随机切换博弈

球员i与Ni的最佳反应≥ 1控制iseVi，（Ni）m（x；sj）=su pαi，（Ni）∈Ai，（Ni）Jim（x；αi，（Ni），sj），（58）其中，（Ni）：=（αi，sj）∈ A：τi（n）=+∞, n>η（i，Ni）, （59）（5）中定义的η（i，Ni）表示玩家i执行第Ni次切换的回合。自Ai起，（Ni） Ai，（Ni+1）我们有Ni7→eVi，（Ni）m（x；sj）是非递减的。此外，由于（Ni）m（x；sj）由maxmDim（x），limn从ab ove开始限定→∞eVi，（Ni）m（x；sj）定义良好。仍需说明该极限iseVim（x；sj）。因为Ai，（Ni） {αi：（αi，sj）∈ A} ，我们获得了利姆尼→∞eVi，（Ni）m（x；sj）≤eVim（x；sj）。（60）为了得到相反的不等式，对于任何ε>0，设αiε：={τiε（n）：n≥ 1} （依赖于x）是满足（αiε，sj）的ε-最优策略∈ A和jim（x；αiε，sj）≥eVim（x；sj）- ε. （61）现在对于固定Ni≥ 1我们定义了各自的固定策略αi，（Ni）ε：={τi，（Ni）ε（n）：n≥ 1} asτi，（Ni）ε（n）=（τiε（n），n≤ η（i，Ni）+∞, o、 w.（62）因此，截断策略在第一次NISWITCH后完全停止切换。用M（Ni）t表示所得宏观状态，用（σi，（Ni）k）k表示≤n基于（αi，（Ni）ε，sj）的层i的开关时间序列，cf.（5），我们将其与相应的d M进行比较(∞)tand（σi(∞)k） k级≥1基于非拉伸（αiε，sj）。通过构造截断，σi，（Ni）k=σik，对于k≤ Ni，M（Ni）t=Mt，对于t≤ σiNi，两个现金流完全匹配σi(∞)镍。在被截断的版本中，只有另一个播放器我应用了她的控件。自σi起(∞)镍→ ∞ 作为Ni→ ∞ 从αiε的可容许性可以看出，对于N>NεEx，m“Z∞σiNe-rt |πiXt，M(∞)t型|dt#<ε；（63a）Ex，m“Z∞σiNe-rt |πi（Xt，M（N）t）| dt#<ε；（63b）Ex，m“∞Xk=N+1e-rσi(∞)kKi公司Xσi(∞)k、 ~M(∞)η（i，k）-1.·#< ε.

（63c）对于第二个界，我们利用M有一个有限的状态空间的事实，使得|πi（Xt，M（N）t）|≤maxm |πi（Xt，m）|仍然满足生长条件。利用（63）和（6），我们得到了N>NεJim（x；αi，（N）ε，sj）- Jim（x；αiε，sj）≤ Ex，mhZ∞σi，∞氖-rt公司|πiXt，M(∞)t型| + |πi（Xt，M（N）t）|dt公司+∞Xk=N+1e-rσi(∞)kKi公司Xσi(∞)k、 ~M(∞)η（i，k）-1.我≤ 3ε. （64）通过Fatou引理和（64）我们得到了→∞Jim（x；αi，（N）ε，sj）=lim infN→∞Ex，m“Z∞e-rtπi（Xt，M（N）t）dt-NXk=1KiXσi，（N）k，~M（N）η（i，k）-1.· e-rσi，（N）k#≥ Jim（x；αiε，sj）- 3ε. （65）反过来，从（61）中，我们得到了LIM infN→∞eVi，（N）m（x；sj）≥ lim信息→∞Jim（x；αi，（N）ε，sj）≥eVim（x；sj）- 4ε，（66）与（60）和↓ 0完成证明。D￠M的动力学*在本附录中，我们提供了与第3.4节所述宏观市场均衡相关的计算细节。虽然计算基本上是经典的，但为了完整性和读者的方便，我们陈述了它们。为了便于演示，我们考虑以下情况：，*m严格按照m的升序/降序排列，因此m的所有转换*为±1。D、 1转移概率71m*在内部状态下，条件为\'M*n-1.∈ {m-, m+}和m/∈ M、 我们在（11a）中定义了X（n））M*n=（（m+1）+，如果X（n）thits s1，*mbefore s2，*m、 （m）- 1)-, 如果X（n）小于s2，*mbefore s1，*m、 （67）起始位置▄X（n）=s1，*m级-1ifˇM*n=m+和▄X（n）=s2，*m+1ifˇm*n=m-.

