随机切换博弈

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英文标题：
《Stochastic Switching Games》
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作者：
Liangchen Li, Michael Ludkovski
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study nonzero-sum stochastic switching games. Two players compete for market dominance through controlling (via timing options) the discrete-state market regime $M$. Switching decisions are driven by a continuous stochastic factor $X$ that modulates instantaneous revenue rates and switching costs. This generates a competitive feedback between the short-term fluctuations due to $X$ and the medium-term advantages based on $M$. We construct threshold-type Feedback Nash Equilibria which characterize stationary strategies describing long-run dynamic equilibrium market organization. Two sequential approximation schemes link the switching equilibrium to (i) constrained optimal switching, (ii) multi-stage timing games. We provide illustrations using an Ornstein-Uhlenbeck $X$ that leads to a recurrent equilibrium $M^\\ast$ and a Geometric Brownian Motion $X$ that makes $M^\\ast$ eventually \"absorbed\" as one player eventually gains permanent advantage. Explicit computations and comparative statics regarding the emergent macroscopic market equilibrium are also provided.
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中文摘要：
我们研究了非零和随机切换对策。两个参与者通过控制（通过时间选择权）离散的国有市场机制来争夺市场主导权，金额为百万美元。切换决策由调节瞬时收益率和切换成本的连续随机因素$X$驱动。这将在X美元的短期波动和基于M美元的中期优势之间产生竞争性反馈。我们构造了描述长期动态均衡市场组织的静态策略的阈值型反馈纳什均衡。两种顺序近似方案将切换均衡与（i）约束最优切换，（ii）多级定时博弈联系起来。我们提供了使用Ornstein-Uhlenbeck$X$的插图，它导致循环平衡$M^\\ast$，几何布朗运动$X$使$M^\\ast$最终“吸收”，因为一个玩家最终获得永久优势。还提供了关于紧急宏观市场均衡的显式计算和比较静态。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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2022-6-10 06:39:41 上传

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关键词：Fluctuations illustration Quantitative Organization Contribution

随机切换博弈Liangchen Li和Mike Ludkovski*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉市圣巴巴拉，邮编：93106-3110{li，ludkovski}@pstat。ucsb。eduAbstractWe研究nonz e ro-sum随机切换对策。两个参与者通过控制（通过时间选择）离散的国家市场区域来竞争市场主导地位。切换决策由一个连续的随机因子X驱动，该因子调节固定收益率和切换成本。这在X带来的短期波动和基于onM的中期优势之间产生了竞争反馈。我们构造了描述长期动态均衡市场组织的平稳策略的阈值型反馈纳什均衡。两种顺序近似方案将切换平衡连接到（i）约束最优切换；（ii）多阶段计时游戏。我们用Ornstein-UhlenbeckX提供了幻觉，它导致了一个循环平衡M*还有一个几何布朗运动X，它使M*最终“吸收”成为一个玩家，最终获得个人优势。还提供了关于紧急宏观市场均衡的显式计算和比较静态。引言不确定性下的动态竞争激发了运营研究和行业组织中持续不断的文献流。它提供了经典单代理优化问题的自然泛化，并且适用于各种应用环境。在典型的情况下，企业的目标是最大限度地提高其利润，同时受到外部随机冲击和竞争效应的影响。后一种竞争通常是直接的，例如通过价格，因此导致非零和博弈公式，与对抗性零和案例相反。

一些例子包括：（i）扩容[6]；（二）技术创新与采用[21]；（iii）市场进入【20】。在本文中，我们关注一类特殊的切换游戏，这类游戏的灵感来自于许多市场的双时间尺度特征。事实上，动态竞争往往由微小的冲击驱动，这些冲击决定了快速波动的短期市场条件。这些变化为玩家带来了“本地”优势。反过来，企业通过市场优势将这种短期影响转化为更持久的收益。例如，目前有利的投资成本可以转化为长期的产能收益，从而产生*Ludkovski得到了NSF-CDSE 1521743的部分支持。更大的市场份额。同样，可以通过technologicaledge锁定较低的研发成本。然后，整体模型将外部随机冲击与内生企业的决策联系起来，以获得市场组织的动态均衡。通过考虑驱动市场条件的“微观经济”随机因素（Xt）和决定市场力量和企业相对利润的“宏观经济”市场状态（Mt），将这种叙述形式化。然后，我们的目标是解决从X的进化中确定（Mt）的竞争性问题。具体来说，（Mt）是由玩家通过离散/块状动作完全控制的。反过来，这些动作被解释为玩家可用的控制，并受到（Xt）捕获的局部波动的影响。因此，我们考虑一个微观/宏观结构的动态随机博弈：在短期内，企业对待MTA固定并优化其下一步行动，就像一个定时抢占博弈。

