部分信息控制的反向SDE

效用函数U（x）是连续可微的，对于所有x，U′（x）>0且U′（x）<0≥ 0，并满足Inada条件，limx∞U′（x）=0且limx0U′（x）=∞.本文中使用的效用函数为常数相对风险规避（CRRA），或表示幂效用，U（x）=1- γx1-γ、 对于γ>0和γ6=1。投资者寻求最大化贴现财富的预期终端效用，其控制权从（9）中给出的可接受策略类别中选择。这导致投资者找到她的最优值函数V（t，x），该函数形式上写为a，V（t，x）=supπ中的上确界超策略∈AEhU（Xπ（T））FSt公司∨ {Xπ（t）=X}如果所有X>0。通过考虑该问题的对偶形式，可以避免上确界引入的非线性。让V表示双值函数的解（见[Lak98，Rog02，KS99]），V（t，p）=infQ<<PE“U体育课-r（T-t） dQdPFST公司FSt#=E“U体育课-r（T-t） Z（t）Z（t）FSt#，（10）对于所有p>0，其中Q<< P表示whiche下的等价概率测度族-rtS（t）是一个FSt（局部）鞅。很明显，市场的完整性和等式（8）给出的唯一EMM是（10）中下降的原因。

双值函数V也是一个非马尔可夫过程，但从第3节可以看出，它可以用BSDE表示，因此可以获得部分信息控制问题解决方案的可处理表示。对于布朗运动驱动的连续过程，V和V之间的一般关系在【Rog02】中讨论，即（t，p）=supx>0（V（t，x）- xp）对于所有p>0。一般V（t，x）≤ infp（V（t，p）+xp），但如果条件2.2成立，且如果V（t，x）<∞对于某些x>0，然后是V和V是共轭（即，它们是彼此的芬切尔-勒让德变换），V（t，x）=infp>0（V（t，p）+xp）对于所有x>0。对于电力公司，一阶条件产生变压器（p） =γ1- γp-1.-γγ，并且（10）中的表达可以被重写为asV（t，p）=U体育课-r（T-t）ξ（t）=γ1- γ体育课-r（T-t）-1.-γγξ（t），（11），其中ξ（t）=Z（t）1-γγEhZ（T）-1.-γγFSti。对于p>0，很明显V如果ξ（t）|<∞ 几乎可以肯定。为确保ξ（t）的完整性，模型参数和风险规避必须允许以下条件：条件2。（1）、（2）中的模型参数和电力公司的风险规避γ如下所示2|γ -1||γ - 2 |γZTk^h（t）kdt< ∞ ,式中，>0是（3）中给出的边界常数，该边界的推导遵循命题A.3。此界限确保| V（t，p）|<∞ 对于所有p∈ (0, ∞).条件2.3适用的h函数集不为空，如以下备注所示。备注1（非线性h满足条件2.3）。通过多次应用Jensen不等式，E exp2|γ -1||γ - 2 |γZTk^h（t）kdt≤TZTE经验2T |γ- 1||γ - 2 |γkh（Y（t））kdt。Inada条件和凹度是完整市场中共轭的主要要求。

相比之下，不完全市场中的共轭性需要渐近弹性的附加条件limx→∞xU′（x）/U（x）<1如[KS99]所示。因此，条件2.3适用于任何支持∈[0，T]E经验2T |γ- 1||γ - 2 |γkh（Y（t））kdt<∞ .当然，这包括有界非线性函数。一维中的一个明确例子是Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程，dY（t）=κ（(R)Y- Y（t））dt+apY（t）dB（t），其中κ>0，(R)Y>0，0<a≤ 2’Yκ和h（Y）=√y、 条件2.3的有效条件为2t |γ-1||γ-2 |γ<2κa。请注意，此示例没有infy的条件∈Rqaa（y） >0，但这并不构成问题，因为y（t）的SDE对于≤ 2’Yκ。第5节将进一步探讨这个例子。附录A中命题A.3的证明中说明了条件2.3的必要性，从中可以看出E支持∈[0，T]|ξ（T）|≤ E支持∈[0，T]Z（T）Z（T）-21-γγ≤ E经验值2|γ -1||γ - 2|γZT（k^h（t）k+krk）dt< ∞ , （12） 在第3节中，重要的是要有E支持∈[0，T]|ξ（T）|<∞ 作为ξ是BSDE解的存在唯一性理论的一部分。此外，将G（t）定义为beG（t）=ξ（t）γ，由于条件2.3，等式（12）中的一致性意味着勒让德变换的共轭性，V（t，x）=infp>0（V（t，p）+xp）=infp>0γ1 - γ体育课-r（T-t）-1.-γγξ（t）+xp= Uxer（T-t）G（t）。（13） 方程（13）允许通过求解对偶问题获得最优解，最优V通过芬切尔-勒让德变换V的直接（数值）计算获得. 无论选择何种计算函数，非线性滤波都会导致V和V由于条件中的维数有限，需要专门设计的反向递归算法。

