部分信息控制的反向SDE

此外，当L是退化椭圆且Hessiangfullkis在（53）的非线性中不存在，（53）的唯一解也是粘度解（见[CIL92]）。因此，χK（t）=GfullK（t，Y（t））是粘度解，是值函数χfullK（t）=1+（1-γ） ×supπ∈阿富尔克“ZT∧τKt∧τKfY（u），π（u），GfullK（u，Y（u）），σYGfullK（u，Y（u））杜邦英尺#。此截断值函数可用于显示（32）的解的唯一性。证明基于以下两个命题，即命题C.1。假设存在（χ，ψ）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq）是（32）的解，特别是∈[0，T]|χ（T）|<∞. 然后支持>0E支持∈[0，T]|χK（T）|≤ E支持∈[0，T]|χ（T）|<∞ ,式中（χK，ψK）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq）是（52）的解决方案。证据从γ开始∈ (0, 1). 对于任何（t、y、g、p）∈ [0，T]×Rq×R+×Rq，FK（y，g，p）≤F（y，g，p）。因此，0≤χK（t）=χK（t∧ τK）≤χ（t∧ τK）通过比较原则（见[Kob00]中的命题2.9），SUPk>0E supt∈[0，T]|χK（T）|≤ 支持>0E支持∈[0，T]|χ（T∧ τK）|≤ E支持∈[0，T]|χ（T）|<∞ ,因为支持∈[0，T]|χ（T∧ τK）|≤ 支持∈[0，T]|χ（T）|。对于γ>1，通过查看0进行比较≥ (1 - γ） FK（y、g、p）≥ (1 - γ） F（y，g，p），表示1≥χK（t）=χK（t∧ τK）≥χ（t∧ τK）。对方块的期望Yieldsupk>0E支持∈[0，T]|χK（T）|≤ E支持∈[0，T]|χ（T∧ τK）|∨ 1.≤ E支持∈[0，T]|χ（T）|∨ 1 < ∞ .提案C.2。存在的上限（χ，ψ）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq）为（32）的溶液。然后（χ（t）-χK（t））1[τK≥T]=0几乎可以肯定为所有T∈ [0，T]，其中（χK，ψK）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq）是（52）的解决方案。证据这个证明是通过矛盾和（类似于命题A.2）。设O={ω∈Ohm s、 tτK≥ T}。假设某些ω的（χ，ψ）6=（χK，ψK）∈ O、 （19）还有另一个解，（|χK，|ψK）=ω的（χ，ψ）∈ ω的O（χK，ψK）/∈ O，其中（△χK，△ψK）6=（χK，ψK），但（52）的解是唯一的。

因此存在矛盾。使用截断问题和相关符号，命题C.1和C.2被应用于证明定理3.3：定理3.3的证明。设（χ，ψ）和（￠χ，￠ψ）是空间ST（Pfull）×HT（Pfullq）中（32）的两个解。应用命题C.1和C.2，并以极限为K→ ∞,E支持∈[0，T]|χ（T）-χ（t）|≤ E支持∈[0，T]|χ（T）-χK（t）|+E支持∈[0，T]|χ（T）-χK（t）|=E支持∈[0，T]|χ（T）-χK（t）| 1[τK<t]+E支持∈[0，T]|χ（T）-χK（t）| 1[τK<t]≤2E支持∈[0，T]|χ（T）| E1[τK<T]！1/2+2E支持∈[0，T]|χ（T）| E1[τK<T]！1/2→ 0，所以χ=~χ几乎可以肯定。为了显示ψ的唯一性，考虑差异的积分形式，χ（t）-χ（t）=χ（t）-χ（t）+（1-γ） Ztt（F（Y（u），χ（u），ψ（u））- FY（u），？χ（u），？ψ（u））杜邦-Ztt公司ψ（u）-Иψ（u）dB（u），对于所有0≤ t型≤ t型≤ T几乎可以肯定，由于χ=~χ，因此Ztt公司F（Y（u），χ（u），ψ（u））- F（Y（u），？χ（u），？ψ（u））杜邦FBt公司= 0，（54）andE“(1 - γ） Ztt公司F（Y（u），χ（u），ψ（u））- F（Y（u），？χ（u），？ψ（u））杜邦-Ztt公司ψ（u）-Иψ（u）dB（u）FBt#=0。（55）如果（55）期望值内的平方相乘，则通过应用（54）发现交叉项为零，尤其是reztFY（u′），χ（u′），ψ（u′）-F（Y（u′）、χ（u′）、ψ（u′）ψ（u）-Иψ（u）dB（u）du′=0。因此，（55）等于两个非负量之和，因为这个和等于零，所以这两个量都必须为零。即EZT公司F（Y（u），χ（u），ψ（u））- F（Y（u），？χ（u），？ψ（u））杜邦= 0，EZT公司ψ（u）-Иψ（u）dB（u）= 0 .因此，通过It^oisometryEZTkψ（u）-Иψ（u）kdu=EZT公司ψ（u）-Иψ（u）dB（u）= 0，这意味着ψ（t）=ψ（t），几乎可以肯定，对于几乎所有的t∈ [0，T]。参考文献【Bas00】S.Basak。具有异质信念和外部风险的动态均衡资产定价模型。《经济动力与控制杂志》，24:63–952000年。【Bas05】巴萨克南部。具有不同信念的资产定价。《银行与金融杂志》，29:2849–28812005。[BDL10]T。

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