非备兑期权和备兑期权的瞬时价格影响套期保值

从那时起≥ w*≥ ^1和W*- ^1在（t，s，y）处有一个局部最小值，存在ι>0，使得（w- ^1）（τn，Snτn，Ynτn）≥ ι.Vliq，nτn- Дτn，Snτn，Ynτn≥ ι.SntnsnYntn=yn，给出P-a.s.ι≤ 越南- ^1（tn、sn、yn）-ZτntnSnuνS（u，Snu，Ynu）+1/λ- eλΘnu/λ（σdWu+ζnudu）（9.5），其中ζnt：=ηnt-LΘntΘSnt（ΘS（u，Snt，Ynt）+1/λ- t的eλΘnt/λ）∈ 【tn，τn】ηnt：ut- λhYntζnttn，τnnoting（9.3）和ynis自Θnis起有界的事实。因此，根据Girsanov定理，存在一个与P等价的测度Pn，使得zt∧τntnSu（νS（u，Snu，Ynu）+1/λ- eλΘu/λ）（σdWu+ζnudu），t≥ tn，pn一致有界，由于τn的定义，ν的连续性和有界性τn≤ TPn（9.5）导致VN- ^1（tn、sn、yn）≥ 我们选择Vn和序列（tn，sn，yn）nvn会产生矛盾- ^1（tn、sn、yn）-→ w*（t、s、y）- ^1（t，s，y）=0。案例2：从案例1中，我们知道HKД（t，s，y）≥ 因此，θ[Д]（t，s，y）=1/λlog（λДs（t，s，y）+1）定义明确（也在（t，s，y）附近）。让我们假设Lθ[Д]Д（t，s，y）<0。由于运营商的连续性，存在一个开放的社区[0，T]×R+×Rof（T，s，y）和一些R，ε>0，使得lθД（T，s，y）<-ε表示所有（t、s、y）∈ O、 θ∈ （θ[Д]（t，s，y）-r，θ[Д]（t，s，y）+r）。开集O）表示每个（t，s，y）∈ O对于一些r>0LθД（t，s，y）<-ε|ДS（t，S，y）+1/λ时- eλθ/λ|≤ r、 与案例1一样，考虑一个序列（tn，sn，yn）ino，该序列收敛于（t，s，y）等（tn，sn，yn）→ w*（t、s、y）。

Setvn：=w（tn，sn，yn）+1/nand letθn∈ Kand策略γn∈（9.4）τn·，Sn，y与情况1相似，并进行以下调整：我们有Vliq，nt∧τn- ^1（·，Sn，Yn）t∧τn=vn- ^1（tn、sn、yn）-Zt公司∧τntnSnu（ДS+1/λ- eλΘnu/λ）（σdWu+ζnudu）+Zt∧τntnLΘnuД（u，Snu，Ynu）1{|ДS+1/λ-eλΘnu/λ|≤r} 杜邦≤ 越南- ^1（tn、sn、yn）-Zt公司∧τntnSnu（ДS+1/λ- eλΘnu/λ）（σdWu+ζnudu），其中我们设置ζnt：=ηnt-LΘntΘSnt（ΘS+1/λ- eλΘnt/λ{|ДS+1/λ-eλΘnt/λ|≥r} 对于t∈ 【tn，τn】、ДИS·、Sn·、Yn·矛盾现在通过在Pn下取期望来实现≈ P和n→ ∞.边界条件。Let（s，y）∈ R+×R和ν是一个光滑函数，使得（严格）min[0，T]×R+×R（w*- ^1）=（w*- ^1）（T，s，y）=0。假设最小{w*（T、s、y）- H（s，y），HKИ（T，s，y）}<0。HKДT，s，y<HKД<T，s，yHKД（T，s，y）≥ 0.w*T、 s，y<Hs，yИT，s，y- Hs，y<Иt，s，y7→ ^1t、s、y-√T- t型tИt，s，y→∞t型→ TεT- ε、 T×Bεs，yT，s，yLθ[Д]Д<折痕ε我们有Д（T，·）≤ H（·）-ιonBε（s，y）对于某些ι>0。我们可以像上面的案例1-2那样进行论证（从[T]中的（tn，sn，yn）开始-ε、 T）×Bε（s，y），带（tn，sn，yn）→（T，s，y）wtn，sn，yn→ w*T、 s，yτ使用w（T，·）=H（·））获得Vliq，nτn- ^1（·，S（Sn，Θn），Yn- Θn）τn≥ ι∧ ι、 式中：=inf[T-ε、 T）×Bε（s，y）（w*- φ) > 0. 矛盾如下，如上文案例2所示。现在我们证明了次解析性质。定理9.3。w*（5.2）（PDEδ）[0，T）×R+×R，边界条件（BCδ）在{T}×R+×R.证明上。该证明类似于[BLZ16，定理3.7]中的下解性质证明，并受其启发。

