非备兑期权和备兑期权的瞬时价格影响套期保值

对于k∈ N集合Γk：={（a，b，ν）∈ A×Uk：来自（4.3）的Θ取K值∩ [-k、 k]}并设Γ：=Sk≥1Γk.t，zt，s，y，θ，v∈, T×R+×R×K×Rγ∈（动态版本）状态过程（Zt，z，γu）u∈[t，t]=（St，z，γu，Yt，z，γu，Θt，z，γu，Vliq，t，z，γu）u∈【t，t】，其中，当在时间t开始时，过程St、z、γ、Yt、z、γ、Θt、z、γ和Vliq、t、z、γ对应于【t，t】上的价格、影响、风险设定头寸和与γ相关的控制Θt、z、γ的瞬时清算财富过程（来自【t，t】上的分解（4.3））-分别在s、y、θ和v处。s、 y型∈ R+×R 7→gs，y，gs，yγ∈如果时间T的状态过程在setG中为（a.s.），则为超边缘：=（s，y，θ，v）∈ R+×R×K×R：θ=g（s，y），v-sF（y）-F（y-θ)/f（y）≥ g（s，y）θ资产areG（t，s，y，θ，v）：=[k≥1Gk（t，s，y，θ，v），其中gk（t，s，y，θ，v）：={γ∈ Γk:Zt，s，y，θ，v，γT∈ G} 。最初，即w（t，s，y）：=infk≥1wk（t，s，y），其中wk（t，s，y）：=inf{v:Gk（t，s，y，0，v）6=}. （4.4）千克）。还要注意的是，引理3.3中允许的超边缘策略集（由g（t，s，y，v）确定）和（g，g）的HCash交付当量严格为正。4.2有效坐标和动态规划原理，在推导描述值函数（在粘滞感中）的偏微分方程时起着至关重要的作用。本节的目的是提供合适的DPP。首先，我们要注意的是，上述超边缘问题的公式看起来不是时间（4.4）。风险资产的初始头寸为零，而在以后的时间里通常不会为零。为了获得一个时间一致的公式，第一个简单的想法可能是使风险资产头寸变为新的变量，这意味着使用在[0，T]×R+×R×K上定义的函数w（T，s，y，θ）：=infk≥1'wk（t，s，y，θ），其中'wk（t，s，y，θ）：=inf{v:Gk（t，s，y，θ，v）6=}.

（4.5）但由于方程式（2.3）和（2.8），函数“w（t，·，·，·，·，·，·）必须在任何时间t沿坐标（s，y，θ）的适当轨道遵守函数关系，即“w（t，s，y，θ）=”wt、 sf（y- )/f（y），y-, θ - + （s/f（y））Zf（y- x） dx， ∈ R、 根据【BLZ16】中的想法，可以显示函数w的粘度特性。为了推导出W的动态规划原理，我们想在不同的点进行比较，立即清算她在风险资产中的头寸（大宗交易）。为此，letS（St，YΘt，YΘt）：=“Stf（YΘt- Θt）=Stf（YΘt- Θt）/f（YΘt），Y（YΘt，Θt）：=YΘt- 当分别表示风险资产的价格和市场影响yy、θSSt、yΘt、tYYΘt、tand impact过程时，为自我融资交易策略清算了Θt.Ss、y、θθ资产。观察两个过程都是连续的，即使交易策略Θ可能有跳跃。价值函数为（S，YΘ，Θ），Y（YΘ，Θ）的清算财富。虽然为了证明DPP，我们可以遵循[BLZ16，命题3.3]，但我们要提到的是，这些论点在技术方面简化了，并且在我们选择Vliq而不是Vbook时，变得更加透明。定理4.1（几何DPP）。

