非备兑期权和备兑期权的瞬时价格影响套期保值

在这种情况下，如果正面提升的payoff FK[H]与有界导数连续可微，其中FK[H]（s）：=supx≤0H（s+x）+1- e-λKλx, s∈ R+，HH-∞,（交易员）与无摩擦的布莱克-斯科尔斯价格相一致，该价格为面值上调的付息FK【H】。证据g、 gsyeasy也看到了这一点，并且可以通过省略影响过程来降低状态过程的维度。在这种情况下，第4节中的随机目标问题可以表示为新的状态过程，因此值函数将是一个函数，即值函数的粘性解性质。这种情况下的定价pde将是具有梯度约束的Black-Scholes pde，因为termh（Y）ИYin引理4.3不存在。因此，我们的大投资者模型中的超边际价格将与H一致（因为它解决了相同的pde）。在这种一维设置中，该价格与Black-Scholes价格相一致，该价格适用于面部抬高的Payoff FK【H】，参见【CEK15，提案3.1】。6暂时性和永久性价格影响的组合在这里，我们展示了如何将我们的分析扩展到更一般形式的持续性η间，ηΘu构成从累积交易到未来所有时间价格的永久（非衰减）影响≥ u、 为此，我们将模型概括如下。对于η≥ 0，风险资产的边际价格（用于交易最小数量）isSt：=f（ηΘt+YΘt）St，（6.1）在公式（2.3）的修正中，YΘ由（2.2）给出。

根据[BBF17b，第5.4节]中的论点，（稳定）来自一般半鞅策略Θ为ΘL（Θ）：=1+ηZ·F（ηΘt+YΘt）d'St-Z·'Stf（ηΘt+YΘt）h（YΘt）dt-\'SF（ηΘ+YΘ）·0-.尤其是大宗交易Θtyields收益-\'St1+ηR（1+η）Θtf（ηΘt-+YΘt-+x） dx。因此，根据第2节中的讨论，瞬时清算价值过程的体积效应过程（本着[PSS11]的精神）ηYΘ动力学▄Vliqnow满足（1+η）d▄Vliqt=（F（ηt+YΘt）-F（YΘt-Θt））d'St-h（YΘt）（f（ηΘt+YΘt）-f（YΘt-Θt））dt。值得注意的是，附加永久性影响的一般化并没有改变，YΘ，YYΘ，之前的分析延续到附加永久性影响，并进行如下调整：o引理5.1中的边界条件需要通过将预因子1+η添加到θ来修改，此时θ显示为函数的参数；o在引理4.3中，F（YΘ）应该被F（η+YΘ）代替，所有分数应该被1+η除，F现在将变成Fη，Fη（s，Y，θ）：=sh（Y+θ）λ（y）F（y+（1+η）θ）-F（y）（1+η）F（y）-f（y+（1+η）θ）-f（y）（1+η）f（y）.F（PDE）修改▄h=▄hη▄和▄F=▄Fη▄替换前两个▄h和▄F，即▄hη（t，s，y）=h1+ηF-1（（1+η）f（y）ДS（t，S，y）+f（y））+η1+ηy,fη（t，s，y）=fo F-1（（1+η）f（y）ДS（t，S，y）+f（y））。最优套期保值策略*, 如果存在，则满足（如备注5.8中η=0）（1+η）Θ*t=F-1（（1+η）f（Y*t） ^1S（t，S*t、 Y型*t） +F（Y*t） )- Y*t、 S*SS，YΘ*,*Y*YYΘ*,*除了YΘ跟踪的基本价格过程的位移外，还反映了永久性组件。在第5.2节的设置中，我们再次考虑投资组合约束θ∈ K=[-K+∞)以推导定价pde。

