单一合格资产的标量多元风险度量

条件现金不变性：πSt（X+m）=πSt（X）- 任意X的STtm∈ L∞（Rd）和m∈ L∞t（Rd）；2、单耳性：πSt（X）≤ πSt（Y）如果STTX≥ STTY几乎可以肯定；3、条件凸性：πSt（λX+（1）- λ） Y）≤ λπSt（X）+（1- λ） 每个λ的πSt（Y）∈ L∞t（[0，1]）；4、值一致：πSt（X）=任意X的πSt（[STTX]e）∈ L∞（Rd）。如果Atis另外是一个条件锥，那么πSTI是条件正齐次的。证据从π的定义来看，对于任何Q，St=EQ[St | Ft]∈ Qe（S）和ST，1=1几乎可以肯定。以下命题为πSt（X）提供了一个必要且充分的条件∈L∞每X的t（R）∈ L∞（Rd）。命题4.5将该条件与无摩擦价格的无套利条件（NA）联系起来。命题4.7。让我们∈ S和X∈ L∞（Rd）然后，f或任意时间t，πSt（X）∈ L∞t（R）当且仅当πSt（0）∈ L∞t（R）对于任何时间t证明。设kXk=（kXk∞, . . . , kXdk公司∞)Tand假设πSt（0）∈ L∞t（R）。πSt（X）≤ πSt(-kXk）=πSt（0）+sttxk∈ L∞t（R）πSt（X）≥ πSt（kXk）=πSt（0）- STtkXk型∈ L∞t（R）。相反的方向与相等的方向相比微不足道。对于这项工作的其余部分，我们将使用notationSt：={S∈ S |πSt（0）∈ L∞t（R）}，即S∈ 仅当S满足无套利条件（NA）且存在某些X时，方可执行d∈ L∞（Rd）使P十、∈Aπt= 下面的命题将ρtinto的对偶表示（3.6）分解为基于两个对偶变量（Q，S）的两个分量。πSt（X），如（4.4）所定义，在ly上运行双变量Q。但是，如下面的命题4.8所示，它足以在集合上取S的本质上确界。这意味着在ρt的对偶表示中，只考虑映射到L的πSt（X）就足够了∞t（R），即考虑满足无套利条件（NA）的无摩擦价格。

在考虑第4.4节和第4.5节中提出的新的时间一致性概念时，这一点尤为重要。提案4.8。对于任意时间t和任意X∈ L∞（Rd）ρt（X）=ess supS∈StπSt（X）。证据让我们∈ S然后Q∈ Qe（S）im plies（Qt，（Ss）Ts=t）∈ qetweredqtdp：=？ξt，t（Q）。通过QT的定义和条件期望的P-几乎超定义，我们恢复了-βt（Q，S）- 均衡器STTX公司英尺= -βt（Qt，S）- EQtSTTX公司英尺对于任何X∈L∞（Rd）。相反，let（Q，（Ss）Ts=t）∈ Qetand定义∈ S乘^Ss：=等式[ST | Fs]=（Ssif S≥ tE【St | Fs】如果s<t。很明显Q∈ Qe（^S）。通过定义，我们恢复了-βt（Q，S）- 均衡器STTX公司英尺= -βt（Q，^S）- EQh^STTXFTI适用于任意X∈L∞（Rd）。利用该结果，我们确定以下第一行和第二行的相等性：ρt（X）=ess sup（Q，S）∈Qet-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司= ess supS∈Sess supQ∈量化宽松-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司= ess supS∈SπSt（X）。根据这一点和命题4.5，我们立即发现ρt（X）≥ ess supS∈SπSt（0）∈L∞t（R）πSt（X）≥ ess sup（Q，S）∈Qetβt（Q，S）∈L∞t（R）-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司.现在，我们想展示反向e不等式。Sin ce公司{-βt（Q，S）-均衡器STTX公司英尺| （Q，S）∈Qet}是Ft可分解的，我们可以找到一个序列（Qn，Sn）n∈N Qetsuch说-βt（Qn，Sn）-德克萨斯州EQnhSTnFtiρt（X）∈ L∞t（R）几乎可以肯定。定义τ：=最小值{n∈ N |βt（Qn，Sn）+EQnhSTn，TXFti<-ρt（X）+}<∞ 几乎只适用于任何>0的情况，且let（Q，s）：=P∞n=1{τ=n}（Qn，Sn）∈ Qet（通常使用单调收敛）。

