单一合格资产的标量多元风险度量

通过多端口时间一致性，我们发现：0=P（X∈~Aπt）=PX∈ecl“At+TXr=tΓr（Sr）#！=PX∈ecl“在∩ Ms+As+TXr=tΓr（Sr）#！≥ 军中福利社∈ecl“As+TXr=sΓr（Sr）#！=P（X∈Aπs）。因此X的位置∈ L∞（Rd）也满足以下条件：∈ 不锈钢。在上述内容中，我们letecl表示生成与随机变量集闭包相关的随机集的运算符，如命题4.5中定义的πtde的▄AπtF。[63，定理2.1.6]保证了这些随机集的存在。最后，定义4.13中的byconstruction*=Tt≥0St=sb通过这些无冲突价格过程的单调性。我们将通过将标量映射（ρt）Tt=0的时间一致性的通常定义与集值风险度量（Rt）Tt=0的多端口时间一致性在相同的单一合格资产空间下进行关联，来结束对时间一致性的讨论。引理4.23。考虑定理3.2的设置。（Rt）Tt=0是多端口时间一致的当且仅当（ρt）Tt=0是ρ-时间一致的（即，如（4.1）中定义的时间一致）。证据首先，通过定理3.2，我们知道Rt（X）=（ρt（X）+L∞t（R+）之前始终为t和投资组合X∈ L∞（Rd）。让（Rt）Tt=0是多端口对时间一致的。对于任何t<s和任何X，Y∈L∞（Rd），ρs（X）≤ ρs（Y）=> 卢比（X） 卢比（Y）=> Rt（X） Rt（Y）=> ρt（X）≤ ρt（Y）。设（ρt）Tt=0为时间一致。另外，让t<s，X∈ L∞（Rd）和YL∞（Rd），Rs（X）[是∈年（Y）=> （u）≥ ρs（X）=> Y∈ Y：u≥ ρs（Y））=> Y∈ Y：ρs（X）≥ ρs（Y）=> Y∈ Y：ρt（X）≥ ρt（Y）=> Y∈ Y：Rt（X） Rt（Y）=> Rt（X）[是∈YRt（Y）自然，ρ-时间一致性比π-时间一致性是一个str-on-ger性质。推论4.24。如果（ρt）Tt=0是ρ-时间一致的，那么它也是π-时间一致的。证据

这直接来自引理4.20和4.23.5示例。由于引理4.20，我们立即知道，每个多端口时间一致性集值风险度量生成一个多变量标量风险度量（ρt）Tt=0，它是π时间一致的。因此，我们参考[29、31、32]中的一些示例。在本节中，我们将重点关注单个合格资产的超边缘风险度量结果，然后是组合风险度量的示例，如组合平均风险值。对于这些例子，我们将证明π-时间一致性的概念，并证明先验、强、时间一致性性质（ρs（X）≤ ρs（Y）=> ρt（X）≤ ρt（Y））是一个很强的概念。5.1比例交易成本下的超边际首先考虑仅具有比例交易成本的市场。如第3.1节所述，并在[52、72、53]中进行了更详细的讨论，市场模型将由一系列偿付能力锥（Kt）Tt=0来定义。我们将假设市场满足无套利性质和假设3.3。例如，在[50，62]中的离散时间设置中，在时间0研究了这种超边缘风险度量。通过定义超边际风险度量，交易时间为∈ {0，1，…，T}，我们可以通过ρSHPt（X）=ess sup（Q，S）定义对偶表示∈QSHPtEQh-STTX公司FTIHereQSHPT：=（Q，S）∈ Qet |ξt，s（Q）Ss∈ Ls（K+s）s≥ t型.特别地，对于分解πsts的构造，我们关心tqshpt（S）：=（EMM（S）：={Q∈ Me | S是Q-mtg}如果S∈ S 其他的事实上，在这种情况下，任何时间t的St=S∈ [0，T]。特别是，这意味着*= S也是。这意味着构造πStar的对偶变量由价格过程的等价martin gale度量集EMM提供。

