部分信息控制的反向SDE

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英文标题：
《Backward SDEs for Control with Partial Information》
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作者：
Andrew Papanicolaou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper considers a non-Markov control problem arising in a financial market where asset returns depend on hidden factors. The problem is non-Markov because nonlinear filtering is required to make inference on these factors, and hence the associated dynamic program effectively takes the filtering distribution as one of its state variables. This is of significant difficulty because the filtering distribution is a stochastic probability measure of infinite dimension, and therefore the dynamic program has a state that cannot be differentiated in the traditional sense. This lack of differentiability means that the problem cannot be solved using a Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. This paper will show how the problem can be analyzed and solved using backward stochastic differential equations (BSDEs), with a key tool being the problem\'s dual formulation.
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中文摘要：
本文考虑一个金融市场中的非马尔可夫控制问题，其中资产收益取决于隐藏因素。该问题是非马尔可夫问题，因为需要非线性滤波对这些因素进行推理，因此相关的动态程序有效地将滤波分布作为其状态变量之一。这是非常困难的，因为过滤分布是一个无限维的随机概率度量，因此动态程序具有传统意义上无法区分的状态。这种可微性的缺乏意味着这个问题无法用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来解决。本文将展示如何使用倒向随机微分方程（BSDE）分析和解决该问题，关键工具是该问题的对偶公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-10 07:32:15 上传

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关键词：SDE Mathematical distribution Quantitative Differential

部分信息控制的反向SDE A。帕帕尼古劳*2018年7月24日摘要本文考虑了一个非马尔可夫控制问题，该问题出现在资产回报依赖于隐藏因素的金融市场中。该问题是非马尔可夫问题，因为非线性滤波需要对这些因素进行推理，因此相关的动态程序有效地将滤波分布作为其状态变量之一。这是非常困难的，因为过滤分布是有限维的随机概率度量，因此动态程序具有传统意义上无法预测的状态。这种差异性的缺乏意味着这个问题无法用汉密尔顿-雅可比·贝尔曼（HJB）方程来解决。本文将展示如何使用倒向随机微分方程（BSDE）分析和求解该问题，关键工具是该问题的双重公式。关键词：非马尔可夫控制，倒向随机微分方程，投资组合优化，部分信息。主题分类：91G10、60G35、91G801简介考虑寻求在（d+1）多种资产之间进行最佳配置的投资者：支付利率r的无风险工具（如货币市场或银行账户）≥ 0和d-许多风险交易所交易基金（ETF）表示S=（S，S，…，Sd）式中，si（t）=ithETF的时间-时间价格。这些价格是过滤概率空间上的连续过程(Ohm, （Ft）t≤T、 P）。让W和bde注意一对FtBrownian运动，其中W∈ C（[0，T]；Rd）和B∈ C（[0，T]；Rq）对于正整数q<∞, 带dW（t）dW（t）= Id×ddt，dB（t）dB（t）= Iq×qdt dW（t）dB（t）= 0，其中I（·）表示单位矩阵，和（·）表示矩阵/向量变换。

ETF的价格过程∈ C（[0，T]；Rd）的回报率取决于随机因子Y∈ C（[0，T]；Rq），如以下隐马尔可夫模型所示，dSi（T）Si（T）=hi（Y（T））dt+dXj=1σijwdWj（T）+qXj=1σijydBj（T）（观察），（1）dY（T）=b（Y（T））dt+a（Y（T））dB（T）（隐藏），（2）*纽约大学坦顿工程学院金融与风险工程系，6 MetroTech Center，BrooklynNY 11201ap1345@nyu.edu.这项研究的一部分是在作者访问国家科学基金会资助的纯数学和应用数学研究所（IPAM）时进行的。其中，初始条件Y（0）不可观测，且与W和B无关。为了确保SDEs强解的存在性和唯一性，假设系数a、B和h是Cand-Lipschitz连续的，矩阵为a∈ Rq×Q满足条件infy∈Rqaa（y） >0（即，积极性）。总协方差σ的矩阵σ和σy组合=σwσw+σyσy1/2∈ Rd×d，其中假设存在常数，使得0<≤ σσ≤< ∞ , （3） 即σσ是位置定义和有界的。设FStdenote{S（u）：u生成的σ-代数≤ t} 任何时候t∈ [0，T]。投资者必须决定FSt适应的分配向量π（t）∈ Rd其中，每个iπi（t）=ithETF中财富的时间-t比例。明确FSt Ft，尤其是Y（t），在给定FSt时是不可观测的。因此，投资者需要对给定的FSt进行过滤（t），然后使用该过滤器做出最佳投资决策。对于给定的策略π，投资者的财富是Xπ的过程∈ C（[0，T]；R）是dxπ（T）Xπ（T）=rdt+dXi=1πi（T）的半鞅dSi（t）Si（t）- rdt公司, （4） 其中，如果π是S-可积的，即dXi=1ZT，则认为π是可容许的πi（t）Xπ（t）dt<∞ 几乎可以肯定，（参见[KK07，KS99]）。