由于Fη=0，这里的定价pde简化了{-wt公司-σswSS+h（y+θ）*)wY，λ（1+η）ДS+1-e-λ（1+η）K}=0，（t、s、y）∈ [0，T）×R+×R，其中θ*=λ（1+η）对数λ（1+η）wS+1, 带边界条件min{w（T，·）- H、 λ（1+η）ДS+1- e-λ（1+η）K}=0，特别是，具有永久影响的定价pde与具有纯瞬时影响但具有适当修改λ的定价pde一致，在这种情况下变为λ（1+η）。7数值示例本节讨论由（PDE）表征的超边缘价格的数值结果，参见定理5.5。对于计算，我们考虑影响函数f（x）=1+arctan（x）/10，x∈ R、 （7.1）满足假设5.4。注意，λ（x）=1/（10（1+x）f（x））在大约(-,4); 在这里，影响的变化是显著的，见图1a。除了满足我们的假设和f（x）=x+（x arctan（x）-/log（1+x））/10显式形式，在相关传播子模型与真实数据的校准中观察到，见【BL12，附录】。hyβyβT.Kfσ。H（s，y）=sF（y+1）-F（y）F（y）- K{s≥K} 我们通过在K之间线性插值0和1来逼近指示函数来“平滑”- 0.5和K.y，s∈-,×，t<tws（F（y+1）- F（y））/财年[-,20]×{},wy=0开{-,}×[0,200]∪[-,20]×{}. 事实上，对于初始影响的重大变化，见图1a；因此，我们可以预期，Black-Scholes价格与大型交易商价格之间的价格不会有差异（作为therisky资产价格和影响力水平的函数），如图1b所示。

让我们指出，Black-Scholes价格不取决于影响水平y。数值示例表明，大型交易者的超级复制价格主导了实物交割看涨期权的无摩擦Black-Scholes价格，见图1c。示例可以表明，对于大型投资者来说，价格也可能更小，通常是在初期的影响水平远离零的情况下，参见示例7.1。另一方面，当大型交易员必须在到期时实物交付资产时，超边际成本会变得更高，因为如果期权以货币结算，她必须在到期时购买实物资产，这意味着她需要在对她不利的方向上进行最终阻塞，因为这会增加看涨期权的支付。y负（y<0）。综上所述，期权价格的依赖性是复杂的：受中间交易和最终交易的影响（由结算规则强制执行）。和缺乏弹性的大型投资者-6-4-2 0 2 4 60.91.1.10.0150.050.085yfλ（a）玻璃微商衍生物λ（紫色）（b）pBS- 有实物交割的欧洲看涨期权，弹性率为β=1（c）有实物交割的看涨期权的大交易者价格，弹性率β=1，初始影响水平y=0（d）pβ=1大β=0大ββ水平y=0图1：f（7.1）σ。T、 走向K=50，弹性函数h（y）=β，例如7.1。模型（针对s小投资者）确实可能高于largeT>vBSH的超高价格上海≥看涨期权价差的平滑近似。

请注意，特别是SvBS公司≥0和VBSVBS，·v，·YYVWHYY0->交易员方向。设Θ为Θ0-= 0应确保ΘT=0（仅对应于到期时的现金交付），且对于T∈ [0，T-]Θt=F-1(SvBS（t，St）f（YΘt）+f（YΘt））- YΘt，（7.2）YΘYΘ-SfYΘSvBSSvBS公司≥, Tβ，β0-vBS，S0-（4.9）（4.11）和（7.2）（回想一下S0-= S） VliqT=vBS（0，S）+ZTSvBS（t、St）dSt-ZTSH（YΘt）f（YΘt）- f（YΘt- Θt）F（YΘt）- F（YΘt- Θt）- λ（YΘt- Θt）dt=H（ST）-ZTSH（YΘt）f（YΘt）- f（YΘt- Θt）F（YΘt）- F（YΘt- Θt）- λ（YΘt- Θt）dt。（7.3）特别是，如果（7.3）中的被积函数在[0，T]上为负，那么（β，Θ）将是初始资本为β0的大型交易员的超边缘策略-= vBS（0，S0-) 和hencev（0，S0-, Y0-) ≤ vBS（0，S0-). （7.4）YΘ≥, TλYΘYΘ-Y0-如果instanceYΘ在[0，T]上为负，则也可能出现被积函数，例如If0-对于0的所有值，通常为小λ（7.4）-, Y0-, 因为这意味着V不取决于初始影响水平Y0-, 一般支付功能H并非如此，如图1b所示。8涵盖期权的定价和对冲【BLZ16，BLZ17】得出的一个关键结论是，对冲者形成以退化半线性偏微分方程为特征的混合的方式。相比之下，本节现在研究了备兑期权的问题，为此，可要求期权买方（由套期保值者自由决定）提供所需的初始（delta）套期保值头寸，并接受备兑期权的套期保值头寸组合。相应的定价方程在二阶项中是完全非线性和奇异的。这导致伽马约束，而对于非覆盖期权，奇异性出现在一阶导数中，并导致LTA约束，请参见第5.2节。

