楼主: nandehutu2022
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[量化金融] 随机切换博弈 [推广有奖]

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何人来此 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:19 |只看作者 |坛友微信交流群
球员i与Ni的最佳反应≥ 1控制iseVi,(Ni)m(x;sj)=su pαi,(Ni)∈Ai,(Ni)Jim(x;αi,(Ni),sj),(58)其中,(Ni):=(αi,sj)∈ A:τi(n)=+∞, n>η(i,Ni), (59)(5)中定义的η(i,Ni)表示玩家i执行第Ni次切换的回合。自Ai起,(Ni) Ai,(Ni+1)我们有Ni7→eVi,(Ni)m(x;sj)是非递减的。此外,由于(Ni)m(x;sj)由maxmDim(x),limn从ab ove开始限定→∞eVi,(Ni)m(x;sj)定义良好。仍需说明该极限iseVim(x;sj)。因为Ai,(Ni) {αi:(αi,sj)∈ A} ,我们获得了利姆尼→∞eVi,(Ni)m(x;sj)≤eVim(x;sj)。(60)为了得到相反的不等式,对于任何ε>0,设αiε:={τiε(n):n≥ 1} (依赖于x)是满足(αiε,sj)的ε-最优策略∈ A和jim(x;αiε,sj)≥eVim(x;sj)- ε. (61)现在对于固定Ni≥ 1我们定义了各自的固定策略αi,(Ni)ε:={τi,(Ni)ε(n):n≥ 1} asτi,(Ni)ε(n)=(τiε(n),n≤ η(i,Ni)+∞, o、 w.(62)因此,截断策略在第一次NISWITCH后完全停止切换。用M(Ni)t表示所得宏观状态,用(σi,(Ni)k)k表示≤n基于(αi,(Ni)ε,sj)的层i的开关时间序列,cf.(5),我们将其与相应的d M进行比较(∞)tand(σi(∞)k) k级≥1基于非拉伸(αiε,sj)。通过构造截断,σi,(Ni)k=σik,对于k≤ Ni,M(Ni)t=Mt,对于t≤ σiNi,两个现金流完全匹配σi(∞)镍。在被截断的版本中,只有另一个播放器我应用了她的控件。自σi起(∞)镍→ ∞ 作为Ni→ ∞ 从αiε的可容许性可以看出,对于N>NεEx,m“Z∞σiNe-rt |πiXt,M(∞)t型|dt#<ε;(63a)Ex,m“Z∞σiNe-rt |πi(Xt,M(N)t)| dt#<ε;(63b)Ex,m“∞Xk=N+1e-rσi(∞)kKi公司Xσi(∞)k、 ~M(∞)η(i,k)-1.·#< ε.

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nandehutu2022 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:23 |只看作者 |坛友微信交流群
(63c)对于第二个界,我们利用M有一个有限的状态空间的事实,使得|πi(Xt,M(N)t)|≤maxm |πi(Xt,m)|仍然满足生长条件。利用(63)和(6),我们得到了N>NεJim(x;αi,(N)ε,sj)- Jim(x;αiε,sj)≤ Ex,mhZ∞σi,∞氖-rt公司|πiXt,M(∞)t型| + |πi(Xt,M(N)t)|dt公司+∞Xk=N+1e-rσi(∞)kKi公司Xσi(∞)k、 ~M(∞)η(i,k)-1.我≤ 3ε. (64)通过Fatou引理和(64)我们得到了→∞Jim(x;αi,(N)ε,sj)=lim infN→∞Ex,m“Z∞e-rtπi(Xt,M(N)t)dt-NXk=1KiXσi,(N)k,~M(N)η(i,k)-1.· e-rσi,(N)k#≥ Jim(x;αiε,sj)- 3ε. (65)反过来,从(61)中,我们得到了LIM infN→∞eVi,(N)m(x;sj)≥ lim信息→∞Jim(x;αi,(N)ε,sj)≥eVim(x;sj)- 4ε,(66)与(60)和↓ 0完成证明。D¢M的动力学*在本附录中,我们提供了与第3.4节所述宏观市场均衡相关的计算细节。虽然计算基本上是经典的,但为了完整性和读者的方便,我们陈述了它们。为了便于演示,我们考虑以下情况:,*m严格按照m的升序/降序排列,因此m的所有转换*为±1。D、 1转移概率71m*在内部状态下,条件为\'M*n-1.∈ {m-, m+}和m/∈ M、 我们在(11a)中定义了X(n))M*n=((m+1)+,如果X(n)thits s1,*mbefore s2,*m、 (m)- 1)-, 如果X(n)小于s2,*mbefore s1,*m、 (67)起始位置▄X(n)=s1,*m级-1ifˇM*n=m+和▄X(n)=s2,*m+1ifˇm*n=m-.