原因是，在这种情况下，梯度约束将确保测试在本地进行，因此对于定义（本地）控制过程（使用备注9.1中的验证参数）而言，将是非常“好的”，这将导致类似于【BLZ16】的矛盾。为了完整起见，我们概述了证据线中的差异，并概述了主要步骤。^1C∞b、 T，R+×Rt，s，y∈, T×R+×Rstrict（局部）最大值w*- ^1，即（严格）最大值[0，T]×R+×R（w*- ^1）=（w*- ^1）（t，s，y）=0。t<Txpair（s，y）。由于DPP第二部分的特殊形式，参见定理4.1（ii），我们需要进行工作（而不是像我们在证明上解性质时那样）。通过[Bar13，引理6.1]，我们可以得到一个序列（kn，tn，xn）n≥1如此kN→ ∞, any（tn，xn）是w的局部最大值*千牛- 和（tn、xn、wkn（tn、xn））→ （t、x、w*（t，x））。假设fk[Д]（t，x）>0，并设Дn（t，x）=Д（t，x）+t- tn |+| y-yn |+| s- 序号|。FK[Дn]>0在包含（tn，xn）的邻域BOF（t，x）中保持不变，对于所有较大的BHKДn>hДn稍大的压缩集，HKДn>0保持不变。因此，在可能传递到合适的子序列之后，存在γn∈ 确保Θtn，zn，γnt=1/λ·logλ^1ns（t、Stn、zn、γnt、Ytn、zn、γnt）+1, t型≥ tn、znsn、yn、wkntn、xn- n-1Stn，zn，γntSStn，zn，γnt，tn，zn，γntYtn，zn，γntY-tn，zn，γntτntnStn，zn，γnt，Ytn，zn，γntt≥TNBBLZ16通过应用It^o公式，在B上使用引理4.3和F[Дn]>0，P-a.s.Vliq，tn，zn，γnτn≥ νn（τn，Stn，zn，γnτn，（Y- Θ）tn，zn，γnτn）+vn- ^1n（tn，xn）。现在，矛盾如下【BLZ16，Thm.3.7的证明，亚解析性质，（a）】。对于边界条件，即caset=T，参数与[BLZ16，Thm.3.7的证明，亚解性质，（b）]中的参数完全相同。9.3粘度溶液（PDE）定理5.5的比较结果。

请注意，（PDE）的结构为0=-t^1-σsss^1-B（y，f（y）s^1）y^1-sB（y，f（y）s^1）s^1-sB（y，f（y）s^1），（9.6），其中bi:R→ R、 i=1，3是有界的Lipschitz连续函数。通过改变坐标，可以如下转换pde。引理9.4。pde（9.6）的列管粘度亚溶液（分别为上溶液）。修复κ>0。然后，函数u，由u（t，s，y）定义=eκtu（t，sf（y），y）表示所有（t，s，y）∈ [0，T]×R+×R，是pde0=κν的粘度亚溶液（分别为上溶液）- t^1-σsss^1-B（y，e-κts^1）yИ+λ（y）B（y，e-κts^1）s^1- sB（y，e-κts^1）s^1- eκtsf（y）B（y，e-κts^1）。（9.7）证明。形式上（如果存在导数）~us（t，s，y）=eκtf（y）us（t，sf（y），y）~uss（t，s，y）=eκtf（y）uss（t，sf（y），y）~uy（t，s，y）=eκtλ（y）f（y）us（t，sf（y），y）+eκtuy（t，sf（y），y）=λus（t，s，y）+eκtuy（t，sf（y），y）~ut（t，s，y）=eκtu（t，sf（y），y）+κeκtu（t，sf（y），y）。现在写下uat（t，sf（y），y）的方程（9.6），我们可以读取▄u.u▄uviscosity解的方程（9.7）。（9.7）表示（9.6）的比较结果。这是在以下结果中完成的。定理9.5。Letu（分别为v）是有界的上半连续亚解（分别为下，T×R+×R（9.7）u≤ v{T}×R+×R。然后u≤ v在[0，T]×R+×R证明上。为了用矛盾来证明这个说法，让我们假设SUP（t，s，y）∈[0，T]×R+×R（u- v） （t，s，y）>0。然后我们可以找到R>1，这样SUP（t，s，y）∈[0，T]×或×[-R、 R]（u）- v） （t，s，y）>0，其中：=（1/R，R）。特别是，存在δ>0和（t，s，y）∈ 或×[-R、 R]suchthat（u- v） （t，s，y）=δ>0。现在考虑n∈ N、 有界上半连续函数ΦN（t，s，s，y，y）：=u（t，s，y）- v（t、s、y）-n（s）- s）-n（y）- y） 。它在某些位置达到最大值（tn、sn、sn、yn、yn）∈[0，T]×或×[-R、 R]通过集的紧性，我们清楚地得到Φn（tn，sn，sn，yn，yn）≥ 所有n的δ∈ N、 （9.8）BLZ16子序列）thatn（sn- sn）+n（yn- yn）→ 0作为n→ ∞.