我们仅对定价pde的推导进行概述，并解释如何通过调整【BLZ17】中的分析来获得它。让我们考虑连续套期保值策略，即It^o processesdΘt=a（t）dt+b（t）dWt，Θ=θ∈ R、 （8.1）whereandbare连续过程具有一些可积性条件。对于此类控制措施，市场影响过程和扰动价格过程的形式为：dYt=(-h（Yt）+a（t））dt+b（t）dWt，Y=Y，dSt=d（f（Yt）(R)St=Stξ（t）dt+（σ+λ（Yt）b（t））dWt= St公司(u - λ（Yt）h（Yt）+λ（Yt）a（t）+0.5（λ（Yt）+λ（Yt））b（t）+λ（Yt）σb（t））dt+（σ+λ（Yt）b（t））dWt, （8.2）S=f（y）(R)S（忽略在t=0时收购θ股份的初始影响）和ξ（t）：=u- λ（Yt）h（Yt）+λ（Yt）a（t）+0.5（λ（Yt）+λ（Yt））b（t）+λ（Yt）σb（t）（8.3）注意，对于（超级）复制策略，必须确定θ、a和b。使用（2.6）中的部件集成，连续策略的收益Θrewrite asLT（Θ）=-ZTStdΘt-[S，Θ]T-ZTσStd[Θ，W]t.（8.4）对于自我融资策略（β，Θ），t时的账面财富（回忆（2.11））为vbookt（Θ）=β+LT（Θ）+TST。考虑风险资产价格上的H=g（ST）形式的或有权益。对于具有初始资本的套期保值策略，套期保值者需要在产生成本的风险资产中设置初始头寸。因此，在到期时，我们有P+LT（Θ）+TST- ΘS≥ g（ST）。（8.5）使用（8.4），账面财富满意度的变化t+d（StΘt）=tdSt+d[S，Θ]t-σStd[Θ，W]t=ΘtdSt+Stλ（Yt）b（t）dt。（8.6）因此，初始资本为p的复制策略应满足yp+ZTΘtdSt+ZTStλ（Yt）b（t）dt=g（ST）。a、 bGt：GRtuSuRtSuλYubuuGT=g（ST）。为了找到这样一个过程，我们尝试以下方法：对于平滑函数v，Gt=v（t，St）：（0，∞) ×R→ R