然后∞t（R） -ρt（0）≤ βt（～Q，～S）≤ -ρt（X）- E▄Qh▄STTXFti+∈ L∞t（R）。因为这样一个（▄Q，▄S）∈ 对于任何>0的情况都可以找到qetc，可以使用这些序列来获得收敛为的结果→ 0，证明已完成。4.3与单变量标量风险度量的关系在本节中，我们希望将术语联系起来πSt对于固定的S，Tt=0∈ 在第一节中介绍了单变量动态风险度量，如[9、25、37、1]。随后将使用此关系直接证明πStTt=0。提案4.9。让我们∈ St，然后φSt:L∞（R）→ L∞由φSt（Z）定义的t（R）：=任意Z的πSt（Ze）（4.6）∈ L∞（R） 是一个凸（相干）单变量标量风险度量。此外，对于任何X，πSt（X）=φSt（STTX）∈ L∞（Rd）。证据首先，我们将证明φsti是一个传统的标量风险度量：1。φSt（0）=πSt（0）∈ L∞t（R）。2、让Z∈ L∞（R） 和m∈ L∞t（R），则φSt（Z+m）=πSt（[Z+m]e）=πSt（Ze）-（STte）m=φSt（Z）- m、 3。让Z，Z∈ L∞（R） 其中Z≥ 扎勒姆肯定会的。然后Ze≥ 热情最大，定义φSt（Z）=πSt（Ze）≤ πSt（Ze）=φSt（Z）。4、凸性和正齐性紧随其后。对于任何X，最终声明后面的πSt（X）=πSt（[STTX]e）=φSt（STTX）∈ L∞（Rd）。我们现在将考虑φSt的原始和对偶表示，如（4.6）所述。之后，我们将考虑阶跃风险度量φSt，sfor t<s的表示。这些阶跃风险度量对于时间一致性的等效属性很有用，如下一节所述。推论4.10。让我们∈ St，则φSt的原表示和对偶表示，定义于（4.6）中，如下所示：1。φSt（Z）=ess infm级∈ L∞t（R）| Z+m∈ STTAπt对于任何Z∈ L∞（R） 其中Aπt={X∈ L∞（Rd）|πSt（X）≤ 0};2、φSt（Z）=ess supQ∈量化宽松-βt（Q，S）- 当量[Z | Ft]对于任何Z∈ L∞（R） 。证据

首先，由于φ是一个传统的标量风险度量，我们立即知道存在一个primaland对偶r表示：对于任何Z∈ L∞（R） φSt（Z）=ess infnm∈ L∞t（R）| Z+m∈ Aφto=ess supQ∈M-βSt（Q）- 当量[Z | Ft].其中Aφt=Z∈ L∞（R） |φSt（Z）≤ 0和βSt（Q）=ess supZ∈Aφt-EQ[Z | Ft]表示每Q∈ M、 因此，显示φt=STTAπ有助于证明这一结果。我们注意到，为了确定φt，aπt=clhAt+PTs=tΓs（Ss）iin=Z∈ L∞（R） |φSt（Z）≤ 0=Z∈ L∞（R） |πSt（Ze）≤ 0=（Z）∈ L∞（R） | Ze∈ cl“At+TXs=tΓs（Ss）#）=（STTX | X∈ cl“At+TXs=tΓs（Ss）#∩ MT）（4.7）=（STTX | X∈ cl“At+TXs=tΓs（Ss）#）（4.8）=STTAπt。方程式（4.7）由ST得出，对于任何s∈ St.方程（4.8）自X起∈ Aπtif且仅当[STTX]e∈ Aπt。我们在考虑罚函数βSt.Let Q的结构的情况下得出这个证明∈ M、 那么βSt（Q）=ess supZ∈Aφt-等式[Z | Ft]=ess supX∈Aπt-EQhSTTXFti=ess supX∈在-EQhSTTXFti+TXs=tess supks∈Γs（Ss）-EQhSTTksFti={Q上的（βt（Q，S）∈ Qe（S）}∞ elseSince在集上用E表示对偶βSt（Q）< ∞ 这意味着φSt（Z）=ess su pQ∈量化宽松-βt（Q，S）- 当量[Z | Ft]对于任何Z∈ L∞（R） 。推论4.11。让我们∈ 支架t<s。定义φSt，s:L∞s（R）→ L∞t（R）作为φStto L的域的限制∞s（R）。然后，通过接受集和惩罚函数定义原始和对偶表示，原始和对偶表示如：1所示。Aφt，s=STsAπt，其中Aπt，s：=Aπt∩ L∞s（Rd）；2、βSt，s（Q）=ess supX∈Aπt，s-均衡器STsX公司英尺对于任何Q∈ 量化宽松。证据由于φSt是一个单变量阶梯风险度量，如果我们证明了接受集的结果，那么惩罚函数会立即出现。首先我们将证明Aφt，s：=Aφt∩ L∞s（R） STsAπt，其中Aπt，s：=Aπt∩ L∞s（Rd）。取Z∈ Aφt，s，然后πSt（Ze）=φSt（Z）≤ 0因此Ze∈ Aπt，s.乘以Ss，1=1几乎相同，Z=STs（Ze）∈STsAπt，s。现在我们将显示Aφt，s STsAπt，s。

