部分信息控制的反向SDE

然后从（47）可以看出，部分知情的投资者永远不会实现γ的涅盘∈ （0，1）因为2κ+σ+σaρσ<0，但从（45）可以看出，完全知情的投资者将实现涅盘，因为γ趋于零，因为2κρ+aσ>0。因此，如果给投资者足够的时间，信息溢价是有限的。示例4.2（未定义的信息溢价）。可以选择参数，以确定第3.4节中的信息溢价（即等于差异∞ - ∞). 认为-√< ρ<0且a=-κσρ. 则∑=aσp1- ρ、 当γ趋于零时，部分不完全投资者将达到RVANA，因为（47）被违反，2κ+σaρσ=2κ+a（p1- ρ+ ρ)σ> 0 .完全知情的投资者也将实现n irvana，因为（45）被违反2κρ+aσ>0。因此，如果两个投资者都有足够长的投资期，则信息溢价是不确定的。示例4.3（路径模拟）。对于γ>1，可以显式求解A（t）的Riccati方程，从而可以在部分和全部信息下轻松模拟BSDE解和G函数。对于γ>1，则A+>0>A-, 所以A-是长期平衡A（t），方程（41）和d（42）有显式解，A（t）=A-1.- e-D（T-t） 1个-A.-A+e-D（T-t） H（t）=aA-（T- t）-加利福尼亚州-logA公司+- A.-e-D（T-t） A+- A.-!!,式中，A±由（43）给出，D=2rκ -(1-γ） ρaγσ-(1-γ） aγσ1 +(1-γ)ργ, 其中c与（44）中使用的相同。当γ>1时，D>0，因此溶液对于大T是稳定的。图1显示了线性模型的模拟，参数如表1所示。

模拟提供了信息，因为它显示了G（t）和Gfull的路径是如何比较的；特别是它显示了G（t）<Gfull（t，Y（t））的可能性，尽管命题3.4显示了G（t）≥γ>1时为E[Gfull（t，Y（t））| FSt]。参数值κaρσTγ8。3 -.8.15 1.2表1：模拟参数如图1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1资产价格0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050.050.10.150.2裂谷过程[Y | F]Yt0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.9750.980.9850.990.995G处理部分完整0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1×10-3-2参考图1：线性使用表1的参数建模，u=r=0。左上角：模拟资产损益表（t）。右上：模拟Y（t）和过滤器。左下：B分解图G（t）和G完整（t，Y（t））。右下：差异G（t）- Gfull（t，Y（t）），其中有几次t∈ [0，T]当G（T）<Gfull（T，Y（T）），即使Pro位置3.4显示G（T）≥E[Gfull（t，Y（t））| FSt]对于γ>1.5，非线性示例可调用备注1中的示例。假设Y（t）∈ Ris是一个CIR过程，只有onerisky资产，因此S（t）∈ R、 SDEs为ds（t）S（t）=cpY（t）dt+σp1级- ρdW（t）+ρdB（t）（48）dY（t）=κ（(R)Y- Y（t））dt+apY（t）dB（t），（49），0<a≤ 2κ′Y，ρ∈ (-1，1），c∈ R、 Y>0表示Y（t）的长期水平。财富过程isdXπ（t）Xπ（t）=rdt+π（t）dS（t）S（t）- rdt公司=cπ（t）pY（t）+r（1- π（t））dt+π（t）σp1级- ρdW（t）+ρdB（t）.在本例中，取γ>1以避免涅盘情况。为简单起见，取r=0和ρ=0，这样模型就是一个函数。5.1完整信息电力公司的值函数有明确的解决方案。

与第4节线性示例中的完全知情的投资者类似，在[Zar01]中，对于ansatzVfull（t，x，y）=U（x）Gfull（t，y），G求解PDE（在本例中，ρ=0）Gfullt+ayGfully+κ（\'y- y） G完全+c（1- γ） 2γσyGfull=0Gfullt=t=1。使用ansatz，Gfull（t，y）=expA（t）y+H（t）,该解使用满足方程A′（t）+aA（t）的函数A和H- κA（t）+c（1- γ） 2γσ=0（50）H′（t）+κ′Y A（t）=0。（51）与例4.3类似，方程（50）和（51）具有显式解，A（t）=A-1.- e-D（T-t） 1个-A.-A+e-D（T-t） H（t）=κY A-（T- t）-aA公司-logA公司+- A.-e-D（T-t） A+- A.-!!,式中±=κ±qκ-c（1-γ） γσaaD=sκ-c（1- γ） γσa.5.2部分信息从方程（8）直接模拟Z（t）f，可以对BSDE（16）的解的第一个分量进行数值近似。即，用蒙特卡罗期望从对偶值f函数（11）得到ξ的近似值，其中要近似的期望值是使用命题a.3中的I t^o引理简化的，ξ（t）=E“Z（T）Z（T）-1.-γγFSt#=E经验值(1 - γ） c2γσZTtbY（u）duFSt公司≈NNX公司l=1exp(1 - γ） c2γσZTtbY(l,t） （u）du,对于样本量N，其中l 有一个独立的样本（由(l,t） （u））u∈[t，t]以fst为条件。BY样品(l,t） （t）由滤波器的前向顺序蒙特卡罗（SMC）和c计算得出。为了计算滤波器，可以为S的每条轨迹计算一个粒子滤波器，或者可以用有限状态马尔可夫链近似Y，然后在一小段时间内重复应用贝叶斯规则。这里采用后一种方法是因为它对该模型既快速又准确（即，因为Y没有重尾）。

