部分信息控制的反向SDE

给定（5），在γ>1的完整信息情况下，投资者涅盘不可能发生。证据市场是不完整的，但（5）中的Novikov条件意味着一个可能的等价鞅测度是具有Radon-Nikodym导数ee（t）=exp-Zt公司σ-1（h（Y（u））-r）杜邦-Zt（h（Y（u））- r）(σ-1w）dW（u）+（σ-1年）dB（u）,i、 e.最小熵鞅测度。现在，应该很清楚，E（t）可以是非零的，即PE（T）/E（T）>0Y（t）=Y> 0和soEhE（T）γ-1γY（t）=yi>0，由此可知，全信息值函数具有以下对偶界：Vfull（t，x，Y）≤ infp公司EU体育课-r（T-t） E（t）E（t）Y（t）=Y+ xp系统= infpU公司（pe-r（T-t） ）E“E（T）E（T）γ-1γY（t）=Y#+xp！<0 .因此，定义2.1意义上的涅盘不会发生。全信息值函数满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，t+rxx+LVfull+supπxπΣπxVfull+xπ（h（y）- r）xVfull+xπσya（y）x个Vfull= 0（25）V满t=t=U，其中∑=σ,  表示y中的梯度，andL=qXi，j=1aa公司（y）ij公司易yj+qXi=1bi（y）易。如果（25）有经典解，则最优策略以反馈形式写成π*（t，x，y）=-Σ-1（h（y）- r）xVfull（t，x，y）xxVfull（t，x，y）- σya（y）x个Vfull（t，x，y）xxVfull（t，x，y）！。（26）根据[FS05]第III.8章中的定理8.1，如果π*由（26）给出的是一个完全可接受的策略，那么目标在上确界内的严格凹性意味着（25）的经典解将满足验证引理。对于电力公司的情况，方程（25）的解有一个简化的ansatz，Vfull（t，x，y）=Uxer（T-t）Gfull（t，y），（27），表示Gfull满足方程t+LGfull+（1- γ） 最大π∈Rdf公司y、 π，Gfull，aG全部= 0（28）Gfullt=t=1，其中，对于任何（y，π，g，η），目标函数f在π中严格凹∈ Rq×Rd×R+×Rq，asf（y，π，g，η）=-γπΣπ + π（h（y）- r）g+πσyη。

（29）（29）中的目标可以在一阶条件下最大化，其中最大化器为π*（t，y）=∑-1.h（y）- rγ+σyηγg, （30）从中可以看出，最大化目标为f（y，g，η）=maxπ∈Rdf（y，π，g，η）=g2γ（h（y）- r） +σyηgΣ-1.（h（y）-r） +σyηg≥ 0 . （31）如果方程（28）有经典解，则通过在（g，η）=（Gfull，a）处计算（30）找到最优策略Gfull），π*（t，y）=∑-1h（y）- rγ+γGfull（t，y）σya（y）Gfull（t，y）！，这可以被视为由两个部分组成：一个是由标准默顿问题的最优解给出的短视部分，另一个是由Y（t）中的随机波动激励的动态套期保值项。备注6（其他非线性HJB方程的示例）。金融文献中出现类似（28）的非线性HJB方程的一些例子包括：消费和不可边际收入流的最优投资组合分配[DFSZ97]；[SZ05]中标量Y（t）问题（24）的推广。其他示例包括线性情况（即，h（y）和b（y）线性，y中的a（y）常数），其中（28）的解可以通过a ffne ansatz找到（参见[Ben92，Bre06]）；如果风险厌恶程度较低，这些线性模型可以让投资者获得涅盘（见[KO96]或本文第4节）。方程（28）是一个具有一致椭圆算子的半线性偏微分方程，对于该方程，在相对一般的情况下已证明存在经典解。光滑解的存在性[Pha02]，对于标量情况，如[Zar01]所示，gfull的偏微分方程简化为解到线性偏微分方程的幂变换。具体而言，对于y中的（y）常数，[Pha02]给出了HJB光滑解的充分条件，条件3.1。