应用It^o公式，我们得到dv（t，St）=vt（t，St）dt+vs（t，St）dSt+vss（t，St）d[s]t=[vt+St（σ+λ（Yt）b（t））vss+Stξ（t）vs]dt+St（σ+λ（Yt）b（t））vs（t，St）dWt。比较漂移项和扩散项，我们需要vt+1/2St（σ+λ（Yt）b（t））vss+vsStξ（t）=Stλ（Yt）b（t）+ΘtStξ（t），（8.7）（σ+λ（Yt）b（t））Stvs（t，St）=ΘtSt（σ+λ（Yt）b（t））。（8.8）现在（8.8）满足了Θt=vs（t，St），对于Θ的选择，（8.7）减少到VT（t，St）+St（σ+λ（Yt）b（t））vss（t，St）-Stλ（Yt）b（t）=0。（8.9）为了得到b的形式，我们使用It^o的公式a（t）dt+b（t）dWt=dΘt=dvs（t，St）==vstdt+vssdSt+1/2vsssd[s]，并比较差异系数，我们得到b（t）=vssSt（σ+λ（Yt）b（t）），即b（t）=σstvsss（t，St）1- λ（Yt）Stvss（t，St）。（8.10）类似地，我们得到a（t）=vst+vssStξ（t）+vsssSt（σ+λ（Yt）b（t））。利用（8.2）中ξ的定义，我们得到（λ和λ在Yt处计算）a（t）=vst+vssSt[u- λh（Yt）+0.5（λ+λ）b（t）+λσb（t）]+1/2vsssSt（σ+λb（t））1- λStvss。注意σ+λ（Yt）b（t）=σ/（1- λ（Yt）Stvss（t，St））。因此，（8.9）得出PDEvt（t，s）+σsvss（t，s）1- λ（y）svss（t，s）=0。（8.11）注意，该定价pde在结构上类似于[LY05，FP11，BLZ17λysvss（8.11）svssγ：R+→ R） 为了有一个良好的姿势pde，需要施加。根据【BLZ17】中的分析，结果表明（8.11）描述了适当伽马约束下的超边际价格。实际上，让我们写出（8.1）asdΘt=σa，bΘ（St）dSt+ua，bΘ（St）dt，其中Stσa，bΘ（St）=btσ+λ（Yt）bt，ua，bΘ（St）=at- ξtStσa，bΘ（St）。与[BLZ17]一样，我们将允许的交易策略Θ=（a，b）限制为Lipschitz连续且有界的交易策略a，b，对于这些策略，我们使用Lipschitz连续且有界的漂移和扩散过程进行It^o扩散，使得Stσa，bΘ（St）从上到下由一些γ（St）限定。在γ和λ（cf。

下面的备注8.1），则【BLZ17】中的参数将延续到我们的设置中，并给出超级对冲价格vγ（t，y，s）=inf{p | 可容许的Θ使得（8.5）保持}满足Vγ（t，y，s）=vyγ（t，s），其中vyγ（t，s）是定价pdeFy[Θ]（t，s）的唯一粘度解：=min-^1t（t，s）-σsИss（t，s）1- λ（y）sИss（t，s），γ（s）- s^1ss= [0，T）×R+，（8.12）^g^g支配g，这是方程γ的粘度上解-s^1ss≥ 0.我们在本节结束时强调了覆盖期权的超边际价格的一些特点，并指出了与非覆盖期权的不同之处。备注8.1。[BLZ17]中的参数可适用于满足有界连续γ的当前设置∈R，s∈R+σsγ（s）1- λ（y）γ（s）∈ R+，和连续有界支付。主要原因是每年∈ 兰兹∈ R+，MAPM∈(-∞, γ（s）]7→σsM1-λ（y）Mis非递减且凸，如【BLZ17，备注3.1】中所述，确保【BLZ17，第3.1节】中的平滑技术也可以应用于此处。备注8.2。h（8.12），这与第5.1节中的结果不同，其中弹性函数以非平凡的方式进入定价方程。然而，覆盖期权的衍生超边缘价格将取决于初始影响水平y到λ。λλ ≥∧vλγ≥ v∧γvλγ≥ vBSvBSgvBS-TVB-/σsssvBS，T×R+vBS（T，·）=g（·），见【BLZ17，备注2.9】。9证明xEXPλxλ>Ss，y，θse-λθ≡ 给定交易前的价格，确定大宗交易的价格变化。我们考虑-K∞K>由于偏微分方程中的奇异性，需要的偏微分方程，用于精确定义最优策略形式的表达式（5.8）。首先，我们在第9.1节中验证，如果定价pde（pdeδ）允许有效光滑的经典解，那么可以构建反馈形式的复制策略。