让我们使用xxx来表示X的一般副本，从X=X开始，并考虑双侧passagetimesτ（X；a，b）：=inf{t≥ 0:Xxt≤ a或Xxt≥ b} ，（a、b） x、 因此，我们有：Pm+，（m+1）+=PXs1，*m级-1τ（s1，*m级-1.s2，*m、 s1，*m） =s1，*m级, Pm+，（m-1)-= PXs1，*m级-1τ（s1，*m级-1.s2，*m、 s1，*m） =s2，*m级,下午-,（m+1）+=PXs2，*m+1τ（s2，*m+1；s2，*m、 s1，*m） =s1，*m级, 下午-,（m）-1)- = PXs2，*m+1τ（s2，*m+1；s2，*m、 s1，*m） =s2，*m级.（68）反过来，我们记得（68）可以通过（Xt）的量表功能S（·）进行评估（见[28]第VII.3章）：PXxτ（x；a，b）=b=S（x）- S（a）S（b）- S（a），PXxτ（x；a，b）=a=S（b）- S（x）S（b）- S（a）。（69）回想一下，S是常微分方程L S=0的连续、递增的一般解，它以闭合形式可用于线性微分。Ornstein-Uhlenbeck过程。比例函数S（·）求解u（θ- x） S′（x）+σS′（x）=0，=> SOU（x）=Zx-∞euσ（z-θ） dz，x∈ R、 几何布朗运动。尺度函数S（·）解出uxS′（x）+σxS′（x）=0，=> SGBM（x）=x1-2u/σ，x∈ R+。D、 2转移概率71m*在边界区域，请记住，在区域m-,m+只有一个玩家可以切换。对于反复出现的X，她保证最终会这样做，我们只需要PM-,（m+1）+=Pm+，（m-1)-= 1.（70）当X是暂时的，从长远来看，一个玩家将永久占据主导地位，至少有一个玩家会吸收以下概率Pma：=PXs2，*米+1吨≤ s1，*m级t型= limd公司↓数据处理Xs2，*m+1τ（s2，*m+1；d、 s1，*m） =d,Pma：=limu↑数据处理Xs1，*m级-1τ（s1，*m级-1.s2，*m、 u）=u,（71）是绝对肯定的。即，wh en M*进入边界状态时，M*从此将保持不变。

为了解决这个问题，我们使用了扩展71m的状态{ma，ma}，这些状态是从与相应边界相邻的区域进入的。例如，可以从71m开始进行三次转换*n-1.∈ {（m- 1)-, （m）- 1） +}：ˇM*n个=上至toma，如果▄X（n）thits s1，*m级-1在s2之前，*m级-1和ˇM*吸收，向上tom+，如果▄X（n）thits s1，*m级-1在s2之前，*m级-1和ˇM*未被吸收，低至（m- 2)-, 如果X（n）小于s2，*m级-1在s1之前，*m级-1.（72）从概率上讲，我们可以将吸收解释为（m）转换时的独立“掷硬币”- 1） ±，以便使用（71）P（m-1） +，ma=PXs1，*m级-2τ（s1，*m级-2.s2，*m级-1，s1，*m级-1） =s1，*m级-1.×Pma，（73）P（m-1） +，m+=PXs1，*m级-2τ（s1，*m级-2.s2，*m级-1，s1，*m级-1） =s1，*m级-1.× (1 - Pma，（74）P（m）-1） +，（m-2)- = 1.- P（m-1） +，ma- P（m-1） +，m+。（75）P（m）采用类似计算-1)-,·, P（m+1）-,·, P（m-1)+,·.D、 3平均逗留时间为71m*M的期望逗留时间ξ*in（23），或相当于跳跃之间的预期到达时间间隔*对应于平均双侧出口时间，δab（x）：=eτ（x；a，b）, x个∈（a，b），即ξm-:= Eτ（s2，*m+1；s2，*m、 s1，*m）, ξm+：=Eτ（s1，*m级-1.s2，*m、 s1，*m）, （76）对于m/∈ M、 应用Dynkin公式，众所周知，在边界条件δab（a）=δab（b）=0的情况下，δab（·）求解模型δ+1=0。几何布朗运动。