注意，ξ（t）的模拟就像一个分支过程：对于两次t，t+t型∈ [0，T]T时初始化的粒子不能重复用于T+T时初始化粒子的模拟t（有关moreon分支过程与BSDE的关系，请参见[HLTT14]）。最优值函数为v（t，x）=U（x）ξ（t）γ，因此通过比较G（t）=ξ（t）γ与Gfull（t，Y（t））可以看出信息溢价。以与R标记1中相同的方式使用Jensen\'sinequality，如果CT2σ<2κa，则满足条件2.1（Novikov），在这种情况下，Z（t）是真正的FStmartingale。图2显示了使用表2中的参数获得的全部和部分实现信息的比较。本例中值得注意的方面是：o与图1中的过滤器相比，图2中的过滤器在跟踪隐藏漂移（t）方面做得并不好。原因是线性示例与-.8，这增加了信噪比（SNR）。相反，这个非线性例子的相关性为零，因此信噪比要低得多与图1所示的系数G相比，图2中的部分信息G更平滑。这是由于在文件中缺乏跟踪（见前面的要点）图2中的系数G比图1中的系数G具有更陡的斜率。这是因为过滤器（t）在时间上几乎是常数，bY（t）≈\'\'Y=。05，表示正平均portfolioreturn，和G（t）≈ 经验值(1-γ） \'Yt2γσ. 相比之下，线性示例具有参数chosenso thatbY（t）≈ 0表示净零平均回报。

换句话说，在这个非线性例子中，参数使得夏普比更高由于没有提出数值方法，因此尚未计算部分信息的最佳π。第四点重复了备注3中的一条评论，其中指出，鞅表示中的θ难以计算，需要特殊的数值方法；α的数值方法也可以达到同样的效果。总的来说，这些要点为数字BSDE领域的未来探索指明了可能的主题。最后，应该指出的是，在这个非线性示例中，信息溢价很低，这可以通过观察图2中的G和Gfullare来看出。这是因为“Y>r=0，夏普比率为^Yt/σ≈是/σ=。对于σ=，等于1.92。15和σ=。因此，部分和完全知情的投资者都将其财富的很大一部分投入到风险资产中。相比之下，如果ρ=0，则示例4.3的线性情况将有更明显的溢价；这种情况是因为低信噪比，在这种情况下，滤波器保持接近零（即^Yt≈ 所有t均为0），导致夏普比率非常接近于零，因此部分知情的投资者将很少投资于风险资产，并体验到一种改进的投资组合回报。参数值cκY a Tγ。25 8 .05 .4 1.2表2：方程（48）和（49）中非线性示例的参数值。测试σ的不同值，即低值。026和高值。15

请注意，如果σ的值太低，则条件5将失败，Z（t）有可能使E[Z（t）/Z（t）| FSt]<1.6摘要与结论部分信息下的过滤投资是一个非马尔可夫控制问题，但也有一些隐含性，因为模型可以简化为一个完整的市场。对于具有幂效用函数的投资者，双值函数是BSDE的解决方案。最优策略也可以用BSDE的解来表示，并且可以分为两个部分：一个是近视部分，其中Ytis的点估计插入到标准Merton问题中，另一个是由于随机漂移而产生的套期保值项。与完整信息相比，信息溢价被定义为预期效用损失（从部分知情投资者的角度来看），并根据BSDE的系数进行量化。这一问题未来工作的一个可能方向是发展求解部分信息BSDE的数值方法；第5节的拟议蒙特卡罗近似值为0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.0350.040.0450.0550.060.0650.070.0750.08σ=0.026cE[Y1/2 | F]cY1/2t0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.0350.040.0450.050.0650.070.0750.0750漂移过程08σ=0.15cE[Y1/2 | F]cY1/2t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.650.70.750.80.850.90.95G（t）函数的漂移过程σ=0.026G partialG fullt0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.9880.990.9920.9940.9960.998G（t）函数，σ=0.15G partialG full图2：σ=。026和σ=。左上：模拟低噪声Y（t）及其滤波器。右上：模拟的高no ise Y（t）及其滤波器。左下：样本量N=10的低噪声G（t）\'s。