对于第9.2节中证明亚解性质的矛盾论点，也需要这样的构造，其中，使用平滑测试函数，可以构造局部策略，粗略地说，其行为类似于复制策略。第9.2节和第9.3节收集了粘度特性证明，我们证明了包含唯一性超边缘问题的比较结果。9.1指数影响函数的验证参数假设w∈ C1,2,1（[0，T]×R+×R）对于每个（T，s，y）∈ [0，T]×R+×R1。θ[w]（t，s，y）∈ K、 回顾（5.8）和（2）中的定义。当t<t和3时，Lθ[w]（t，s，y）w（t，s，y）=0。w（T，s，y）=H（s，y）。进一步假设这是非常规则的（见后面的备注），因此存在一个可接受的策略Θ∈ Γ的形式为Θt=1/λlog（λwS（t，S（St，Θt），Yt- Θt）+1）对于t∈ [0，T），ΘT=0，即。ΘT=ΘT-.（9.1）/λlogλwS，s，yT∈ 带β0的Kportfolio（β，Θ）-= w（0，s，y）。

然后，如备注5.8所示，我们得到Vliqt（Θ）=H（ST，YΘT），ΘT=0。HVliqTTg、gHβ、g、gw（0，s，y），这意味着其价格正好是w（0，s，y）。备注9.1。（9.1）w∈ 注释5.8中的C1,3,1，T×R+×Ras，得到T<TdΘT=λλwS+1d（λwS+1）-2（λwS+1）d[λwS+1]t= a（t，St，YΘt，Θt）dt+b（t，St，YΘt）dWt，其中对于St：=S（St，Θt），YΘt=YΘt- Θtwe seta（t，St，YΘt，Θt）：=λwS+1wtS+wSSSt（ut- λh（YΘt））- wSYh（YΘt）++wSSSσSt-λσStwSS2（λwS+1）,b（t，St，YΘt）：=σStwSSλwS+1；wt、SSt、t、Yt-ttt公司∈[0，T）dSt=St[（uT- λh（YΘt+YΘt））dt+σdWt]，dΘt=a（t，St，YΘt，Θt）dt+b（t，St，YΘt）dWt，dYΘt=-h（YΘt+Θt）dt（9.2）表示t∈ [0，T]，初始条件S=S，YΘ=Y，且Θ=1/λlog（λwS（0，S，Y）+1）。9.2指数冲击函数w的粘度溶液性质现在，我们证明了第5.2节结果的粘度性质。定理9.2。w*（5.1）（PDEδ）[0，T）×R+×R，边界条件（BCδ）在{T}×R+×R.证明。T，s，y∈, T×R+×RД∈ C∞b、 T×R+×R函数，使（严格）min[0，T]×R+×R（w*- ^1）=（w*- ^1）（t，s，y）=0。案例1:HK~nt，s，y<HK存在一个开放的邻域OOF（t，s，y），其封闭性包含在[0，t）×R+×R，HK~nt，s，y<-εOε>邻域O，存在常数kε>0，使得S |ДS（t，S，y）+1/λ- eλθ/λ|≥ kε表示所有θ∈ K、 （t、s、y）∈ O、 （9.3）Let（tn，sn，yn）n Obe与W（tn、sn、yn）收敛到（t、s、y）的序列→ w*（t、s、y）w*wvn:wtn，sn，yn/nSincevn>w（tn，sn，yn），定理4.1暗示θn的存在∈ Kand策略γn∈Γ使得对于停止时间τn≥ tn（稍后适当选择）我们有P-a.s.Vliq、tn、zn、γnt∧τn≥ w（·，S（Stn，zn，γn，Θtn，zn，γn），Ytn，zn，γn- Θtn，zn，γn）t∧τn，t∈ 【tn，T】，（9.4），其中zn=（sneλθn，yn+θn，θn，vn）。简而言之，在续集中，我们用上标代替（tn，zn，γn），Sn：=S（Stn，zn，γn，Θtn，zn，γn），Yn：=Ytn，zn，γn- Θtn，zn，γn.τninf{t≥ tnt、Snt、Ynt6∈ O} 开放区域的边界。尤其是τn<T。