预期退出时间δab（·）是uxδ′ab（x）+σxδ′ab（x）+1=0，x的解∈ （a，b），δab（a）=δab（b）=0。求解得到δab（x）=σ- u-1.自然对数xa公司+ ln（ab）x1-2u/σ- a1级-2u/σb1级-2u/σ- a1级-2u/σ, x个∈ （a、b）。D、 4边界区域的单侧出口时间和停留时间，以计算平均停留时间ξm-, ξm+我们利用单侧通过时间τ（x；s）：=inf{t≥ 0:Xxt=s}。如果相应的吸收概率（71）为零，我们有ξm-:= Eτ（s2，*m+1；s1，*m）, ξm+：=Eτ（s1，*m级-1.s2，*m）.否则，我们假设出口时间τ为有限，则δs（x）=e[τ（x；s）1{τ（x；s）<∞}].然后，例如ξm+=eτ（s1，*m级-1.s2，*m）τ（s1，*m级-1.s2，*m） <∞=1.- Pmaδs2，*m（s1，*m级-1). （77）计算δs（x）。我们重写δs（x）=-ρExhe-ρτ（x；s）{τ（x；s）<∞}我ρ=0，并使用关于τ（x；s）的拉普拉斯变换的著名结果[13]，Exhe-ρτ（x；s）{τ（x；s）<∞}i=（F（x；ρ）F（a；ρ），如果x≤ s、 G（x；ρ）G（a；ρ），如果x≥ s、 （78）其中F（·；ρ）和G（·；ρ）是（L）的解- ρ） u=0（回忆位置3.3），我们强调了它们对拉普拉斯参数ρ的依赖性。Ornstein-Uhlenbeck过程。从（78）开始，预计的首次通过时间δs（x）toa level s被视为δs（x）=√2πuZ（s）-θ） q2uσ（x-θ）q2uσΦ（z）ezdz{s≥x}+Z（θ-s） q2uσ（θ-x）q2uσΦ（z）ezdz{s<x},（79）其中Φ是标准高斯累积分布函数。间隔x的预期退出时间∈ （a，b），δab（x）可通过δab（x）=δa（x）δb（a）+δb（x）δa（b）获得- δa（b）δb（a）δb（a）+δa（b）。（80）几何布朗运动。GBM为非复发性；假设u-σ> 0，这就是吸收区。然后从（78）计算δs2，*m（s1，*m级-1） =Ehτ（s1，*m级-1.s2，*m） 1{τ（s1，*m级-1.s2，*m）<∞}i=u-σ·lns1，*m级-1s2，*m级·s1，*m级-1s2，*m级1.-2uσ.D、 5在不丧失一般性的情况下，在非周期性（Xt）吸收之前的预期开关数，假设M是ab吸收区，因此→∞M*t=m。

定义νupe：=E#在@M之前向上移动*hitsma | |M*= e, e∈ E \\{ma}，νdne：=E#在米之前向下移动*hitsma | |M*= e, e∈ E \\{ma}，其中E是来自（22）的71m的状态空间，P是71m的转移矩阵*. LetP公司-删除相应行和列的子矩阵。定义上限：=[上限]-, ··· , νupm+]T，~νdn：=[Дdnm-, ··· , ^1dnm+]T，~ Pup：=[Pupm-, ··· , Pupm+]和Pdn：=[Pdnm-, ··· , Pdnm+]T，其中（Pupm±：=Pm±，（m+1）+，对于m<m- 1，Pupm+：=0，Pdnm±：=Pm±，（m-1)- , 对于m>m，Pdnm-:= 0和Pup（m-1） ±：=P（m-1） ±，m++P（m-1） ±，ma。然后我们得到~νup=（I- P-（a）-1～蛹～Дdn=（I- P-（a）-1～Pdn，（81），在考虑初始条件X=X（导致非标准的首次转换概率）后，获得（25）Nm（X）=Px，m中定义的预期开关数量ˇM*= （m+1）+×ν向上（m+1）++1+ Px，mˇM*= （m）- 1)-×Д以上（m-1)-,Nm（x）=Px，mˇM*= （m+1）+×νdn（m+1）+Px，mˇM*= （m）- 1)-×νdn（m-1)-+ 1.. （82）一般Px，mˇM*= （m+1）+= P（Xxτ（x；s2，*m、 s1，*m） =s1，*m） ；然而，我们还必须考虑以下情况：*=m级- 1，因此*=可能，也可能*=m、 在这种情况下，e上必须根据概率Pma（x）：=limu分配ˇm=maorˇm=m+↑数据处理Xxτ（x；s2，*m、 u）=u.D、 6非经常性（Xt）：在开始吸收之前的预期时间，我们需要每个非吸收制度的预期访问次数。定义，e：=e#访问ebeforeˇM*reachesma公司ˇM*= e, 对于所有e，e∈ E \\{ma}，让V表示Ve的矩阵，E有行~ Ve，·：=Ve，m-, . . . , Ve，m+, 对于e∈ E \\{ma}。然后，从标准马尔可夫链参数，V=（I- P-（a）-1，其中P-ais上一小节中定义的瞬态过渡子矩阵。乘以各自的停留时间ξm，即从无轨状态e开始的预期吸收时间∈ E \\{ma}iseTe：=~ Ve，···~ξ-a、 其中~ξ-ais是预期逗留时间的向量，不包括ξma。