固定（t、s、y、v）∈ [0，T]×R+×R×R.（i）如果v>w（T，s，y），则存在γ∈ Γ和θ∈ K使得Vliq，t，z，γτ≥ w（τ，S（St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ），Yt，z，γτ- Θt，z，γτ）对于所有停止时间τ≥ t、 其中z=（S（S，y，-θ） ，y+θ，θ，v）。（ii）k≥v<w2k+2t，s，yγ∈kθ∈ K∩-k、 k时间τ≥ 我们有吗Vliq，t，z，γτ>wk（τ，S（St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ），Yt，z，γτ- Θt，z，γτ）< 其中z=（S，y，-θ） ，y+θ，θ，v）。证据我们遵循[BLZ16，3.3号提案的证明]的思想，但为完整性提供了详细信息。很容易看出这一点≥ 2和（t，s，y，θ）∈ [0，T]×R+×R×（K∩ [-k、 k]）wk（t，s，y，θ）≥ wk+1（t，S（S，y，θ），y（y，θ）），（4.6）wk-1（t，S（S，y，θ），y（y，θ））≥ \'wk（t，s，y，θ）。（4.7）v>wt，s，ywθ∈ Kγ∈ G（t，z）for z=（S（S，y，-θ） ，y+θ，θ，v）。如[ST02，Thm.3.1的证明，步骤1]所示，我们有所有停止时间τ≥ “w”的DPP的t（第一部分）：Vliq、t、z、γτ≥ \'w（τ，St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ）。然后（i）根据（4.6）取k→ ∞.v<w2k+2t，s，yγ∈k∈ K∩-k、 Kanda停止时间τ≥ tsuch thatVliq，t，z，γτ>wk（τ，S（St，z，γτ，Yt，z，γτ，Θt，z，γτ），Yt，z，γτ-Θt，z，γτ）zSs，y，-θ、 yθ，θ，v（4.7）Vliq，t，z，γτ>wk+1St，z，γτ，Yt，z，γτ，t，z，γτ因此，通过[ST02，Thm.3.1的证明，步骤2]，我们得到v≥ ？w2k+1（t，S（S，y，-θ） ，y+θ，θ）。特别是，通过（4.6），我们得出结论，v≥ w2k+2（t，s，y），因此存在矛盾。备注4.2。证明中使用的WKW可测量选择参数，参见【BLZ16，备注3.2】。需要连续过程的动态测试7→ Vliqt公司- 当将值函数描述为粘度溶液时，则为（t，S（St，YΘt，Θt），Y（YΘt，Θt））（4.8）Д：，t×R+×rw。引理4.3。

对于每个Θ=（a，b，γ）∈ Γ和每Γ∈ C1,2,1（[0，T]×R+×R），我们有（Vliqt- ^1（t，St，Yt））=StF（Yt+Θt）- F（Yt）F（Yt）- ^1S{（（ut- λ（Yt）h（Yt+Θt））dt+σdWt}+-^1t- 1/2σStИSS+h（Yt+Θt）ДY+F（St，Yt，Θt）dt，其中f（s，y，θ）=s h（y+θ）λ（y）F（y+θ）- F（y）F（y）-f（y+θ）- f（y）f（y）,其中，St=S（St，YΘt，Θt），Yt=Y（YΘt，Θt）和Д的导数在（t，St，Yt）处进行评估。证据因为St=S（St，YΘt，YΘt）等于Stf（YΘt- Θt），乘积规则和f=λf implydSt=St（ut- λ（YΘt- Θt）h（YΘt））dt+σdWt. （4.9）通过It^o公式，我们得到了Д（t，St，YΘt- Θt）=Θtdt+ΘSdSt+ΘYd（YΘt- Θt）+1/2ΘSSd[S]t=^1t- λ（YΘt- Θt）h（YΘt）StΘS- h（YΘt）ДY+1/2σStΘSSdt+utStИSdt+σStДSdWt。（4.10）参考（2.10），我们有DVLIQT=-h（YΘt）Stf（YΘt）- f（YΘt- Θt）f（YΘt- Θt）dt+utStF（YΘt）- F（YΘt- Θt）f（YΘt- Θt）dt+σStF（YΘt）- F（YΘt- Θt）f（YΘt- Θt）载重吨。（4.11）合并（4.10）和（4.11）并重新排列条款完成证明。备注4.4。考虑λ为常数的情况，即f=exp（λ·）。然后我们就有了≡ 0和VLIQ的动态可以以一种令人惊讶的简化形式表述，即DVLIQT=F（Θt）dSt、StSSt、YΘt、t（4.9）价格（对于大型投资者）到期的期权和纯现金结算（ST）H'SvP'≈ PFTSS0-EσfWPΘPΘfWVliqPΘv≥ EPΘ[H（ST）]=EPΘ[H（ST）]（回想一下，ΘT=0，意味着ST=ST）。另一方面，费曼-科航（Feynman-Kac）的论点表明，EPΘ[H（ST）]只是小投资者在具有风险资产过程的无摩擦市场中的经典Black-Scholes价格。因为Θ是一种初始资本为v的任意超边际策略，以最小的收益率进行索赔。上述观察结果表明，与[BB04，Thm]中的模型存在显著差异。

