随机切换博弈

因此，市场将首先经历一个短暂的阶段，在这一阶段中，两个生产者将展开竞争，然后将最终进入高X区域，在该区域中，可再生能源P1将占据主导地位，并且（内生）永远不会放弃其优势。扩建阈值simAve工厂建成-1 0+1玩家1 5.9796 8.9594-3.8151玩家2-4.1296 5.9574 2.8151表5：第6节GBM案例研究中的平衡。建造的平均工厂是指玩家i从X=5，M=0开始的预期交换机数量。表5显示了产生的平衡阈值，图8（a）绘制了（Xt）和（M）的轨迹*t） 从X=5开始，M*= 右面板图8（b）显示了M的分布情况*通过t 7→ P（M*t=m）。我们观察到，玩家2可能会进行第一次扩展（P（m*t=-1） 低t时增加），而在中期，玩家1越来越可能成为不利因素。与Xt一致→ +∞ （由于u-σ/2>0）我们有P（M*t=+1）→ 1随着时间的增长。71m的吸收概率*从状态（0）向上移动时，±is（见附录D.1）P（+1）a=limu↑∞（s1，*)1.-2uσ- （s2，*)1.-2uσu1-2uσ- （s2，*+1)1-2uσ= 1 -s1，*s2，*1.-2uσ=0.4709，M-1 0+10 5 10 15 20 25 301020340TX（a）样本轨迹0 10 20 30 40 500.00.20.40.60.81.0 M的分布*+10-1（b）M的分布*图8：左：轨迹（Xt，M*t） 对于第6节的GBM示例，从x=5开始，M*= 0、右：M的分布*t型∈ {-1，0，1}作为t的函数，导致转移概率矩阵P为71m*asP=(-1)-(0)+(0)-（+1）+（+1）a(-1)-0 1 0 0 0(0)+0.374 0 0 0.331 0.295(0)-0.379 0 0 0.329 0.292（+1）+0 0 1 0（+1）a0 0 0 1。（39）注意，在图8（a）中绘制的场景中，M*t=15后的t=+1，可解释为“吸收”。吸收前的理论平均时间（定义见（26））为T（5）=30.775。在图中，我们还注意到P1向上切换了5个开关，P2向下切换了4个开关。

回想一下，在有限的时间范围内，P1总是会在此后再进行一次切换*最终t=+1。表5的最后一列显示了各生产商实施的平均扩张数量，Ni（5）定义在（25）中。6.1漂移u和波动率σ的影响我们研究了（2）中漂移u和波动率σ对均衡策略和宏观市场机制的影响*. 为此，我们在M=0，N（5）（始终满足N（5）=N（5）的条件下，评估玩家2执行的预期扩展次数- 1).此外，我们还计算了M*每种制度的开支m∈{-1，0，1}在接下来的30年内，ρm（\'T）：ρm（\'T）：=E“TZ”T{m*t=m}dtM*= 0#. （40）图9显示了我们在0.05到0.15之间变化的结果，固定σ=0.25，或互补σ∈ [0.20，0.25]，固定u=0.08。正如预期的那样，u越高，（Xt）越倾向于+∞ 从而强制执行玩家1的统治权；因此，玩家2无法展开。σ下降也会产生类似的影响——波动越小，P2的机会就越少。因此，开关的总数量（可观察到的竞争）随着u的增加或σ的减少而减少。在图9（b）中观察到相关影响：P1的优势度，ρ+1（(R)T），随着u上升或σ下降而增加。对于ulow（σhigh），向长期优势的转化速度较慢，因此参与者s在[0，\'T]的中期条件下更加公平。请注意，更高的波动性会伤害参与者1，加剧中期竞争，并导致两个参与者在重复扩张上花费大量资本。最后，我们注意到，时间M的比例*对于u和σ的不同组合，0区的支出ρ（(R)T）相当稳定。7结论上述实验说明了我们在重复计时游戏中实现动态平衡的建设性方法。