右下：样本尺寸为10的高噪声G（t）\'s。朝着这个目标迈出的一小步。蒙特卡罗和粒子滤波将是有用的，但很可能滤波器所采用的状态数呈指数增长，因此需要进一步创新。A第3.1节建议A.1的证明。如果条件2.3成立，则θ∈ HT（Pd），其中θ是（15）中的鞅表示。证据随机积分是局部鞅，因此存在一个停止时间（τj）j=1,2,3，。。。使τj∞ 几乎可以肯定andRt∧τjθ（u）dζ（u）是真鞅。ThenEZT公司∧τjkθ（t）kdt=-2E类-ZT公司∧τjkθ（t）kdt+ZT∧τjθ（t）dζ（t）= -2E日志M（T∧ τj）。M（0）（因为dM（t）=M（t）θ（t）dζ（t）in（15）），=-2E日志EhZ（T）-1.-γγFST公司∧τji。M（0）≤ -2E日志Z（T）-1.-γγ+ 2 log M（0）（Jensen不等式）=2（1- γ） γE log Z（T）+2 log M（0）=-1.- γγEZTσ-1（^h（t）- r）dt+2对数M（0）<∞ .这意味着ERTkθ（u）kdu≤ lim infjERT公司∧τjkθ（u）kdu<∞.提案A.2。Let（ξ，α）∈ ST（P）×HT（Pd）是（16）的解，设（ξK，αK）∈ ST（P）×HT（Pd）是有界BSDE i n（19）（实际上ξK）在ST（P）×HT（Pd）中的唯一解∈S∞T（P）如[Kob00]所示。对于停止时间eτK=infnt>0 s.t K^h（t）K≥ Ko，所有ω的解都相等∈ Ohm 使τK≥ T即，（ξ（T）- ξK（t））1[τK>t]=0表示所有t∈ [0，T]和（α（T）- 对于所有t，αK（t））1[τK>t]=0∈ [0，T]。证据证据是矛盾的。设O={ω∈ Ohm s、 tτK≥ T}。对于某些ω，假设（ξ，α）6=（ξK，αK）∈ O、 （19）还有另一个解，（|ξK，|αK）=ω的（ξ，α）∈ ω的O（ξK，αK）/∈ O，（|ξK，|αK）6=（ξK，αK），但（19）的解是唯一的。因此存在矛盾。提案A.3。Let（ξK，αK）∈ S∞T（P）×HT（Pd）是（19）中BSDE的唯一解决方案。如果条件2.3保持不变，则supK>0E supt∈[0，T]|ξK（T）|<∞.证据回想定理3.1证明中的符号^hK（t）和ZK（t）。

应用I^ot^os引理ZK（t）-21-γγ产生远期SDE，dZK（t）-21-γγ=(γ - 1)(γ - 2） γZK（t）-21-γγkσ-1（^hK（t）- r） kdt公司- 2γ - 1γZK（t）-21-γγ（^hK（t）- r） （σ-1)dζ（t）。这个SDE是一个真正的半鞅，因为^hk是有界的，所以使用常数的变化（即积分因子）并取期望得到一个上界EZK（T）-21-γγ=E exp(γ - 1)(γ - 2） γZTkσ-1（^hK（t）- r） kdt公司≤ E经验值2|γ -1||γ - 2 |γZTk^h（t）k+krkdt公司,式中，>0是（3）中限制σ的常数。现在注意，BSDE（19）的解有如下鞅界，ξK（t）=E“ZK（T）ZK（T）-1.-γγFSt#=E经验值-γ - 12γZTtkσ-1（^hK（u）- r） kdu公司FSt公司≤ E经验值-γ - 12γZTkσ-1（^hK（u）- r） kdu公司FSt公司= EhZK（T）-1.-γγFSti，其中最后一个量是连续鞅，具有连续性，因为它具有类似于等式（15）中的鞅型表示。因此，从Doob极大不等式可以看出∈[0，T]|ξK（T）|≤ E支持∈[0，T]EhZK（T）-1.-γγFSti公司≤ 4EZK（T）-21-γγ≤ 4E经验2|γ -1||γ - 2 |γZTk^h（u）k+krk杜邦< ∞ ,其中，第二个不等式来自Doob，其中完整性由条件2.3给出，因此K上的上确界是有限的。B完整信息的mma验证本附录包含第3.3节第3.3条的验证证明。对于任何容许π∈ a充分考虑U（Xπ（t）er（t）的停止SDE-t） ）χ（t），并设τkbe为带τk的停止时间递增序列∧ T→ 其随机积分为真鞅。