5.3]，其中规定了超边际策略，根据该策略，大型交易者可以通过利用其对订单的价格影响，在较少约束的情况下，尽量减少支付，从而在更大程度上降低期权的到期日，然后立即可以在不增加额外成本的情况下（由于没有买卖价差）大量剩余。相比之下，我们的设置对此类操纵行为的限制更大，因为我们对策略λ施加了约束，从而揭示了对于大型交易者来说，超边缘可能更便宜的情况，参见示例7.1.5定价pde和主要结果接下来，我们确定函数WAT到期日的终值，这将作为定价pde的边界条件。回想一下thatKis（约束）集，其中交易策略取值并设置Kn=K∩[-n、 n]表示n∈ N、 引理5.1（边界条件）。对于n∈ N、 letHn（s，y）：=infgsf（y+θ）f（y），y+θ+ sF（y+θ）-F（y）F（y）|θ∈ Kn，θ=gsf（y+θ）f（y），y+θ.然后我们有wn（T，·）=Hn（·）和w（T，·）=H（·），其中函数H由H给出：=infn≥0Hn。（BC）证明。在到期时间t，期权的套期保值者必须进行θ大小的大宗交易，以满足G规定的实物交付部分，从而将基础价格从y+θf（y）移动到y+θ，影响水平从y移动到y+θ。

这种大宗交易产生的成本为sizesF（y+θ）-F（y）F（y），因此，如果套期保值者能够支付该成本和所需的现金交付部分，则它会超级复制支付F（g，g），在大宗交易后，该部分是gsf（y+θ）f（y），y+θ.备注5.2。Hs，y∞θgsf（y+θ）f（y），yθ在K中没有解θ。因为此时我们不知道值函数是否是连续的，我们需要处理不连续的粘度解，因此需要考虑松弛的半极限*（t，s，y）：=lim inf（t，s，y，k）→（t、s、y、，∞)wk（t、s、y），（5.1）w*（t，s，y）：=lim sup（t，s，y，k）→（t、s、y、，∞)周（t，s，y），（5.2）t<Tww*w*（分别为次分辨率）。为了证明粘度特性，我们作出以下假设。假设5.3。（有界值函数）：函数w*和w*在[0，T]×R+×R上有界；（正则payoff）：Hfrom（BC）是连续的、有界的和hn↓ Huniformly在压实上。wT，·他有义务立即出售期权，只要他有足够的资本，他可以在任何情况下（在（s，y）的任何状态下）以可接受的交易这样做。5.1一般有界价格影响函数的案例研究在本节中，假设以下假设成立。假设5.4。高频∞infRf>supRf<∞λ且连续可微分，有界导数，K=R（无delta约束）。在假设5.4下，反导数F（2.7）及其逆F-1是双射r→ RsupRf<∞/ 意外地。在这种情况下，为了正式（首先）推导定价pde，让（t，s，y）∈[0，T）×R+×Rvwt，s，yin在定义时达到最大值）和τ=T+，以及用于ν=w的引理4.3，假设w足够光滑。