让X∈ Aπt，s，然后φSt，s（STsX）=φSt（STsX）=πSt（[STsX]e）=πSt（X）≤ 0其中，最后一个等式直接从π站X的定义开始∈ L∞s（Rd）。备注4.12。我们要注意的是，与完全情况下的φSt不同，阶梯风险度量不需要满足关于标准化条件凸风险度量ρt的惩罚函数的对偶表示。也就是说，φSt，s（Z）6=ess supQ是可能的∈量化宽松-βt，s（Q，s）- 当量[Z | Ft]对于一些Z∈ L∞s（R）。4.4π-时间一致性我们现在将引入一个新的时间一致性概念πStTt=0。利用上述与单变量风险测度的关系，我们可以直接推导出这种时间一致性的许多性质。定义4.13。修复S∈ S、 我们说πSt如果对于所有时间t<s和X，Y，Tt=0是时间一致的∈ L∞（Rd）它保持πSs（X）≤ πSs（Y）=> πSt（X）≤ πSt（Y）。动态风险度量（ρt）Tt=0称为π-时间一致性，如果πStTt=0是每个价格序列的时间一致性∈ S*:=Tt≥第0页。提案4.14。修复S∈ S*, 然后πStTt=0是时间一致的当且仅当φStTt=0是时间一致的（以单变量标量风险度量的通常方式定义）。证据允许πStTt=0是时间一致的，让Z，Z∈ L∞（R） 使得φSs（Z）≥t<s时的φSs（Z）：φSs（Z）≥ φSs（Z）=> πSs（Ze）≥ πSs（Ze）=> πSt（Ze）≥ πSt（Ze）=> φSt（Z）≥ φSt（Z）。相反，让φStTt=0是时间一致的，让X，X∈ L∞（Rd）使得πSs（X）≥ πSs（X）：πSs（X）≥ πSs（X）=> φSs（STTX）≥ φSs（STTX）=> φSt（STTX）≥ φSt（STTX）=> πSt（X）≥ πSt（X）。现在我们将使用πStTt=0和φStTt=0以确定时间一致性的等效属性πStTt=0。定理4.15。修复S∈ S*, 那么，对于规范化的和凸的πStTt=0（即πSt（0）=0，对于所有时间t≥ 0).1.πStTt=0表示时间一致；2、πSt（X）=πSt(-所有t<s和X的πSs（X）e）∈ L∞（Rd）；3.

Aπt=Aπt，s+Aπ，其中Aπt，s=Aπt∩ L∞所有t<s的s（Rd）；4、βt（Q，S）=βSt，S（Q）+EQ[βS（Q，S）| Ft]，对于所有t<S和所有概率度量Q∈ Q*（S） ，我们定义*（S） ：={Q∈ Qe（S）|β（Q，S）<∞} ; (4.9)5. 对于所有Q∈ Q*（S） 和所有X∈ L∞（Rd），过程vqt（X）：=πSt（X）+βt（Q，S），t≥ 0是一个Q-超级鞅。在每种情况下，动态风险度量都允许在集合Q方面有一个稳健的表示*（S） （4.9）中定义，即πSt（X）=ess supQ∈Q*（S）-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司对于所有X∈ L∞（Rd）和所有时间t≥ 0.证明。这些结果都是根据φStTt=0时间一致性及其与πStTt=0时间一致性（见命题4.14）。为了证明递归公式和接受集的求和的等价性，我们将下面的引理4.18视为时间一致性的接受集版本之间的等价性φStTt=0和πStTt=0不太直接。备注4.16。考虑定理4.15的设置，但对于n on-normalizedπStTt=0。然后πStTt=0是时间一致的当且仅当πSt（X）=πSt（[πSs（0））时- πSs（X）]e）表示所有t<s和X∈ L∞（Rd）。现在考虑连贯性πSt仅Tt=0。请注意，立即πStTt=0表示正常化。此外，在这样的设置中，惩罚功能由指示器功能提供；因此，我们可以用byQ描述（4.9）中定义的兴趣概率度量*（S） ={Q∈ Qe（S）|β（Q，S）=0}。推论4.17。修复S∈ S*, 那么下面的f等价于f或a相干πStTt=0.1。πStTt=0表示时间一致；2、πSt（X）=πSt(-所有t<s和X的πSs（X）e）∈ L∞（Rd）；Aπt=Aπt，s+Aπ，其中Aπt，s=Aπt∩ L∞所有t<s的s（Rd）；4、设置Q*（S） 是稳定的；5.