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何人来此 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:27 |只看作者 |坛友微信交流群
让我们使用xxx来表示X的一般副本,从X=X开始,并考虑双侧passagetimesτ(X;a,b):=inf{t≥ 0:Xxt≤ a或Xxt≥ b} ,(a、b) x、 因此,我们有:Pm+,(m+1)+=PXs1,*m级-1τ(s1,*m级-1.s2,*m、 s1,*m) =s1,*m级, Pm+,(m-1)-= PXs1,*m级-1τ(s1,*m级-1.s2,*m、 s1,*m) =s2,*m级,下午-,(m+1)+=PXs2,*m+1τ(s2,*m+1;s2,*m、 s1,*m) =s1,*m级, 下午-,(m)-1)- = PXs2,*m+1τ(s2,*m+1;s2,*m、 s1,*m) =s2,*m级.(68)反过来,我们记得(68)可以通过(Xt)的量表功能S(·)进行评估(见[28]第VII.3章):PXxτ(x;a,b)=b=S(x)- S(a)S(b)- S(a),PXxτ(x;a,b)=a=S(b)- S(x)S(b)- S(a)。(69)回想一下,S是常微分方程L S=0的连续、递增的一般解,它以闭合形式可用于线性微分。Ornstein-Uhlenbeck过程。比例函数S(·)求解u(θ- x) S′(x)+σS′(x)=0,=> SOU(x)=Zx-∞euσ(z-θ) dz,x∈ R、 几何布朗运动。尺度函数S(·)解出uxS′(x)+σxS′(x)=0,=> SGBM(x)=x1-2u/σ,x∈ R+。D、 2转移概率71m*在边界区域,请记住,在区域m-,m+只有一个玩家可以切换。对于反复出现的X,她保证最终会这样做,我们只需要PM-,(m+1)+=Pm+,(m-1)-= 1.(70)当X是暂时的,从长远来看,一个玩家将永久占据主导地位,至少有一个玩家会吸收以下概率Pma:=PXs2,*米+1吨≤ s1,*m级t型= limd公司↓数据处理Xs2,*m+1τ(s2,*m+1;d、 s1,*m) =d,Pma:=limu↑数据处理Xs1,*m级-1τ(s1,*m级-1.s2,*m、 u)=u,(71)是绝对肯定的。即,wh en M*进入边界状态时,M*从此将保持不变。

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nandehutu2022 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:30 |只看作者 |坛友微信交流群
为了解决这个问题,我们使用了扩展71m的状态{ma,ma},这些状态是从与相应边界相邻的区域进入的。例如,可以从71m开始进行三次转换*n-1.∈ {(m- 1)-, (m)- 1) +}:ˇM*n个=上至toma,如果▄X(n)thits s1,*m级-1在s2之前,*m级-1和ˇM*吸收,向上tom+,如果▄X(n)thits s1,*m级-1在s2之前,*m级-1和ˇM*未被吸收,低至(m- 2)-, 如果X(n)小于s2,*m级-1在s1之前,*m级-1.(72)从概率上讲,我们可以将吸收解释为(m)转换时的独立“掷硬币”- 1) ±,以便使用(71)P(m-1) +,ma=PXs1,*m级-2τ(s1,*m级-2.s2,*m级-1,s1,*m级-1) =s1,*m级-1.×Pma,(73)P(m-1) +,m+=PXs1,*m级-2τ(s1,*m级-2.s2,*m级-1,s1,*m级-1) =s1,*m级-1.× (1 - Pma,(74)P(m)-1) +,(m-2)- = 1.- P(m-1) +,ma- P(m-1) +,m+。(75)P(m)采用类似计算-1)-,·, P(m+1)-,·, P(m-1)+,·.D、 3平均逗留时间为71m*M的期望逗留时间ξ*in(23),或相当于跳跃之间的预期到达时间间隔*对应于平均双侧出口时间,δab(x):=eτ(x;a,b), x个∈(a,b),即ξm-:= Eτ(s2,*m+1;s2,*m、 s1,*m), ξm+:=Eτ(s1,*m级-1.s2,*m、 s1,*m), (76)对于m/∈ M、 应用Dynkin公式,众所周知,在边界条件δab(a)=δab(b)=0的情况下,δab(·)求解模型δ+1=0。几何布朗运动。