（9.9）注意，（9.9）也表示n（sn- 序号）（yn- yn）→ 0作为n→ ∞.现在，根据【CIL92，定理8.3】中所述的Ishii引理，存在（bn，Xn，Yn）∈ R×S×S取pn=n（sn- sn）和qn=n（yn- yn）我们有（bn，（pn，qn），Xn）∈\'P2，+Oau（tn，sn，yn），（bn，（pn，qn），yn）∈(R)P2，-Oav（tn、sn、yn），其中Xnand yn满足Xn0型-Yn公司≤ 3个我-我-二、, （9.10）S×I∈ Suvtn，sn，yntn，sn，yn分别是κu（tn，sn，yn）- bn公司-σ（sn）Xn+L（sn，yn，pn，qn）≤ 0κv（tn、sn、yn）- bn公司-σ（sn）Yn+L（sn，Yn，pn，qn）≥ 0，其中l（t，s，y，p，q）：=-B（y，e-κtp）q+λ（y）B（y，e-κtp）p-sB（y，e-κtp）p-eκtsf（y）B（y，e-κtp）。因此，0<κδ<κ（u（tn，sn，yn）- v（tn、sn、yn））≤≤ -σ（sn）Yn+σ（sn）Xn++L（tn，sn，Yn，pn，qn）- L（tn、sn、yn、pn、qn）。（9.11）另一方面，通过（9.10）我们得到σ（sn）Xn-σ（sn）Yn≤σn（sn- sn），收敛到0的值→ ∞由于（9.9）。现在让我们分析差异（tn、sn、yn、pn、qn）-Ltn、sn、yn、pn、Qnccrr这可能会随着生产线的变化而变化，我们得到相应条款的估计值如下：| B（yn，e-κtnpn）qn- B（yn，e-κtpn）qn |≤ C | yn- yn | | qn |，|λ（yn）B（yn，e-κtnpn）pn- λ（yn）B（yn，e-κtnpn）pn |≤ C | yn- yn | | pn |，| snB（yn，e-κtnpn）pn- 瑞士国家银行（yn，e-κtnpn）pn |≤ C |（序号- sn）pn |+CR |（yn）- yn）pn |，| eκtnsnf（yn）B（yn，e-κtnpn）- eκtnsnf（yn）B（yn，e-κtnpn）|≤ CR（| sn- 序号|+| yn- yn |）。因为上面所有的估计都消失了→ ∞, （9.11）中的右侧以某个值为界，该值收敛为0，即n→ ∞. 但这产生了一个矛盾，即导致变分不等式（PDEδ）的大n.delta约束。定理9.6。假设弹性函数h是Lipschitz连续的，假设5.3有效。Letu（分别为v）为有界上（分别为下）半连续粘度（PDEδ）条件（BCδ）。然后u≤ v在[0，T]×R+×R证明上。我们用矛盾来争论。对于anya>0，setOa：=[a，∞)×[-/a、 /a]。假设SUP（t，s，y）∈[0，T]×R+×R（u- v） >0。a>辅助（t、s、y）∈[0，T]×非统组织-v> κ>~u：=eκtu和~v：=eκtv。