对于所有Q∈ {Q∈ Qe（S）|β（Q，S）=0}和所有X∈ L∞（Rd），流程πSt（X）Tt=0是一个Q-超鞅。在每种情况下，动态风险度量都允许在集合Q方面有一个稳健的表示*（S） ，即πSt（X）=ess supQ∈Q*（S）-EQhSTTXFTI适用于所有X∈ L∞（Rd）和所有时间t≥ 引理4.18。修复S∈ S*并让0≤ t型≤ s≤ T1、让D L∞s（Rd）使得D+Γs（Ss） D、 然后是X∈ D+Aπsif且仅i f-πSs（X）∈ STD。2、Aφt，s+Aφs=STTAπt，s+Aπs证据1、先让X∈ D+Aπs。很快我们就可以分解X=XD+X，比如XD∈ D和Xs∈ Aπs。然后πSs（X）=πSs（XD+Xs）=πSs（Xs）- STsXD≤-STsXD。也就是说，-πSs（X）≥ 按D+Γs（Ss）的性质 D这意味着-πSs（X）e∈ D或-πSs（X）∈ Ss的标准差，1=1。相反，let-πSs（X）∈某些X的STD∈ L∞（Rd）。然后我们可以定义X=-πSs（X）e+（X+πSs（X）e）。我们的结论是-πSs（X）e∈ 通过定义验收集，我们可以看到X+πSs（X）e∈ 因此证明是完整的。2、首先考虑Z∈ Aφt，s+Aφs。由[37，引理4.6]得出，这意味着-πSs（Ze）=-φSs（Z）∈ Aφt，s=STsAπt，s。因此，Ze∈ Aπt，s+Aπ，因此Z∈ STT公司Aπt，s+Aπs按ST，1=1。相反，X∈ Aπt，s+Aπsif且仅当-φSs（STTX）=-πSs（X）∈STsAπt，s=Aφt，s。通过[37，引理4.6]，这相当于STTX∈ Aφt，s+Aφs，证明完整。我们通过考虑向后组合来构建π-时间一致性风险度量来结束本节。提案4.19。让我们∈ S*并考虑离散时间设置。确定投资组合回报的向后构成Z∈ L∞（R） 乘以|φST（Z）=-Z、 §φSt（Z）=φSt(-§φSt+1（Z））t<t。等效地，我们可以确定投资组合X的向后构成∈ L∞（Rd）乘以∏ST（X）=-STTX，~πSt（X）=πSt(-~πSt+1（X）e）t<t.然后§φStTt=0，等效~πStTt=0，是时间一致的。此外，标度化▄ρt（X）：=ess supS∈S*~πSt（X）十、∈ L∞（Rd）是π-时间一致的。证据

首先，时间一致性§φStTt=0和~πStTt=0后面跟着一个归纳参数。其次，（|ρt）Tt=0通过其构造立即是π-时间一致的{~πStTt=0 | S∈ S*}.4.5与多端口时间一致性的关系在本节中，我们将把[29，31]中定义的集值风险度量的多端口时间一致性概念与标量风险度量（ρt）Tt=0的时间一致性属性和表示与单一合格资产联系起来。引理4.20。设（At）Tt=0为动态接受集。设集值风险度量（Rt）Tt=0（任意选择合格空间M Rd），定义byRt（X）：=纳米∈ L∞t（￠M）| X+M∈ 国税局十、∈ L∞（Rd）是多端口时间一致的，那么（ρt）Tt=0定义为（3.1）是π-时间一致的。我们想强调关于引理4.20的以下几点。请注意，（ρt）Tt=0是针对单个合格资产（M=R×{0}d）定义的-1） 通过其定义（3.1）或等效定义（3.2），因为它是现金资产的基本组成部分，使头寸可接受。然而，我们现在考虑（Rt）Tt=0，并选择eligiblespaceM Rd（实际上对ρtvia（3.1）或（3.2）的定义没有影响，n或对At有影响）。引理4.20的显著功效在于，如果（Rt）Tt=0，则多端口对时间一致，并选择合适的空间M Rd，然后（ρt）Tt=0，如（3.1）所定义，因此与单一合格资产，是π-时间一致的。这个结果在示例部分将被证明非常有用。引理证明4.20。我们将用完全合格空间M=Rd证明结果，一般情况下遵循相同的逻辑。