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能者818 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:33 |只看作者 |坛友微信交流群
预期退出时间δab(·)是uxδ′ab(x)+σxδ′ab(x)+1=0,x的解∈ (a,b),δab(a)=δab(b)=0。求解得到δab(x)=σ- u-1.自然对数xa公司+ ln(ab)x1-2u/σ- a1级-2u/σb1级-2u/σ- a1级-2u/σ, x个∈ (a、b)。D、 4边界区域的单侧出口时间和停留时间,以计算平均停留时间ξm-, ξm+我们利用单侧通过时间τ(x;s):=inf{t≥ 0:Xxt=s}。如果相应的吸收概率(71)为零,我们有ξm-:= Eτ(s2,*m+1;s1,*m), ξm+:=Eτ(s1,*m级-1.s2,*m).否则,我们假设出口时间τ为有限,则δs(x)=e[τ(x;s)1{τ(x;s)<∞}].然后,例如ξm+=eτ(s1,*m级-1.s2,*m)τ(s1,*m级-1.s2,*m) <∞=1.- Pmaδs2,*m(s1,*m级-1). (77)计算δs(x)。我们重写δs(x)=-ρExhe-ρτ(x;s){τ(x;s)<∞}我ρ=0,并使用关于τ(x;s)的拉普拉斯变换的著名结果[13],Exhe-ρτ(x;s){τ(x;s)<∞}i=(F(x;ρ)F(a;ρ),如果x≤ s、 G(x;ρ)G(a;ρ),如果x≥ s、 (78)其中F(·;ρ)和G(·;ρ)是(L)的解- ρ) u=0(回忆位置3.3),我们强调了它们对拉普拉斯参数ρ的依赖性。Ornstein-Uhlenbeck过程。从(78)开始,预计的首次通过时间δs(x)toa level s被视为δs(x)=√2πuZ(s)-θ) q2uσ(x-θ)q2uσΦ(z)ezdz{s≥x}+Z(θ-s) q2uσ(θ-x)q2uσΦ(z)ezdz{s<x},(79)其中Φ是标准高斯累积分布函数。间隔x的预期退出时间∈ (a,b),δab(x)可通过δab(x)=δa(x)δb(a)+δb(x)δa(b)获得- δa(b)δb(a)δb(a)+δa(b)。(80)几何布朗运动。GBM为非复发性;假设u-σ> 0,这就是吸收区。然后从(78)计算δs2,*m(s1,*m级-1) =Ehτ(s1,*m级-1.s2,*m) 1{τ(s1,*m级-1.s2,*m)<∞}i=u-σ·lns1,*m级-1s2,*m级·s1,*m级-1s2,*m级1.-2uσ.D、 5在不丧失一般性的情况下,在非周期性(Xt)吸收之前的预期开关数,假设M是ab吸收区,因此→∞M*t=m。