更准确地说，对有限维对象和数值方法的条件需要用有限维近似来代替。有时，有方法以有限维形式（例如，使用卡尔曼滤波器[Bre06]或有限维马尔可夫链[BR05]）编写过滤分布，但一般的非线性过滤没有这种形式。在开始下一节之前，必须明确投资者n irvana的概念。[KO96]对涅磐的定义如下：定义2.1（投资者涅磐）。对于无界U，投资者在（t，x）ifV（t，x）=∞. 对于有界U，当V（t，x）=maxxU（x）时，涅盘就实现了。涅盘可以在各种参数状态下出现（见[KO96]），特别是电力公司风险厌恶程度低的投资者可以在线性问题中实现涅盘（见第4节）。在比较部分知情投资者和完全知情投资者的价值函数时，第3.4节将使用定义2.1。在考虑以下情况时，也将使用定义2.1：（t，p）=∞因为可能不清楚是否存在涅盘或二元间隙（即严格的不等式，使得V（t，x）<在fp中>0（V（t，p）+xp）=∞ f或某些x>0）。提案2.1。在部分信息情况下，γ不会出现投资者涅盘∈ （0，1）如果条件2.3成立，并且在给定（5）的γ>1时不会发生。证据对于γ>1，从方程式（11）和（13）可以看出，uxer（T-t）≤ V（t，x）≤ infp（V（t，p）+xp）=Uxer（T-t）ξ（t）γ≤ 0，对于所有x∈ (0, ∞), 表示0≤ ξ（t）≤ 1、从方程式（5）可以得出P输入∈[0，T]log（Z（T）/Z（T））=-∞= 0，因此P（Z（T）/Z（T））-1.-γγ>0 | FSt> 0几乎可以肯定。这意味着ξ（t）=E“Z（T）Z（T）-1.-γγFSt#>0几乎可以肯定。对于γ∈ （0，1）在不违反条件2.3的情况下，可以得出等式（12）成立，因此ξ（t）<∞ 几乎可以肯定∈ [0，T]。

高度，V（t，x）≤ infp（V（t，p）+xp）<∞ 对于allx∈ (0, ∞).备注2（其他实用功能）。本文只考虑功率效用函数的问题。然而，对于指数效用，应该有类似于γ>1的电力效用的结果，尽管在使INDA条件和财富过程适应整个实线方面可能存在一些技术困难。Log utility是一个简单的情况，不需要BSDE，因为最佳解决方案是s，意味着myopi c策略（参见[GKSW14，Lak98]）。3使用反向随机微分方程（BSDE）的解部分信息对偶函数V（t，p）可通过求解BSDE得到。SDES的解决方案是在以下函数空间中构造的，Pd=一组d维FSt适应的可测量过程Ohm ×[0，T]oHT（Pd）=y∈ Pds。t、 EZTky（t）kdt<∞ST（Pd）=（y∈ Pd公司∩ C（[0，T]；Rd）s.T.E支持∈[0，T]ky（T）k<∞)S∞T（Pd）=（y∈ Pd公司∩ C（[0，T]；Rd）s.T.支持∈[0，T]ky（T）k<∞ a、 s.）。（14） 本节推导了V的BSDE（t，p）由（11）给出，并将给出存在唯一性的条件。3.1部分信息值函数定义鞅（t）=EhZ（t）-1.-γγ0的FSTIF≤ t型≤ 所以ξ（T）=Z（T）1-γγM（t）。条件2.3确保M（t）是平方可积的，EM（t）<EM（t）=EZ（t）-21-γγ< ∞, 并允许M（t）asM（t）=EhZ（t）的唯一表示-1.-γγi+dXi=1ZtM（u）θi（u）dζi（u），0≤ t型≤ T，（15）其中θ（T）是唯一的FSt适应过程，ERTM（u）kθ（u）kdu<∞ （见【BDL10】）。实际上，θ本身是平方可积的，θ∈ HT（Pd）（见附录A中的提案A.1）。