投资者有一个凹效用函数U（x），通过求解其最优值函数V（t，x）=supπEhU（xπ（t））来找到一个最优πFSt公司∨ {Xπ（t）=X}i，其中上确界接管所有FSt适应的π。这是一个非马尔可夫控制问题，因为最优π（t）将取决于整个历史FSt。尤其是，Y（t）的滤波器是一个非马尔可夫过程，由于最优控制将依赖于该滤波器，因此会导致整个问题是非马尔可夫的。本文分析了这个非马尔可夫问题，特别关注部分信息的影响。作为FSt 只有FSt的投资者被称为部分知情，当然，没有完整的Ft信息是一个劣势。特别是，如果投资者拥有Ft中包含的信息，那么（1）和（2）中的所有过程都会得到遵守，在这种情况下，这证明了她的最佳FSt适应值函数会有所改进。一位在Ftis中观察信息的投资者称其信息完全不完整。部分知情的投资者将计算给定FSt的Y（t）的后验分布，她可以使用后验分布以反馈形式写出她的最优策略，但这种特征是概率度量的函数，这意味着它是有限维输入的函数。功能【Car15】【第2章】和【Bj"o09】【第19章】给出了“反馈表”的定义。有限维输入是解决部分信息投资问题的主要困难：最优控制取决于传统意义上无法区分的测度值状态，因此无法使用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程解决问题。

本文通过使用反向随机微分方程（BSDE）克服了这一困难。在解决部分信息问题时，我们有必要认识到市场是完整的（见[KX91，SH04]），然后解决双重问题。事实上，在某些基本假设（见条件2.1）下，部分信息允许资产价格以完整的市场形式书写，dSi（t）Si（t）=^hi（t）dt+dνi（t），其中^hi（t）=E[hi（Y（t））| FSt]，而νi（t）是由νi（t）=Zt给出的创新dSi（u）Si（u）-^hi（u）du,使σ-1ν（t）是d维FSt适应的布朗运动。市场的完整性导致了相当大的简化，因为有一个唯一的等价鞅测度（EMM）（即，一个等价测度，其中e-rtS（t）是一个局部鞅），使得对偶函数成为一个简单的条件表达式（即，EMM集上的对偶问题的最小值很小，因为该集是一个包含唯一EMM的单子）。由于条件期望可以表示为BSDE的解，因此，对偶值函数就是ABDE的解，由此可以计算出初始值函数和最优策略。与部分知情的投资者相比，完全知情的投资者不需要过滤，因为他观察到了完整的金融时报，因此选择了从有限状态HJB方程中获得的最佳金融时报适应π，并将其写成Xπ（t）和Y（t）的函数。然而，全信息模型仍然是一个不完整的市场模型，因为Y过程不能买卖，因此解决全信息HJB方程有点技术性。当SDE系数满足特定假设时，可以显示该HJB方程解的存在性和规律性（见[Pha02]）。

如果它们存在，那么基于HJB的解决方案很方便，但使用BSDE解决完整信息问题仍然很有用，因为它允许从部分信息与BSDE进行比较。投资者对因素延迟的量化是所谓的信息溢价，或部分信息导致的预期效用损失。从部分信息的角度来看，fullinformation是一种改进，即ehvfull（t，x，Y（t））FSti公司≥ V（t，x），x个≥ 0和t型∈ [0，T]，其中Vfull（T，x，y）是完全知情投资者的价值函数。这种不平等符合常识直觉，即更好地了解Y因子的准确值，但有意思的是，这种不平等表明了一个完整的市场投资者如果被允许切换到一个不完整的市场，可以期望得到改善。还应指出，这是一种预期，Vfull（t，x，Y（t））<V（t，x）可能是可能的（参见示例4.3）。信息溢价的量化是本文使用BSDE解决的一个重要问题。1.1文献综述投资组合优化以控制理论为基础，并依赖于对偶性和凹性等概念，这些概念在许多书籍和论文中都有介绍，包括[KS99]和[Rog02]。

关于部分信息下的消费组合选择和资产定价的初始工作包括【Gen86】，他提出了一个分离定理：代理先过滤，然后优化；【Det86】部分信息下具有高斯信息结构的经济体的结果，其中卡尔曼滤波器适用；[Bas00、Bas05、DM94]具有多个异构代理的市场结果，这些代理随着金融创新的到来更新其信念；[DF86]显示了部分信息下的均衡利率如何在潜在变量持续性和参数控制推断之间进行权衡；还有[Fel89]，这表明只有当利率是非随机的时，预期假设才成立。在[KX91]中，部分信息投资组合优化问题被简化为一个完整的市场问题，其结果也显示在[BDL10]中。[Bre06、Car09、LP16、WW08]中完成了部分信息和过滤的投资组合优化，但仅适用于线性高斯情况。[Lak98，Pha01]中考虑了鞅和对偶理论的更大通用性和作用。还有大量文献涉及有限状态马尔可夫链之后的部分信息和（未观察到的）状态，如[BR05，SH04]。完整信息问题的线性版本在[KO96]中进行了阐述，并关注了所谓的涅磐案例，其中投资者的预期效用是有限的。前向-后向动力学在投资组合优化中的作用在[DZ91]中通过Malliavan微积分的一种新用途得到了展示。