从长期来看，（Mt）是一种具有内生市场动态的固定市场制度。这两个时间尺度将Xt和长期经营的市场组织Mt确定的即时竞争优势联系起来。后者“跟踪”Xt：经过一段持续的有利市场条件后，我们预计各自的公司将占据主导地位。由于产生机会成本的固定投资成本，自然会引入滞后。我们设置的新颖之处在于将这一众所周知的想法完全集成到非合作博弈模型中。因此，参与者持续竞争市场主导地位，其影响力受到短期激励和战略激励/竞争效应的影响。我们关注的是一种双寡头垄断，它自然反映了由一维X所代表的上升/下降市场条件的两面性，并明确了应对竞争行为的竞争效应。我们对该模型的方法学兴趣来自三个不同的方向。首先，它扩展了我们之前在多阶段计时游戏上的工作。在该版本中，玩家可以使用的控件数量是先验限制的；在这里，我们考虑一个完全重复的游戏的更合理的情况。一个经济动机是在不断增长的随机环境（如需求）下的产能扩张问题。这会产生一个非平稳模型，但总投资的最终数量是无界的，必须通过切换博弈来建模。其次，我们感兴趣的是一个平稳的切换博弈，在这个博弈中，市场会经历周期性冲击（在X是一个复发的马尔可夫过程的意义上）。我们希望通过战略性调整的市场机制，找到内生动态平衡，以缓解这种周期性。

描述这样一种重复出现的随机投资时机竞争，自然与切换双寡头博弈有关。第三，我们的模型是基于对可处理性的渴望，同时考虑到竞争和随机冲击的动态交叉效应。竞争的重复平稳性要求去除时间变量，但仍保持随机动态。因此，平衡结构是直观的（通过切换阈值总结），但也带来了新的见解。我们所考虑的切换博弈自然地融合了单agent切换模型[7、17、9、4、24、27、22]和非零和停止博弈[18、15、3、25、29]。最优切换出现在许多重要的应用中，它捕获了与受控制度过程（Mt）相关联的随机过程（Xt）的市场结构。最相关的是多模式模型[26、27、19]。特别是，我们利用了关于变分不等式的相关分析结果，这些变分不等式由值函数和reshold型策略的构造所满足。我们还广泛使用有限控制近似[4]，这为建立动态规划原理提供了一种直观的方法。从博弈论的角度来看，切换控制最好被视为多阶段停止，使各自的分析成为一个基本的构建块。反过来，非零和停止博弈需要处理具有退出约束的最优停止问题的解[23，25，2]。

以上两条线索共同为切换博弈的动力学提供了主要直觉：o作为非零和停止博弈的多阶段序列；o作为相关最佳响应（约束）最优切换问题的固定点。通过这些镜头，我们可以通过修改玩家可用的控件类型来考虑更多版本：路径依赖的ent非马尔可夫策略（通过BSDE查看）；脉冲控制（见[1]）；奇异控制（参见[11]中关于奇异控制的最佳切换）等。2问题形式我们考虑两个公司，称为球员i，j∈ {1，2}，i 6=j，在同一市场上竞争。宏观市场状态由离散状态过程（Mt）描述，代表每个参与者的相对市场支配地位。（Mt）的域是一个有限集M；为了简单起见，我们考虑整数值Mtand M={M，M+1，…，M}。玩家通过切换类型控制来增强其市场优势；因此，玩家1可以增加Mtby+1，而玩家2可以减少Mtby-1。要进行切换，玩家我必须支付一个代价Ki（Xt，Mt）。请注意，玩家1的切换，然后是玩家2的切换，会完全相互抵消，并将市场带入其原始状态。将MTA解释为相对优势可以通过采用Mt=Mt来推动- Mt，其中Mit∈ N代表企业i的生产能力或技术水平。

因此，参与者反复进行竞争性投资以提高其能力；玩家1的投资会提高MTA，而玩家2的投资会降低MTA。假设（Mt）仅在相邻政权之间移动M=±1可轻松调整，见备注4。为了捕捉当地的波动市场状况，我们引入了一种外生差异过程（Xt）t≥概率空间上的0(Ohm, F、 P），满足随机微分方程（SDE）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，（1）其中（Wt）t≥0是P下的标准布朗运动。用D表示：=（D，(R)D），带-∞ ≤d<d≤ + ∞ , （Xt）和F的域：=（Ft）t≥0（Xt）产生的自然过滤。系数u：D→ R和σ：D→ 假设R+可确保（1）的唯一强大解决方案。此外，我们假设D的边界是自然的，X在D中是正则的。非正式地说，这意味着从任何X开始∈ D、 X将到达任意y∈ D为正概率，且D，’D不能在限定时间内到达；详细说明见【5】第2章。备注1。更一般地，可以将系数u、σin（1）视为取决于mt，而mt不存在重符号以外的技术困难。我们将在第7节中重新讨论此扩展。玩家的目标是在[0，∞) 通过（Xt，Mt）驱动的收入率πi确定。综合总利润由R给出∞e-rsπi（Xs，Ms）ds减去转换成本的净现值，见下文定义2.4。为了符合（Mt）角色的直觉，我们假设：（i）当Mt>0（Mt<0）时，玩家1（P2）占主导地位；（ii）玩家1（分别为P2）更喜欢较高（分别为较低）的Xt。