（15）中的表示不应与标准鞅表示定理混淆，因为由ζ生成的过滤可能小于FSt。使用（15）的表示，双值函数V（t，p）由ansatz（11）和对（ξ，α）给出∈ 求解BSDE的ST（P）×HT（Pd）。定理3.1。假设条件2.3。V表示中的过程ξ（t）in（11）由唯一对（ξ，α）给出∈ 求解BSDE的ST（P）×HT（Pd），-dξ（t）=β（t，α（t），ξ（t））dt-dXi=1αi（t）dζi（t），（16）ξ（t）=1，其中β（t，α（t），ξ（t））=1- γγdXi=1σ-1（^h（t）- r）iαi（t）+1- γγσ-1（^h（t）- r）ξ（t）=1- γσ-1^h（t）- rγ+α（t）ξ（t）ξ（t）-1.- γ2 |ξ（t）| kα（t）k。在开始定理3.1的证明之前，一些注释是有序的。备注3（16）解的存在性）。应该注意，（16）的解的存在是由于条件2.3，因为它考虑到（15）中的鞅表示，根据θ和^h，ξ（t）=M（0）exp构造了一个解-Ztβ（u，α（u），ξ（u））ξ（u）+α（u）ξ（u）!du+Ztα（u）ξ（u）dζ（u）！（17） α（t）ξ（t）=θ（t）-1.- γγσ-1.^h（t）- r, （18） 其中可以检查ξ（t）=Z（t）1-γγM（t）和α（t）是d的差值的差值项Z（t）1-γγM（t）, 因此，从条件2.3可以得出（ξ，α）∈ ST（P）×HT（Pd）。然而，还应该指出，θ不是很容易从鞅表示定理中获得的，而是通过求解BSDE来获得的。另一方面，BSDE在极少数情况下具有显式解，因此应使用数值方法来查找（ξ，α）和θ。备注4（16）解的唯一性）。公式（17）和（18）表明，当条件2.3成立时，方程（16）存在解。如果函数h是有界的，则系数β是一致Lipschitz，唯一性来自现有理论的应用（参见[Car15，EKPQ97，Pha09]）。

h无界的证明使用截断参数来证明解是一系列有界问题的唯一极限（见命题a.2和a.3）。备注5。γ接近零时可能违反条件2.3，在这种情况下，公式（17）和（18）不能提供解决方案，可能存在投资者涅盘。从（17）可以看出，就α（t）而言，投资者涅盘m eansP（logξ（t）=∞)= P-Ztβ（u，α（u），ξ（u））ξ（u）+α（u）ξ（u）!du+Ztα（u）ξ（u）dζ（u）=∞!> 0，对于某些t∈ [0，T），这当然不是任何θ的情况∈ HT（Pd）。定理3.1的证明。（15）中的鞅表示用于写出正向SDEdξ（t）=M（t）dZ（t）1-γγ+ Z（t）1-γγdM（t）+dM（t）·dZ（t）1-γγ= Z（t）1-γγM（t）dXi=1-1.- γγσ-1（^h（t）- r）i+θi（t）dζi（t）-1.- γγZ（t）1-γγM（t）dXi=1σ-1（^h（t）- r）iθi（t）dt+（1- γ)(1 - 2γ）γZ（t）1-γγM（t）σ-1（^h（t）- r）dt=-ξ（t）dXi=11.- γγσ-1（^h（t）- r）我- θi（t）|{z}=-αi（t）dζi（t）-1.- γγξ（t）dXi=1σ-1（^h（t）- r）iθi（t）-1.- 2γγσ-1（^h（t）- r）!|{z}=β（t，α（t），ξ（t））dt，这是（16），相应地给出了α（t）和β（t，α，ξ）。如果h是无界的，则方程（16）具有非Lipschitz系数，因此[Car15，EKPQ97，Pha09]中给出的BSDE解的一般理论不包含解的唯一性。相反，唯一性是使用一个迭代参数和（11）中给出的ξ的概率表示来表示的。对于某些正K<∞, 定义截断滤波器，^hK（t）=K^h（t）K^h（t）K，如果K^h（t）K≥ K^h（t），否则，考虑有界BSDE-dξK（t）=βK（t，αK（t），ξK（t））dt-dXi=1αiK（t）dζi（t），（19）ξK（t）=1，其中βKis是来自（16）的相同漂移函数，但用^hK（t）替换无界^h（t）。