【MS10】中考虑了具有非线性滤波、BSDE和差异定价的部分信息，但假设σ有界-1h，这是本文未做的假设。[CSTV07、CDET13、Car15、EKPQ97、Kob00、PR14、Pha09]中涵盖了反向SDE，包括解的存在性和唯一性的重要结果，[EKR00]和[HIM05]中的BSDE应用于随机控制或效用最大化问题。[MPZ15]中的BSDE也应用于波动性不确定性下的稳健效用最大化。Pen92中考虑了具有随机系数的路径依赖和HJB方程，可以将其与非马尔可夫控制问题中的BSDE进行比较。另一种可能性是使用主方程编写部分信息的有限维程序，类似于[BFY15]；主方程在HJB型方程中使用G’teaux导数，并对值输入进行微分。控制理论的两个重要资源是[FS05]和[Ben92]，用于研究具有部分信息的控制问题。还有[BKS09]，在一篮子商品价格嘈杂的市场中，部分信息控制方法的应用被用于优化，并获得了修正的共同基金定理。最后，Zakai和Kushner-Stratonovich方程的非线性滤波回顾见[Ben92，FL91]，近似的蒙特卡罗方法（即粒子滤波）见[CMR05]。1.2本文的主要结果本文综合了滤波、对偶和BSDE理论的结果，并用它们来解决非线性部分信息最优投资组合问题。由于考虑了（1）中函数h（y）的无界性，本文对BSDEsis的应用具有重要意义。如果h有界，则应用[HIM05，MS10]的结果。

his的无边界性引起了人们极大的兴趣，因为它允许投资者以低风险厌恶度进行极端行为，但它在证明BSD解的存在性和唯一性方面引入了一些技术困难；本文提供的证明依赖于部分信息融资问题的某些特定特征。当与完整信息进行比较并量化信息溢价时，也会使用BSDE方法。使用BSDE解决完整信息问题，并使用BSDE系数动态表示informationpremium。信息溢价很重要，因为它提供了信息重要性的定量证据；部分知情的投资者对完全知情的投资者不利。本文的其余部分组织如下：第2节形式化了过滤和控制问题，并介绍了对偶公式；第3节s介绍了当U（x）是一个电力公司时，如何使用BSDES解决问题，并验证了从BSDES获得的解决方案π实际上是最优的，无论是部分信息还是全部信息；第4节通过考虑高斯线性情况的例子提供了见解；第5节给出了一个模拟BSDE的非线性示例。附录A、B和C包含第3.2节过滤和控制的提议和定理的技术证明。在整个过程中，假设h满足Novikov条件2.1（Novikov）。函数h是这样的，即e exp2ZTkh（Y（t））- rkdt公司< ∞ , （5） 式中，r=（r，r，…）。

，r）∈ Rd，k·k表示欧几里德范数，>0表示边界康斯坦丁（3）。显然（5）支持h有界，但考虑h无界和低风险厌恶将是一件有趣的事（这些想法将在后面的章节中变得更清楚）。2.1过滤在矩阵/向量形式中，观测值由ds（t）S（t）=h（Y（t））dt+σwdW（t）+σydB（t）给出。过滤器定义为适当的测试函数g，即^g（t）=Ehg（Y（t））FSti，对于任何g，支持∈[0，T]Ekg（Y（T））k<∞. 使用^h（t）=E[h（Y（t））| FSt]，过滤理论的一个重要特征是创新过程ν（t）=ZtdS（u）S（u）-^h（u）du, （6） 这是一个高斯过程，即ζ（t）=σ-1ν（t）是FSt适应的d维布朗运动。创新过程用于以完整的市场形式重写方程式（1），dS（t）S（t）=^h（t）dt+σdζ（t）。（7） 这是一个完整的市场，因为有一个独特的等价鞅测度（EMM），名为dQdP=Z（t），由Dolean Dade分量（根据条件2.1）dQdP给出FSt=Z（t）=exp-Zt公司σ-1（^h（u）- r）杜邦-Zt（σ-1（^h（u）- r） （）dζ（u）. （8） 2.2具有部分信息的最优终端财富控制投资者选择FSt适应策略（π（t））t≤Tand有一个自筹财富过程，如等式（4）所示，可以使用创新过程dXπ（t）Xπ（t）=rdt+dXi=1πi（t）（^hi（t））来编写- r） dt+dXi=1πi（t）dνi（t）。投资者的策略是从A给定的容许集合A中选择的=FSt适应π：[0，T]×Ohm → Rd，s.t.ZTXπ（t）kπ（t）kdt<∞ a、 s。, （9） （见[KK07，KS99]）。对于任意π∈ A财富过程几乎肯定是非负的，这就控制了套利策略的成倍增长。投资者具有效用函数U:R+→ R+为凹形，满足附加条件：条件2.2。