特别是，宏观区域M的离散性允许高度的分析可处理性，包括其平衡行为的精确量化。以上是我们依赖于阈值ty pe均衡的强大动力，这使得我们能够从结构上深入了解参与者之间的战略互动、X的短期波动以及新兴的M*.自然的扩展是考虑其他控制设置，例如M上的脉冲控制（允许连续的状态）或单一控制。处理这种紧张局势必须从精确分析“积木”局部问题开始，而在我们的情况下，这是受约束的最优停车（14）。虽然后者已被广泛用于最优停车，但现有的替代控制设置理论，如约束奇异控制，仍不完整。虽然我们的工作植根于具体的经济应用，但我们认识到，该模型的许多现实方面都被忽略了。更为复杂的支付率和转换成本形式（例如捕捉即时供需竞争）将被纳入其中。另一个可能的扩展是允许X的动态，0.06 0.08 0.10 0.12 0.140246810u控制数量（a）σ=0.25，u∈ （0.05，0.15）0.06 0.08 0.10 0.12 0.140.00.20.40.60.81.0u时间比例+10-1（b）σ=0.25，u∈ （0.05，0.15）0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34024681012σ对照品数量（c）u=0.08，σ∈ （0.20，0.35）0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.340.00.20.40.60.81.0σ时间比例+10-1（d）u=0.08，σ∈ （0.20，0.35）图9：左：P2执行的开关的平均总数。右侧：估计的时间比例（M*t） 在未来30年内，在m制度下的支出，从（40）开始，每m∈ M、 在所有情况下，我们取X=5，M*= 0.即。

（1）中的系数u（Xt）和σ（Xt）取决于区域m，这意味着生成器L需要重新索引为Lm。模技术和符号模型，我们的构造，尤其是方程组（44）-（45）和第4节中的有限控制近似，应直接遵循。一个更具挑战性的扩展是考虑M中的噪声，其数量考虑了二维（或一般的多维）随机状态过程。主要的挑战是，关于多维度约束最优停车的理论非常有限——现在控制将s映射到一整条曲线si（m）中，对于这种sj（m）的最佳响应应该是什么样子还很不清楚。抽象地说，在切换博弈中寻找其他可行的均衡仍然是一个悬而未决的问题。我们强烈怀疑普遍缺乏均衡的唯一性，因此更富有成效的问题是构建其他易于处理的均衡。约束最优停止问题的一个解，其中F（·）和A G（·）是常微分方程（L）的基本增/减解- r） u（x）=0，x∈ D、 （41）式中，L=b（x）ddx+σ（x）ddxis是x的最小生成元。

这些lin早期独立解是正的、连续的、严格单调的和凸的，并且允许表示（参见[30，vol.II，p.292]）e-rτa{τa<∞}=（F（x）F（a），如果x≤ a、 G（x）G（a），如果x≥ a、 （42）我们回顾了OU过程的基本解：FOU（x）：=Z∞uru-1eq2uσ（x-θ）u-udu和GOU（x）：=Z∞uru-1e级-q2uσ（x-θ）u-对于几何布朗运动，它们是：FGBM（x）：=xη+，和GGBM（x）：=xη-,其中η+和η-是二次方程ση（η）的正根和负根-1) +uη - r=0。众所周知，约束最优停止问题（14）的解是变形领导者payofff^H（y）：=^hG的最小凹主解oFG公司-1（y）和^H（z）：=^hFoGF公司-1（z），（43），其中^hi（sj）=max{li，gi}（sj），否则^hi（x）=hi（x）。具体而言，{VG}（F（x）/G（x））（分别为{VF}（G（x）/F（x）））是^Hi（·）的凹包络。为确保该凹面包络为阈值类型，我们引用以下定义，参见de Angelis等人【15】：定义A.1。设H为实值函数类H∈ C（D）使lim supx→dh（x）G（x）=lim supx公司→\'\'dh（x）F（x）= 0和ExR∞e-rt |（L- r） h（Xt）| dt< ∞ 对于所有x∈ D、 用Hinc（分别为Hdec）表示所有h的集合∈ H使得x 7→ （L）-r） 对于某些xh，h（x）在（d，xh）上严格为正（re sp.negative），在（xh，’d）上严格为负（resp.negative）∈ D、 当领导者payoff h（resp.h）属于Hinc类（resp.Hdec）且假设3.2（iii）成立时，可以得出变换后的^hi是凸的，然后是凹的。因此，它的最小凹面主角是一条直线，该直线在唯一点与^hia相切，然后硬币与^Hi相交。这种构造简化为确定^Hi的切点，对应于变换阈值si（sj）。