该漂移参数与均匀线性增长边界|βK（t，αK（t），ξK（t））呈线性关系|≤|1.- γ|γσ-1（^hK（t）- r）kαk（t）k+| 1- γ|2γσ-1（^hK（t）- r）|ξK（t）|≤ CK（kαk（t）k+|ξk（t）|），这也是一个统一的Lipschitz常数。因此，方程（19）符合[Car15，EKPQ97，Pha09]的框架，并具有在空间ST（P）×HT（Pd）中唯一的解（ξK，αK）。现在确定停止时间τK=infnt≥ 0:k^h（t）k≥ Ko，注意τK∞ 几乎可以肯定是K∞ 因为^h（t）是可积的（由于（5）中的Novikov条件）。然后使用（|ξ（t）- ξK（t）|）1[τK≥T]=命题A.2中的0，并使用boundsupK>0E supt∈[0，T]|ξK（T）|<∞ 从命题A.3可以看出，ξkconverge在平均值上，E supt∈[0，T]|ξ（T）- ξK（t）|=E支持∈[0，T]|ξ（T）- ξK（t）| 1[τK<t]≤ E支持∈[0，T]（|ξ（T）|+|ξK（T）|）1[τK<T]≤E支持∈[0，T]（|ξ（T）|+|ξK（T）|）！E1[τK<T]！1/2≤E支持∈[0，T]|ξ（T）|+supK>0E supt∈[0，T]|ξK（T）|！E1[τK<T]！1/2→ 0作为K→ ∞ .这表明ξK（t）收敛到（16）的解。此外，该ξ是唯一的，因为如果有另一个解（|ξ，|α）∈ ST（P）×HT（Pd）求解（16），然后E supt∈[0，T]|ξ（T）- ξ（t）|≤E支持∈[0，T]|ξ（T）-ξK（t）|+E支持∈[0，T]|ξ（T）-ξK（t）|→ 0作为K→ ∞, 这表明ξ=ξ几乎是肯定的。最后，α的唯一性∈ HT（Pd）是矛盾的表现。回想公式α（t）=ξ（t）θ（t）-1.-γγσ-1（^h（t）- r）从（18）中，假设（16）有另一个带|α的解∈HT（Pd），使得|α6=α。ξ的唯一性已经显示出来，所以它必须是|ξ（t）=M（0）exp-Ztβ（u，|α（u），|ξ（u））|ξ（u）+Иα（u）~ξ（u）!du+Zt|Μ（u）ξ（u）dζ（u）！=ξ（t），几乎可以肯定∈ [0，T]。