让我们∈ S*, t<s和X，Y∈ L∞（Rd）然后πSs（X）≤ πSs（Y）=>nSTsu | u∈ L∞s（Rd），X+u∈ AπsonSTsu | u∈ L∞s（Rd），Y+u∈ Aπso=>（u）∈ L∞s（Rd）|X+u∈ cl“As+TXr=sΓr（Sr）#”）（u）∈ L∞s（Rd）| Y+u∈ cl“As+TXr=sΓr（Sr）#”）=>（u）∈ L∞s（Rd）| X+u∈ As+TXr=sΓr（Sr））（u）∈ L∞s（Rd）| Y+u∈ As+TXr=sΓr（Sr））=>（u）∈ L∞s（Rd）| X+u∈ As+TXr=tΓr（Sr））（u）∈ L∞s（Rd）| Y+u∈ As+TXr=tΓr（Sr））=>[^X∈十、-PTr=tΓr（Sr）Rs（^X）【^Y】∈Y-PTr=tΓr（Sr）Rs（^Y）=>[^X∈十、-PTr=tΓr（Sr）Rt（^X）【^Y】∈Y-PTr=tΓr（Sr）Rt（^Y）=>（u）∈ L∞t（Rd）| X+u∈ At+TXr=tΓr（Sr））（u）∈ L∞t（Rd）| Y+u∈ At+TXr=tΓr（Sr））=> πSt（X）≤ πSt（Y）。事实上，我们现在将使用上述将多端口时间一致性与π-时间一致性联系起来的结果，以给出（ρt）Tt=0的递归定义（关于分解形式πStTt=0。推论4.21。考虑规范化验收集（At）Tt=0（即At）的引理4.20的设置=十、∈ L∞（Rd）| 0∈ Rt（X）对于集值风险度量，使得每X的Rt（X）=Rt（X）+Rt（0）∈ L∞（Rd）对于所有时间t）。然后（ρt）Tt=0满足回归关系ρt（X）=ess supS∈StπSt（[πSs（0））- πSs（X）]e）（4.10）适用于所有投资组合X∈ L∞（Rd）和时间t<s.Proof。这是命题4.8和定理4.15关于非规范化πSs的递归形式的直接结果（见备注4.16）。命题4.22用于保证πSs（0）- πSs（X）∈ L∞s（R）对于每个s∈ St.Brie fly，我们将对递归关系（4.10）提供一些解释和见解。ρt的递推关系表明，对于满足无套利条件（NA）的所有无摩擦价格，风险度量可以与（πSt）Tt=0的动态规划原理相关。为了阐明这并不意味着什么，假设某些StX的隐式ρt（X）=πStXt（X）∈ Stfor每X∈ L∞（Rd）并且每次t，即，在StX达到本质上确界。

假设这个问题能够恢复通常的递归ρt（X）=ρt（ρs（0）- ρs（X））相当于（4.1），StXdepends在时间t和投资组合X上的事实提供了递归ρt（X）=πStXt（[πStXs（0）- πStXs（X）]e）6=πStXt（[πSss（0）- πSsXs（X）]e）=ρt（ρs（0）- ρs（X））。更一般地说，S上的基本至上∈ 对于不同的时间t和投资组合X，ST不需要在同一方向上进行限制。由于无法合并时间t和s的基本上峰，通常的递归ρt（X）=ρt（ρs（0）- ρs（X））不成立。事实上，递归关系（4.10）可以被视为（ρt）Tt=0满足（πSt）Tt=0的动态规划原则，对于固定的标度化S。现在回想一下，（ρt）Tt=0本身就是（Rt）Tt=0的固定标度化（在现金资产的方向）。在[34]中，我们表明，如果标度化以某种方式随时间变化，则标度化风险度量通常只会自身递归（另请参见[54，57]）。由于这里的现金资产和因此的标度化是固定的，（ρt）Tt=0不是递归的，但推论4.21满足了（πSt）Tt=0的固定标度化较弱的递归性质（4.10）。当每S的πSs（0）=0时，（ρt）Tt=0的上述递归形式是简单的∈ St，例如，如果（ρt）Tt=0是一致的风险度量。以下命题在与上述推论4.21相同的设置下提供了进一步的结果。特别是，我们发现了集烘干时间之间的关系，特别是我们可以推断*= S、 提案4.22。考虑将Le mma设置为4.20 f或闭合和规范化验收集（At）Tt=0。然后是St 对于任何时间t<s和s*= S、 证明。假设S∈ 圣莱特X∈ L∞（Rd）使得P（X∈~Aπt）=0（命题4.5保证了其存在）。