最后一个假设在X和m之间产生了积极的反馈效应：当X上升时，玩家1会更有动力提升其m市场的主导地位，最终迫使她采取行动并使Mthigher；当X落下时，玩家2获得短期优势，并朝着她喜欢的消极方向移动。通过说明，我们考虑以下两个代表性示例：示例2.1（均值回复优势）。当地市场波动为均值回复，由Ornstein-Uhlenbeck过程建模，dxt=u（θ- Xt）dt+σdWt，D=R，u，σ>0和θ∈ R、 因此，长期市场是静止的，当X在θ附近随机振荡时，市场组织预计将经历周期性行为。玩家可根据与XT无关的确定性利润阶梯πim获得恒定的利润率，其中πm<πm+1和πm>πm+1m、 因此，当MTI高时，玩家1的收入最大化，当MTI低时，玩家2的收入最大化。不完整的是，当前的市场条件影响了转换或投资成本。因此，当XT为高/低时，Kis为低/高（Kis为高/低）。从经济上讲，这可以解释为X代表汇率，以美元计价的国内企业P1和国外企业P 2的投资成本。具体而言，我们假设转换成本在Xt中是指数的：Ki（x，m）=ci（m）+αi（m）eβi（m）·x，i=1，2，其中ci（m），αi（m）>0，β（m）<0，β（m）>0。示例2.2（长期优势）。在第二个例子中，我们假设从长远来看，一个玩家将拥有竞争优势并成为主导。然而，在主题项中，X会产生M的不确定性。这可以通过使用几何布朗运动（GBM）来捕捉，XdXt=uXtdt+σXtdWt，（2），D=（0+∞), u ∈ R和σ>0。

玩家根据预定的利润阶梯πimas well获得利润率；为了多样性，我们使用线性切换成本Ki（x，m）=ci（m）+βi（m）·x+, i=1，2在β（m）<0和β（m）>0.2.1可接受的策略被解释的情况下，我们将X视为一个外生随机风险因素，而m则视为一个完全内生的宏观市场机制，通过两个参与者的联合策略文件进行控制。由于这会影响玩家的利益，并产生负外部性——随着玩家1利益的增加，玩家2收入的下降，我们使用非合作游戏范式，玩家进行投资，同时考虑到对手将在未来切换回不利状态。根据M的离散性质，我们假设玩家采用计时策略。因此，他们之间的战略互动导致了非零和随机切换博弈。为了确定博弈策略，我们需要引入一些必要的技术结构，以实现闭合lo-op均衡。通常，闭环策略基于（Xt）的历史和过去开关的历史。由于可以使用多个交换机，因此（Mt）本身无法达到这一目的。我们用αi表示游戏者i的策略：={τi（n）：n≥ 1} 其中τi是特定的停止时间。τi（n）的容许性根据初始状态（x，m）递归定义。Let（Ft）t≥0是（Xt）生成的自然过滤。设置σ=0，X=X，~M=M。对于n≥ 1，我们要求τi（n）是F（n）自适应的，并设置F（n）t=Ft\\uσ（σk，Pk，~Mk），k<n, （3a）σn=τ（n）∧ τ（n），（3b）Pn=1·1{τ（n）<τ（n）}+2·1{τ（n）>τ（n）}+Hn·1{τ（n）=τ（n）}，（3c）~Mn=~Mn-1+1·1{Pn=1}- 1·1{Pn=2}。（3d）n=1的含义。

，是切换游戏整体“roun d”的计数器，其中σn记录相应的第n次切换时间，pn记录进行第n次切换的玩家的身份，以及mn执行n次总切换后的宏观市场状态。在（3c）中，我们通过设置hn表示结果领导者的身份来解决两个参与者打算同时切换的场景。作为一个简单的例子，Hn≡ 如果Player1具有切换的瞬时优先级，则为1。一般来说，解决HN需要考虑辅助离散阶段博弈[16，29]，该博弈在τmon事件{τ（n）=τ（n）}上同时发生；后者可能涉及混合策略，即有一个额外的rand omvariableωt决定Hn的值。这就是为什么我们必须在（3a）中将PK的历史明确地添加到（Xt）的历史中的另一个原因。定义2.3。（容许策略）容许闭环策略A的集合是αi：={τi（n）：n≥ 1} 式中，τi（n）适用于（~F（n）t），σn，Pn，~mn在（3）中构造，并满足（Mt）的o有界域：τ（n）=+∞ 如果▄Mn=m，τ（n）=+∞ 如果▄Mn=m；o按时间排序：τi（n）≥ σn-1，我∈ {1, 2}, n≥ 1;o 始终定义：limn→∞σn=+∞.请注意，A中的策略属于闭环完美状态（CLPS）类型，请参见[8，Ch.3]中的详细说明。三个可接受条件规定，当（Mt）处于其最小/最大值时，只有一个玩家可以行动，并且还排除了在限定时间内聚集女巫的可能性。后一限制限制限制→∞σn=+∞ 是温和的，因为一旦有一些切换成本，制造有限的交换机将是次优的。请注意，定义2.3是连接到文件（α，α）上的，也取决于初始条件。在续集中，我们支持这种对更轻符号的依赖。让我们用（α，α）d来重新讨论这些p层策略的构造（3）。