因为它控制着XT（dx）支撑的随机波动。以下示例说明了这一点。示例6.4。考虑推论6.3中给出的形式的运算符L，α=0，Bg=g′，τ=1（因此σ=0）。结果运算符Q由Q（g）给出g） =g′g′。L的鞅问题的解由X=δW给出，其中W是B-Rownian运动。实际上，将It^o公式应用于hg，对于任何g，Xtik=g（Wt）kF∈ D和k∈ Nestablish证明（5.1）是任何p的鞅∈ PD。在本例中，以及在C orollary6.3中，Q规范中的非零τ与B规范（6.4）中的相应差异成分相耦合。以下结果表明，这是一种普遍现象。提案6.5。

Let L：PD→ P是满足（4.2）的线性算子，B由（6.4）给出。假设L满足R上的正最大值原理。如果a=0，则对于一些非负对称函数，Q=αψα：R→ R、 证明。下面的引理6.6，λ=0，1，1/2，以及引理C.1，意味着引理的条件。3（i）满意。结果如下。下一个引理是证明命题6.5的主要工具。但它也有其他后果。特别地，它意味着Q（gg） （x，y）仅通过hg（x）、g（y）、g′（x）和g′（y）依赖于g，前提是L满足正最大值原理onM（E）。这说明了定理6.2中给出的Q的形式是非常普遍的。引理6.6。Let L：PD→ P是满足（4.2）的线性算子，B由（6.4）给出。假设L满足R上的正最大值原理。那么，对于所有λ∈ [0，1]，克∈ D、 和x，y∈ 这样g（x）=g（y），我们有Q（g） g） ，νλ≤（ag′），νλ, νλ=λδx+（1- λ） δy.证明。修复g∈ D使得g（x）=g（y）。因为，根据Lemm a C.1，B1=0和d Q（g 1） =0考虑g（x）=g（y）=1的情况就足够了。结果将来自LemmaC。的确，如果我们让（pn）n∈Nand（fn）n∈对于这里描述的序列，根据L对R的正最大值原理，我们得到0≥ Lpn（νλ）=Bfn，νλ+DQ（g g） ，νλean，让n转到∞ 我们可以得出结论。验证LemmaC的假设。观察引理C。1产量（g g） ，νλi≥ 所有λ为0∈ [0, 1].固定一些g∈ D和x，y∈ 对于z，g（z）=g′（z）=0∈ {x，y}，假设th atkgk=1。Let Fn：[0，1]→ R是LemmaB中定义的功能。1.

从侧面看，则pn（ν）=hg，νiFn给出的多项式序列hH，νi-nhH，νi，其中，对于一些紧支撑函数ρ∈ C∞（R） 在x和y的某个邻域上ρ=1，ρ（R） [0，1]，H（z）=C | z- x | | z- y |ρ（z）+（1- ρ（z））。注意，g上的条件保证C足够大| g |≤ H，因此| hg，νi |≤ hH，νi代表所有ν∈ M（右）。对于足够小的supp（ρ），我们还有kHk≤ 1.LemmaB。1则产生hg，νiFnhH，νi≤nhH，νi代表所有ν∈ M（R），以及之前的pn≤ M（R）上的0。这自动意味着对于所有λ，pn在νλ处有一个最大值∈ [0, 1].按照理论5.9的规定进行，然后我们获得hQ（g g） ，对于anyg，νλi=0∈ D使得g（x）=g（y）=1，g′（x）=g′（y）=0。选择λ=0，1，1/2，我们得到结果。下面的示例给出了适定性的一个简单条件。我们让Gk、Ck和tkbe如Remark5.7（iii）所示。示例6.7。考虑推论6.3的设置。假设σ从零开始有界，让（6.4）中的跳跃核F（·，dξ）为零，并假设参数带σ是Lipschitz连续且有界的。然后，根据Ofether和Kurtz（2005）的定理8.1.6，B是R-保守的，Gk+TKG的闭包在BC上生成一个强连续半群（Ek）每k∈ N、 由于Ckis有界，lk在bc上生成一个强连续收缩半群（Ek）以及（更多详情参见定理1.7.1 inEthier和Kurtz（2005））。由于注释5.7（iii）表明LK满足正最大值原理，注释5.4和定理5.3给出了所有g的力矩公式∈ Dk、 因此，适定性来自定理5.6.6.3跳跃差异的条件定律是多项式。在本节中，我们讨论由一些特殊噪声（布朗运动和跳跃）和一个常见布朗运动驱动的粒子系统。