此外，命题3.3中的系数eωiin对应于上方直线段的斜率，eνi对应于y截距。从在Li处作为跟随者被假定为次优的事实出发，可以得出eω，eν≥ 0和ν，eω≤ 0.我们请读者参考[2]了解更多详细信息。违反假设3.2（iii）的情况会导致一个独特的先发制人均衡（14），详细讨论见【2，第3节】。B定理3.4的证明我们首先陈述了表征阈值si的整个非线性方程组，*和系数ωi，νiin（21）。每米第一个/∈ {m，m}有6个方程式：Vm+1- Dm公司- 公里数（s1，*m） ·W（s1，*m、 s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m） ·W（s1，*m、 s1，*m）-Vm+1- Dm公司- 公里数′（s1，*m） ·W（s1，*m、 s2，*m） =0，Vm+1- Dm公司- 公里数（s1，*m） ·G（s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m） ·G（s1，*m）- ωm·W（s1，*m、 s2，*m） =0，虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m） ·F（s1，*m）-Vm+1- Dm公司- 公里数（s1，*m） ·F（s2，*m）- νm·W（s1，*m、 s2，*m） =0，（44a）虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·W（s2，*m、 s1，*m）-Vm+1- Dm公司（s1，*m） ·W（s2，*m、 s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司- 公里数′（s2，*m） ·W（s1，*m、 s2，*m） =0，虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·G（s1，*m）-Vm+1- Dm公司（s1，*m） ·G（s2，*m）- ωm·W（s2，*m、 s1，*m） =0，Vm+1- Dm公司（s1，*m） ·F（s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·F（s1，*m）- νm·W（s2，*m、 s1，*m） =0，（44b），其中F和G是ODE（41）的解，W（·，·），W（·，·）来自（15）。在边界区域m=m和m=m中，我们有以下3个方程组：s1，*m=d，ωm=0，νm=0，虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m）- νm·G（s2，*m） =0，nVm+1-Dm公司-Kmo（s1，*m） ·F′（s1，*m）-nVm+1- Dm公司- Kmo′（s1，*m） ·F（s1，*m） =0，nVm+1-Dm公司-Kmo（s1，*m）- ωm·F（s1，*m） =0，（45a）s2，*m=d，ωm=0，νm=0，虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·G′（s2，*m）-Vm+1- Dm公司- 公里数′（s2，*m） ·G（s2，*m） =0，虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m）- νm·G（s2，*m） =0，nVm+1-Dmo（s1，*m）- ωm·F（s1，*m） =0。（45b）定理3.4的证明。