因此我们得到θ的存在性*这样0≤sF（y+θ*)-F（y）F（y）- wS（t、s、y）（ut- λ（y）h（y+θ）*)) dt+σdWt+- wt（t、s、y）-σswSS（t，s，y）+h（y+θ*)wY（t，s，y）+F（s，y，θ*)dt。仍然只是在形式层面上争论，这不能成立，除非是f（y+θ*) = f（y）wS（t，s，y）+f（y）和-wt（t、s、y）-1/2σswSS（t，s，y）+h（y+θ*)wY（t，s，y）+F（s，y，θ*) ≥ 0。（5.3）特别是θ*=θ*（t，y，s）=F-1.f（y）wS（t，s，y）+f（y）-y、 OREM 4.1中DPP的第二部分实际上会给出漂移项必须为0，即（5.3）中的等式。这正式促使w的定价pde形式应为- wt公司-σswSS+～h（t，s，y）（wY+sλ（y）wS）+s～h（t，s，y）（1-f（t，s，y）f（y））=0，（PDE），其中（t，s，y）∈ [0，T）×R+×Rh（T，s，y）：=ho F-1.f（y）wS（t，s，y）+f（y）,~f（t，s，y）：=fo F-1.f（y）wS（t，s，y）+f（y）.涉及y变量的导数）。我们的主要结果如下。定理5.5。WSuperhedgeting问题是连续的，是（PDE）的唯一有界粘性解，边界条件为w（T，·）=H（·），其中H在（BC）中定义。证据w*w*与引理4.3一起。第9节详细介绍了需要额外调整的情况λ（PDEδ）（包括梯度约束）的关键参数。定理9.5的比较结果证明了唯一性和连续性，参见备注9.7。对于超高价格和存在各自的对冲策略。第7节给出了一个数字示例。备注5.6。从一开始就在's的等价鞅测度下。另一方面，超级对冲价格取决于初始影响水平和弹性函数，甚至对于形式（g（s），0）的期权支付也可以这样做。i、 e.不取决于影响程度。因此，对于定价和套期保值（参见。

备注5.8）“未受影响”值对市场价格的扰动是一个相关的状态变量。备注5.7（永久影响）。注意，对于永久性碰撞，这意味着≡（PDE）因此，大型交易员的超边际价格等于期权的布莱克-斯科尔斯价格，并支付。备注5.8（复制期权支付）。在有效的规律性下，事实证明，可以构建一个从（最小）超边际价格完美复制期权支付的策略。这意味着，我们有复制意义上的动态对冲，就像在无摩擦的完全Black-Scholes模型中一样。w∈ C1,3,1b，T×R+×R（PDE）wT，·H·ε>w，s，yε自融资策略（β，Θ），β0-=w（0，s，y）+ε，Θ=F-1（f（y）wS（0，s，y）+f（y））-y、 意味着大宗交易的规模Θ=Θ在时间0执行，且Θt=F-1.f（YΘt）wS（t，S（St，YΘt，YΘt），YΘt）+f（YΘt）- t的YΘt∈ [0，T），（5.4）ΘT=0，即。ΘT=ΘT-, （5.5）其中YΘ=YΘ-Θ. 然后通过引理4.3，结合（5.4）和（PDE），我们得出ε=Vliq（Θ）- w（0，s，y）=VliqT（Θ）- w（T，S（ST，YΘT，YΘT），YΘT）=VliqT（Θ）- H（S（ST，YΘT，YΘT），YΘT）=VliqT（Θ）- H（ST，YΘT），ΘT=0，（5.5）HHεTwill足以通过做一个可能的εVliqTHence，策略Θ+{T}来用payoff（g，g）超级复制欧洲的主张ε将是欧洲索赔的超级复制品。请注意，如果构建的策略有界，且Hnis定义达到上限（参见引理5.1），则可以取ε=0，即。