如果方程式（2）中的扩散矩阵a在y中为常数，则wi thb（y）和h（y）在y中为Cand Lipschitz，kσ-1h（y）k在y中为Cand-Lipschitz，则t中存在一个可微分的函数Д（t，y），y中存在两个可微分的函数，使得gfull（t，y）=exp(-ν（t，y）），即方程（28）存在经典解，且|Д（t，y）|≤ C（1+| y |）适用于所有t∈ [0，T]和所有y∈ Rq。备注7。对于非常数a（y），[Pha02]解释了如何重新参数化y（t）的SDE，以使条件3.1适用，即通过寻找具有φ（y）=a（y）-1i。e、 ，矩阵a（y）的逆，因此y（t）=φ-1（▄Y（t））wi thd▄Y（t）=▄b（▄Y（t））dt+dB（t），其中▄b（▄Y）=φ（y）b（y）+迹线a（y）φ（y）a（y）y=φ-1（y）。从这里必须检查▄b是Cand Lipschitz。解gfull是值函数gfull（t，y）=1+（1- γ） ×supπ∈AfullE“ZTtfY（u），π（u），Gfull（Y（u）），a（Y（u））Gfull（u，Y（u））杜邦Y（t）=Y#。如【Pha09】第6章第143页所述，Gfull有一个非线性Feynman-Kac表示，其中Gfull（t，Y（t））=χ（t），其中χ（t）表示以下BSDE，-dχ（t）=（1- γ） F（Y（t），χ（t），ψ（t））dt- ψ（t）dB（t），对于t≤ Tχ（T）=1。（32）（32）的解是一对（χ，ψ）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq），Pfullq=一组q维FBt适应的可测量过程Ohm ×[0，T]o，其中，除Pfullq外，标准值与（14）中规定的值相同。给出（32）的解，最优策略为π*（t） =π*（t，Y（t），χ（t），ψ（t））=∑-1.h（Y（t））- rγ+σyψ（t）γχ（t）, （33）类似于（30）中的公式，是一种可接受的策略（即S-可积），因为χ（t）>0 a.S。

根据【Pha09】第6章第142页定理6.2.2中解释的比较原则。[Car15，EKPQ97，Pha09]中的一般理论没有涵盖（32）的解的存在性，因为F（t，y，g，p）没有统一的Lipschitz常数，而[Kob00]没有涵盖，因为Fh是一个gterm。然而，可以在Y（t）处计算经典解Gfullto（28），以获得BSDE的解，χ（t）=Gfull（t，Y（t））（34）ψ（t）=a（Y（t））Gfull（t，Y（t）），前提是该溶液为ST（Pfull）×HT（Pfullq）。提案3.2。假设条件3.1。IfE经验2δ|γ - 1||γ - 2 |γZTkh（Y（t））kdt< ∞ , 和EZTkY（t）k2δdt<∞ , T（35）对于某些δ，δ>1，δ+δ=1，则等式（34）给出的对在ST（Pfull）×HT（Pfullq）中，因此是BSDE（32）的解。证据如果条件3.1成立，则log gfull的梯度有一个线性增长界，因此可积性条件ztka（Y（t））Gfull（t，Y（t））kdt≤ CEZT | Gfull（t，Y（t））|（1+kY（t）k）dt≤ CEZT | Gfull（t，Y（t）））| 2δdt1/δEZTk1+Y（t）k2δdt1/δ，（36），其中δ，δ≥ 1，δ+δ=1。从对偶边界full（t，x，y）≤ U（pe-r（T-t） ）E“E（T）E（T）γ-1γY（t）=Y#+xp，我们有E支持∈[0，T]| Gfull（T，Y（T）））| 2δ<∞ 如果E支持∈[0，T]EE（T）E（T）γ-1γY（t）2δ< ∞, 与命题A.3证明中的步骤相似，因此得出不等式（36）完整性的充分条件是（35）的不等式；因为δ≥ 1根据（35）的f/s等式，可以得出Gfull（t，Y（t）））∈ ST（Pfull）。在文献中，【Pha09】第6.3章中的命题6.3.2表明，如果Gfull（t，y）在y中具有最多的线性增长，并且如果梯度具有多项式增长ka（y）的界限，则等式（34）为inST（Pfull）×HT（Pfullq）Gfull（t，y）k≤ C（1+kykn）对于某些C≥ 0和n≥ 0、提案3.3。