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kedemingshi 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:37 |只看作者 |坛友微信交流群
定义νupe:=E#在@M之前向上移动*hitsma | |M*= e, e∈ E \\{ma},νdne:=E#在米之前向下移动*hitsma | |M*= e, e∈ E \\{ma},其中E是来自(22)的71m的状态空间,P是71m的转移矩阵*. LetP公司-删除相应行和列的子矩阵。定义上限:=[上限]-, ··· , νupm+]T,~νdn:=[Дdnm-, ··· , ^1dnm+]T,~ Pup:=[Pupm-, ··· , Pupm+]和Pdn:=[Pdnm-, ··· , Pdnm+]T,其中(Pupm±:=Pm±,(m+1)+,对于m<m- 1,Pupm+:=0,Pdnm±:=Pm±,(m-1)- , 对于m>m,Pdnm-:= 0和Pup(m-1) ±:=P(m-1) ±,m++P(m-1) ±,ma。然后我们得到~νup=(I- P-(a)-1~蛹~Дdn=(I- P-(a)-1~Pdn,(81),在考虑初始条件X=X(导致非标准的首次转换概率)后,获得(25)Nm(X)=Px,m中定义的预期开关数量ˇM*= (m+1)+×ν向上(m+1)++1+ Px,mˇM*= (m)- 1)-×Д以上(m-1)-,Nm(x)=Px,mˇM*= (m+1)+×νdn(m+1)+Px,mˇM*= (m)- 1)-×νdn(m-1)-+ 1.. (82)一般Px,mˇM*= (m+1)+= P(Xxτ(x;s2,*m、 s1,*m) =s1,*m) ;然而,我们还必须考虑以下情况:*=m级- 1,因此*=可能,也可能*=m、 在这种情况下,e上必须根据概率Pma(x):=limu分配ˇm=maorˇm=m+↑数据处理Xxτ(x;s2,*m、 u)=u.D、 6非经常性(Xt):在开始吸收之前的预期时间,我们需要每个非吸收制度的预期访问次数。定义,e:=e#访问ebeforeˇM*reachesma公司ˇM*= e, 对于所有e,e∈ E \\{ma},让V表示Ve的矩阵,E有行~ Ve,·:=Ve,m-, . . . , Ve,m+, 对于e∈ E \\{ma}。然后,从标准马尔可夫链参数,V=(I- P-(a)-1,其中P-ais上一小节中定义的瞬态过渡子矩阵。乘以各自的停留时间ξm,即从无轨状态e开始的预期吸收时间∈ E \\{ma}iseTe:=~ Ve,···~ξ-a、 其中~ξ-ais是预期逗留时间的向量,不包括ξma。

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mingdashike22 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:40 |只看作者 |坛友微信交流群
最后,到M的预期时间*吸收,如(26)所述,被承认为(cf.(82))Tm(x)=Exτ(x;s2,*m、 s1,*m)+ Px,mˇM*= (m+1)+×eT(m+1)+Px,mˇM*= (m)- 1)-×eT(m-1)-.当M*=m级- 1或M*=m如前一小节所述。E推论的证明3.6证明。从(27b)和(27c)中,我们显式地为x写V+1(x)≥ 通过在各自的表达式中替换ν+1和ω-1: V+1(x)=D+1(x)+ν+1G(x)=D+1(x)+V-1(-ˇs)- D+1(-ˇs)G(-ˇs)G(x)=D+1(x)+D-1(-ˇs)+ω-1F层(-ˇs)- D+1(-ˇs)G(-ˇs)G(x)=D+1(x)+G(x)G(-ˇs)h(V+1- D-1.- K-1) (ˇs)F(-ˇs)F(ˇs)+D-1(-ˇs)- D+1(-ˇs)i.上面给出了一个与V+1(x)和V+1(ˇs)相关的方程;在此之前,如果一个定义:=D+1-G(s)G(-s) h类D-1(s)+K-1(s)F级(-s) F(s)+D+1(-s)- D-1(-s) i1-G(s)G(-s) F级(-s) F(s),(83),设ˇs是系统(27)的解,则它保持Q(ˇs)=V+1(ˇs)。类似地,在对x(由要求平滑度ofDm(·)和d Km(·)的推论3.6保证)进行区分后,可以定义q(s):=d′+1(s)+G′(s)G(-s) h(Q(s)- D-1(s)- K-1(s))F(-s) F(s)+D-1(-s)- D+1(-s) i,(84)并得出q(ˇs)=V′+1(ˇs)。然后将(27a)中的V+1(x)替换为Q(x),并将(V+1)′(x)替换为Q(x),我们得出解系统(27)相当于求z(s)的根:=Q(s)- D-1(s)- K-1(s)F′(s)-q(s)- (D)-1) ′(s)- (K)-1) ′(s)F(s)=0,(85),因为ˇs>s2,*+1= -ˇs==> ˇs>0(否则开关区域会重叠),我们可以找到(85)的正解。