最后，到M的预期时间*吸收，如（26）所述，被承认为（cf.（82））Tm（x）=Exτ（x；s2，*m、 s1，*m）+ Px，mˇM*= （m+1）+×eT（m+1）+Px，mˇM*= （m）- 1)-×eT（m-1)-.当M*=m级- 1或M*=m如前一小节所述。E推论的证明3.6证明。从（27b）和（27c）中，我们显式地为x写V+1（x）≥ 通过在各自的表达式中替换ν+1和ω-1： V+1（x）=D+1（x）+ν+1G（x）=D+1（x）+V-1(-ˇs）- D+1(-ˇs）G(-ˇs）G（x）=D+1（x）+D-1(-ˇs）+ω-1F层(-ˇs）- D+1(-ˇs）G(-ˇs）G（x）=D+1（x）+G（x）G(-ˇs）h（V+1- D-1.- K-1） （ˇs）F(-ˇs）F（ˇs）+D-1(-ˇs）- D+1(-ˇs）i.上面给出了一个与V+1（x）和V+1（ˇs）相关的方程；在此之前，如果一个定义：=D+1-G（s）G(-s） h类D-1（s）+K-1（s）F级(-s） F（s）+D+1(-s）- D-1(-s） i1-G（s）G(-s） F级(-s） F（s），（83），设ˇs是系统（27）的解，则它保持Q（ˇs）=V+1（ˇs）。类似地，在对x（由要求平滑度ofDm（·）和d Km（·）的推论3.6保证）进行区分后，可以定义q（s）：=d′+1（s）+G′（s）G(-s） h（Q（s）- D-1（s）- K-1（s））F(-s） F（s）+D-1(-s）- D+1(-s） i，（84）并得出q（ˇs）=V′+1（ˇs）。然后将（27a）中的V+1（x）替换为Q（x），并将（V+1）′（x）替换为Q（x），我们得出解系统（27）相当于求z（s）的根：=Q（s）- D-1（s）- K-1（s）F′（s）-q（s）- （D）-1） ′（s）- （K）-1） ′（s）F（s）=0，（85），因为ˇs>s2，*+1= -ˇs==> ˇs>0（否则开关区域会重叠），我们可以找到（85）的正解。

对于足够大的s，我们将证明Z（0）<0且Z（s）>0，这通过连续性（因为（85）中的每个项都是连续的）意味着根的存在。一方面，在s=0时，Q（s）的数量被接纳为asD+1（0）-G（0）G（0）hD-1（0）+K-1(0)F（0）F（0）+D+1（0）- D-1（0）i=-K-1（0）<0，而分母1-G（s）G(-s） F级(-s） F（s）=1-F级(-s） F（s）s>0时为严格正（F（·）增加），s时趋于零↓ 0，因此lims↓0Q（s）=-∞. 此外，lims↓0q（s）=（D+1）′（0）+G′（0）G（0）h（lims↓0Q（s）- D-1(0) - K-1（0））F（0）F（0）+D-1(0) - D+1（0）i=+∞,因为G（·）是正的，并且递减（G′（·）<0），而lims以外的所有其他项↓0Q是有限的。把一切都放在一起lims↓0Z（s）=lims公司↓0Q（s）- D-1(0) - K-1(0)F′（0）-lims公司↓0q（s）- （D）-1.- K-1)′(0)F（0）=-∞,因为F（·）是正的且在增加，所有其他项都是有限的。另一方面，对于足够大的s，使用[5，s ec.2]limx↓dF（x）=0，limx↓dG（x）=+∞, 林克斯↑\'dF（x）=+∞, 林克斯↑\'dG（x）=0，我们有Q（s）≈ D+1（s），q（s）≈ （D+1）′（s）渐近为s↑d和henceZ≈D+1（s）- D-1（s）- K-1（秒）F′（s）-D′+1（s）- D′-1（s）- K′-1（s）F（s），=h-D+1（s）- D-1（s）- K-1（s）F（s）′i·F（s）>0。最后一个不等式如下D：=D+1- D-1.- K-1.∈ Hinc（参见定义A.1），因此lim sups↑\'\'dD（s）F（s）=0，D（s）>0，对于s大==>D（s）F（s）′< 0作为s↑\'d.参考文献[1]R.Aid、M.Basei、G.Callegaro、L.Campi和T.Vargiolu，《具有脉冲控制的非零和随机微分对策：应用验证定理》。，技术报告，arXiv预印本arXiv:1605.000392016。[2] R.Aid、L.Li和M.Ludkovski，《发电投资应用竞争的资本扩张游戏》，经济动力与控制杂志，84（20 17），第1-31页。[3] N。