如果存在（32）的唯一解，则π*（t） =π*（33）给出的（t，Y（t），χ（t），ψ（t））是U（Xπ*（t） ）χ（t）满足验证引理，因此π*是最佳策略。证据（见附录B）。如果BSDE（32）存在一个解，那么它是唯一的：定理3.3。如果存在（χ，ψ）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq）是BSDE（32）的一个解决方案，那么它也是唯一的解决方案。证据（见附录C）。备注8。条件3.1、命题3.2、命题3.3和定理3.3促成了BSDE解决方案的广泛存在，以解决完全信息控制问题。第4节和第5节为财务示例提供了经典解决方案的显式公式。备注9（在没有经典解的情况下存在）。（32）的解可以存在，而不存在（28）的经典解。一个解（χ，ψ）与（28）的粘性解相关联，即存在一个确定性函数Gfull，使得χ（t）=Gfull（t，Y（t）），其中Gfull是（28）的粘性解，（见[Pha09]第6.3章中的命题6.3.3）。然而，粘度解的存在可能不足以证明（32）的解的存在，因为（i）gfull必须是平方可积的，（ii）不清楚如何从粘度解构造ψ。此外，如果粘度解是唯一的，则可以确定（32）的解，但当前关于粘度解唯一性的理论要求PDE满足最严格的比较原则，以及一些非线性项F（t，y，g，η）不满足的增长条件【Kob00，Pha09】。

最后，应该指出的是，算子L是所谓的退化椭圆，因此（28）的经典解也是粘性解（见[CIL 92]），如果存在正则性，则证明（34）是合适的公式。3.4信息前提是，完整信息似乎比部分信息好，或者至少它不会妨碍投资。这是正确的，但完整信息市场是不完整的，因为Y（t）是不可交易的，并且不能简化为（7）中给出的完整市场。一般来说，当模型不完整时，会增加保费，降低效用。然而，部分信息是一个例外，因为事实证明，部分知情的投资者希望充分信息具有优势。从部分知情投资者的角度来看，信息溢价（即部分信息导致的效用损失）为∏（t，x），EhVfull（t，x，Y（t））-V（t，x）FSti=U（xe-r（T-t） ）EhGfull（t，Y（t））-G（t）FSti。这类似于[Bre06，Car09]中针对线性高斯问题量化的信息损失，但对于一般非线性情况，使用BSDE进行量化。提案3.4。信息溢价等于∏（t，x）=（1- γ） U（xer（T-t） ）×E“ZTtF（Y（u），χ（u），ψ（u））- γβ（u，α（u），ξ（u））（1- γ） ξ（t）+α（u）ξ（u）!G（u）{z}≥0!杜邦FSt公司#≥ 0，（37），其中（1- γ） U（x）≥ 所有x的定义为0≥ 0.证明。