通过这种构造，我们可以确定φSt（与（4.6）中定义的πstats相对应的单变量scalarrisk度量）的验收集asAφt：=nZ∈ L∞（R） | EQ[Z | Ft]≥ 0Q∈ QSHPt（S）o=新西兰∈ L∞（R） | EQ[Z | Ft]≥ 0Q∈ EM M（S）o。这立即意味着Aφ是标量超边缘风险度量的接受集，因此我们恢复了φStTt=0是时间一致的（因此πSby命题4.14也是如此），因为在完全合格空间M=Rd的情况下，集值超边缘风险度量是多端口时间一致的（参见，例如，[29]）。因此ρSHPtTt=0是π-时间一致的定义（定义4.13），分别是引理4.20。备注5.1。推论4.21提供了ρSHPtTt=0，我们要注意的是，它与[62，推论6.2]中使用的类似，但不同。我们通过证明超边缘风险测量ρSHPtTt=0，尽管它是π-时间一致的，但它本身不是ρ-时间一致的。以下是BYLEMA 4.23。基础集值风险度量（Rt）Tt=0是一个封闭的、有条件的一致性风险度量，接受集为=PTs=tL∞所有时间的s（Ks）tand M=R×{0}d-1、从验收集的定义和合格投资组合的空间可以清楚地看出，通常At6=At∩ Ms+As。因此，通过[29，定理3.4]，我们可以立即得出结论，（Rt）Tt=0与合格资产的选择不一致，并且通过引理4.23ρSHPtTt=0不是（4.1）中定义的ρ-时间一致性。5.2凸交易成本下的超边际继续以超边际为例，现在让我们考虑一个具有凸交易成本的市场，例如，一个还包括价格影响的市场。如【64、31、32】所述，我们将用凸偿付能力区域（Ct）Tt=0对此类市场进行建模。

我们将假设该市场模型满足无可扩展稳健无套利条件，且具有满足假设3.3的衰退锥。与上述比例交易成本的情况一样，我们可以采用【50】中提供的形式，为超级对冲价格ρSHPtviaρSHPt（X）=ess sup（Q，S）引入双重表示∈QetTXs=tσst（EdQdPFs公司Ss）- EQhSTTXFti！，其中，惩罚函数定义为偿付能力区域的支持函数σst（Y）：=ess infZ∈L∞s（Cs）EhYTZFti。特别是，如果EhdQdP，惩罚函数是有限的FsiSs公司∈ Ls（recc（Cs）+）所有时间s∈ {t，…，t}。备注5.2。如果我们考虑锥形市场模型（Kt）Tt=0，那么惩罚函数由σst（Y）=（0 on{Y）确定∈ K+s}-∞ 关于{Y 6∈ K+s}。因此，作为特殊情况，我们立即恢复第5.1节中提出的超边际价格。因此，在静态情况下，我们从Jouini，Kallal【50】中恢复了配方，如（1.1）所示。与仅在比例交易成本下的情况一样，从引理4.20和集值超边际风险度量的多端口时间一致性，以及完全合格的sp ace M=Rd（参见，例如，[29，31]），可以立即得出以下结论：ρSHPtTt=0是π-时间一致的。与仅按比例交易成本的情况一样，虽然我们发现超级套期保值价格是π-时间一致的，但它不是ρ-时间一致的（关于定义（4.1））。引理4.23紧随其后，因为当合格资产M的空间仅为现金资产时，超级对冲风险度量不是多端口时间一致的。5.3组合风险度量将集值风险度量在时间上向后组合，可自动确保多个投资组合的时间一致性。

也就是说，考虑一步风险度量（Rt，t+1）t-1t=0和终端风险度量值Rt定义组合风险度量值：~Rt（X）：=Rt，t+1（~Rt+1（X））=[Z∈Rt+1（X）Rt，t+1(-Z）t型∈ {0，1，…，T- 1} RT（X）=RT（X）。例如，在[29，31]中对集值平均风险值进行了研究。与上述超级对冲示例一样，当考虑在市场模型中进行交易时，我们通常会考虑合格资产的全部空间M=RDA【32】（如本文所研究的）或系统性风险度量【35】。在这种情况下，根据L emmas 4.20和4.23，组合风险度量的标度化|ρt（X）：=ess inf{m∈ L∞t（R）| me∈对于X，Rt（X）}∈ L∞（Rd）是π-时间一致的，但不是ρ-时间一致的。为了便于说明，让我们简要考虑r Isk的组合平均值，合格资产的整个空间M=Rd。我们参考【31，第6.1节】了解组合平均风险值的详细信息。特别是，考虑风险等级为λt的阶梯平均值∈ L∞t（[，1]d），用于从时间t tot+1和一些较低阈值>0的阶梯式风险度量。标量化|ρt:L∞（Rd）→ L∞由（3.1）定义的时间t的综合平均风险值的t（R）可以用双重表示法给出：△ρt（X）=ess supS∈Stess supQ∈Qλ（S）-EQhSTTXFtiQλ（S）=Q∈ 我| Ss，我≥ λsi′ξs，s+1（Q）Ss+1，is=0，1。。。，T- 1，i=1，2。。。，d.请注意，任何概率度量Q∈对于某些S，Qλ（S）∈ St（和任何固定时间t）也将是一个双变量，用于单变量组成的风险平均值和水平序列（λt）t-1t=0，如【19】所述。如上所述，这个多变量风险度量是π-时间一致的，但不是ρ-时间一致的。参考文献【1】Beatrice Acciaio和Irina Penner。动态风险度量。在Giulia Di Nunnoand Bernt–Oksendal，《金融高级数学方法》编辑，第1–34页。

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