预期满意度Xπ（T∧τk）er（T-T∧τk）χ（T∧ τk）X（0）=X，Y（0）=yi=U施乐χ(0)+ (1 - γ） E“ZT∧τkUXπ（u）er（T-u）χ（u）π（u）h（Y（u））- r-γ∑π（u）+ π（u）σyψ（u）- F（Y（u），χ（u），ψ（u））！杜邦X（0）=X，Y（0）=Y#+E“ZT∧τkUXπ（u）er（T-u）χ（u）（1- γ） π（u）（σwdW（u）+σydB（t））+ψ（u）χ（u）dB（u）！X（0）=X，Y（0）=Y#=U施乐χ(0)+ (1 - γ） E“ZT∧τkUXπ（u）er（T-u）χ（u）π（u）h（Y（u））- r-γ∑π（u）+ π（u）σyψ（u）- F（Y（u），χ（u），ψ（u））！杜邦X（0）=X，Y（0）=Y#≤ U施乐χ（0），其中不等式通过从（31）插入F而变为等式，π（u）=π*（u，Y（u），χ（u），ψ（u））由方程（33）给出。因此，U施乐χ（0）=EhUXπ*（T∧τk）er（T-T∧τk）χ（T∧ τk）X（0）=X，Y（0）=yi≤ supπ∈阿富勒胡（Xπ（T））X（0）=X，Y（0）=yi=Vfull（0，X，Y）。验证是为了显示极限在另一个方向上的不平等。B、 1例0<γ<1对于0<γ<1，使用极限中的Fatou引理作为k→ ∞ 伊尔德塞胡（Xπ（T））X（0）=X，Y（0）=yi=Elim infkU公司Xπ（T∧ τk）er（T-T∧τk）χ（T∧ τk）X（0）=X，Y（0）=Y≤ fkEhU中的limXπ（T∧ τk）er（T-T∧τk）χ（T∧ τk）X（0）=X，Y（0）=yi≤ U施乐χ(0) .对于任何t，都可以重复上述计算∈ [0，T]和henceVfull（T，x，y）=supπ∈阿富勒胡（Xπ（T））X（t）=X，Y（t）=yi≤ Uxer（T-t）χ（t），完成γ的验证∈ (0, 1).B、 2情况γ>1在这种情况下，U（x）<0，因此Fatou引理不直接适用。设Xπ*（T）=inf0≤t型≤TXπ（t）和假设EU（Xπ*（T））>- ∞ .

然后0≤ EhU（Xπ（T））- U（Xπ*（T））X（0）=X，Y（0）=yi=Elim信息UXπ（T∧ τk）er（T-T∧τk）- U（Xπ*（T））χ（T∧ τk）X（0）=X，Y（0）=Y≤ fkEh中的limUXπ（T∧ τk）er（T-T∧τk）- U（Xπ*（T））χ（T∧τk）X（0）=X，Y（0）=yi=U施乐χ（0）+lim infkEh-U（Xπ*（T））χ（T∧ τk）X（0）=X，Y（0）=yi≤ U施乐χ(0) - EhU（Xπ*（T））X（0）=X，Y（0）=yi。现在EhU（Xπ*（T））X（0）=X，Y（0）=yi从两侧取消，存在边界hu（Xπ（T））X（0）=X，Y（0）=yi<U施乐χ(0) .如果不能证明EhU（Xπ*（T））X（0）=X，Y（0）=yi<∞, 然后可以使用截断参数来显示任意小常数的上界。如果问题被截断为Y（t）和π（t）限定为紧集，则可以应用定理3.3的广义存在性和唯一性理论。对于某些正K<∞ 确定截断的允许策略集A full=A full∩（π：[0，T]×Ohm → Rds。t、 支持∈[0，T]kπ（T）k<k a.s.）。同时确定停止时间τK=inf{t>0 s.t kY（t）K≥ K} ，并考虑截断的BSDE：-dχK（t）=（1- γ） FK（Y（t），χK（t），ψK（t））dt- ψK（t）dB（t），对于t≤ τkχk（T∧ τK）=1，（52），其中FK（y，g，η）=maxkπK≤Kf（y，π，g，η），定义良好，因为（29）给出的f是π的凹函数。对于所有t，Fk有一个统一的Lipschitz常数≤ τK，so（52）有唯一解（χK，ψK）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq）。BSDE的解与粘度解有关，χK（t）=GfullK（t，Y（t））和ψK（t）=a（Y（t））GfullK（t，Y（t）），其中GfullKis是边值问题的aviscosity解，t+LGfullK+（1- γ） FK公司y、 GfullK，σyGfullK公司= 0（53）GfullKt=t=1完整kyk=K=1。方程（53）具有唯一的经典解，因为它符合[FS05]第IV.4章定理4.1的应用标准。