首先，我们认为，通过构建（21）中的Vi，我们有：1。Vim公司∈ CD \\（si∪ sj）∩ CD\\sj∩ C（D），用于m级∈ M、 我∈ {1，2}，i 6=j；2、Vimis最多线性增长th，即| Vim（x）|≤ C（1+| x |），用于x个∈ D(46)3. Vi满足m<m:Vm+1的后续变分不等式组（VIs）- 公里数- 虚拟机≤ 0，在D中，（47a）Vm-1.- Vm=0，inΓ2，*m、 （47b）Vm+1- Vm=0，inΓ1，*m、 （47c）最大值（L）- r） Vm+πm，Vm+1- 公里数- 虚拟机= 0，在DΓ2中，*m、 （47d）对于m>m，Vm-1.- 公里数- 虚拟机≤ 0，在D中，（48a）Vm-1.- Vm=0，inΓ2，*m、 （48b）Vm+1- Vm=0，inΓ1，*m、 （48c）最大值（L）- r） Vm+πm，Vm-1.- 公里数- 虚拟机= 0，在DΓ1中，*m、 （48d）Vi的光滑性直接来自F（·）和G（·）的正则性以及分段构造。第二种说法来自（7）中的线性增长假设，以及系数ωi，νi的信号。请注意，这是正确均衡支付的自然属性，因为参与者的最佳反应博弈支付∈MDim（x）≤eVim（x；αj）≤ 最大值∈MDim（x），（49）和MNE被描述为最佳响应的固定点。关键是最后的断言；我们显示（47），然后使用（48）进行类似操作。将系统（44）与（17）和（18）进行比较，可以看到Vm-Dmis确实是HM（x）：=Vm+1（x）的最优停止问题（14）的解决方案- Dm（x）- Km（x），lm（x）：=Vm-1（x）- Dm（x），它反过来b环化了对ωi，νi符号的限制。以P1为例，ωmc对应于其变换的最小凹主线段的直线段的斜率，该直线段对于m<m应为正，对于m=m应为零。同样，νmc对应于该直线段的y截距，对于m>m应为负，对于m=m应为零。此外，F（·）、G（·）导数的符号表示Vm-Dmisincreasing。

assum Option虚拟机-1（s2，*) ≥ Vm+1（s2，*m）-Km（s2，*m） ，对于m>mplus，sm等凹主特征，然后yieldsVm- Dm=lm≥ hm=Vm+1- Dm公司-Km，inΓ2，*m、 虚拟机- Dm=hm=Vm+1- Dm公司- Km，inΓ1，*m、 虚拟机- Dm公司≥ hm=Vm+1- Dm公司- Km，in D\\Γ1,*m级∪ Γ2,*m级,显示s（47a）。（47b）和（47c）直接从Vi的构建中获得，反映了竞争对手立即切换的x状态下的支付效果。最后，检查（47d），回想一下（7）中的贴现现金流满足（L-r） 尺寸=-πim，根据其定义（L- r） F=（L- r） G=0。对于x∈ D \\（2），*m级∪Γ1,*m） （“n o作用区”）我们通过（21）得到，Vm（x）=Dm（x）+ωmF（x）+νmG（x），所以应用算子（L- r） 我们得到（L- r） Vm+πm=（L- r） Dm+πm=-πm+πm=0，x∈ D \\（2），*m级∪ Γ1,*m） 。对于x∈ Γ1,*mΓ1，*m+1，我们有Vm（x）=Vm+1（x）-Km（x）=Dm+1（x）+ωm+1F（x）+νm+1G（x）-Km以便（L- r） Vm+πm=（L- r）Vm+1- 公里数+ πm=（L- r） Dm+1+（L- r）-公里数+ πm（50）=（L- r）Dm+1- Dm公司- 公里数< 0，（51），其中最后一个不等式（51）由Dm+1决定- Dm公司- 公里数∈ Hinc。类似参数适用于x∈ Γ1,*m+1Γ1，*m+2，其中P1将同时发生两次sw瘙痒；根据推断，我们得出以下结论（L- r） x的Vm+πm<0∈ Γ1,*m、 建立（47d）。我们现在证明s1，*, s2，*是纳什均衡。