那么▄u（resp.▄v）是一个粘度亚（resp.super）解，其min{κИ+▄L[Д]，HK，tД}=0，边界条件min{Д（t，·）- H（·），HK，TИ}=0，式中▄L[Д]（T，s，y）=-tД+h（y+1/λlog（λe-tκsа+1））y^1- 1/2σsssД和HK，tД=λe-κts^1+1- e-t的λk∈ [0，T]。考虑Θn：=sup（t，x，x）∈[0，T]×Oau（T，x）- v（t，x）-n | x- x |。对于某些大于0的情况，我们有n>0。自▄u起-~vis上半连续，对于任何情况，在紧集[0，T]×Oa中的某些（tn，xn，xn）处达到最大值。通过[BLZ16，引理证明3.11]中的论证，在可能传递到子序列之后，我们得到了limn→∞Θn=sup（t，s，y）∈[0，T]×Oa（~v- u）≥ ι>0和（9.12）n | xn- xn公司|→ 0作为n→ ∞. （9.13）另请注意LIMN→∞u（tn，xn）- v（tn，xn）≥ ι. （9.14）情况1:TntLemma以及u和v givemin的粘度特性u（T，xn）- H（xn），λe-κTpn+1- e-λK≤ 0，最小值v（T，xn）- H（xn），λe-κTpn+1- e-λK≥ 0，其中pn=n（sn-序号）。因此，我们得出结论，u（T，xn）≤ H（xn）表示所有n。然而，在这种情况下，由于▄v（T，xn）≥ H（xn）对于所有n，我们有v（T，xn）≥ H（xn）≥ H（xn）- H（xn）+u（T，xn），这与H的连续性对大n的影响（9.14）相矛盾。情况2：我们现在可以假设（在传递到子序列后）tn<T所有n。

Setpn：=n（序号- sn），qn：=n（yn- yn）。CIL92▄u▄维克斯坦∈ Rand对称2×2矩阵san，Bn（满足（9.10）中的一个界）和（an，（pn，qn），an）∈\'P2，+Oa\'u（tn，xn），（an，（pn，qn），Bn）∈(R)P2，-Oa'v（tn，xn），使最小-an+L（tn，xn，~u（tn，xn），pn，qn，an），λe-κtnpn+1- e-λK≤ 0，最小值-an+L（tn，xn，~v（tn，xn），pn，qn，Bn），λe-κtnpn+1- e-λK≥ 0，其中t∈ [0，T]，x=（x，y）∈ R、 `，p，q∈ R和a 2×2矩阵AL（t，x=（x，y），`，p，q，a）：=κ`+h（y+1/λlog（λe-κtp+1）q- 1/2σxA。因此，我们有-an+L（tn，xn，~u（tn，xn），pn，qn，an）≤ 还要注意，在集合{（t，y，p）上∈ [0，T]×R×R |λe-κtp+1- e-λK≥ 0}，函数（t，y，p）7→ h（y+1/λlog（λe-κtp+1）矛盾论点如下所示：一个得到估计值κ（~u（tn，xn）- v（tn，xn））≤ Cn | xn- xn |+1/n对于不依赖于n的常数c>0。对于Largent来说，这与上面的9.12相矛盾。备注9.7。根据定理9.2和定理9.3，我们知道W*（分别为w*) 是带边界条件（BCδ）的（PDEδ）的上解（下解），因此定理9.6给出了*≥ w*在[0，T]×R+×R上。然而，根据定义，很明显*≤ w*因此我们有*=w*在[0，T]×R+×R.另一方面，w*≤ w≤ w*在[0，T）×R+×R.tTw上*w*w*T·≥ H·w*T·≤ H·Tw*HH·wT，·w*w*walso on{T}×R+×R。因此w*= w*= w在[0，T]×R+×R上，意味着连续性。对于边界条件（BC）（PDE），同样的结论成立。参考文献【Bar13】海德堡，柏林，海德堡，2013年。【BB04】有大型交易商的市场。数学《金融》，14（1）：1–18，2004年。[BBF17a]Dirk Becherer、Todor Bilarev和Peter Frentrup。具有乘性瞬时价格影响的最优资产清算。应用程序。数学优化。，2017年。[BBF17b]德克·贝克尔、托多·比拉雷夫和彼得·弗伦特鲁普。M1/J1拓扑中大型投资者策略收益的稳定性。伯努利，2017年。至应用程序。，arXiv:1701.02167。【BBF18】随机流动性。

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