Attard，《马尔可夫过程最优停止的非零和代数》，应用数学与优化，77（2018），第567-597页。[4] E.Bayraktar和M.Egami，《关于一维最优切换问题》，运筹学数学，35（20-10），第140-159页。[5] A.N.Borodin和P.Salminen，《布朗运动-f动作和公式手册》，Birkhauser，2012年。[6] M.Boyer、P.Lasserre和M.Moreaux，《不确定市场扩张下无承诺的动态双寡头投资博弈》，国际产业组织杂志，30（2012），第663-681页。[7] K.A.Brekke和B.Oksendal，《不确定性下经济活动的最优转换》，《暹罗控制与优化杂志》，32（1994），第1021-1036页。[8] R.Carmona，《关于BSDE、随机控制和随机差异与金融应用的讲座》，第1卷，暹罗，2016年。[9] R.Carmona和M.Ludkovski，《使用最优切换对资产进行定价》，应用数学金融，15（200 8），第405–447页。[10] R.Carmona和N.Touzi，《最优多重止损和摇摆期权估值》，数学金融，18（2008），第239-268页。[11] E.Chevalier、V.L.Vath和S.Scotti，《债务约束下的最优股息和投资控制计划》，暹罗金融数学杂志，4（20 13），第297-326页。[12] K.L.Chung，Mark ov chains，斯普林格出版社，1967年。[13] D。A、 Darling和A.Siegert，《连续马尔可夫过程的第一阶段问题》，《数理统计年鉴》（1953年），第6 24-639页。[14] S.Dayanik和I.Karatzas，《关于一维离散的最优停止问题，随机过程及其应用》，107（2003），第173–2页，第12页。[15] T.De Angelis，G.Ferrari和J.Moriarty，《两人非零和停止博弈的阈值型纳什均衡》，《应用可能性年鉴》，28（2018），pp。

112–147.[16] M.Grasselli、V.Leclere和M.Ludkovski，《优先选择：领导者的价值》，国际理论与应用金融杂志，16（2013），第1350004页。[17] S.Hamad\'ene和M.Jeanblanc，《启动和停止问题：可逆投资中的应用》，《运筹学数学》，32（200 7），第182-192页。[18] S.Hamadene和J.Zhang，《连续时间非零和Dynkin博弈问题及其在博弈期权中的应用》，暹罗控制与优化杂志，48（2010），第3659-3669页。[19] Y.Hu和S.Tang，《带斜反射和最优切换的多维BSDE，概率论和相关领域》，147（2010），第89-121页。[20] N.F.Hub erts、H.Dawid、K.Huis man和P.M.Kort，《战略实物期权框架中的时机而非过度投资的进入威慑》，技术报告，可在SSRN上查阅https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2677096, 2015.[21]K.J.Huisman和P.M.Kort，《考虑未来技术改进的战略技术采用：实物期权方法》，《欧洲运筹学杂志》，159（2004），第705-728页。[22]T.C.Johnson和M.Zervos，《具有非光滑数据的顺序切换问题的合法解决方案》，《概率与随机过程国际期刊》，82（20-10），第69-109页。【23】T.Leung和X.Li，《利用交易公司和止损出口进行的最优均值再转换交易》，国际理论与应用金融杂志，18（2015），第1550020页。【24】V.Ly Vath和H.Pham，《两种情况下最优切换问题的显式解》，暹罗控制与优化杂志，46（2007），第395–4 26页。[25]R.殉道者和J.莫里亚蒂，《最优停止和广义纳什均衡的非零和博弈》，技术报告，arXiv预印本arXiv:1709.01 9052017。【26】小时。