我们证明，对于基本上所有这样的跳跃差异，关于普通布朗运动的条件定律是多项式的。整个E=R和D R+C∞c（R）。设b，σ，τ和F（·，dξ）如推论6.3所示，附加可积条件为rξ|∧ |ξ| F（·，dξ）<∞. 对于这些参数和α=0，我们定义L为推论6.3中相应的多项式算子。此外，让（Zi）i∈Nbe sy stemdZit=b（Zit）dt+σ（Zit）dWit+τ（Zit）dWt+Zξ的弱解pi（dt，dξ）-F（Zit，dξ）dt, Zi=x∈ R、 （6.5）其中Wis是布朗运动，且（W，p），（W，p）。是一对布朗运动和随机测度的序列，具有补偿因子F（·，dξ）。我们假设每个偶独立于其他偶和W。注意，每个zi的生成器由B给出，如（6.4）所定义。现在假设Z，Z。是可交换的，并且设置文本=limn→∞nnXi=1δZit。根据De Finetti定理（参见定理4.1 inKotelenez和Kur tz（2008）或第12.3 inKlenke（2013）节的一般概述），我们得出（Zit）i∈那是有条件的。i、 d.关于不变σ-代数F∞t=σ（Xs，s≤ t） X可以表示为xt=P（Zt∈ ·|F∞t） 。（6.6）这尤其意味着f或所有g∈ Dk和k∈ N it holdshg，Xkti=E[g（Zt，…，Zkt）| F∞t] 。（6.7）注意（参见定理2.3 inKurtz和Xiong（1999）），在（6.5）解的路径唯一性的额外假设下，我们得到thatXt=P（Zt∈ ·|Ft），其中Ft=σ（Ws，s≤ t） ，因为Ft=F∞锡这个箱子。在下面的命题中，我们现在通过证明X解决了上述多项式算子L的鞅问题来证明X是多项式。提案6.8。设X为b y（6.6）。然后X用i-ni-tial条件δX证明了lw的鞅问题。让g∈ DK设置Z：=（Z，…，Zk）。然后我们得到，ng，kt：=g（Zt）- g（x，…）。