完全知情的投资者可以选择遵循部分知情的最优策略，因此，EhVfull（t，x，Y（t））FSt公司∨ {Xπ（t）=X}i=E“supπ∈阿富勒胡（Xπ（T））英尺∨ {Xπ（t）=X}iFSt公司∨ {Xπ（t）=X}#≥ Esupπ∈AEhU（Xπ（T））英尺∨ {Xπ（t）=X}iFSt公司∨ {Xπ（t）=X}≥ supπ∈AEhEhU（Xπ（T））英尺∨ {Xπ（t）=X}iFSt公司∨ {Xπ（t）=X}i=V（t，X），（38）对于所有t∈ [0，T]和所有x≥ 0和∏（t，x）≥ 0表示所有x>0和t∈ [0，T）。使用（32）的BSDE和（38）中所示的不等式，信息溢价被写为∏（T，x）=U（xer（T-t） ）EGfull（t，Y（t））-G（t）| FSt= (1 - γ） U（xer（T-t） ）×E“ZTtF（Y（u），χ（u），ψ（u））- γβ（u，α（u），ξ（u））（1- γ） ξ（t）+α（u）ξ（u）!|{z}≥0G（u）！杜邦FSt公司#≥ 0，其中（1- γ） U（x）≥ 所有x的定义为0≥ 0，F（Y（t），χ（t），ψ（t））≥ 0表示所有t∈ [0，T]和β（T，α（T），ξ（T））（1- γ） ξ（t）+α（t）ξ（t）=σ-1^h（t）- rγ+α（t）ξ（t）≥ 0根据定理3.1中给出的β（t，α（t），ξ（t））公式。（37）的重要性在于它显示了信息量是如何随时间递增的。或者，可以看看dEGfull（t，Y（t））-G（t）| FSt, 但BSDE提供了不同的视角，因为系数提供了保费增长的细分。在进入下一节之前，应该指出信息溢价是如何确定的或未确定的。明显的下限V（t，x）≥ U（xer（T-t） ）由π获得≡ 0，并导致上限∏（t，x）≤ Uxer（T-t）EhGfull（t，Y（t））FSti公司- 1..这些界限取决于完整信息价值函数的不确定性，因此投资者对于以非零概率出现的完整信息的涅盘结果是∏（t，x）=∞ 因为V（t，x）<∞ E[Vfull（t，x，Y（t））| FSt]=∞,o ∏（t，x）=∞ - ∞ （未定义）因为V（t，x）=∞ E[Vfull（t，x，Y（t））| FSt]=∞.这两种情况在第4节末尾讨论。

还应指出，信息溢价通常为正值，如[FPS15、FPS17、Pap13]中的数字所示。4线性情况考虑h（y）=u+y的线性情况。假设y（t）∈ 这是一个Ornstein-Uhlenbeckprocess过程，只有一种风险资产，所以S（t）∈ R、 SDE为（t）S（t）=（u+Y（t））dt+σp1级- ρdW（t）+ρdB（t）（39）dY（t）=- κY（t）dt+adB（t），（40），其中κ，a，σ>0，ρ∈ (-1、1）和u∈ R是长期平均回报率。财富过程isdXπ（t）Xπ（t）=rdt+π（t）dS（t）S（t）- rdt公司=π（t）（u+Y（t））+r（1- π（t））dt+π（t）σp1级- ρdW（t）+ρdB（t）.为简单起见，取r=u=0。该模型是[Bre06，Car09，WW08]中所考虑模型的标量版本，除了他们通过考虑γ>1的情况来避免涅盘情况。实际上，本节考虑了γ<1，并检查了标量Riccati方程的稳定性，而[Bre06，Car09]中矩阵Riccati方程的稳定性需要进行更为困难的分析。4.1完全知情投资者完全信息的最优投资问题isV（t，x，y）=supπEhU（x（t））X（t）=X，Y（t）=yi，这是H JB方程vt+aVy Y的解V（t，X，Y）- κyVy-（yVx+ρσaVxy）2σVxx=0Vt=t=U，其中最优投资组合为π*= -xyVx+ρσaVxyσVxx。对于电力设施U（x）=1-γx1-γHJB方程的解由ansatzV（t，x，y）=U（x）G（t，y）给出，从而得出G的以下方程：Gt+aGy y- κyGy+1- γγ（yG+ρσaGy）2σG=0Gt=t=1，其中π*=yγσ+ρaGyγσG。我们现在应用另一个ansatz，G（t，y）=expA（t）y+H（t）,其中有普通微分方程a′（t）+2a1 +(1 - γ)ργA（t）- 2.κ -(1 - γ） ρaγσA（t）+1- γ2γσ=0（41）H′（t）+aA（t）=0，（42），终端条件A（t）=0=H（t）适用。