为此，我们首先考虑P1的观点，让α={τ（n）：n≥ 1} 她的任意策略是否令人满意（α，s2，*) ∈ A、 和（σn）n≥0是（3）中定义的结果切换时间序列，X=X，~M=M。作为第一步，我们使用归纳法确定atVm（X）≥ EhZσne-rtπ（Xxt，~Mη（t））dt-nXk=1{Pk=1}e-rσk·kXσk，~Mk-1.+ e-rσnVMn（Xxσn）in≥ 1.（52）对于n=1，因为σ=τ（1）∧τ2,*m、 It^o公式在过程e中的应用-区间[0，σ]上的rtVm（Xxt）和期望值yieldsVm（x）=Eh-Zσe-rt（L- r） Vm（Xxt）dt+e-rσVm（Xxσ）i≥ EhZσe-rtπ（Xxt，~M）dt+e-rσVm（Xxσ）i（53a）≥ EhZσe-rtπ（Xxt，~M）dt+e-rσ{-K（Xxσ，~M）·1{σ=τ（1）}+VM（Xxσ）}i，（53b），其中不等式（53a）来自（47d），σ≤ τ2,*m、 不等式（53b）是由于（47a）和（47b）：EhVm（Xxσ）i≥ Eh{σ=τ（1）}nVm+1（Xxσ）- K（Xxσ，~M）o+1{σ=τ2，*m} 虚拟机-1（Xxσ）i.（54）接下来，我们显示n=2的（52）。通过构造，我们得到σ=τ（2）∧(σ+ τ2,*M）。考虑到第二个round子对策开始于初始状态Xxσ；将It^o公式应用于过程-rtVm+1XXxσt区间[0，σ]- σ] 将期望条件设为F（2）σ，cf.（3a），我们得到vm+1（Xxσ）≥ EhZσ-σe-rtπXXxσt，m+1dt+e-r（σ-σ） VMXxσ-1{σ=τ（2）}e-r（σ-σ） ·K（Xxσ，m+1）F（2）σi，类似于（53b）并替换XXxσ-σ乘以Xxσ，基于（Xt）的强马尔可夫性质。

此外，使用rσσe-rtπ（Xxt，m+1）dt=e-rσrσ-σe-rtπXXxσs，m+1ds-wehaveh{σ=τ（1）}e-rσVm+1（Xxσ）i≥E{σ=τ（1）}·hZσσE-rtπXxt，m+1dt+e-rσVMXxσ我- 1{σ=τ（2）}{σ=τ（1）}e-rσ·K（Xxσ，m+1）#。（55）同样，我们有eh{σ=τ2，*m} e类-rσVm-1（Xxσ）i≥ E{σ=τ2，*m} ·hZσe-rtπXxt，米- 1.dt+e-rσVMXxσ我- 1{σ=τ(2)}{σ=τ2,*m} e类-rσ·K（Xxσ，m- 1)#.（56）将（55）-（56）代入（53b），得到vm（x）≥ EhZσe-rtπ（Xxt，~M）dt+Zσe-rtπ（Xxt，m+1）dt+e-rσVM（Xxσ）- 1{σ=τ（1）}e-rσK（Xxσ，~M）- 1{σ=τ（2）}{σ=τ（1）}e-rσ·K（Xxσ，m+1）- 1{σ=τ(2)}{σ=τ2,*m} e类-rσ·K（Xxσ，m-1） =EhZσe-rtπ（Xxt，~Mη（t））dt-Xk=1{Pk=1}e-rσk·kXσk，~Mk-1.+ e-rσVM（Xxσ）i.将此参数迭代n=3，建立（52）。让我们注意到，上述工作在边界制度m中没有任何修改∈ {m，m}，其中τ（n）或τ2，*这匹母马注定要死去。由于VMI最多从（46）线性增长，且（α，s2，*) 需要limn→∞σn=+∞, 支配收敛定理impliesVm（x）≥ EhZ公司∞e-rtπ（Xxt，~Mη（t））dt-Xk=1{Pk=1}e-rσk·kXσk，~Mk-1.i=Jm（x；α，s2，*).（57）同样，对于P2，我们得到了thatVm（x）≥ Jm（x；s1，*, α） ，用于（s1，*, α) ∈ A、 最后但并非最不重要的一点是，可以验证用s1替换α，*在上述论证中，σ=τ1，*m级∧τ2,*mso该（L- r） Vm（Xxt）=-π（Xxt，~M）（在[0，σ）上）和Vm（Xxt）=Vm+1（Xxt）-σ=τ1时的Km（Xxt），*mand Vm（Xxt）=Vm-σ=τ2时为1（Xxt），*m、 这些将（53a）和（53b）中的不等式转化为等式，归纳屈服值Vm（x）=Jm（x；s1，*, s2，*),结合（57）完成了证明。命题4.1集X=X的证明∈ D，M=M∈ M、 和Fix sj。