，x）-ZtLkg（Zs）dsis a bounded（Ft）t≥0-鞅，其中，根据（4.4），Lk=kB 身份证件（k）- 1） +k（k- 1)Στ Στ 身份证件（k）- 2） 对于∑τg：=τg′。自F起∞t型 Ft这意味着E[Ng，kt | F∞t] 是an（F∞t） t型≥0-鞅，因此设置p（ν）：=hg，νki我们可以用g（6.7）E[p（Xt）| F计算∞s]-p（Xs）=EZtsLkg（Zu）duF∞s= EZtsE[Lkg（Zu）|F∞u] 杜邦F∞s= EZtsLp（徐）杜F∞s证明X是L的鞅问题的解。定理4.3的证明和推广我们首先证明定理4.3。假设第一个L为所述形式。对于单项式sp（ν）=hg，νik和g∈ D、 k级∈ N和ν∈ M（E）一个hasLp（ν）=Bp（ν）, ν+Qp（ν）, ν= khg，νik-1hBg，νi+k（k- 1） hg，νik-2hQ（g g） ，νi，这是一个不超过k次的ν多项式。此外，L1=0。通过线性，这表明L是M（E）-多项式。接下来，直接计算得出Γ（p，q）（ν）=DQp（ν） q（ν）, νEfor allν∈ 根据引理2.3（v）中给出的积规则，很容易将M（E）看作是一个M（E）求导。相反，假设L是M（E）-多项式，而Γ是M（E）-导数。考虑任意一阶单项式q（ν）=hg，νi和r（ν）=hh，νi，g，h∈ D、 M（E）多项式性质及推论2.5 yieldLq（ν）=hBg，νi for allν∈ M（E），对于某些地图B:D→ C（E） 由于L的线性，很容易看出是线性的。Fur thermore、M（E）-多项式性质、Γ的定义（4.1）和推论2.5意味着Γ（q，r）（ν）=hQ（g h） ，νi表示所有ν∈ M（E），其中Q继承了Γ的对称性和线性，取inbC值（E） 。因此，通过采用线性组合，我们可以并且确实可以将它们扩展到D上的运算符 D、 现在，显式计算表明，对于p=q和p=q，Lp的形式为（4.2）。此外，由于Γ是M（E）-导数，我们有Γ（1，1）=2Γ（1，1），因此Γ（1，1）=0，因此L1=L（1）=0+2L1。

因此，L1=0，因此（4.2）也适用于p=1。为了将（4.2）推广到更高阶的单项式，我们现在更实质性地利用了Γ是M（E）-导数这一事实。我们继续对k进行归纳，假设p=ql，l的形式为（4.2）≤ k、 到目前为止，我们已经证明了k=2。Γ的定义（4.1）以及它是M（E）派生的事实给出了M（E）L（qk+1）=2qL（qk）的恒等式- qL（qk-1） +qk-k为1Γ（q，q）≥ 2、由于归纳假设，可使用（4.2）明确计算右侧。结果是（k+1）q（ν）khBg，νi+（k+1）kq（ν）k-1hQ（g g） ，νi，等于hB(p（ν）），νi+hQ(p（ν）），νi w，其中p=qk+1，f或所有ν∈ M（E）。导入步骤到此结束。接下来是（4.2）适用于所有单项式shg，νik，以及适用于所有p∈ PD。最后，唯一性断言是直接从上面获得B和Q的方法得到的。这就完成了T heorem 4.3的证明。我们现在陈述定理4.3的一个推广，其中M（E）被一般状态空间代替。设E是局部紧的波兰空间，D C（E） 是一个密集的线性子空间 M（E）。定理A.1。Le t L：PD→ P是一个线性算子。那么L是S-多项式，itscarr'e-du-champs算子Γ是M（e）-导数当且仅当L允许表示lp（ν）=B(p（ν））+分贝(p（ν）），νE+Q(p（ν））+DQ(p（ν）），νE+DQ(p（ν）），νE, ν ∈ 关于某些线性算子B:D→ R、 B：D→ C（E） ，Q:D D→ R、 Q:D D→C（E） ，Q:D D→卑诗省（E） 。如果S包含M（E）的一个开集，则这些算子由L.Proof唯一确定。这个结果的证明遵循定理4.3的证明。B定理5.9的证明假设L满足（4.2），B和Q如（5.5）中所示，其中νBis是从E到E的非负有限核函数，α：（E)→ R是非负的、对称的、有界的和连续的（E)\\ {x=y}。很明显，Q与算子n orm 2kαk有界。