那么最优控制是π*（t） =yγσ+2ρayA（t）γσ。设A±为多项式2a的根1 +(1-γ)ργA（t）-2.κ -(1-γ） ρaγσA（t）+1-γ2γσ. 从二次方程中，发现这些根为±=κ -(1-γ） ρaγσ±rκ -(1-γ） ρaγσ- 4(1-γ） aγσ1 +(1-γ)ργ4a级1 +(1-γ)ργ, （43）Riccati方程（41）写成asA′（t）=-c（A（t）- A+（A（t）- A.-) , （44）其中c=4a1 +(1-γ)ργ.4.1.1复合根和涅盘策略方程式（43）中给出的根A±为实i ff0≤κ -(1 - γ） ρaγσ-(1 - γ） aγσ1 +(1 - γ)ργ= κ-(1 - γ） aγσ2κρ+aσ. （45）如果根是复杂的，则可能出现不稳定性。了解原因的最佳方法是查看Riccati方程的线性化（41）。让v（t）b为以下线性方程的解，v′\'- 2.κ -(1 - γ） ρaγσv′+（1- γ） aγσ1 +(1 - γ)ργv=0，在适当的终端条件v′（T）=0和v（T）6=0时，Riccati方程（41）的解为A（T）=v′（T）/（2av（T））。对于具有复根的特征方程，解为v（t）=eκ-(1-γ） ρaγσ（T-t）CCO（Ξ（T- t） ）+Csin（Ξ（t-t） （）,式中，Ξ是虚部Ξ的绝对值=sκ-(1 - γ） aγσ2κρ+aσ,其中常数的选择与终端条件相匹配κ -(1-γ） ρaγσ= C、 投资者涅盘之所以出现，可能是因为某些t的v（t）=0∈ [0，T]。如果是这种情况，那么a（t）将在某个特定时间爆炸0≤ t<t。这种不稳定性的一个例子是2κρ+aσ>0，γ趋于零。随着γ常数的增加，κ趋向于零，出现另一种不稳定性∈ (0, 1).4.2部分知情的投资者通过（t）=E[Y（t）| FSt]，创新过程为ν（t）=ZtdS（u）S（u）-（u）du,其中σν（t）是布朗运动。

此外，let∑（t）=E（Y（t）-通过（t），投资者使用卡尔曼滤波（t）=-κbY（t）dt+σ（∑（t）+σaρ）dν（t）ddt∑（t）=-2κ∑（t）-a（1- ρ)2κ-2aρσ∑（t）-σ∑（t）,其中，对于t大，存在渐近∑（t）→∑如t∞ 带∑=-（κσ+aρσ）+r（κσ+aρσ）+aσp1- ρ, （46）假设∑（0）=∑，则对于所有t>0，ddt∑（t）=0，部分信息模型用常数系数和新值写成，dS（t）S（t）=x（t）dt+σdζ（t）dbY（t）=-κ乘以（t）dt+’adζ（t），其中ζ（t）=σν（t）是布朗运动，且‘a=σ∑+σaρ. 因此，部分信息模型相当于等式（39）和（40）中的完整信息模型，ρ=1，扩散系数为a。当V（t，x，y）=∞ 对于γ∈ （0，1），当V（t，x，y）=0时，γ>1（见定义2.1或[KO96]）。命题2.1和3.1分别表明，对于部分和全部信息，γ>1时涅盘不可能发生。对于部分信息，可通过调查参数对线性模型进行验证。与（45）中所述的条件类似，部分信息ansatz涉及到一个真正的根i ffκ-(1 - γ） \'aγσ2κ+(R)aσ≥ 0 . （47）对于γ>1，当'a=-κσ. 事实上，从（46）可以看出'a=σ∑+σaρ≥ -kσ，因此命题2.1验证为γ>1，因为不可能有复数根。对于γ∈ （0，1）有一些有趣的涅盘发生的案例：示例4.1（最终信息溢价）。认为-< ρ < 0, -2ρ < κ < 1, σ ≥ 1，且-2ρκσ<a<√-2κρσ.