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kedemingshi 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:43 |只看作者 |坛友微信交流群
对于足够大的s,我们将证明Z(0)<0且Z(s)>0,这通过连续性(因为(85)中的每个项都是连续的)意味着根的存在。一方面,在s=0时,Q(s)的数量被接纳为asD+1(0)-G(0)G(0)hD-1(0)+K-1(0)F(0)F(0)+D+1(0)- D-1(0)i=-K-1(0)<0,而分母1-G(s)G(-s) F级(-s) F(s)=1-F级(-s) F(s)s>0时为严格正(F(·)增加),s时趋于零↓ 0,因此lims↓0Q(s)=-∞. 此外,lims↓0q(s)=(D+1)′(0)+G′(0)G(0)h(lims↓0Q(s)- D-1(0) - K-1(0))F(0)F(0)+D-1(0) - D+1(0)i=+∞,因为G(·)是正的,并且递减(G′(·)<0),而lims以外的所有其他项↓0Q是有限的。把一切都放在一起lims↓0Z(s)=lims公司↓0Q(s)- D-1(0) - K-1(0)F′(0)-lims公司↓0q(s)- (D)-1.- K-1)′(0)F(0)=-∞,因为F(·)是正的且在增加,所有其他项都是有限的。另一方面,对于足够大的s,使用[5,s ec.2]limx↓dF(x)=0,limx↓dG(x)=+∞, 林克斯↑\'dF(x)=+∞, 林克斯↑\'dG(x)=0,我们有Q(s)≈ D+1(s),q(s)≈ (D+1)′(s)渐近为s↑d和henceZ≈D+1(s)- D-1(s)- K-1(秒)F′(s)-D′+1(s)- D′-1(s)- K′-1(s)F(s),=h-D+1(s)- D-1(s)- K-1(s)F(s)′i·F(s)>0。最后一个不等式如下D:=D+1- D-1.- K-1.∈ Hinc(参见定义A.1),因此lim sups↑\'\'dD(s)F(s)=0,D(s)>0,对于s大==>D(s)F(s)′< 0作为s↑\'d.参考文献[1]R.Aid、M.Basei、G.Callegaro、L.Campi和T.Vargiolu,《具有脉冲控制的非零和随机微分对策:应用验证定理》。,技术报告,arXiv预印本arXiv:1605.000392016。[2] R.Aid、L.Li和M.Ludkovski,《发电投资应用竞争的资本扩张游戏》,经济动力与控制杂志,84(20 17),第1-31页。[3] N。

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可人4 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:46 |只看作者 |坛友微信交流群
Attard,《马尔可夫过程最优停止的非零和代数》,应用数学与优化,77(2018),第567-597页。[4] E.Bayraktar和M.Egami,《关于一维最优切换问题》,运筹学数学,35(20-10),第140-159页。[5] A.N.Borodin和P.Salminen,《布朗运动-f动作和公式手册》,Birkhauser,2012年。[6] M.Boyer、P.Lasserre和M.Moreaux,《不确定市场扩张下无承诺的动态双寡头投资博弈》,国际产业组织杂志,30(2012),第663-681页。[7] K.A.Brekke和B.Oksendal,《不确定性下经济活动的最优转换》,《暹罗控制与优化杂志》,32(1994),第1021-1036页。[8] R.Carmona,《关于BSDE、随机控制和随机差异与金融应用的讲座》,第1卷,暹罗,2016年。[9] R.Carmona和M.Ludkovski,《使用最优切换对资产进行定价》,应用数学金融,15(200 8),第405–447页。[10] R.Carmona和N.Touzi,《最优多重止损和摇摆期权估值》,数学金融,18(2008),第239-268页。[11] E.Chevalier、V.L.Vath和S.Scotti,《债务约束下的最优股息和投资控制计划》,暹罗金融数学杂志,4(20 13),第297-326页。[12] K.L.Chung,Mark ov chains,斯普林格出版社,1967年。[13] D。A、 Darling和A.Siegert,《连续马尔可夫过程的第一阶段问题》,《数理统计年鉴》(1953年),第6 24-639页。[14] S.Dayanik和I.Karatzas,《关于一维离散的最优停止问题,随机过程及其应用》,107(2003),第173–2页,第12页。[15] T.De Angelis,G.Ferrari和J.Moriarty,《两人非零和停止博弈的阈值型纳什均衡》,《应用可能性年鉴》,28(2018),pp。

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大多数88 在职认证  发表于 2022-6-10 06:42:49 |只看作者 |坛友微信交流群
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