识别C（E） 和C（E), 我们从LemmaC推断。2 B是有界的，满足B1=0以及E上的正最大原则, 而且{etB}t≥0是强连续收缩半群。通过考虑任意函数序列gn∈ C（E）带0≤ gn（x）↑ 所有x的1个∈ E、 使用νB（x{}) = 0表示所有x∈ E、 我们可以看到B是E保守的。定理5.6给出了L是M（E）-多项式，并且它的鞅问题在每个初始条件ν下都有连续路径的解∈ M（E）。好吧，posedness后面是引理5.8。我们现在证明相反的含义。假设L是M（E）-多项式，其鞅问题是适定的，且所有解都有连续路径。定理4.3和Lemma5.2暗示了满足条件（4.2），然后是LemmaD的正最大值原理onM（E）。1、LemmaC。1 B满足E和L emma C上的正m最大值原理。2因此，对于E中的一些非负、有限核νB，B h如（5.5）所示至E.此外，B有界，满足E上的正最大值原理, 是gly连续收缩半群{etB}t上str的生成元≥我们必须证明νB（x{}) = 0表示所有x∈ E这将允许我们从E到E查看νBas内核。自相矛盾地假设存在一些x∈ E使得νB（x{}) > LetZ是与半群{etB}t相关联的马尔可夫过程≥0。然后，通过近似{·∈}通过一系列有界连续函数G和应用关系式（5.4），我们发现0<P[Zt∈ |Z=x]=E[1{Zt∈}|Z=x]=limn→∞E[gn（Zt）| Z=x]=limn→∞E【hgn（·），Xti | X=δX】=E【h1】{·∈}, 对于所有t，Xti | X=δX]≥ 这与Xtis是M（E）值的事实相矛盾，并证明了B是规定的形式。Q的形式将遵循LemmaC。为了验证其假设，请注意byLemmaC。1总部（g g） ，νi≥ 0

接下来，FIX s ome g∈ D和ν∈ M（E）使得在ν的支承上g=0，并假设kgk=1。对于每个n∈ N、 定义多项式alpn（u）=hg，uiFn（h | g |，ui）-nh | g |，ui，其中Fn如LemmaB中所示。1、S ince D=C（E） ，我们有pn∈ PD。此外，sinceFn（z）zn≤ 所有z为1∈ [0，1]，我们得到hg，uiFn（h | g |，ui）≤nh | g |，ui，u∈ M（E），因此pn≤ M（E）上为0。因为g=0在ν的支撑下，pn（ν）=0。应用正极大值原理，利用L的形式（4.2），以及hg，νi=h | g |，νi=0和Fn（0）=1，我们得到0≥ Lpn（ν）=-nhB（| g |），νi+hQ（g g） ，νifor all n，where hQ（g g） ，νi≤ 通过缩放，这实际上适用于任何g∈ D和ν∈ M（E）在ν的支撑下，g=0时的th。如果g等于其他常数c∈ 在ν的支持下，我们仍然可以得到hq（g g） ，νi=hQ（（g- c） （g）- c） ），νi≤ 0使用该Q（g1） LemmaC=0。因此引理C.3（ii）成立，我们得出结论，对于一些非负对称函数α：E，Q=αψ→ R、 仍需使用αψ（g）∈卑诗省（E） 证明此函数可以扩展为（E）上的有界连续函数)\\ {x=y}。连续性很明显。对于巡回有界性，选择对序列（xn，yn）∈（E）)\\ {x=y}这样α（xn，yn）n→∞---→ ∞. 因为我们可以假设α（xi，yi）>0，xi6=xj，xi6=yj，并且yi6=yj，对于所有i，j∈ N、 我们可以建造g∈ C（E） 使得（g（xn）- g（yn））=α（xn，yn）-这产生α（xn，yn）ψ（gg） （xn，yn）=α（xn，yn）1/2前提是αψ（g g） 是无约束的，提供了必要的矛盾。引理B.1。定义Fn（z）：=n-1n（1- z） n+所有z∈ [0, 1]. 然后fn（z）∈ [0，1]，Fn（z）zn≤ 1和Fn（z）√锌≤ 1，对于所有z∈ [0, 1].C辅助引理E是局部紧波兰空间。引理C.1。让D C（E） 是一个包含常数函数1的稠密线性子空间，设L:PD→ P是满足（4.2）和M（E）上正极大值原理的线性算子。