在这种情况下，我们有一个复制策略。It^o公式的应用表明，在适当的规律下，通过求解以下SDEsdSt=St[（ut）系统，可以获得满足定点问题（5.4）的策略- λ（YΘt）h（YΘt+YΘt））dt+σdWt]，dΘt=a（t，St，YΘt，Θt）dt+b（t，St，YΘt）dWt，dYΘt=-h（YΘt+YΘt）dt，（5.6），初始条件为S=S，YΘ=Y和F-1（f（y）wS（0，s，y）+f（y））- y、 式中（t，s，y，θ）：=h（y+θ）1.-λfwS- f- wSY公司- λswSSf（F-1（fwS+F））+wtS+sutwSS+1/2σswSSSf（F-1（fwS+F）），b（t，s，y）：=σswSSf（F）-1（fwS+F）），ffy，λλy价格影响的瞬态性质。让我们在这里对假设5.4进行评论，假设5.4暗示了onr的双射性。观察其反转-1用于描述最优控制θ*. 对于[BB04]和[BLZ16]中的结果，类似的条件也是至关重要的：参见[BB04]和[BLZ16]中的满射性假设（A5）。该假设自然会导致定价pde相对于梯度的奇异性。事实上，缺乏可逆性需要wss上的条件，以便θ*可以派生。风险资产，在pde术语中转化为对空间梯度wS的约束。5.2指数形式的价格影响案例研究函数为指数形式f（x）=exp（λx），λ为常数，这意味着λf/f>tSt知道即时大宗交易的影响，因为在规模的大宗交易之后 价格“StfYtStexpλfYΘ基本价格”对于确定大宗交易的价格影响并不重要，与第5.1节的情况不同。

出于备注3.5的动机，我们考虑卖空K-K∞K>0。vwt，s，yt，s，y，τtwθ*∈ 这样，使用引理4.3，我们得到了lθ*w（t，s，y）dt-s（wS（t，s，y）- eλθ*/λ+1/λ）（σdWt+ηtdt）≥ 0，（5.7），其中ηt=ut- λh（y+θ）*) andLθ*w（t，s，y）：=-wt（t，s，y）+h（y+θ*)wY（t、s、y）-σswSS（t，s，y）。如第5.1节所述，（5.7）中的扩散部分应消失，从而得到最佳控制θ*=λ对数λwS（t，s，y）+1,从漂移部分，我们确定了定价pdeLθ*w（t，s，y）=0。约束θ*∈ Kis现在相当于HKw（t、s、y）≥ 0，其中对于光滑函数，我们设置HKД（t，s，y）：=λДs（t，s，y）+1- e-λK。因此，我们正式得出结论，w应该是变分不等式fk[w]：=min{Lθ[w]w，HKw}=0，在[0，T）×R+×R，（PDEδ），其中θ[w]（T，s，y）：=1/λ·logλwS（t，s，y）+1. （5.8）通常，梯度约束会传播到边界，这意味着（PDEδ）的边界条件应为min{w（T，·）- H、 HKw}=0。（BCδ）在这一动机之后，我们陈述了指数价格影响f=exp（λ·）的主要结果。定理5.9。假设弹性函数h是Lipschitz连续的，并假设w（PDEδ）条件（BCδ）。证据证明推迟到第9节。粘度超/子溶液性质如下于定理9.6的比较结果，参见备注9.7。推论5.10。在定理5.9的设置中，进一步假设Payoff函数G、gysThen超边际价格仅为（t，s）中的函数，定价pde（pdeδ）简化为具有梯度约束的Black-Scholes pde。