此外，还有过程M（t），Z（t）-1.-γγИξ（t）=Z（t）-1.-γγξ（t）=M（t）。然后从它的引理，dM（t）=M（t）Иα（t）~ξ（t）+1- γγσ-1（^h（t）- r）dζ（t）=M（t）θ（t）dζ（t）=dM（t），但θ是空间HT（Pd）中M（t）的唯一鞅表示（关于任何θ在HT（Pd）中的证明，请参见命题A.1），因此|α（t）=ξ（t）θ（t）-1.- γγσ-1（^h（t）- r）= ξ（t）θ（t）-1.- γγσ-1（^h（t）- r）= α（t），几乎可以肯定所有t∈ [0，T]。3.2部分信息最优策略letπ*表示最优策略。从方程（13）V（t，x）=EhUXπ*（T）FSt公司∨nXπ*（t） =xoi=Uxer（T-t）G（t）和过程V（t，Xπ*（t） ）是真正的鞅。对于任何策略π∈ A过程V（t，Xπ（t））是一个超鞅，f可以计算SDE，并选择最优策略，使SDE具有零漂移。找到最佳π的方法*产生与[EKR00]和[HIM05]中相同的最优值，并且是用于证明以下结果的方法，即定理3.2。设∑=σ. 最优策略为π*（t） =∑-1^h（t）- rγ+（σ-1)α（t）ξ（t），（20），其中∑-1^h（t）-rγ是所谓的近视策略和（σ-1)由于漂移的随机性，α（t）/ξ（t）是一个动态套期保值成分（见[DRM03，Mer71]）。证据由于power utility的特性，请注意（1- γ） V（t，x）≥ 0表示所有x≥ 0且所有γ>0，γ6=1。对于任意π∈ A V（t，Xπ（t））的SDE isdV（t，Xπ（t））=dU（Xπ（t））er（1-γ） （T-t） ξ（t）γ= V（t，Xπ（t））（1- γ） π（t）（^h（t）- r）-γ(1 - γ） kσπ（t）k+γ（1- γ） π（t）σα（t）ξ（t）-γβ（t，α（t），ξ（t））ξ（t）-γ(γ -1)α（t）ξ（t）!!dt+V（t，Xπ（t））(1 - γ） π（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）≤ (1 - γ） γV（t，Xπ（t））supπ（t）π（t）^h（t）- rγ-kσπ（t）k+π（t）σα（t）ξ（t）-1.- γβ（t，α（t），ξ（t））ξ（t）+α（t）ξ（t）!!dt+V（t，Xπ（t））(1 - γ） π（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）=V（t，Xπ（t））(1 - γ） π（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）。

（21）通过使二次型π最大化得到最大化的dt项*（t） =arg maxπ（t）-kσπ（t）k+2σ-1^h（t）- rγ+α（t）ξ（t）！σπ（t）- 2β（t，α（t），ξ（t））（1- γ） ξ（t）-α（t）ξ（t）!, （22）其中一阶条件产生π*（t） 如（20）所示。这个最大化器是根据α（t）、filter^h（t）和模型参数编写的，当在π（t）=π时，很容易检查（22）的右侧是否等于零*（t） 其中β（t，α（t），ξ（t））由定理3.1给出。因此，V（t，Xπ*（t） ）是一个超鞅，如果可以证明它是一个真鞅，那么可以证明π*是一种最佳策略（见[BMZ11]）。插入π的表达式（20）*（t） 在（21）中，然后使用θ（t）中α（t）的表达式（18），这里有SDEdV（t，Xπ*（t） ）=V（t，Xπ*（t） （）(1 - γ)π*（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）=V（t，Xπ*（t） ）θ（t）dζ（t），其中θ（t）是（15）中的鞅表示。求解此SDE yieldsV（t，Xπ*（t） ）=V（0，Xπ*（0）经验-Ztkθ（u）kdu+Ztθ（u）dζ（u）= V（0，Xπ*（0））M（t）M（0），这是真鞅，因为M（t）是真鞅。因此，超高压（T，Xπ*（T））FSt公司∨ {Xπ*（t） =x}i=V（t，xπ*（t） ）+EZTtV（u，Xπ*（u） ）θ（u）dζ（u）FSt公司∨ {Xπ*（t） =x}|{z}=0=V（t，Xπ*（t） ）。这验证了π*是一种最佳策略。3.3“完整信息”下的完整信息价值功能投资是指FTI中的信息可供市场参与者使用；没有隐藏状态，因为（W（u），B（u））u≤t型∈ Ft.在充分信息的情况下，财富过程isdXπ（t）Xπ（t）=rdt+dXi=1πi（t）（hi（Y（t））- r） dt+dXi=1dXj=1πi（t）σijwdWj（t）+dXi=1qXj=1πi（t）σijydBj（t），其中π从全信息策略集合中选择=Ft适应π：[0，T]×Ohm → Rds。t、 ZT公司Xπ（t）kπ（t）kdt<∞ a、 s。. （23）那么最优投资是一个马尔可夫控制问题，Vfull（t，x，y）=supπ∈阿富勒胡（X（T））X（t）=X，Y（t）=yi。（24）提案3.1。